Prof. Dr. R. Wulkenhaar WS 16/17 PD Dr. T. Timmermann

Übungen zur Mathematik für Physiker III

Abgabe bis Mittwoch, den 2.11.16, 12 Uhr in den Briefkästen Blatt 2

Aufgabe 1. Sei U := {(r, ϕ) ∈ ℝ^{2} : r > 0} und Q: U → ℝ^{2} die Polarkoordinaten-Transformation,

Q(r, ϕ) = (r cos ϕ, r sin ϕ).

Ferner sei f: ℝ^{2} → ℝ zweimal stetig differenzierbar und g = f ∘ Q. Zeigen Sie:

(a) Mit (x, y) = Q(r, ϕ) gilt

(∂_{1}f)(x, y) = cos ϕ · (∂_{1}g)(r, ϕ) − \frac{sin ϕ}{r} · (∂_{2}g)(r, ϕ),
(∂_{2}f)(x, y) = sin ϕ · (∂_{2}g)(r, ϕ) + \frac{cos ϕ}{r}(∂_{2}g)(r, ϕ).

[Hinweis: Berechnen Sie ((DQ)(r, ϕ))^{−1}.]

(b) Mit (x, y) = Q(r, ϕ) gilt (Δf)(r cos ϕ, r sin ϕ) = ∂_{r}^{2}g(r, ϕ) + \frac{1}{r}∂_{r}g(r, ϕ) + \frac{1}{r^{2}} ∂_{ϕ}^{2}g(r, ϕ). (Hinweis: Die Rechnung wird übersichtlicher, wenn Sie die Gleichungen aus (a) in folgender suggestiver Kurzform schreiben:

∂_{x} = cos ϕ · ∂_{r} − \frac{sin ϕ}{r} · ∂_{ϕ},  ∂_{y} = sin ϕ · ∂_{r} + \frac{cos ϕ}{r} · ∂_{ϕ}.

Beachten Sie dabei die Leibniz-Regel!)

Aufgabe 2. (a) Sei m ∈ ℝ und f: ℝ^{n} → ℝ differenzierbar und homogen vom Grad m in dem Sinne, daß f(tx) = t^{m}f(x) für alle x ∈ ℝ^{n} und t > 0. Zeigen Sie, daß dann ⟨x, (grad f)(x)⟩ = mf(x) für alle x ∈ ℝ^{n}.

(b) Sei y ∈ ℝ^{n} und g, h: ℝ^{n} → ℝ gegeben durch g(x) = cos(⟨y, x⟩) und h(x) = sin(⟨y, x⟩). Zeigen Sie, daß dann gilt:

grad g = −h · y, grad h = g · y, Δu + ∥y∥^{2}u = 0 für u = g und u = h.

Aufgabe 3. Die Rotation eines differenzierbaren Vektorfeldes v: U → ℝ^{3} auf einer offenen Teilmenge U ⊆ ℝ^{3} ist definiert als das Vektorfeld

rot v = (∂_{3}v_{2} − ∂_{2}v_{3}, ∂_{1}v_{3} − ∂_{3}v_{1}, ∂_{2}v_{1} − ∂_{1}v_{2}) : U → ℝ^{3}.

(a) Berechnen Sie rot v für v: ℝ^{3} → ℝ^{3}, x ↦ (e^{x_{1}+x_{2}}, sin(x_{2}x_{3}), x_{1} + x_{3}).

(b) Sei U ⊆ ℝ^{3} offen und seien f: U → ℝ und u, v: U → ℝ^{3} zweimal differenzierbar. Zeigen Sie, daß dann gilt:

rot grad f = 0,  rot(fu) = f rot u + (grad f) × u,
div rot u = 0,  div(u × v) = ⟨rot u, v⟩ − ⟨u, rot v⟩,

wobei x × y = (x_{2}y_{3} − x_{3}y_{2}, x_{3}y_{1} − x_{1}y_{3}, x_{1}y_{2} − x_{2}y_{1})^{t} für x, y ∈ ℝ^{3}.

(Bemerkung: Man schreibt auch suggestiv ∇ = (∂_{1}, ∂_{2}, ∂_{3}) als Vektor von Operatoren und erhält dann symbolisch ∇f = grad f, ⟨∇, f⟩ = div f, ∇ × v = rot v. Dann gilt zum Beispiel ∇ × (fu) = (∇f) × u + f(∇ × u).)

Aufgabe 4. Seien β ∈ ℕ^{n} ein Multi-Index, n, d ∈ ℕ und f, g: ℝ^{n} → ℝ gegeben durch

f(x_{1}, …, x_{n}) = (x_{1} + ⋯ + x_{n})^{d},  g(x_{1}, …, x_{n}) = x^{β}

für alle x ∈ ℝ^{n}. Ferner sei für jeden Multi-Index α ∈ ℕ^{n}

β − α := (β_{1} − α_{1}, …, β_{n} − α_{n}),  α ≤ β :⇔ α_{1} ≤ β_{1}, …, α_{n} ≤ β_{n}.

(a) Berechnen Sie für jeden Multi-Index α ∈ ℕ^{n} die partiellen Ableitungen (\frac{∂}{∂x})^{α}f und (\frac{∂}{∂x})^{α}g. Unterscheiden Sie dabei die Fälle |α| ≤ d und |α| > d sowie α ≤ β und α ≥ β.

(b) Beweisen Sie durch Entwicklung von f und g in Taylorreihen die Gleichungen

(x_{1} + ⋯ + x_{n})^{d} = ∑_{α∈ℕ^{n}, |α|=d} \frac{|α|!}{α!}x^{α}, (x + y)^{β} = ∑_{α∈ℕ^{n}, α≤β} \frac{β!}{α!(β − α)!}x^{α}y^{β−α}.