Prof. Dr. Raimar Wulkenhaar WS 17/18 Alexander Hock

Übungen zur Vorlesung Mathematik für Physiker I

Abgabe: Donnerstag, 23.11.2017 bis 10h00 in den Briefkästen Blatt 5

Aufgabe 1. Seien a, b ∈ ℝ und

u_{1} = (\begin{matrix}1 \\ −1 \\ 1 \end{matrix}) ,  u_{2} = (\begin{matrix}2 \\ 1 \\ a \end{matrix}) ,  u_{3} = (\begin{matrix}−1 \\ −2 \\ a \end{matrix}) ,  v = (\begin{matrix}2 \\ 1 \\ b \end{matrix}) .

(a) Bestimme die Dimension von U = span_{ℝ}(u_{1}, u_{2}, u_{3}) ⊆ ℝ^{3} in Abhängigkeit von a.

(b) Für welche (möglicherweise unendlich viele) Werte von a und b liegt v in U? Geben Sie die Koeffizienten λ_{1}, λ_{2}, λ_{3} mit v = ∑_{i=1}^{3} λ_{i}u_{i} in Abhängigkeit von a, b an.

Aufgabe 2. Sei W = span_{ℝ}(w_{1}, w_{2}, w_{3}) ⊂ ℝ^{4} und V = span_{ℝ}(v_{1}, v_{2}) ⊂ ℝ^{4} mit

w_{1} = (\begin{matrix}1 \\ −1 \\ −1 \\ 1 \end{matrix}) , w_{2} = (\begin{matrix}2 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) , w_{3} = (\begin{matrix}1 \\ 2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) , v_{1} = (\begin{matrix}4 \\ 2 \\ 1 \\ 3 \end{matrix}) , v_{2} = (\begin{matrix}0 \\ 3 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}) .

Bestimmen Sie dim(W), dim(V), dim(W + V), dim(W ∩ V).

Aufgabe 3. Die Tschebyscheff-Polynome T_{n} und die Hermite-Polynome H_{n} sind bestimmt durch die Rekursionsgleichungen

T_{0}(x) = 1,  T_{1}(x) = x  und  T_{n+1}(x) = 2xT_{n}(x) − T_{n−1}(x),
H_{0}(x) = 1,  H_{1}(x) = 2x  und  H_{n+1}(x) = 2xH_{n}(x) − 2nH_{n−1}(x)

für alle n ≥ 1. Bezeichne P_{n}[x] den ℂ-Vektorraum aller Polynome in x vom Grad kleiner oder gleich n mit komplexen Koeffizienten.

(a) Zeigen Sie, daß für jedes N ∈ ℕ die Polynome (T_{0}, …, T_{N}) und die Polynome (H_{0}, …, H_{N}) jeweils eine Basis von P_{N}[x] bilden.

(b) Bestimmen Sie die Koeffizienten des Polynoms H_{3} bezüglich der Basis (T_{0}, …, T_{3}) von P_{3} und die Koeffizienten des Polynoms T_{3} bezüglich der Basis (H_{0}, …, H_{3}).

Aufgabe 4. (a) Führen Sie die folgenden Polynomdivisionen durch (gegebenenfalls mit Rest):

(i) \frac{2x^{4} − 17x^{3} + 26x^{2} − 20x + 2}{2x^{2} − 3x + 1}, (ii) \frac{iz^{3} − (6 − 2i)z^{2} − (9 + 4i)z + (1 + 3i)}{z + 2 + i}.

(b) Bestimmen Sie die Partialbruchzerlegung von

(i) \frac{z}{(z − i)(z + 1)}, (ii) \frac{1}{x^{2}(1 + x)^{2}} .