Prof. Dr. Raimar Wulkenhaar WS 17/18 Alexander Hock

Übungen zur Vorlesung Mathematik für Physiker I

Abgabe: Donnerstag, 11.1.2018 bis 10h00 in den Briefkästen Blatt 10

Aufgabe 1. (a) Zeigen Sie: Es gibt ein x ∈ [0, 1] mit exp(−x) = \frac{x}{1 + x^{2}} .

(b) Es sei f : [0, 1] → ℝ eine stetige Funktion mit f(0) = f(1).

Zeigen Sie: Es gibt ein ζ ∈ [0, \frac{1}{2}] mit f(ζ) = f(ζ + \frac{1}{2}).

Aufgabe 2. Überprüfen Sie, ob folgende Funktionsgrenzwerte existieren, und bestimmen Sie diese gegebenenfalls (ohne die Regel von de l’Hospital):

(a) lim_{x→1} \frac{x^{p} − 1}{x^{q} − 1} , p, q ∈ ℕ^{×}

(b) lim_{x→4} \frac{\sqrt{x + 5} − 3}{x − 4}
(c) lim_{x→0} \frac{exp ((1 + x)^{3}) − exp(1 + 3x)}{x^{2}}
(d) lim_{x→−1} \frac{1}{x + 1} (\frac{3}{x^{2} + 5} + \frac{x}{x^{2} + 1})

Aufgabe 3. (a) Sei a ∈]0, 1[∪]1, ∞[. Zeigen Sie, daß die Abbildung f: ℝ →]0, ∞[, x ↦ a^{x}, eine Umkehrabbildung log_{a} := f^{−1} : ]0, ∞[→ ℝ besitzt, und daß log_{a} y = \frac{ln y}{ln a} für alle y ∈]0, ∞[.

(b) Geben Sie eine Reihenentwicklung der Funktion x ↦ ln \frac{1+x}{1−x} für x ∈ ]−1, 1[ an.

(c) Zeigen Sie unter Verwendung von (b):

ln 2 = ∑_{n=0}^{∞} \frac{2}{3(2n + 1)9^{n}} ,

ln 3 = ∑_{n=0}^{∞} (\frac{2}{3(2n + 1)9^{n}} + \frac{2}{5(2n + 1)25^{n}} ) ,

ln 5 = ∑_{n=0}^{∞} (\frac{4}{3(2n + 1)9^{n}} + \frac{2}{9(2n + 1)81^{n}} ) .

Aufgabe 4. (a) Zeigen Sie: Für alle x, y ∈ ℝ mit xy < 1 gilt

arctan x + arctan y = arctan (\frac{x + y}{1 − xy} ) .

(b) Zeigen Sie unter Verwendung von (a) sowie der für x ∈] − 1, 1[ gültigen Reihendarstellung arctan x = ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{1+2n} x^{1+2n} die folgende schnell konvergierende Reihendarstellung für π:

\frac{π}{4} = 4 ∑_{k=0}^{∞} \frac{(−1)^{k}}{2k + 1} (\frac{1}{5})^{2k+1} − ∑_{k=0}^{∞} \frac{(−1)^{k}}{2k + 1} (\frac{1}{239})^{2k+1} .