Prof. Dr. Raimar Wulkenhaar WS 17/18 Alexander Hock

Übungen zur Vorlesung Mathematik für Physiker I

— Material für die erste Übung, keine Abgabe — Blatt 0

Aufgabe 1. Die Negation einer Aussage X ist eine Aussage Y, die genau dann wahr ist, wenn X falsch ist. Die Negation von “Nachts sind alle Katzen grau” ist beispielsweise “Nachts gibt es eine Katze, die nicht grau ist”. Formulieren Sie die Negation folgender Aussagen:

(a) Hunde, die bellen, beißen nicht.

(b) Wenn man nachts ohne Licht fährt, sieht man nichts; es sei denn, es ist Vollmond.

(c) Entweder es regnet, oder es läuten die Glocken, oder beides fällt zusammen und es ist Sonntag.

Aufgabe 2. (a) Welche der folgenden Abbildungen ist injektiv/surjektiv/bijektiv?

f: ℕ → ℕ, x ↦ x + 1, g: ℤ → ℤ, x ↦ x + 1.

(b) Sind folgende Abbildungen f : ℝ^{2} → ℝ^{2} injektiv/surjektiv? (Begründung oder Gegenbeispiel):

i) f : (x, y) ↦ (y + 2, x − 1) ii) f : (x, y) ↦ (xy, x + y) iii) (x, y) ↦ (y^{3} − y, x) iv) (x, y) ↦ (\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}, y + x)

Aufgabe 3. Zeigen Sie für n ∈ ℕ:

(a) ∑_{k=0}^{n} k^{2} = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}

(b) ∑_{k=0}^{n} k^{3} = \frac{n^{2}(n + 1)^{2}}{4}

(c) ∑_{k=0}^{n}(2k + 1) = (n + 1)^{2}

(d) ∑_{k=1}^{2n} \frac{(−1)^{k−1}}{k} = ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{n + k} , n ≥ 1