Prof. Dr. R. Wulkenhaar WS 16/17 PD Dr. T. Timmermann

Übungen zur Mathematik für Physiker III

Abgabe: Bis Mittwoch, den 18.01.2017, 10 Uhr, in den Briefkästen Blatt 11

Aufgabe 1. Zeigen Sie:

(a) res_{1} \frac{e^{2z}}{(z−1)^{2}} = 2e^{2};

(b) res_{0} \frac{z^{2}+2}{sin z} = 2;

(c) res_{0} \frac{z}{1−cos z} = 2. (Hinweis: Benutzen Sie die Formel für Residuen an k-fachen Polen: res_{a} f = \frac{1}{(k−1)!} \frac{d^{(k−1)}}{dz^{k−1}} lim_{z→a}(z − a)^{k}f(z).)

Aufgabe 2. Zeigen Sie:

(a) ∫_{−∞}^{∞} \frac{dx}{x^{4} + 5x^{2} + 4} = \frac{π}{6} .

(b) ∫_{−∞}^{∞} \frac{dx}{(x^{2} + x + 1)^{2}} = \frac{4π}{3\sqrt{3}}.

Aufgabe 3. Zeigen Sie:

(a) ∫_{−∞}^{∞} dx\frac{cos x}{(x^{2} + 1)^{2}} = \frac{π}{e} .

(b) ∫_{0}^{2π} \frac{dt}{cos^{4}(t) + sin^{4}(t)} = π\sqrt{8}. (Hinweis: Satz 20.9.)

Aufgabe 4. Der Kotangens ist definiert als cot(z) := cos(z)/ sin(z) für alle z ∈ ℂ. Zeigen Sie:

(a) res_{k} (\frac{cot(πz)}{z^{2}}) = \frac{1}{πk^{2}} für k ∈ ℤ \ \{0\}.

(b) res_{0} (\frac{cot(πz)}{z^{2}}) = −\frac{π}{3}.

(Hinweis: Berechnen Sie die ersten Glieder der Laurent-Reihe von cot(πz) bei z = 0 mit Hilfe der Gleichung cot(πz) sin(πz) = cos(πz).)

(c) ∫_{γ_{N}} dz \frac{π cot(πz)}{z^{2}} = 2πi(− \frac{π^{2}}{3} +∑_{n=1}^{N} \frac{2}{n^{2}} ), wobei N ∈ ℕ und γ_{N} die Kurve bezeichnet,

die das achsenparallele Quadrat mit Mittelpunkt 0 und Seitenlänge 2N + 1 im positiven Drehsinn mit konstanter Geschwindigkeit 1 (d.h. |γ′_{N}| ≡ 1) durchläuft.

(d) ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{2}} = \frac{π^{2}}{6} , wobei Sie die Relation lim_{N→∞} ∫_{γ_{N}} dz \frac{π cot(πz)}{z^{2}} = 0 ohne Beweis (eine

Kette von Standard-Abschätzungen) benutzen dürfen.