Prof. Dr. R. Wulkenhaar WS 15/16 PD Dr. T. Timmermann

Übungen zur Mathematik für Physiker I

Abgabe bis Donnerstag, den 03.12.2015, 10 Uhr in den Briefkästen Blatt 6

Aufgabe 1. (a) Bestimmen Sie die Partialbruchzerlegung von \frac{z + 2}{(z − 3)(z − 5)}, also

A, B ∈ ℂ mit \frac{z + 2}{(z − 3)(z − 5)} = \frac{A}{z − 3} + \frac{B}{z − 5}.

(b) Bestimmen Sie die Partialbruchzerlegung von \frac{1}{(z − 2i)^{2}(z + 3i)}.

Aufgabe 2. Prüfen Sie die Konvergenz folgender Folgen und bestimmen Sie gegebenenfalls den jeweiligen Grenzwert:

x_{n} = \frac{n + 1}{n^{3} + 5}, y_{n} = \frac{2n}{2^{n}}, z_{n} = \sqrt{n + 1} − \sqrt{n}, w_{n} = n(\sqrt{n^{2} + 4} − n),

(Hinweis: Erweitern Sie z_{n} mit \sqrt{n + 1} + \sqrt{n}, analog für w_{n}.)

Aufgabe 3. Die Folge (x_{n})_{n} sei rekursiv definiert durch

x_{0} := 2,  x_{n+1} := \frac{15 − 12x_{n} + 4x_{n}^{2}}{4} für alle n ∈ ℕ.

Zeigen Sie: Es gilt (a) \frac{3}{2} ≤ x_{n+1} ≤ x_{n} für alle n ∈ ℕ und (b) lim_{n→∞} x_{n} = \frac{3}{2}.

(Hinweis zu (b): Welche Gleichung muß der Grenzwert erfüllen?)

Aufgabe 4. Zeigen Sie, daß die Folge der endlichen Kettenbrüche

x_{n} := \underbrace{\frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{... 1 + \frac{1}{1}}}}}_{n Bruchstriche}

gegen den goldenen Schnitt Φ := \frac{1+\sqrt{5}}{2} konvergiert, indem Sie die Gleichungen x_{n+1} = 1 + \frac{1}{x_{n}} und Φ = 1 + \frac{1}{Φ} verwenden und induktiv |x_{n+1} − Φ| ≤ Φ^{−(n+2)} zeigen.