Mathematik für Physiker I

Inhalt

I Grundlagen  1
1 Mengen und Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 Natürliche Zahlen und vollständige Induktion . . . . . . . . . 5
3 Gruppen und Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4 Reelle Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
5 Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
II Vektorräume  22
6 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen . . . . . . . . . . . . 22
7 Vektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
8 Erzeugendensystem, Basis und Dimension . . . . . . . . . . . 32
9 Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
III Folgen und Reihen  45
10 Folgen und Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
11 Der Satz von Bolzano-Weierstraß. Cauchy-Folgen . . . . . . . 51
12 Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
13 Absolute Konvergenz von Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . 59
14 Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
IV Metrische Räume und Stetigkeit  70
15 Euklidische, unitäre und normierte Vektorräume . . . . . . . . 70
16 Metrische Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
17 Konvergenz und Vollständigkeit in metrischen Räumen …. 79
18 Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
19 Der Zwischenwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
20 Grenzwerte von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
21 Die Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
22 Kompakte Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
V Differentialrechnung  105
23 Die Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
24 Lokale Extrema, Mittelwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
25 Monotonie, höhere Ableitungen, Konvexität . . . . . . . . . . 114
26 Taylor-Polynome und Taylor-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . 120
27 Partielle Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
28 Vektorfelder, Gradient, Divergenz, Rotation, Laplace . . . . . 127

2. Semester:

VI Integralrechnung im Eindimensionalen
VII Lineare Abbildungen

Literatur

[1] O. Forster, “Analysis 1,” Vieweg (2006).
[2] K. Königsberger, “Analysis 1,” Springer (2004).
[3] G. Fischer, “Lineare Algebra,” Vieweg (2005).

i

Preliminary version – 31. Januar 2018

Teil I

Grundlagen

1 Mengen und Abbildungen

Für die Formulierung der Mathematik haben sich Mengen als zweckmäßig erwiesen. Endliche Mengen kann man durch eine vollständige Liste ihrer Elemente angeben, Schreibweise X = {x_{1}, x_{2}, …, x_{n}}. Die x_{i}, i = 1, …, n, heißen Elemente der Menge X, Schreibweise x_{i} ∈ X. Dabei ist die Reihenfolge beliebig, und das gleiche Element darf nicht mehrmals auftreten. Wenn x kein Element von X ist, schreiben wir x ∉ X. Die leere Menge ∅ enthält kein Element. Eine Menge Y heißt Teilmenge einer Menge X, geschrieben Y ⊆ X, wenn für jedes Element y ∈ Y gilt y ∈ X. Ist Y ⊆ X, dann ist das Komplement X \ Y definiert als die Menge der x ∈ X mit x ∉ Y. Die Vereinigung X_{1} ∪ X_{2} zweier Mengen X_{1}, X_{2} ist die Menge jener Elemente, die in X_{1} oder X_{2} enthalten sind (nicht “entweder oder”). Wir schreiben dafür

X_{1} ∪ X_{2} := {x : x ∈ X_{1} oder x ∈ X_{2}} .

Durch “:=” bezeichnen wir, daß der links stehende Ausdruck über den rechts stehenden definiert wird; es gibt auch “=:” im getauschten Sinn. Die Konstruktion auf der rechten Seite wird häufig benutzt: Links des “:” stehen allgemeine Elemente, die einer Einschränkung unterworfen werden, welche rechts von “:” steht. Viele Autoren bevorzugen “|” statt “:”. Entsprechend wird der Durchschnitt zweier Mengen X_{1}, X_{2} erklärt als

X_{1} ∩ X_{2} := {x : x ∈ X_{1} und x ∈ X_{2}} .

Zwei Mengen mit X_{1} ∩ X_{2} = ∅ heißen disjunkt. Das direkte Produkt von Mengen X_{1}, …, X_{n} ist erklärt als die Menge aller geordneten n-Tupel:

X_{1} × X_{2} × ⋯ × X_{n} := {(x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) : x_{i} ∈ X_{i}} .

Speziell schreiben wir X^{n} := \underbrace{X × ⋯ × X}_{n}.

Viele der Konstruktionen aus endlichen Mengen lassen sich auch auf unendliche Mengen übertragen. Wir benötigen vor allem folgende Zahlbereiche: die Menge ℕ = {0, 1, 2, … } der natürlichen Zahlen, die Menge ℤ = {0, ±1, ±2, … } der ganzen Zahlen, die Menge ℚ der rationalen Zahlen sowie die Menge ℝ der reellen Zahlen. Wir werden später im Detail darauf eingehen und insbesondere auch die Menge ℂ der komplexen Zahlen definieren.

