Prof. Dr. R. Wulkenhaar WS 13/14

Übungen zu Mathematik für Physiker I

Abgabe: Donnerstag, 12.12.2013 bis 10h00 in den Briefkästen Blatt 8

Aufgabe 1. (a) Das Polynom f(z) = z^{4} − z^{3} − 11z^{2} − 35z − 50 hat die Nullstellen z_{1} = −2 und z_{2} = 5. Bestimmen Sie die beiden anderen Nullstellen z_{3}, z_{4} ∈ ℂ.

(b) Es sei f(x) = x^{5} + x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1 und g(x) = x^{2} − 2x + 3. Bestimmen Sie die durch f(x) = q(x)g(x) + r(x) definierten Polynome q, r mit deg(r) ≤ 1.

Aufgabe 2. Berechnen Sie folgende Reihen:

(a)  ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n(n + 2)}  (b)  ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n(n + 1)(n + 2)}

(c)  ∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{4n^{2} + 8n + 3}  (d)  ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{2}(n + 3)}

Aufgabe 3. Bestimmen Sie die Konvergenzradien folgender Potenzreihen:

(a) A(z) = ∑_{n=0}^{∞} n!z^{n}  (b) B(z) = ∑_{n=0}^{∞} (\frac{n + 1}{n})^{n^{2}}(−z)^{n}

(c) C(z) = ∑_{n=0}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{n!(n + k)!}(\frac{z}{2})^{2n+k} , k ∈ ℕ  (d) D(z) = ∑_{n=0}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{(n + 1)}z^{n}

Aufgabe 4. Es sei f(z) = ∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{(2n!)}z^{2n}. Beweisen Sie:

(a) Der Konvergenzradius von f ist ∞.

(b) Für alle z ∈ ℂ gilt 2f(z) · f(z) = f(2z) + 1.

Hinweis: Ergänzen Sie den in der Doppelsumme entstehenden Ausdruck zu ∑_{k=0}^{n} \binom{2n}{2k} und berechnen Sie diese Summe der Binomialkoeffizienten als Funktion von n.