Prof. Dr. R. Wulkenhaar WS 13/14

Übungen zu Mathematik für Physiker I

Abgabe: Donnerstag, 14.11.2013 bis 10h00 in den Briefkästen Blatt 4

Aufgabe 1. Konstruktion des regelmäßigen Fünfecks mit Zirkel und Lineal:

• Konstruiere in der Gaußschen Zahlenebene den Einheitskreis S mit Mittelpunkt 0 und Radius 1. Die Schnittpunkte des Kreises mit der x-Achse seien A = 1 ∈ ℂ und B = −1 ∈ ℂ.

• Konstruiere das Lot L auf \overline{AB} durch 0 (y-Achse). Sei D einer der Schnittpunkte mit dem Einheitskreis S. Konstruiere den Mittelpunkt G von \overline{0D}.

• Zeichne um G einen Kreisbogen mit Radius |\overline{GB}|. Der Schnittpunkt des Kreisbogens mit L(= y-Achse), welcher innerhalb S liegt, sei H.

• Zeichne um B einen Kreisbogen mit Radius |\overline{0H}|. Die beiden Schnittpunkte mit S seien A_{2} und A_{3}.

• Zeichne um A einen Kreisbogen mit Radius |\overline{A_{2}A_{3}}|. Die beiden Schnittpunkte mit S seien A_{1} und A_{4}, wobei A_{1}, A_{2} auf der gleichen Seite von \overline{AB} liegen.

Dann beweisen (a),(b),(c): (A, A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}) sind die Eckpunkte eines regelmäßigen Fünfecks.

A_{2} A_{3}  0 B  A A_{1} A_{4} D G H

(a) Zeigen Sie: Die Länge |\overline{0H}| =: h = g^{−1} ist das Inverse des goldenen Schnittes, h = \frac{\sqrt{5}−1}{2}.

(b) Zeigen Sie, daß die Koordinaten z_{n} = x_{n} + iy_{n} der Eckpunkte A_{n}, mit n = 1, 2, 3, 4, gegeben sind durch

z_{1} = \overline{z_{4}} = \frac{h}{2} + \frac{i}{2}\sqrt{3 + h} , z_{2} = \overline{z_{3}} = −\frac{1 + h}{2} + \frac{i}{2}\sqrt{2 − h} .

Hinweis: Für das Inverse des goldenen Schnittes gilt h^{2} = 1 − h.

(c) Beweisen Sie die Identitäten (z_{1})^{2} = z_{2}, (z_{2})^{2} = z_{4}, z_{2}z_{3} = 1 und z_{1}z_{4} = 1.

Aufgabe 2. Bestimmen Sie, falls existent, Supremum, Infimum, Maximum und Minimum der folgenden Teilmengen von ℝ:

(a) M_{a} = \{\frac{n + 2}{n + 1} : n ∈ ℕ\}

(b) M_{b} = \{\binom{−1}{n} : n ∈ ℕ\}

(c) M_{c} = {4^{(−1)^{n}n} : n ∈ ℕ}

Aufgabe 3. Betrachtet werde für t, s ∈ ℝ das lineare Gleichungssystem

x_{1}+ tx_{2}+ x_{3} = 3
x_{1}+ 2x_{2}  = 2
3x_{1}+ 6x_{2}+ tx_{3} = 1
tx_{1}+ 4x_{2}− 2x_{3} = s

(a) Bestimmen Sie alle Paare (t, s), für die das LGS lösbar ist.

(b) Zu t = 1 ist das LGS für genau ein s ∈ ℝ lösbar. Lösen Sie das LGS für t = 1 und das so bestimmte s.

Aufgabe 4. Bestimmen Sie die allgemeine Lösung des folgenden linearen Gleichungssystems:

( \begin{matrix}2 & 3 & −3 & −4 \\ 3 & 4 & −5 & −8 \\ 4 & 7 & −5 & −4 \end{matrix} ) · ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix} )