Prof. Dr. Raimar Wulkenhaar WS 17/18 Alexander Hock

Übungen zur Vorlesung Mathematik für Physiker I

Abgabe: Donnerstag, 16.11.2017 bis 10h00 in den Briefkästen Blatt 4

Aufgabe 1. Überprüfen Sie, ob die folgenden linearen Gleichungssysteme eine Lösung besitzen und geben Sie diese ggf. an.

(a)  \begin{aligned}x + 2y − 4z & = −4, \\ 5x + 11y − 23z & = −22, \\ 3x − 2y + 12z & = 11, \end{aligned}  (b)  \begin{aligned}(1 + i)x + y & = 3, \\ (2 − i)x + iy & = 1 − i \end{aligned}

Aufgabe 2. Es sei

v_{1} = ( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} ) ,  v_{2} = ( \begin{matrix}4 \\ 5 \\ 6 \end{matrix} ) ,  v_{3} = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) ,  w = ( \begin{matrix}3 \\ 2 \\ 1 \end{matrix} ) .

(a) Zeigen Sie: (v_{1}, v_{2}, v_{3}) ist Basis des ℝ^{3}.

(b) Bestimmen Sie λ_{1}, λ_{2}, λ_{3} ∈ ℂ mit w = ∑_{i=1}^{3} λ_{i}v_{i}.

(c) Für welche λ, μ ∈ ℝ ist ( \begin{matrix}1 \\ λ \\ μ \end{matrix} ) ∈ span_{ℝ}(v_{1}, v_{3})?

Aufgabe 3. Welche der folgenden Teilmengen V_{1}, …, V_{4} des ℝ^{3} ist ein Untervektorraum?

V_{1} := {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : |x| ≤ 1, |y| ≤ 1} , V_{2} := {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : x + yz = 0} ,
V_{3} := {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : x + y − z = 5} , V_{4} := {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : x + 3y − z = 0} .

Aufgabe 4. Eine Matrix A = (a_{ij}) ∈ M(n × n, K) heißt symmetrisch, falls a_{ij} = a_{ji} für alle i, j = 1, …, n, und schief-symmetrisch, falls a_{ij} = −a_{ji} für alle i, j = 1, …, n.

(a) Zeigen Sie, daß alle symmetrischen bzw. alle schief-symmetrischen Matrizen je einen Untervektorraum von M(n × n, K) bilden, und bestimmen Sie dessen Dimension.

(b) Zeigen Sie, daß es für jede Matrix A ∈ M(n×n, K) genau eine symmetrische Matrix A_{+} und eine schief-symmetrische Matrix A_{−} gibt mit A = A_{+} + A_{−}.