Prof. Dr. R. Wulkenhaar WS 15/16 PD Dr. T. Timmermann

Übungen zur Mathematik für Physiker I

Abgabe bis Donnerstag, den 21.01.2016, 10 Uhr in den Briefkästen Blatt 10

Aufgabe 1. Gegeben sind die Funktionen sgn, ⌊·⌋, zack: ℝ → ℝ,

(a) sgn(x) = \begin{cases}−1, & x < 0, \\ 0, & x = 0, \\ 1, & x > 0, \end{cases}  (b) ⌊x⌋ = max\{n ∈ ℤ : n ≤ x\}, (c) zack(x) = |⌊x + \frac{1}{2}⌋ − x| .

An welchen Stellen sind diese Funktionen jeweils stetig beziehungsweise unstetig? Begründen Sie Ihre Antwort.

Aufgabe 2. Bestimmen Sie folgende Funktionslimites:

(a) lim_{x→1} \frac{x^{3} − 1}{x − 1},  (b) lim_{x→∞} x (1 − \frac{x^{2}}{(1 + x)^{2}} ) ,  (c) lim_{x→1} \frac{\sqrt{x} − 1}{\sqrt{x − 1}}.

Aufgabe 3. Seien a, b ∈ ℝ mit a < b.

(a) Seien f, g: [a, b] → ℝ stetige Funktionen mit f(a) ≥ g(a) und f(b) ≤ g(b). Zeigen Sie, daß dann ein x ∈ [a, b] existiert mit f(x) = g(x).

(b) Sei f: [a, b] → [a, b] eine stetige Funktion. Zeigen Sie, daß dann ein x ∈ [a, b] existiert mit f(x) = x. Bemerkung: Solch ein x nennt man einen Fixpunkt von f.

Aufgabe 4. (a) Sei a ∈]0, 1[∪]1, ∞[. Zeigen Sie, daß die Abbildung f: ℝ →]0, ∞[, x ↦ a^{x}, eine Umkehrabbildung log_{a} := f^{−1} : ]0, ∞[→ ℝ besitzt, und daß log_{a} y = \frac{ln y}{ln a} für alle y ∈]0, ∞[.

(b) Geben Sie eine Reihenentwicklung der Funktion x ↦ ln \frac{1+x}{1−x} für x ∈ ]−1, 1[ an.

(c) Zeigen Sie unter Verwendung von (b):

ln 2 = ∑_{n=0}^{∞} \frac{2}{3(2n + 1)9^{n}} ,

ln 3 = ∑_{n=0}^{∞} (\frac{2}{3(2n + 1)9^{n}} + \frac{2}{5(2n + 1)25^{n}} ) ,

ln 5 = ∑_{n=0}^{∞} (\frac{4}{3(2n + 1)9^{n}} + \frac{2}{9(2n + 1)81^{n}} ) .