Prof. Dr. R. Wulkenhaar WS 15/16 PD Dr. T. Timmermann

Übungen zur Mathematik für Physiker I

Abgabe bis Donnerstag, den 12.11.2015, 10 Uhr in den Briefkästen Blatt 3

Aufgabe 1. Bestimmen Sie Real- und Imaginärteil sowie Betrag von

(a) \frac{1}{1 − i},  (b) \frac{2 + i}{3 − 4i},  (c) (1 + i)^{n},  (d) (\frac{1 − i}{1 + i})^{n} .

(Hinweis: Gegebenenfalls sind Polarkoordinaten nützlich.)

Aufgabe 2. Die Normalform einer kubischen Gleichung ist z^{3} +pz +q = 0 mit p, q ∈ ℝ.

(a) Rechnen Sie nach, dass für D := (\frac{q}{2})^{2} + (\frac{p}{3})^{3} > 0 die Lösungen dieser kubischen Gleichung gegeben sind durch die Cardanischen Formeln

z_{1} = u + v ,  z_{2} = ( − \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2})u + ( − \frac{1}{2} − i\frac{\sqrt{3}}{2})v,
z_{3} = ( − \frac{1}{2} − i\frac{\sqrt{3}}{2})u + ( − \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2})v

mit

u = \sqrt[3]{−\frac{q}{2} + \sqrt{D}} ,  v = \sqrt[3]{−\frac{q}{2} − \sqrt{D}} .

Dabei ist \sqrt[3]{a} = −\sqrt[3]{−a} für a < 0.

(b) Bestimmen Sie die Lösungen von z^{3} + 6z + 2 = 0.

Aufgabe 3. Skizzieren Sie die folgenden Mengen:

(a) {z ∈ ℂ : |z − 1| ≤ |iz − 1|},  (b) {z ∈ ℂ : 0 < |z − 1 − i| ≤ 1}.

Aufgabe 4. Wir betrachten die auf der Rückseite beschriebene Konstruktion des regelmäßigen Fünfecks mit Zirkel und Lineal. Zeigen Sie:

(a) Die Länge h := |0H| ist das Inverse des goldenen Schnittes, also h = \frac{\sqrt{5}−1}{2}.

(b) Die Koordinaten z_{n} = x_{n} + iy_{n} der Eckpunkte A_{n}, mit n = 1, 2, 3, 4, sind gegeben durch

z_{1} = \overline{z_{4}} = \frac{h}{2} + \frac{i}{2}\sqrt{3 + h} , z_{2} = \overline{z_{3}} = −\frac{1 + h}{2} + \frac{i}{2}\sqrt{2 − h} .

(Hinweis: Für das Inverse des goldenen Schnittes gilt h^{2} = 1 − h.)

(c) (Zusatzaufgabe, 2 Zusatzpunkte) Es gilt z_{1}^{n} = z_{n} für n = 2, 3, 4 und z_{1}^{5} = 1. (Hinweis: Es genügt, z_{1}^{2} = z_{2}, z_{2}^{2} = z_{4}, z_{1}z_{4} = 1 zu zeigen — warum?)

Konstruktion des regelmäßigen Fünfecks mit Zirkel und Lineal

1. Konstruiere in der Gaußschen Zahlenebene den Einheitskreis S mit Mittelpunkt 0 und Radius 1. Die Schnittpunkte des Kreises mit der x-Achse seien A = 1 ∈ ℂ und B = −1 ∈ ℂ.

2. Konstruiere das Lot L auf \overline{AB} durch 0 (y-Achse). Sei D einer der Schnittpunkte mit dem Einheitskreis S. Konstruiere den Mittelpunkt G von \overline{0D}.

3. Zeichne um G einen Kreisbogen mit Radius |\overline{GB}|. Der Schnittpunkt des Kreisbogens mit L(= y-Achse), welcher innerhalb S liegt, sei H.

4. Zeichne um B einen Kreisbogen mit Radius |\overline{0H}|. Die beiden Schnittpunkte mit S seien A_{2} und A_{3}.

5. Zeichne um A einen Kreisbogen mit Radius |\overline{A_{2}A_{3}}|. Die beiden Schnittpunkte mit S seien A_{1} und A_{4}, wobei A_{1}, A_{2} auf der gleichen Seite von \overline{AB} liegen.

Dann sind (A, A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}) die Eckpunkte eines regelmäßigen Fünfecks.

A_{2} A_{3}  0 B  A A_{1} A_{4} D G H