Eine rationale Zahl denken wir uns als Bruch r = \frac{p}{q} mit p ∈ ℤ und q ∈ ℤ^{×} := ℤ \ {0}. Wir können die rationalen Zahlen jedoch nicht als Menge dieser Brüche auffassen, da wir z.B. \frac{2}{3} und \frac{4}{6} als dieselbe rationale Zahl ansehen. Die Identifikation von \frac{2}{3} und \frac{4}{6} ist ein häufig benutztes Verfahren:

Definition 1.1 Eine Relation auf einer Menge X ist eine Teilmenge R ⊆ X × X. Für (x, y) ∈ R ⊆ X × X schreiben wir x ∼ y.

Eine Relation ∼ auf X heißt Äquivalenzrelation, falls (mit x, y, z ∈ X)

(R1) (reflexiv): x ∼ x für jedes x ∈ X.

(R2) (symmetrisch): Für jedes Paar x ∼ y ist auch y ∼ x.

(R3) (transitiv): Ist x ∼ y und y ∼ z, so ist auch x ∼ z.

Ist ∼ eine Äquivalenzrelation auf X, so heißt eine Teilmenge A ⊆ X Äquivalenzklasse, falls gilt:

(Ä1) A ≠ ∅.

(Ä2) Falls x, y ∈ A, so ist x ∼ y.

(Ä3) Falls x ∈ A und y ∈ X mit x ∼ y, so ist auch y ∈ A.

Wir werden uns überlegen:

Satz 1.2 Ist ∼ eine Äquivalenzrelation auf X, so gilt für zwei beliebige Äquivalenzklassen A_{1}, A_{2} ⊆ X entweder A_{1} = A_{2} oder A_{1} ∩ A_{2} = ∅.

Insbesondere liegt jedes x ∈ X in genau einer Äquivalenzklasse, die oft mit [x] bezeichnet wird. Eine Äquivalenzrelation auf X liefert damit eine Zerlegung von X in disjunkte Teilmengen. Die Menge dieser Äquivalenzklassen heißt Quotientenmenge und wird mit X/ ∼ bezeichnet. Ein konkretes Element einer Äquivalenzklasse heißt Repräsentant. Insbesondere ist x ∈ [x].

Beispiel 1.3 Es sei X = ℤ × ℤ^{×}. Wir vereinbaren auf X die Relation (p, q) ∼ (p′, q′), falls pq′ = p′q. Man überprüft, daß ∼ eine Äquivalenzrelation ist. Die zugehörige Quotientenmenge ℚ := (ℤ × ℤ^{×})/ ∼ heißt Menge der rationalen Zahlen. ◁

Mathematische Sätze wie Satz 1.2 müssen bewiesen werden, d.h. es ist zu zeigen, daß die darin enthaltene Aussage wahr ist. Eine mathematische Aussage ist entweder wahr oder falsch, niemals beides. Ein solcher Beweis besteht im Zurückführen der zu zeigenden Aussage auf als wahr vorausgesetzte Axiome (hier Definition 1.1) oder auf bereits bewiesene (also als wahr erkannte) Aussagen. Diese Argumentationskette wird mit ⇒ symbolisiert.

Beweis von Satz 1.2. Gegeben seien zwei Äquivalenzklassen A_{1}, A_{2} ⊆ X bezüglich einer Äquivalenzrelation ∼. Im Fall A_{1} ∩ A_{2} = ∅ ist nichts weiter zu zeigen. Sei also A_{1} ∩ A_{2} ≠ ∅. Damit gibt es ein a ∈ X mit a ∈ A_{1} und a ∈ A_{2}. Wir zeigen A_{2} ⊆ A_{1}. Sei dazu b ∈ A_{2} beliebig. Wegen (Ä2) in der Äquivalenzklasse A_{2} gilt b ∼ a als Relation in X. Dann sagt aber (Ä3) bezüglich A_{1}, daß b ∈ A_{1} liegt. Somit ist A_{2} ⊆ A_{1} gezeigt. Durch Vertauschen der Rollen von A_{1} und A_{2} ergibt sich A_{1} ⊆ A_{2} und deshalb A_{1} = A_{2}. □

Meist sind in Beweisen mehrere Aussagen zu verknüpfen. Solche Verknüpfungen lassen sich formalisieren. Der Vollständigkeit halber führen wir ein^{1}:

