Prof. Dr. R. Wulkenhaar WS 15/16 PD Dr. T. Timmermann

Übungen zur Mathematik für Physiker I

Abgabe bis Donnerstag, den 28.01.2016, 10 Uhr in den Briefkästen Blatt 11

Aufgabe 1. Wir definieren zwei Folgen von Polynomen (T_{n})_{n} und (U_{n})_{n} rekursiv durch

T_{n+1}(y) = 2yT_{n}(y) − T_{n−1}(y),  T_{0}(y) = 1,  T_{1}(y) = y,
U_{n+1}(y) = 2yU_{n}(y) − U_{n−1}(y),  U_{0}(y) = 1,  U_{1}(y) = 2y.

für alle y ∈ ℝ. Zeigen Sie, daß dann für alle n ∈ ℕ und x ∈ ℝ gilt:

cos(nx) = T_{n}(cos x),  sin(nx) = sin x · U_{n−1}(cos x).

Aufgabe 2. Zeigen Sie:

(a) arsinhx = ln (x + \sqrt{1 + x^{2}}) für alle x ∈ ℝ.

(b) artanhz = \frac{1}{2} ln \frac{1+z}{1−z} für alle z ∈ ]−1, 1[.

(c) tan(α + β) = \frac{tan α+tan β}{1−tan α tan β} für alle α, β ∈ ℝ mit α, β, α + β ∉ (ℤ + \frac{1}{2})π.

(d) arctan x + arctan y = arctan (\frac{x+y}{1−xy}) für alle x, y ∈ ℝ mit xy > 1. Aufgabe 3. Berechnen Sie die Ableitungen f′(x) für

(a) f(x) = x^{(x^{2})}, x > 0,  (b) f(x) = arctan(\sqrt{1 + x^{2}}),
(c) f(x) = ln(2 + cos(2x)),  (d) f(x) = arcsin (\frac{x}{1 + x^{2}} ) .

Aufgabe 4. Berechnen Sie, falls existent, folgende Grenzwerte:

(a) lim_{x→0} x ln x, (b) lim_{x→1} \frac{x^{4} + 3x^{3} + 2x^{2} − 2x − 4}{sin(x^{2} − x)}, (c) lim_{x→0} \frac{x − sin x}{x(1 − cos x)}.