Prof. Dr. R. Wulkenhaar WS 13/14

Übungen zu Mathematik für Physiker I

Abgabe: Donnerstag, 7.11.2013 bis 10h00 in den Briefkästen Blatt 3

Aufgabe 1. Für 0 < a < b werden rekursiv Intervalle I_{n} = [a_{n}, b_{n}] definiert durch

a_{0} = a , b_{0} = b , a_{n} = G(a_{n−1}, b_{n−1}) , b_{n} = A(a_{n−1}, b_{n−1}) ,

wobei G(a, b) := \sqrt{ab} bzw. A(a, b) := \frac{a+b}{2} das geometrische bzw. arithmetische Mittel sind. Beweisen Sie: (I_{n})_{n∈ℕ} ist eine Intervallschachtelung. Hinweis: Ein Teil des Beweises besteht darin, 0 < b_{n} − a_{n} < \frac{b}{2^{n}} zu zeigen. Bemerkung: Die in allen Intervallen liegende reelle Zahl heißt das arithmetisch-geometrische Mittel von a, b.

Aufgabe 2. Geben Sie Realteil, Imaginärteil und Betrag der folgenden komplexen Zahlen an:

(a) \frac{1}{5 − 12i}  (b) \frac{5 − 2i}{4 − 3i}  (c) (\frac{\sqrt{3} + i}{\sqrt{3} − i})^{n} ,  n ∈ ℕ

Aufgabe 3.

(a) Geben Sie sämtliche Lösungen folgender Gleichungen in der Form z = x + iy an:

i) z^{2} = i  ii) z^{3} = −1

(b) Skizzieren Sie folgende Punktmengen der Gaußschen Zahlenebene:

i) {z ∈ ℂ : |z−a| ≤ r} für a ∈ ℂ, r ∈ ℝ_{+} , ii) {z ∈ ℂ : |z| < |z+1| < 1}

Aufgabe 4. Die Normalform einer kubischen Gleichung ist

z^{3} + pz + q = 0 , p, q ∈ ℝ .

(a) Rechnen Sie nach, daß für D := (\frac{q}{2})^{2} + (\frac{p}{3})^{3} > 0 die Lösungen dieser kubischen Gleichung gegeben sind durch die Cardanischen Formeln

z_{1} = u + v ,  z_{2} = ζ_{1}u + ζ_{2}v ,  z_{2} = ζ_{2}u + ζ_{1}v

mit ζ_{1} = −\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}, ζ_{2} = −\frac{1}{2} − i\frac{\sqrt{3}}{2} und

u = \sqrt[3]{−\frac{q}{2} + \sqrt{D}} ,  v = \sqrt[3]{−\frac{q}{2} − \sqrt{D}} .

Dabei ist \sqrt[3]{a} = −\sqrt[3]{−a} für a < 0.

(b) Man bestimme die Lösungen von z^{3} + 9z + 6 = 0.