Definition 1.4 Es seien A, B Aussagen. Dann werden Verknüpfungen A∧B (und), A ∨ B (oder), ¬A (nicht), A ⇒ B (folgt) und A ⇔ B (äquivalent) definiert durch die Wahrheitstafel

\begin{matrix}A & B & A ∧ B & A ∨ B & A ⇒ B & A ⇔ B & ¬A & ¬B \\ w & w & w & w & w & w & f & f \\ w & f & f & w & f & f & f & w \\ f & w & f & w & w & f & w & f \\ f & f & f & f & w & w & w & w \end{matrix}

Wir werden ∧ und ∨ entweder ausformulieren oder durch die folgenden Quantoren ersetzen, die sich bei der Arbeit mit unendlichen Mengen als unverzichtbar erweisen:

Definition 1.5 (für alle; es gibt) Es sei I eine beliebige Indexmenge und {A_{i} : i ∈ I} ein System von Aussagen.

i) Die Aussage (∀i ∈ I gilt A_{i}) ist wahr genau dann, wenn alle Aussagen A_{i} wahr sind.

ii) Die Aussage (∃i ∈ I mit A_{i}) ist wahr genau dann, wenn mindestens eine der Aussagen A_{i} wahr ist.

Damit ist ∀ die Verallgemeinerung von ∧ und ∃ die Verallgemeinerung von ∨. Neben dieser logischen Bedeutung werden wir ∃ und ∀ im wörtlichen Sinn nutzen.

Einige Folgerungen aus der Definition sind:

• (A ∧ B) ⇒ A ∨ B

• (A ⇔ B) ⇒ (A ⇒ B)

• (A ⇔ B) ⇔ ((A ∧ B) ∨ (¬A ∧ ¬B))

• A ∧ (B ∨ C) ⇔ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)

• A ∨ (B ∧ C) ⇔ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)

• (¬A ⇒ B) ⇔ (¬B ⇒ A)

Die letzte Eigenschaft ist die Grundlage des indirekten Beweises: Um B zu beweisen, suchen wir eine falsche Aussage A und zeigen, daß A aus der Verneinung von B folgt, also ¬B ⇒ A.

3 Beispiel 1.6 (Irrationalität von \sqrt{2}) Es sei B die Aussage: \sqrt{2} ist eine irrationale Zahl. Wir gehen von der Negation ¬B aus: Angenommen, \sqrt{2} wäre eine rationale Zahl, also \sqrt{2} = \frac{p}{q} mit p, q ∈ ℤ und q ≠ 0. Durch Kürzen kann erreicht werden, daß p oder q ungerade ist. Es gilt 2 = (\sqrt{2})^{2} = \frac{p^{2}}{q^{2}} , also p^{2} = 2q^{2}. Damit ist p^{2} und dann auch p gerade. Somit ist nach Voraussetzung q ungerade. Da p gerade ist, gibt es ein r ∈ ℤ mit p = 2r. Nun ergibt sich 2 = \frac{4r^{2}}{q^{2}} , also q^{2} = 2r^{2}, d.h. q^{2} und damit auch q ist auch gerade! Wir haben also gezeigt:

1Wir werden diese Sprache aber vermeiden und uns eher per Durchführung genügend vieler konkreter Beweise erarbeiten, was ein korrekter Beweis ist.

Preliminary version – 31. Januar 2018

\underbrace{(\sqrt{2} ∈ ℚ)}_{¬B} ⇒ \underbrace{(∃q ∈ ℤ, q ≠ 0, mit q ist gerade und ungerade )}_{A} ist wahr.

Da A falsch ist, kann ¬B ⇒ A nur dann wahr sein, wenn ¬B falsch ist, also B wahr, d.h. \sqrt{2} ist irrational. □

Wichtig in indirekten Beweisen ist die korrekte Verneinung der Aussage. Dabei gelten:

• ¬(A ∧ B) ⇔ ¬A ∨ ¬B
• ¬(A ∨ B) ⇔ ¬A ∧ ¬B
• ¬(∀i ∈ I gilt A_{i}) ⇔ ∃i ∈ I mit ¬A_{i}
• ¬(∃i ∈ I mit A_{i}) ⇔ ∀i ∈ I gilt ¬A_{i}

In den beiden letzten Zeilen kann A_{i} wieder die Quantoren ∀, ∃ enthalten, die dann in ¬A_{i} wieder zu negieren sind. Hier ist zu Anfang größte Vorsicht geboten! Später werden Ungleichungen eine große Rolle spielen, die dann ebenfalls korrekt zu negieren sind.

Definition 1.7 Seien X, Y Mengen, dann versteht man unter einer Abbildung von X nach Y eine Vorschrift f, die jedem x ∈ X eindeutig ein f(x) ∈ Y zuordnet. Wir schreiben f : X → Y für die Abbildung zwischen Mengen und f : x ↦ f(x) für die Zuordnung der Elemente. Die Menge

G(f) := {(x, f(x)) : x ∈ X} ⊆ X × Y

heißt der Graph von f. Mit Abb(X, Y) werde die Menge der Abbildungen von X nach Y bezeichnet.

