Prof. Dr. Raimar Wulkenhaar WS 17/18 Alexander Hock

Übungen zur Vorlesung Mathematik für Physiker I

Abgabe: Donnerstag, 18.1.2018 bis 10h00 in den Briefkästen Blatt 11

Aufgabe 1. Berechnen Sie die Ableitungen f′(x) für:

f(x) = x^{(x^{2})} , x > 0 ,  f(x) = arctan(\sqrt{1 + x^{2}}) ,
f(x) = ln(2 + cos(2x)) ,  f(x) = arcsin (\frac{x}{1 + x^{2}} ) .

Aufgabe 2. Berechnen Sie, falls existent, die folgenden Grenzwerte:

(a) lim_{x→1} \frac{x^{4} + 3x^{3} + 2x^{2} − 2x − 4}{sin(x^{2} − x)} ,  (b)  lim_{x→∞} \frac{ln(sinh^{2} x)}{\sqrt{x^{2} + x + 2}} ,
(c)  lim_{x→0} \frac{x − sin x}{x(1 − cos x)} ,  (d) lim_{x→∞} \sqrt{1 + x^{2}} ln (1 + \frac{1}{x}) .

Aufgabe 3. Nach dem Planckschen Strahlungsgesetz ist die spektrale Strahlungsdichte eines schwarzen Körpers der Temperatur T > 0 bei der Wellenlänge λ > 0 gegeben durch

I(λ) = \frac{2hc^{2}}{λ^{5}} \frac{1}{e^{\frac{hc}{kT λ}} − 1}, h, c, k > 0.

(a) Zeigen Sie: Ist I(λ) extremal im Punkt λ_{0} ∈]0, ∞[, so gilt (5 − x_{0})e^{x_{0}} = 5 für x_{0} := \frac{hc}{kT λ_{0}} .

(b) Zeigen Sie: I(λ) hat genau einen extremalen Punkt λ_{0} ∈]0, ∞[.