Prof. Dr. R. Wulkenhaar WS 15/16 PD Dr. T. Timmermann

Übungen zur Mathematik für Physiker I

Abgabe bis Donnerstag, den 14.01.2016, 10 Uhr in den Briefkästen Blatt 9

Aufgabe 1. Bezeichne ⟨ , ⟩ das Standardskalarprodukt auf ℝ^{2}, so daß die Länge eines Vektors x ∈ ℝ^{2} gerade ∥x∥_{2} = \sqrt{⟨x, x⟩} ist. Wir betrachten ein Parallelogramm mit den (paarweise verschiedenen) Eckpunkten 0, a, b, a + b ∈ ℝ^{2}. Zeigen Sie:

(a) Das Parallelolgramm ist genau dann ein Rechteck (also ⟨a, b⟩ = 0), wenn seine Diagonalen gleich lang sind.

(b) Das Parallelogramm ist genau dann ein Rhombus (d.h. alle vier Seiten sind gleich lang), wenn seine Diagonalen senkrecht aufeinander stehen (also ⟨a + b, a − b⟩ = 0).

Wir betrachten nun ein ebenes Viereck mit den vier verschiedenen Eckpunkten a, b, c, d ∈ ℝ^{2} (im Uhrzeigersinn aufgelistet) und nehmen an, daß das Viereck ein Drachen ist, d.h. ∥a − b∥_{2} = ∥a − d∥_{2} und ∥c − b∥_{2} = ∥c − d∥_{2}.

(c) Zeigen Sie, daß die Diagonalen senkrecht aufeinander stehen, also ⟨a − c, b − d⟩ = 0 gilt.

Aufgabe 2. (a) Sei ⟨ , ⟩ ein \underline{beliebiges} Skalarprodukt auf ℝ^{2} und

A = (\begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix}) := (\begin{matrix}⟨e_{1}, e_{1}⟩ & ⟨e_{1}, e_{2}⟩ \\ ⟨e_{2}, e_{1}⟩ & ⟨e_{2}, e_{2}⟩ \end{matrix}) , wobei e_{1} = (\begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix}) , e_{2} = (\begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix}) .

Zeigen Sie, daß a > 0, b = c und ad − bc > 0.

Hinweis: Berechnen Sie zum Beweis der letzten Ungleichung ⟨w, w⟩ für w = (\begin{matrix}−b \\ a \end{matrix}).

(b) Seien a, b, d ∈ ℝ mit a > 0 und ad − b^{2} > 0 und sei ⟨ , ⟩: ℝ^{2} × ℝ^{2} → ℝ definiert durch ⟨x, y⟩ := x_{1}ay_{1} + x_{1}by_{2} + x_{2}by_{1} + x_{2}dy_{2}. Zeigen Sie, daß dann mit w = (−b, a) für alle λ, μ ∈ ℝ gilt:

⟨λe_{1} + μw|λe_{1} + μw⟩ ≥ 0.

Folgern Sie, daß ⟨ , ⟩ ein Skalarprodukt ist.

(b.w.)

Aufgabe 3. (a) Zeigen Sie, daß durch

d(x, y) := \begin{cases}0, & x = y, \\ 1, & x ≠ y. \end{cases}

eine Metrik d auf ℝ^{2} definiert wird.

(b) Bestimmen Sie alle offenen und alle abgeschlossenen Teilmengen von (ℝ^{2}, d).

(c) Prüfen Sie, ob die Identität auf ℝ^{2} als Abbildung (ℝ^{2}, d) → (ℝ^{2}, d_{2}) oder als Abbildung (ℝ^{2}, d_{2}) → (ℝ^{2}, d) stetig ist, wobei d_{2} die euklidische Metrik (Beispiel 16.4 mit p = 2) bezeichne.

Aufgabe 4. Prüfen Sie, welche Mengen offen oder abgeschlossen sind: (a) {(x, y) ∈ ℝ^{2} : x ≥ 0, y > 0};

(b) {(x, y) ∈ ℝ^{2} : |y| < x^{2}};

(c) ⋂_{k=1}^{∞} U_{k}, falls jedes U_{k} offen ist; (d*) {(0, y) : −1 ≤ y ≤ 1} ∪ {(x, cos(1/x)) : 0 < x ≤ π}.

Bemerkung: Sie dürfen verwenden, daß cos : ℝ → ℝ stetig ist.