Prof. Dr. R. Wulkenhaar WS 16/17 PD Dr. T. Timmermann

Übungen zur Mathematik für Physiker III

Abgabe: Bis Mittwoch, den 11.01.2017, 10 Uhr, in den Briefkästen Blatt 10

Aufgabe 1. (a) Bestimmen Sie alle Punkte z ∈ ℂ, in denen die Funktion f: z ↦ |z|^{4} − 2|z|^{2} komplex differenzierbar ist.

(b) Finden Sie eine holomorphe Funktion f: ℂ → ℂ, x + iy ↦ u(x, y) + iv(x, y), mit u(x, y) = x^{2} − y^{2} − x. (Erraten erlaubt.)

Aufgabe 2. Berechnen Sie folgende komplexe Kurvenintegrale (wie üblich mit z = x+iy)

(a) ∫_{γ} \overline{z}dz mit γ: [0, 1] → ℂ gegeben durch γ(t) = e^{(i+1)t^{2}};

(b) ∫_{γ}(x^{2} − iy^{2})dz mit γ: [0, 1] → ℂ gegeben durch γ(t) = (t + 1) + 2i(t + 1)^{2};

Aufgabe 3. Berechnen Sie mit der Cauchyschen Integralformel (und der daraus resultierenden Formel für die höheren Ableitungen) die Integrale

(a) ∫_{γ_{a}} (\frac{z}{z − 1})^{n} dz,  (b) ∫_{γ_{b}} \frac{exp(z)}{(z − πi)^{2}z} dz,  (c) ∫_{γ_{c}} \frac{cos(2z)}{(z − 2i)(z + 3i)}dz,

wobei n ∈ ℕ und γ_{a}, γ_{b}, γ_{c}: [0, 2π] → ℂ definiert sind durch

γ_{a}(t) = 1 + e^{it},  γ_{b}(t) = πi + e^{it},  γ_{c}(t) = 2i + 2e^{it}.

(Hinweis: Betrachten Sie für (a) die Funktion f(z) = z^{n}.)