Prof. Dr. R. Wulkenhaar WS 16/17 PD Dr. T. Timmermann

Übungen zur Mathematik für Physiker III

Abgabe: Bis Mittwoch, den 21.12.2016, 10 Uhr, in den Briefkästen Blatt 9

Vorbemerkung: Gegenüber der Vorlesung bezeichnen hier x, y, z sowohl die Koordinaten eines Punktes im ℝ^{3} als auch die zugehörigen Koordinatenfunktionen. Aufgabe 1. (a) Gegeben seien die Differentialformen

ω = xydx + e^{x}dy + yzdz,  υ = z^{2}dx ∧ dy + dx ∧ dz + cos x · dy ∧ dz.

Berechnen Sie das Keilprodukt ω ∧ υ und die äußeren Ableitungen dω und dυ.

(b) Seien v, w Vektorfelder im ℝ^{3}. Zeigen Sie (mit den Bezeichnungen aus Abschnitt 14

der Vorlesung), daß dann ϱ_{1}(v) ∧ ϱ_{2}(w) = ϱ_{3}(⟨v, w⟩), wobei ⟨v, w⟩ := ∑_{k=1}^{3} v_{k}w_{k}. Aufgabe 2. Wir betrachten die 1-Form

ω = ln(1 + x^{2} + y^{2} + z^{2})(x dx + y dy + z dz).

(a) Ist ω geschlossen?

(b) Sei v ∈ ℝ^{3} und c: [0, 1] → ℝ^{3} gegeben durch t ↦ tv. Berechnen Sie ∫_{c} ω.

(c) Bestimmen Sie ein Potential von ω. Aufgabe 3. Berechnen Sie das jeweilige Kurvenintegral ∫_{c} ω und nutzen Sie dabei nach Möglichkeit Wegunabhängigkeit aus (Potentiale erraten sei erlaubt):

(a) ω = (2xy^{3} − y^{2} cos x)dx + (1 − 2y sin x + 3x^{2}y^{2})dy und c: [0, 1] → ℝ^{2}, t ↦ (\frac{π}{2}t^{2}, t).

(b) ω = (e^{x} sin y−2y sin x)dx+(e^{x} cos y+2 cos x)dy und c: [0, 2π] → ℝ^{2}, t ↦ (2 cos t, 3 sin t). Aufgabe 4. Prüfen Sie die folgenden Differentialgleichungen auf Exaktheit und lösen Sie gegebenenfalls die Differentialgleichung:

(a) (2t + 3) + (2x(t) − 2)x′(t) = 0;

(b) (t^{2} + x(t)) − tx′(t) = 0 für t > 0;

(c) 1 + x(t)t^{−2} − x′(t)t^{−1} = 0 für t > 0;

(d) (2t − x(t)^{−1}) + tx(t)^{−2}x′(t) = 0. Bemerkung: Die Variablen (t, x) spielen hier die Rolle von (x, y) aus der Vorlesung.