Prof. Dr. Raimar Wulkenhaar WS 17/18 Alexander Hock

Übungen zur Vorlesung Mathematik für Physiker I

Abgabe: Donnerstag, 9.11.2017 bis 10h00 in den Briefkästen Blatt 3

Aufgabe 1. Bestimmen Sie für die folgenden Mengen jeweils das Supremum und Infimum sowie, falls vorhanden, Maximum und Minimum:

(a) \{1 + \frac{(−1)^{n}}{n} | n = 1, 2, 3, …\} ,  (b) \{2^{(−1)^{n}n} | n = 1, 2, 3, …\} .

Aufgabe 2. Geben Sie Realteil, Imaginärteil und Betrag der folgenden komplexen Zahlen an:

(a) \frac{1}{4 + 3i}  (b) \frac{3 + \sqrt{5}i}{2 + \sqrt{5}i} + \frac{1 − \sqrt{5}i}{2 − \sqrt{5}i}  (c) (\frac{\sqrt{2}}{1 − i})^{n} , n ∈ ℕ

Aufgabe 3. Skizzieren Sie folgende Punktemenge der Gaußschen Zahlenebene:

a) \{z ∈ ℂ : Re (\frac{1}{z}) > \frac{1}{R}\} b) \{z ∈ ℂ : |z| < |z + 1| < 1 , |z| < |z + i|\}

Aufgabe 4. Konstruktion des regelmäßigen Fünfecks mit Zirkel und Lineal:

• Konstruiere in der Gaußschen Zahlenebene den Einheitskreis S mit Mittelpunkt 0 und Radius 1. Die Schnittpunkte des Kreises mit der x-Achse seien A = 1 ∈ ℂ und B = −1 ∈ ℂ.

• Konstruiere das Lot L auf \overline{AB} durch 0 (y-Achse). Sei D einer der Schnittpunkte mit dem Einheitskreis S. Konstruiere den Mittelpunkt G von \overline{0D}.

• Zeichne um G einen Kreisbogen mit Radius |\overline{GB}|. Der Schnittpunkt des Kreisbogens mit L(= y-Achse), welcher innerhalb S liegt, sei H.

• Zeichne um B einen Kreisbogen mit Radius |\overline{0H}|. Die beiden Schnittpunkte mit S seien A_{2} und A_{3}.

• Zeichne um A einen Kreisbogen mit Radius |\overline{A_{2}A_{3}}|. Die beiden Schnittpunkte mit S seien A_{1} und A_{4}, wobei A_{1}, A_{2} auf der gleichen Seite von \overline{AB} liegen.

Dann beweisen (a),(b),(c): (A, A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}) sind die Eckpunkte eines regelmäßigen Fünfecks.

A_{2} A_{3}  0 B  A A_{1} A_{4} D G H

(a) Zeigen Sie: Die Länge |\overline{0H}| =: h = g^{−1} ist das Inverse des goldenen Schnittes, h = \frac{\sqrt{5}−1}{2}.

(b) Zeigen Sie, dass die Koordinaten z_{n} = x_{n} +iy_{n} der Eckpunkte A_{n}, mit n = 1, 2, 3, 4, gegeben sind durch

z_{1} = \overline{z_{4}} = \frac{h}{2} + \frac{i}{2}\sqrt{3 + h} , z_{2} = \overline{z_{3}} = −\frac{1 + h}{2} + \frac{i}{2}\sqrt{2 − h} .

Hinweis: Für das Inverse des goldenen Schnittes gilt h^{2} = 1 − h.

(c) Beweisen Sie die Identitäten (z_{1})^{2} = z_{2}, (z_{2})^{2} = z_{4}, z_{2}z_{3} = 1 und z_{1}z_{4} = 1.