Prof. Dr. R. Wulkenhaar WS 16/17 PD Dr. T. Timmermann

Übungen zur Mathematik für Physiker III

Abgabe: Bis Mittwoch, den 7.12.2016, 10 Uhr, in den Briefkästen Blatt 7

Aufgabe 1. Lösen Sie das Anfangswertproblem

y′′(t) − t · y(t) = 0,  y(0) = 1,  y′(0) = 0

mit dem Iterationsverfahren von Picard-Lindelöf. Gehen Sie wie folgt vor:

(a) Geben Sie die Folge \{\binom{y_{n}}{y′_{n}}\}_{n∈ℕ} an, die in einem Intervall [−ϵ, ϵ] gegen die Lösung konvergiert.

(b) Ermitteln Sie genügend viele (n ≤ 4 oder n ≤ 5 sollte reichen) Approximationen, so daß Sie die Lösungsreihe y(t) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}t^{n} erraten können. Auf den Induktionsbeweis kann verzichtet werden.

(c) Verwenden Sie 2 · 5 ⋯ (3n − 1) = 3^{n}(1 − \frac{1}{3})(2 − \frac{1}{3}) ⋯ (n − \frac{1}{3}) = 3^{n} \frac{Γ(n+ \frac{2}{3} )}{Γ( \frac{2}{3} )}, um die Lösung für t > 0 auszudrücken in der Form y(t) = f(t) I_{p}(g(t)) mit geeigneten Funktionen f, g und p ∈ ℝ, wobei I_{p}(r) := \frac{r^{p}}{2^{p}} ∑_{n=0}^{∞} \frac{r^{2n}}{4^{n}·n!·Γ(p+n+1)} die modifizierte Bessel-Funktion ist.

Aufgabe 2. Sei A(t) := (\begin{matrix}2 & t \\ 0 & 0 \end{matrix}) und b(t) := (\begin{matrix}0 \\ e^{2t} \end{matrix}).

(a) Bestimmen Sie ein Lösungs-Fundamentalsystem der DGL x′(t) = A(t)x(t).

(b) Lösen Sie das Anfangswertproblem x′(t) = A(t)x(t) + b(t) mit x(0) = (\begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix}).

Aufgabe 3. Für stetige Funktionen a_{ij} : I → ℝ sei folgendes System von Differentialgleichungen gegeben:

\binom{x_{1}}{x_{2}}′(t) = (\begin{matrix}a_{11}(t) & a_{12}(t) \\ a_{21}(t) & a_{22}(t) \end{matrix}) \binom{x_{1}(t)}{x_{2}(t)} ,  t ∈ I ⊂ ℝ  (1)

Eine Lösung \binom{y_{1}(t)}{y_{2}(t)} von (1) sei bekannt, und es gelte y_{1}(t) ≠ 0 für alle t ∈ I. Um eine weitere Lösung x von (1) zu finden, wähle man eine skalare nichtkonstante Funktion ϕ : I → ℝ und setze \binom{x_{1}(t)}{x_{2}(t)} = ϕ(t) · \binom{y_{1}(t)}{y_{2}(t)} + z(t) mit z = \binom{0}{z_{2}}. Zeigen Sie:

(a) Diese Funktion x = \binom{x_{1}}{x_{2}} ist genau dann Lösung von (1), wenn

a_{12}z_{2} − ϕ′y_{1} = 0 und z′_{2} = (a_{22} − a_{12} \frac{y_{2}}{y_{1}} )z_{2} .  (2)

(b) Ist (z_{2}, ϕ) eine Lösung von (2), so ist ϕ · \binom{y_{1}}{y_{2}} + \binom{0}{z_{2}} eine Lösung von (1), und (\begin{matrix}y_{1} & ϕy_{1} \\ y_{2} & ϕy_{2} + z_{2} \end{matrix}) ist ein Lösungs-Fundamentalsystem.

Aufgabe 4. Eine Lösung der für t > 0 definierten DGL x′(t) = (\begin{matrix}\frac{2}{t} & −t \\ \frac{1}{t^{3}} & −\frac{2}{t} \end{matrix}) x(t) ist y(t) = (t_{\frac{1}{t}}) (Nachrechnen!). Bestimmen Sie uner Verwendung von Aufgabe 3 ein Lösungs-Fundamentalsystem.