Prof. Dr. R. Wulkenhaar WS 13/14

Übungen zu Mathematik für Physiker I

Abgabe: Donnerstag, 5.12.2013 bis 10h00 in den Briefkästen Blatt 7

Aufgabe 1. Begründen Sie, weshalb folgende Reihen konvergieren bzw. divergieren:

(a) ∑_{n=1}^{∞} \frac{2^{n}(n + 10)!}{n^{n}}  (b) ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{\sqrt[n]{2} · \sqrt{n^{2} + n}}
(c) ∑_{n=1}^{∞} \frac{\sqrt{n + 10} · (−n)^{n}}{(n + 1)^{n+1}}  (d) ∑_{n=1}^{∞} (\frac{n}{n + 1})^{n^{2}}

Aufgabe 2. Berechnen Sie:

(a) ∑_{n=1}^{∞} \frac{x^{n}}{(\sqrt{1 + x^{2}})^{n}} ,  x ∈ ℝ  (Vorsicht: die Reihe beginnt mit 1)

(b) ∑_{n=k}^{∞} (1 − \frac{1}{k})^{n} , k ∈ ℕ^{×}

(c) Realteil, Imaginärteil und Betrag von z = ∑_{n=0}^{∞} (\frac{3 − 4i}{7})^{n}

(d) die rationale Zahl \frac{p}{q}, mit p, q ∈ ℕ^{×} teilerfremd, welche dem periodischen Dezimal-

bruch 0, \overline{615384} entspricht. Hinweis: 999999 = 3^{3} · 7 · 11 · 13 · 37 Aufgabe 3. (a) Es sei (a_{n})_{n∈ℕ} eine monoton fallende Nullfolge. Beweisen Sie folgendes

Verdichtungskriterium: ∑_{n=1}^{∞} a_{n} konvergiert genau dann, wenn ∑_{n=0}^{∞} 2^{n}a_{2^{n}} konvergiert.

(b) Beweisen Sie mittels (a), daß ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{s}}, mit s ∈ ℚ, genau für s > 1 konvergiert und

für s ≤ 1 divergiert. Aufgabe 4. (a) Seien a_{n}, b_{n} ∈ ℂ. Beweisen Sie:

Falls ∑_{n=0}^{∞} |a_{n}|^{2} und ∑_{n=0}^{∞} |b_{n}|^{2} konvergieren, so konvergiert auch ∑_{n=0}^{∞} a_{n}b_{n}.

(b) Berechnen Sie folgende Reihen durch geschicktes Ergänzen zur Reihe ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{2}} =

ζ(2) = \frac{π^{2}}{6} :

∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{(2n + 1)^{2}} ,  ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{n^{2}}