Prof. Dr. R. Wulkenhaar WS 15/16 PD Dr. T. Timmermann

Übungen zur Mathematik für Physiker I

Abgabe bis Donnerstag, den 19.11.2015, 10 Uhr in den Briefkästen Blatt 4

Aufgabe 1. Wir betrachten das folgende lineare Gleichungssystem:

ax + by = e,  cx + dy = f.  (1)

(a) Zeigen Sie, daß (1) im Fall ad ≠ bc die folgende eindeutige Lösung besitzt:

x = \frac{ed − bf}{ad − bc} ,  y = \frac{af − ce}{ad − bc}.

(b) Sei ad = bc. Welche Bedingung muss zusätzlich erfüllt sein, damit für jedes x genau ein y existiert, für welches (x, y) das System (1) löst?

(c) Finden Sie die Lösungen der folgenden Gleichungssysteme (ggf. in der Form (x, y(x))):

(i)  \begin{aligned}2x + 5y & = 8, \\ 3x − 2y & = −7, \end{aligned}  (ii)  \begin{aligned}x − 3y & = 4, \\ −2x + 6y & = 8. \end{aligned}

Aufgabe 2. Seien a, b ∈ ℝ und

u_{1} = (\begin{matrix}1 \\ −1 \\ 2 \\ a \end{matrix}) , u_{2} = (\begin{matrix}2 \\ 1 \\ a \\ 1 \end{matrix}) , u_{3} = (\begin{matrix}−1 \\ −2 \\ 1 \\ a \end{matrix}) , u_{4} = (\begin{matrix}3 \\ 0 \\ 4 − a \\ 1 \end{matrix}) , v = (\begin{matrix}2 \\ 1 \\ 1 \\ b \end{matrix}) .

(a) Für welche Werte von a sind die Vektoren u_{1}, …, u_{4} linear unabhängig?

(b) Für welche (möglicherweise unendlich vielen) Werte von a und b gilt v ∈ span(u_{1}, …, u_{4})?

Aufgabe 3. Lösen Sie die folgenden linearen Gleichungssysteme:

(a)  \begin{aligned}x + 2y − 4z & = −4, \\ 5x + 11y − 21z & = −22, \\ 3x − 2y + 3z & = 11, \end{aligned}  (b)  \begin{aligned}(1 + i)x + y & = 3, \\ (2 − i)x + iy & = 1 − i. \end{aligned}

Aufgabe 4. Welche der folgenden Mengen von Vektoren aus dem ℝ^{3} ist linear unabhängig? Ein Erzeugendensystem? Eine Basis? Warum?

(a) \{(\begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) , (\begin{matrix}2 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})\} ,  (b) \{(\begin{matrix}1 \\ 0 \\ 4 \end{matrix}) , (\begin{matrix}2 \\ 0 \\ 8 \end{matrix}) , (\begin{matrix}1 \\ 0 \\ 8 \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})\} .