Prof. Dr. R. Wulkenhaar WS 15/16 PD Dr. T. Timmermann

Übungen zur Mathematik für Physiker I

Abgabe bis Donnerstag, den 26.11.2015, 10 Uhr in den Briefkästen Blatt 5

Aufgabe 1. (a) Welche der folgenden Teilmengen V_{1}, …, V_{4} des ℝ^{3} ist ein Untervektorraum?

V_{1} := {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : |x| ≤ 1, |y| ≤ 1} , V_{2} := {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : x + yz = 0} ,
V_{3} := {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : x + y − z = 5} , V_{4} := {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : x + 3y − z = 0} .

(b) Geben Sie ein Beispiel für 3 Untervektorräume U_{1}, U_{2}, U_{3} des ℝ^{3} an mit

U_{1} ∩ U_{2} = U_{1} ∩ U_{3} = U_{2} ∩ U_{3} = {0},  (U_{1} + U_{2}) ∩ U_{3} = U_{3}.

Aufgabe 2. (a) Seien V, W ⊆ ℝ^{6} zwei verschiedene 4-dimensionale Untervektorräume. Welche Werte kann dann dim(V ∩ W) annehmen?

(b) Sei U = span_{ℝ}(u_{1}, u_{2}) ⊂ ℝ^{3} und V = span_{ℝ}(v_{1}, v_{2}) ⊂ ℝ^{3} mit

u_{1} = (\begin{matrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) ,  u_{2} = (\begin{matrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}) ,  v_{1} = (\begin{matrix}1 \\ 2 \\ 2 \end{matrix}) ,  v_{2} = (\begin{matrix}2 \\ 3 \\ 2 \end{matrix}) .

Bestimmen Sie dim(U ∩ V). (Hinweis: Was sind dim(U), dim(V), dim(U + V)?)

Aufgabe 3. Die Tschebyscheff-Polynome T_{n} und die Hermite-Polynome H_{n} sind bestimmt durch die Rekursionsgleichungen

T_{0}(x) = 1,  T_{1}(x) = x  und  T_{n+1}(x) = 2xT_{n}(x) − T_{n−1}(x),
H_{0}(x) = 1,  H_{1}(x) = 2x  und  H_{n+1}(x) = 2xH_{n}(x) − 2nH_{n−1}(x)

für alle n ≥ 1. Bezeichne P_{n}[x] den ℂ-Vektorraum aller Polynome in x vom Grad kleiner oder gleich n mit komplexen Koeffizienten.

(a) Zeigen Sie, daß für jedes N ∈ ℕ die Polynome (T_{0}, …, T_{N}) und die Polynome (H_{0}, …, H_{N}) jeweils eine Basis von P_{N}[x] bilden.

(b) Bestimmen Sie die Koeffizienten des Polynoms H_{3} bezüglich der Basis (T_{0}, …, T_{3}) von P_{3} und die Koeffizienten des Polynoms T_{3} bezüglich der Basis (H_{0}, …, H_{3}).

Aufgabe 4. Führen Sie folgende Polynomdivisionen durch (gegebenenfalls mit Rest):

(a) \frac{x^{4} + 3x^{3} − 4x^{2} + x}{x + 4},  (b) \frac{2x^{4} − 17x^{3} + 26x^{2} − 13x + 2}{2x^{2} − 3x + 1}.