Prof. Dr. R. Wulkenhaar WS 13/14

Übungen zu Mathematik für Physiker I

Abgabe: Donnerstag, 16.01.2014 bis 10h00 in den Briefkästen Blatt 10

Aufgabe 1. Bestimmen Sie zu ϵ = \frac{1}{2014} ein δ > 0 (mit Begründung!), so daß

(a) |\frac{1}{x^{2} − 3x + 3} − 1| < ϵ für alle x ∈ ℝ mit |x − 2| < δ

(b) f(K_{δ}((0, 0))) ⊆ K_{ϵ}(f((0, 0))) für f : ℝ^{2} → ℝ gegeben durch

f((x, y)) = \{ \begin{matrix}\frac{xy^{2}}{x^{2}+y^{2}} & für (x, y) ≠ (0, 0) \\ 0 & sonst \end{matrix}

Aufgabe 2. (a) Zeigen Sie: Es gibt ein x ∈ [0, 1] mit exp(−x) = \frac{x}{1 + x^{2}} .

(b) Es sei f : [0, 1] → ℝ eine stetige Funktion mit f(0) = f(1).

Zeigen Sie: Es gibt ein ζ ∈ [0, \frac{1}{2}] mit f(ζ) = f(ζ + \frac{1}{2}). Aufgabe 3. Überprüfen Sie, ob folgende Funktionsgrenzwerte existieren, und bestimmen Sie diese gegebenenfalls:

(a) lim_{x→1} \frac{x^{p} − 1}{x^{q} − 1} , p, q ∈ ℕ^{×}

(b) lim_{x→4} \frac{\sqrt{x + 5} − 3}{x − 4}
(c) lim_{x→0} \frac{exp ((1 + x)^{3}) − exp(1 + 3x)}{x^{2}}
(d) lim_{x→−1} \frac{1}{x + 1} (\frac{3}{x^{2} + 5} + \frac{x}{x^{2} + 1})

Aufgabe 4. (a) Es sei a ∈ ℝ_{+}^{×}\{1}. Zeigen Sie: Die durch f(x) = a^{x} definierte Funktion f : ℝ → ℝ_{+}^{×} besitzt eine stetige Umkehrfunktion f^{−1} : ℝ_{+}^{×} → ℝ. Diese sei mit f^{−1}(y) =: log_{a} y bezeichnet. Zeigen Sie: log_{a} y = \frac{ln y}{ln a}.

(b) Beweisen Sie: Für alle x ∈ ]−1, 1[ gilt ln \frac{1 + x}{1 − x} = ∑_{k=0}^{∞} \frac{2x^{2k+1}}{2k + 1} .

(c) Zeigen Sie:

ln 2 = ∑_{k=0}^{∞} \frac{2}{3(2k + 1)9^{k}} ,  ln 3 = ∑_{k=0}^{∞} (\frac{2}{3(2k + 1)9^{k}} + \frac{2}{5(2k + 1)25^{k}} ) ,
ln 5 = ∑_{k=0}^{∞} (\frac{4}{3(2k + 1)9^{k}} + \frac{2}{9(2k + 1)81^{k}} ) .