Prof. Dr. R. Wulkenhaar WS 13/14

Übungen zu Mathematik für Physiker I

Abgabe: Donnerstag, 21.11.2013 bis 10h00 in den Briefkästen Blatt 5

Aufgabe 1. Es sei

v_{1} = ( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} ) ,  v_{2} = ( \begin{matrix}4 \\ 5 \\ 6 \end{matrix} ) ,  v_{3} = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) ,  w = ( \begin{matrix}3 \\ 2 \\ 1 \end{matrix} ) .

(a) Zeigen Sie: (v_{1}, v_{2}, v_{3}) ist Basis des ℝ^{3}.

(b) Bestimmen Sie λ_{1}, λ_{2}, λ_{3} ∈ ℂ mit w = ∑_{i=1}^{3} λ_{i}v_{i}.

(c) Für welche λ, μ ∈ ℝ ist ( \begin{matrix}1 \\ λ \\ μ \end{matrix} ) ∈ span_{ℝ}(v_{1}, v_{3})?

Aufgabe 2. Sei U = span_{ℝ}(u_{1}, u_{2}, u_{3}) ⊆ ℝ^{4} und V = span_{ℝ}(v_{1}, v_{2}, v_{3}) ⊆ ℝ^{4} mit

u_{1} = (\begin{matrix}1 \\ 1 \\ 0 \\ −2 \end{matrix}) , u_{2} = (\begin{matrix}1 \\ 2 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}) , u_{3} = (\begin{matrix}2 \\ 3 \\ 2 \\ −2 \end{matrix}) , v_{1} = (\begin{matrix}1 \\ 2 \\ 2 \\ −2 \end{matrix}) , v_{2} = (\begin{matrix}2 \\ 3 \\ 4 \\ −3 \end{matrix}) , v_{3} = (\begin{matrix}1 \\ 3 \\ −1 \\ −2 \end{matrix}) .

Bestimmen Sie die Dimensionen von U, V, U + V, U ∩ V sowie eine Basis von U ∩ V.

Aufgabe 3. Eine Matrix A = (a_{ij}) ∈ M(n × n, K) heißt symmetrisch, falls a_{ij} = a_{ji} für alle i, j = 1, …, n, und schief-symmetrisch, falls a_{ij} = −a_{ji} für alle i, j = 1, …, n.

(a) Zeigen Sie, daß alle symmetrischen bzw. alle schief-symmetrischen Matrizen je einen Untervektorraum von M(n × n, K) bilden, und bestimmen Sie dessen Dimension.

(b) Zeigen Sie, daß es für jede Matrix A ∈ M(n×n, K) genau eine symmetrische Matrix A_{+} und eine schief-symmetrische Matrix A_{−} gibt mit A = A_{+} + A_{−}.

Aufgabe 4. Begründen Sie, weshalb die unten angegebenen Folgen (a_{n})_{n∈ℕ^{×}}, (b_{n})_{n∈ℕ} und (c_{n})_{n∈ℕ^{×}} konvergent bzw. divergent sind, und bestimmen Sie im Konvergenzfall den Grenzwert:

(a) a_{n} = \frac{1}{(\sqrt[k]{2})^{n}} \binom{n}{k} ,  k ∈ ℕ^{×}  (b) b_{n} = (\frac{7 + 24i}{25})^{n}

(c) c_{n} = \sqrt[n]{∑_{k=0}^{n} x^{n−k}2^{k}} ,  x ∈ ℝ_{+}^{×}