Prof. Dr. R. Wulkenhaar WS 13/14

Übungen zu Mathematik für Physiker I

Abgabe: Donnerstag, 28.11.2013 bis 10h00 in den Briefkästen Blatt 6

Aufgabe 1. Berechnen Sie folgende Grenzwerte unter Verwendung von a − b = \frac{a^{2}−b^{2}}{a+b}:

(a) lim_{n→∞} (\sqrt{n + a} − \sqrt{n}) ,  a > 0  (b)  lim_{n→∞} n^{2}(\sqrt{1 + \frac{1}{n^{2}}} − 1)
(c) lim_{n→∞} (\sqrt{n^{2} + an} − \sqrt{n^{2} + 1}) ,  a > 0  (d) lim_{n→∞} (\sqrt{n + 2\sqrt{n}} − \sqrt{n})

Aufgabe 2. Für x ∈ ℝ_{+}^{×} und beliebiges y ∈ ]0, \frac{2}{x}[ sei eine Folge (a_{n})_{n∈ℕ} rekursiv definiert durch a_{0} = y und a_{n+1} = 2a_{n} − xa_{n}^{2}.

(a) Zeigen Sie: a_{n} ∈ ]0, \frac{1}{x}] für alle n ∈ ℕ^{×}.

(b) Zeigen Sie: (a_{n})_{n∈ℕ^{×}} ist monoton wachsend.

(c) Begründen Sie, daß (a_{n})_{n∈ℕ} konvergiert und berechnen Sie lim_{n→∞} a_{n}.

Aufgabe 3. Beweisen Sie, daß für beliebiges a_{0} > 0 die durch a_{n+1} := \sqrt{2 + a_{n}} rekursiv definierte Folge konvergiert, und berechnen Sie ihren Grenzwert. Hinweis: Zeigen Sie, daß 2 eine Schranke ist mit der Methode aus Aufgabe 1.

Aufgabe 4. (Beweis von lim_{n→∞}(1 + \frac{p}{qn})^{n} = e^{\frac{p}{q}} = \sqrt[q]{e^{p}} für p, q ∈ ℤ, q ≠ 0) Zeigen Sie schrittweise:

(a) Die Folge ((1 + \frac{r}{n})^{n})_{n∈ℕ^{×}, n>−r} ist für alle r ∈ ℝ^{×} monoton wachsend.

(b) Für p, q ∈ ℕ^{×} sind ((1 + \frac{p}{qn})^{n})_{n∈ℕ^{×}} und ((1 − \frac{p}{qn})^{n})_{n∈ℕ^{×}, qn>p} beschränkt.

(c) lim_{n→∞}(1 + \frac{p}{qn})^{n} = \sqrt[q]{e^{p}} für p, q ∈ ℕ^{×}. Hinweis: Teilfolgen

(d) lim_{n→∞}(1 − \frac{p}{qn})^{n} = \frac{1}{\sqrt[q]{e^{p}}} für p, q ∈ ℕ^{×}.