Prof. Dr. R. Wulkenhaar WS 15/16 PD Dr. T. Timmermann

Übungen zur Mathematik für Physiker I

Abgabe bis Donnerstag, den 17.12.2015, 10 Uhr in den Briefkästen Blatt 8

Aufgabe 1. Berechnen Sie folgende Reihen:

(a)  ∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{4n^{2} + 8n + 3}  (b)  ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{2}(n + 2)}

(c)  ∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{(2n + 1)^{2}}  (d)  ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{n^{2}}

Hinweis: In (c)+(d) führt Ergänzen zur Reihe ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{2}} = ζ(2) = \frac{π^{2}}{6} zum Ziel.

Aufgabe 2. Bestimmen Sie die Konvergenzradien der folgenden Potenzreihen:

(a) A(z) = ∑_{n=0}^{∞} (\frac{n + 1}{n})^{n^{2}}z^{n} (b) B(z) = ∑_{n=0}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{n! (n + k)!}(\frac{z}{2})^{2n+k} , k ∈ ℕ

(c) C(z) = ∑_{n=0}^{∞} \frac{(−1)^{n}z^{2n+1}}{2n + 1}  (d) D(z) = ∑_{n=0}^{∞} \frac{(−1)^{n}\sqrt{n!}}{2^{n}}z^{n}

Aufgabe 3. (a) Es sei (a_{n})_{n∈ℕ} eine monoton fallende Nullfolge. Beweisen Sie folgendes

Verdichtungskriterium: ∑_{n=1}^{∞} a_{n} konvergiert genau dann, wenn ∑_{n=0}^{∞} 2^{n}a_{2^{n}} konvergiert.

(b) Beweisen Sie mittels (b) die bereits bekannte Eigenschaft, daß ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{s}}, mit s ∈ ℚ,

genau für s > 1 konvergiert und für s ≤ 1 divergiert.

Aufgabe 4. Es sei f(z) = ∑_{n=0}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{(2n)!} z^{2n}. Beweisen Sie:

(a) Der Konvergenzradius von f ist ∞.

(b) Für alle z ∈ ℂ gilt 2f(z) · f(z) = 1 + f(2z).

Hinweis: Ergänzen Sie den in der Doppelsumme entstehenden Ausdruck zu ∑_{k=0}^{n} \binom{2n}{2k} und berechnen Sie diese Summe der Binomialkoeffizienten als Funktion von n.