Prof. Dr. Raimar Wulkenhaar WS 17/18 Alexander Hock

Übungen zur Vorlesung Mathematik für Physiker I

Abgabe: Donnerstag, 30.11.2017 bis 10h00 in den Briefkästen Blatt 6

Aufgabe 1. Berechnen Sie folgende Grenzwerte unter Verwendung von a − b = \frac{a^{2}−b^{2}}{a+b}:

(a) lim_{n→∞} (\sqrt{n + a} − \sqrt{n}) ,  a > 0  (b)  lim_{n→∞} n^{2}(\sqrt{1 + \frac{1}{n^{2}}} − 1)
(c) lim_{n→∞} (\sqrt{n^{2} + an} − \sqrt{n^{2} + 1}) ,  a > 0  (d) lim_{n→∞} (\sqrt{n + 2\sqrt{n}} − \sqrt{n})

Aufgabe 2. Prüfe, ob die Folgen (a_{n})_{n}, (b_{n})_{n}, (c_{n})_{n}, (d_{n})_{n}, gegeben durch

a_{n} = \frac{1}{2^{n}} \binom{n}{k},  b_{n} = \sqrt[n]{3^{n} + (−2)^{n}},  c_{n} = \frac{3^{n} − n^{2}}{2^{n} + n^{3}} ,  d_{n} = \frac{(2n)!}{(n!)^{2}2^{n}}

konvergieren, und bestimme im Konvergenzfall den Grenzwert.

Aufgabe 3. Zeigen Sie, daß die Folge der endlichen Kettenbrüche

x_{n} := \underbrace{\frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{... 1 + \frac{1}{1}}}}}_{n Bruchstriche}

gegen den goldenen Schnitt Φ := \frac{1+\sqrt{5}}{2} konvergiert, indem Sie die Gleichungen x_{n+1} = 1 + \frac{1}{x_{n}} und Φ = 1 + \frac{1}{Φ} verwenden und induktiv |x_{n+1} − Φ| ≤ Φ^{−(n+2)} zeigen.

Aufgabe 4. (Beweis von lim_{n→∞}(1 + \frac{p}{qn})^{n} = e^{\frac{p}{q}} = \sqrt[q]{e^{p}} für p, q ∈ ℤ, q ≠ 0) Zeigen Sie schrittweise:

(a) Die Folge ((1 + \frac{r}{n})^{n})_{n∈ℕ^{×}, n>−r} ist für alle r ∈ ℝ^{×} monoton wachsend.

(b) Für p, q ∈ ℕ^{×} sind ((1 + \frac{p}{qn})^{n})_{n∈ℕ^{×}} und ((1 − \frac{p}{qn})^{n})_{n∈ℕ^{×}, qn>p} beschränkt.

(c) lim_{n→∞}(1 + \frac{p}{qn})^{n} = \sqrt[q]{e^{p}} für p, q ∈ ℕ^{×}. Hinweis: Teilfolgen

(d) lim_{n→∞}(1 − \frac{p}{qn})^{n} = \frac{1}{\sqrt[q]{e^{p}}} für p, q ∈ ℕ^{×}.