Prof. Dr. R. Wulkenhaar WS 13/14

Übungen zu Mathematik für Physiker I

Abgabe: Donnerstag, 23.01.2014 bis 10h00 in den Briefkästen Blatt 11

Aufgabe 1. Zeigen Sie: Für alle φ ∈ [0, π], z ∈ ℝ, t ∈ ]−1, 1[ und x, y ∈ ℝ mit xy < 1 gilt

(a)  sin \frac{φ}{2} = \sqrt{\frac{1 − cos φ}{2}} ,  cos \frac{φ}{2} = \sqrt{\frac{1 + cos φ}{2}} ,
(b)  arsinh z = ln (z + \sqrt{1 + z^{2}}) ,  artanh t = \frac{1}{2} ln \frac{1 + t}{1 − t} ,
(c)  arctan x + arctan y = arctan (\frac{x + y}{1 − xy} ) .

(d) Zeigen Sie: 4 arctan \frac{1}{5} = arctan \frac{120}{119} = \frac{π}{4} + arctan \frac{1}{239}.

Aufgabe 2. (a) Zeigen Sie: Für x, y ∈ ℝ mit y ∉ 2πℤ sowie n ∈ ℕ gilt

∑_{k=0}^{n−1} sin(x + ky) = sin (x + \frac{n − 1}{2}y)\begin{matrix}sin & \frac{ny}{2} \\ sin & \frac{y}{2} \end{matrix} .

(b) Schlußfolgern Sie durch geeignete Wahl von x, y:

∑_{k=1}^{n−1} sin \frac{πk}{n} = cot \frac{π}{2n} ,  n ∈ ℕ^{×} ,

∑_{k=1}^{n} sin((2k − 1)x) = \frac{sin^{2}(nx)}{sin x} ,  x ∉ πℤ ,

∑_{k=0}^{n} cos(kx) = \frac{sin((n + 1)\frac{x}{2})}{sin \frac{x}{2}} cos(n\frac{x}{2}) ,  x ∉ 2πℤ .

Aufgabe 3. Für jedes n ∈ ℕ existieren Tschebyschew-Polynome T_{n} und U_{n} vom Grad n, so daß für alle x ∈ ℝ gilt

cos(nx) = T_{n}(cos x) , sin(nx) = sin x · U_{n−1}(cos x) .

(a) Zeigen Sie: Für n ≥ 1 gelten die Rekursionsformeln

T_{n+1}(y) = 2yT_{n}(y) − T_{n−1}(y) ,  T_{0}(y) = 1 , T_{1}(y) = y ,
U_{n+1}(y) = 2yU_{n}(y) − U_{n−1}(y) ,  U_{0}(y) = 1 , U_{1}(y) = 2y .

(b) Geben Sie sin(4x) und cos(4x) in dieser Form an. b.w.

Aufgabe 4. (a) Formulieren Sie einen Beweis von Lemma 15.15 der Vorlesung mittels Methoden für stetige Abbildungen, d.h. Für eine beliebige Norm ∥ ∥ auf ℝ^{n} gibt es ein a ∈ S^{n−1} mit ∥a∥ = inf_{y∈S^{n−1}} ∥y∥. Dabei ist S^{n−1} := {y ∈ ℝ^{n} : ∥y∥_{2} = 1}.

(b) Es seien a, b ∈ ℝ mit a < b. Eine Funktion f : [a, b] → ℝ nehme jeden ihrer Funktionswerte genau zweimal an. Zeigen Sie: f ist nicht stetig. Hinweis: Es werden Extremwertsatz und Zwischenwertsatz benötigt.