Prof. Dr. R. Wulkenhaar WS 15/16 PD Dr. T. Timmermann

Übungen zur Mathematik für Physiker I

Aufgaben zur Selbstkontrolle, keine Abgabe Blatt 15/16

Aufgabe 1. Die Fibonacci-Zahlen sind rekursiv definiert durch f_{0} := 0, f_{1} := 1 und f_{n} = f_{n−1} + f_{n−2} für n ∈ ℕ, n ≥ 2.

(a) Zeigen Sie erneut (Blatt 1, Aufgabe 3c) durch vollständige Induktion:

f_{n} = \frac{1}{\sqrt{5}}((\frac{1 + \sqrt{5}}{2})^{n} − (\frac{1 − \sqrt{5}}{2})^{n}) .

(b) Beweisen Sie durch vollständige Induktion: f_{n+1}f_{n−1} − f_{n}^{2} = (−1)^{n} für alle n ≥ 1.

(c) Für n ≥ 1 sei g_{n} := \frac{f_{n+1}}{f_{n}}. Geben Sie g_{1} und eine Rekursionsformel an, die g_{n+1}

durch g_{n} ausdrückt. Folgern Sie: \frac{3}{2} ≤ g_{n} ≤ 2 für alle n ≥ 2.

(d) Zeigen Sie unter Verwendung (b)+(c):

Es gibt Konstanten C, M ∈ ℝ mit M > 1, so daß |\frac{g_{n+1}}{g_{n}} − 1| ≤ \frac{C}{M^{n}} für alle n ≥ 1.

(e) Zeigen Sie mit (c)+(d): (g_{n})_{n∈ℕ^{×}} ist Cauchy-Folge.

Bemerkung: (g_{n})_{n∈ℕ^{×}} ist nicht monoton!

(f) Begründen Sie, daß (g_{n})_{n∈ℕ^{×}} konvergiert, und berechnen Sie den Grenzwert g = lim_{n→∞} g_{n}.

(g) Bestimmen Sie den Konvergenzradius R(P) der Potenzreihe P (z) = ∑_{n=0}^{∞} f_{n}z^{n}.

(h) Zeigen Sie: P (z) := ∑_{n=0}^{∞} f_{n}z^{n} = \frac{z}{1 − z − z^{2}} für |z| < R(P).

Hinweis: Berechnen Sie (1 − z − z^{2})P (z).

(i) Bestimmen Sie die Partialbruchzerlegung \frac{z}{1 − z − z^{2}} = \frac{A}{1 − az} + \frac{B}{1 − bz}, d.h. geben Sie a, b, A, B an.

(j) Schreiben Sie \frac{A}{1 − az} und \frac{B}{1 − bz} als geometrische Reihen und bestimmen Sie f_{n}

durch Koeffizientenvergleich. Vergleichen Sie mit (a).

(k) Schlußfolgern Sie aus P (z) = z ∑_{n=0}^{∞}(z + z^{2})^{n} für |z| < R(P) die Identität:

f_{n} = ∑_{k=0}^{n−1} \binom{n − k − 1}{k}.

Bemerkung: Es gilt \binom{m}{k} = 0 für k, m ∈ ℕ mit k > m.