Prof. Dr. R. Wulkenhaar WS 16/17 PD Dr. T. Timmermann

Übungen zur Mathematik für Physiker III

Abgabe bis Mittwoch, den 9.11., 12 Uhr in den Briefkästen Blatt 3

Aufgabe 1. Bestimmen Sie die Taylorreihe der Funktion

f: ℝ^{3} → ℝ, (x, y, z) ↦ xy + yz + zx,

an der Stelle (1, 1, 0), indem Sie

(a) die erforderlichen partiellen Ableitungen berechnen,

(b) f als Polynom in den Variablen x̃ = x − 1, ỹ = y − 1 und z̃ = z umschreiben. Aufgabe 2. Bestimmen Sie die kritischen Punkte der Funktion

f: ℝ^{2} → ℝ, (x, y) ↦ 6xy − 3y^{2} − 2x^{3},

und prüfen Sie, an welchen dieser Punkte die Funktion ein lokales Extremum annimmt. Aufgabe 3. Der (orientierte) Flächeninhalt eines dem Einheitskreis einbeschriebenen Dreiecks mit den Ecken (−1, 0), (cos α, sin α) und (cos β, sin β) ist gegeben durch

A(α, β) = \frac{1}{2} det (\begin{matrix}cos α + 1 & sin α \\ cos β + 1 & sin β \end{matrix}) .

Bestimmen Sie die lokalen Extrema von A in ]−π, π[ ×]−π, π[. Aufgabe 4. Sei F: ℝ^{3} → ℝ^{2} gegeben durch

F (x, y_{1}, y_{2}) = (\begin{matrix}y_{1} + x − e^{y_{1}+2y_{2}} + e^{y_{1}+y_{2}+x} \\ y_{1} + y_{2} + x + \frac{1}{2} sin(y_{1} + y_{2} + x) \end{matrix}) .

(a) Zeigen Sie, daß das Gleichungssystem F (x, y_{1}, y_{2}) = 0 in einer Umgebung des Ursprungs (0, 0, 0) ∈ ℝ^{3} nach y_{1} und y_{2} aufgelöst werden kann.

(b) Bestimmen Sie das maximale Intervall für x, auf dem die Auflösung in (a) möglich ist.

(c) Bestimmen Sie den Tangentialvektor der Lösungskurve aus (a) an der Stelle x = 0.