Prof. Dr. Raimar Wulkenhaar WS 17/18 Alexander Hock

Übungen zur Vorlesung Mathematik für Physiker I

Abgabe: Donnerstag, 19.10.2017 bis 10h00 in den Briefkästen Blatt 1

Aufgabe 1. Zu finden sind zwei natürliche Zahlen die echt zwischen 1 und 100 liegen. Herr Produkt kennt das Produkt der Zahlen und Frau Summe kennt die Summe der Zahlen. Herr Produkt und Frau Summe führen die folgende Unterhaltung:

• Herr Produkt: “Ich kenne die beiden Zahlen nicht.”

• Frau Summe: “Ich kenne die beiden Zahlen auch nicht, aber ich wußte, daß Sie die Zahlen nicht kennen.”

• Herr Produkt: “Dann kenne ich die beiden Zahlen jetzt.”

• Frau Summe: “Dann kenne ich die beiden Zahlen jetzt auch.” Welches der folgenden Zahlenpaare ist die richtige Lösung? (Wir setzen voraus, daß eines der angegebenen Paare richtig ist!)

3 und 5,  2 und 7,  8 und 11, 4 und 13.

Aufgabe 2. Seien f: X → Y und g: Y → Z Abbildungen. Beweisen oder widerlegen Sie durch Gegenbeispiele folgende Aussagen:

(a) Wenn g ∘ f injektiv ist, dann ist f injektiv.

(b) g ∘ f ist genau dann surjektiv, wenn g und f surjektiv sind.

(c) Wenn g ∘ f surjektiv und g injektiv ist, dann muß g bijektiv und f surjektiv sein. Aufgabe 3. Es seien X, Y Mengen, M_{1}, M_{2} ⊆ X sowie N_{1}, N_{2} ⊆ Y Teilmengen und f : X → Y eine Abbildung. Zeigen Sie:

(a) X \ (M_{1} ∪ M_{2}) = (X \ M_{1}) ∩ (X \ M_{2}) sowie X \ (M_{1} ∩ M_{2}) = (X \ M_{1}) ∪ (X \ M_{2})

(b) f(M_{1} ∪ M_{2}) = f(M_{1}) ∪ f(M_{2})

(c) f(M_{1} ∩ M_{2}) ⊆ f(M_{1}) ∩ f(M_{2}), im allgemeinen aber keine Gleichheit.

(d) f^{−1}(N_{1} ∩ N_{2}) = f^{−1}(N_{1}) ∩ f^{−1}(N_{2}) und f^{−1}(N_{1} ∪ N_{2}) = f^{−1}(N_{1}) ∪ f^{−1}(N_{2}) Aufgabe 4. Beweisen Sie:

(a) 2^{n+1} + 3 · 7^{n} ist für alle n ∈ ℕ durch 5 teilbar.

(b) Es sei n ∈ ℕ ungerade. Dann ist die Summe von n aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen durch n teilbar.