Prof. Dr. Raimar Wulkenhaar WS 17/18 Alexander Hock

Übungen zur Vorlesung Mathematik für Physiker I

Abgabe: Donnerstag, 21.12.2017 bis 10h00 in den Briefkästen Blatt 9

Aufgabe 1. Es sei X eine nichtleere Menge und

d(x, y) = \{ \begin{matrix}0 & falls x = y \\ 1 & falls x ≠ y \end{matrix} für x, y ∈ X.

(a) Zeigen Sie: d definiert einen Abstand auf X.

(b) Beschreiben Sie die offenen Kugeln K_{ϵ}(x) in (X, d). Welche Teilmengen von (X, d) sind offen, welche abgeschlossen?

(c) Wann konvergiert eine Folge in (X, d)?

Aufgabe 2. (a) Es sei (X, d) ein metrischer Raum und x, y ∈ X. Zeigen Sie:

d′(x, y) = 1 − \frac{1}{1 + d(x, y)}

definiert einen weiteren Abstand auf X.

Hinweis: Zeigen Sie zunächst, daß für a, b ≥ 0 gilt \frac{1}{1 + a} + \frac{1}{1 + b} − \frac{1}{1 + a + b} ≤ 1.

(b) Geben Sie eine Familie (J_{n})_{n∈ℕ} offener Intervalle J_{n} ⊆ ℝ an, so daß ⋂_{i=0}^{∞} J_{n} = [0, 1] abgeschlossen ist. Geben Sie eine Familie (I_{n})_{n∈ℕ} abgeschlossener Intervalle I_{n} ⊆ ℝ an, so daß ⋃_{i=0}^{∞} I_{n} = ]0, 1[ offen ist. Hinweis: Die Beispiele zeigen, daß Durchschnitte beliebig vieler offener Mengen nicht offen und Vereinigungen beliebig vieler abgeschlossener Mengen nicht abgeschlossen sein müssen.

Aufgabe 3. Bestimmen Sie zu ϵ = \frac{1}{2018} ein δ > 0 (mit Begründung!), so daß

(a) |\frac{1}{x^{2} − 3x + 3} − 1| < ϵ für alle x ∈ ℝ mit |x − 2| < δ

(b) f(K_{δ}((0, 0))) ⊆ K_{ϵ}(f((0, 0))) für f : ℝ^{2} → ℝ gegeben durch

f((x, y)) = \{ \begin{matrix}\frac{xy^{2}}{x^{2}+y^{2}} & für (x, y) ≠ (0, 0) \\ 0 & sonst \end{matrix}

Aufgabe 4. (a) Zeigen Sie, daß die auf (X, d) Lipschitz-stetigen Funktionen einen Vektorraum bilden, auf dem durch

∥f∥ = sup_{x∈X} |f(x)| + sup_{x,y∈X,x≠y} \frac{|f(x) − f(y)|}{d(x, y)}

eine Norm erklärt wird. Weshalb darf der erste Teil sup_{x∈X} |f(x)| nicht weggelassen werden?

(b) Zeigen Sie (jeweils mit dem Standard-Abstand auf ℝ): i) f(x) = x^{2} ist Lipschitz-stetig auf X = [0, 1], aber nicht auf X = ℝ. ii) f(x) = \sqrt{x} ist nicht Lipschitz-stetig auf [0, 1].