Prof. Dr. Raimar Wulkenhaar WS 17/18 Alexander Hock

Übungen zur Vorlesung Mathematik für Physiker I

Abgabe: Donnerstag, 14.12.2017 bis 10h00 in den Briefkästen Blatt 8

Aufgabe 1. Es sei f(z) = ∑_{n=0}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{(2n)!} z^{2n}. Beweisen Sie:

(a) Der Konvergenzradius von f ist ∞.

(b) Für alle z ∈ ℂ gilt 2f(z) · f(z) = 1 + f(2z).

Hinweis: Ergänzen Sie den in der Doppelsumme entstehenden Ausdruck zu ∑_{k=0}^{n} \binom{2n}{2k} und berechnen Sie diese Summe der Binomialkoeffizienten als Funktion von n.

Aufgabe 2. Bestimmen Sie die Konvergenzradien der folgenden Potenzreihen:

(a) A(z) = ∑_{n=0}^{∞} (\frac{n + 1}{n})^{n^{2}}z^{n}

(b) B(z) = ∑_{n=0}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{n! (n + k)!}(\frac{z}{2})^{2n+k} , k ∈ ℕ

(c) C(z) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{z^{5n}}{5n^{2}3^{n}}

(d) die hypergeometrische Reihe zu α, β, γ ∈ ℂ \ {0, −1, −2, −3, …} :

D(z) = ∑_{n=0}^{∞} \frac{(α)_{n}(β)_{n}}{n!(γ)_{n}} z^{n}, wobei (δ)_{n} := δ(δ + 1)(δ + 2) ⋯ (δ + n − 1).

Aufgabe 3. Es sei (V, ⟨ , ⟩) euklidischer Vektorraum, ∥v∥ = \sqrt{⟨v, v⟩} und v, w ∈ V. Zeigen Sie:

(a) ∥v∥ = ∥w∥ ⟺ ⟨v − w, v + w⟩ = 0.

(b) ∥v − w∥ = ∥v + w∥ ⟺ ⟨v, w⟩ = 0.

(c) ∥v + w∥^{2} = ∥v∥^{2} + ∥w∥^{2} ⟺ ⟨v, w⟩ = 0.

(d) Für w ≠ v gilt: ∥v − 2\frac{∥v∥^{2}}{∥v − w∥^{2}} (v − w)∥ = ∥v∥ ⟺ ⟨v, w⟩ = 0.

Bemerkung: Im ℝ^{2} sind (a)–(c) wichtige Beziehungen zwischen den Längen von Seiten und Diagonalen in besonderen Vierecken. Können Sie eine Interpretation geben?

(b.w.)

Aufgabe 4. Welche der folgenden Abbildungen N_{i} : ℝ^{3} → ℝ_{+} definiert eine Norm? (Begründung erforderlich)

(a)  N_{1}((x_{1}, x_{2}, x_{3})) = \sqrt{(x_{1} − 2x_{2})^{2} + (2x_{2} − x_{3})^{2} + (x_{3} − x_{1})^{2}} ,
(b)  N_{2}((x_{1}, x_{2}, x_{3})) = \sqrt{|x_{1} − 2x_{2}| + |x_{2} − 2x_{3}| + |x_{3} − 2x_{1}|} ,
(c)  N_{3}((x_{1}, x_{2}, x_{3})) = \sqrt{(x_{1} − 2x_{2})^{2} + (x_{2} − 2x_{3})^{2} + (x_{3} − 2x_{1})^{2}} ,
(d)  N_{4}((x_{1}, x_{2}, x_{3})) = (\sqrt{|x_{1}|} + \sqrt{|x_{2}|} + \sqrt{|x_{3}|})^{2}