Prof. Dr. R. Wulkenhaar WS 16/17 PD Dr. T. Timmermann

Übungen zur Mathematik für Physiker III

Abgabe bis Donnerstag, den 27.10.16, 12 Uhr in den Briefkästen Blatt 1

Aufgabe 1. Wir betrachten die Polarkoordinatentransformation

F : ℝ^{3} → ℝ^{3}, (r, θ, ϕ) ↦ (r sin θ cos ϕ, r sin θ sin ϕ, r cos θ).

(a) Geben Sie einen möglichst großen Bereich an, auf dem F injektiv ist.

(b) Geben Sie (explizit) eine Teilmenge K ⊆ ℝ^{3} an mit

F (K) = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : x^{2} + y^{2} + z^{2} ≤ 1, x^{2} + y^{2} ≤ z^{2}, x ≥ 0} .

(c) Berechnen Sie die Jacobi-Matrix (DF)(r, θ, ϕ).

(d) Berechnen Sie die Determinante det((DF)(r, θ, ϕ)).

Aufgabe 2. Seien g_{1} : ℝ^{3} ↦ ℝ^{3}, g_{2} : ℝ ↦ ℝ^{3} und f : ℝ^{3} ↦ ℝ definiert durch

g_{1}(u, v, w) := (v + w, u + w, u + v), g_{2}(t) := (cos^{2} t, sin^{2} t, t^{2}),
f(x, y, z) := z(x + y).

(a) Berechnen Sie die Jacobi-Matrizen Dg_{1}, Dg_{2} und Df.

(b) Berechnen Sie die D(f ∘ g_{1}) und D(f ∘ g_{2}) zunächst ohne Kettenregel.

(c) Prüfen Sie, daß D(f ∘ g_{1})(u, v, w) = (Df)(g_{1}(u, v, w)) ∘ (Dg_{1})(u, v, w) und D(f ∘ g_{2})(t) = (Df)(g_{2}(t)) ∘ (Dg_{2})(t).

Aufgabe 3. (a) Sei ⟨ , ⟩ ein Skalarprodukt auf ℝ^{n} und f: ℝ^{n} → ℝ definiert durch f(x) = ⟨x, x⟩. Berechnen Sie für alle x, y ∈ ℝ^{n} die Richtungsableitung (D_{y}f)(x), folgern Sie, daß f total differenzierbar ist, und bestimmen Sie die totale Ableitung (Df)(x) als lineare Abbildung. (Hinweis: Das Skalarprodukt ist nach Cauchy-Schwarz als Abbildung von ℝ^{n} × ℝ^{n} nach ℝ stetig.)

(b) Sei γ: ℝ → ℝ^{n} eine Kurve mit konstanter Geschwindigkeit, also ⟨γ′(t), γ′(t)⟩ konstant. Zeigen Sie, daß dann die Beschleunigung γ′′(t) stets senkrecht zum Impulsvektor γ′(t) steht.

Aufgabe 4. Seien A, B ∈ M(n × n, ℝ).

(a) Zeigen Sie: Schreiben wir die Funktion t ↦ det(A + tB) als Polynom t ↦ c_{0} + c_{1}t + ⋯ + c_{n}t^{n}, so ist c_{0} = det(A), c_{n} = det(B) und

c_{1} = ∑_{k=1}^{n} det(D_{k}),

wobei D_{k} die Matrix bezeichnet, die man aus A erhält, wenn man die k-te Spalte durch die k-te Spalte von B ersetzt. (Hinweis: Benutzen Sie die Multilinearität der Determinante bezüglich der Spalten. Versuchen Sie nicht unbedingt, die Lösung mit Formeln aufzuschreiben; eine saubere schriftliche Argumentation ist hier sinnvoller.)

(b) Folgern Sie, daß die Richtungsableitung (D_{B} det)(A) mit c_{1} übereinstimmt.

(c) Bezeichne E_{n} die Einheitsmatrix und Spur(B) die Summe der Diagonaleinträge von B. Folgern Sie, daß ((D det)(E_{n})) ∘ B = Spur(B).