Beispiel 1.8 Für X = Y = ℝ betrachten wir die Abbildung f : x ↦ x^{2}. Der Graph {(x, x^{2}) : x ∈ ℝ} beschreibt im kartesischen Koordinatensystem eine Parabel. ◁

Definition 1.9 Sei f : X → Y eine Abbildung zwischen Mengen und seien M ⊆ X und N ⊆ Y Teilmengen. Dann heißt

f(M) := {y ∈ Y : ∃x ∈ M mit y = f(x)} ⊆ Y

das Bild von M in Y unter f und

f^{−1}(N) := {x ∈ X : f(x) ∈ N} ⊆ X

das Urbild von N in X.

Zu beachten ist, daß für eine einelementige Teilmenge N = {y} das Urbild f^{−1}(y) := f^{−1}({y}) ⊆ X aus mehreren Elementen bestehen kann oder auch leer sein kann. Deshalb ist f^{−1} im allgemeinen keine Abbildung von Y nach X.

Definition 1.10 Eine Abbildung f : X → Y heißt

• injektiv, falls für x, x′ ∈ X aus f(x) = f(x′) stets x = x′ folgt,

• surjektiv, falls es zu jedem y ∈ Y ein x ∈ X gibt mit y = f(x),

• bijektiv, falls f injektiv und surjektiv ist.

Falls f bijektiv ist, dann ist die Umkehrabbildung f^{−1} : Y → X gegeben durch f^{−1} : y ↦ x = f^{−1}(y) mit y = f(x).

Seien X, Y, Z Mengen und f : X → Y sowie g : Y → Z Abbildungen, so ist die Komposition dieser Abbildungen gegeben durch

g ∘ f : X → Z , x ↦ (g ∘ f)(x) := g(f(x)) .

Satz 1.11 Die Komposition von Abbildungen ist assoziativ, d.h. für Abbildungen f : X → Y, g : Y → Z und h : Z → W gilt

h ∘ (g ∘ f) = (h ∘ g) ∘ f : X → W .

Beweis. Für x ∈ X gilt

((h ∘ g) ∘ f)(x) = (h ∘ g)(f(x)) = h(g(f(x))) = h((g ∘ f)(x)) = (h ∘ (g ∘ f))(x) . □

2 Natürliche Zahlen und vollständige Induktion

Die Struktur der Menge ℕ der natürlichen Zahlen wird als bekannt vorausgesetzt. In dieser Vorlesung ist 0 ∈ ℕ, für die natürlichen Zahlen ohne 0 schreiben wir ℕ^{×} := ℕ\{0}. Die wichtigste Eigenschaft von ℕ ist, daß für jede Zahl n ∈ ℕ genau ein Nachfolger n+1 existiert, und startend mit 0 wird mit 0, 1, 2, …, n, n+1, … jede natürliche Zahl genau einmal durchlaufen. Daraus ergibt sich das

2.1 Beweisprinzip der vollständigen Induktion. Es sei N ∈ ℕ, und zu jeder Zahl n ∈ ℕ mit n ≥ N sei eine Aussage A_{n} gegeben. Alle Aussagen A_{n} sind richtig, wenn man (IA) und (IS) beweisen kann:

(IA) A_{N} ist wahr (Induktionsanfang).

(IS) Für beliebiges n ≥ N gilt: Falls A_{n} wahr ist, so ist auch A_{n+1} wahr (Induktionsschritt).

Satz 2.2 Für jedes n ∈ ℕ gilt die Aussage A_{n}: 0 + 1 + ⋯ + n = \frac{1}{2}n(n + 1).

Beweis. i) Wähle N = 0. Offenbar ist A_{0} wahr. ii) Unter der Annahme, daß A_{n} gilt, folgt

\underbrace{0 + 1 + ⋯ + n}_{A_{n}} +(n + 1) = \frac{1}{2}n(n + 1) + (n + 1) = \frac{1}{2}(n + 1)(n + 2) ,

also die Aussage A_{n+1}. □

Da Summen wie in Satz 2.2 häufig vorkommen, vereinbart man das Summenzeichen Σ: Ist für jede ganze Zahl k ∈ ℤ mit m ≤ k ≤ n eine reelle Zahl a_{k} gegeben, dann setzt man

∑_{k=m}^{n} a_{k} := \{ \begin{matrix}a_{m} + a_{m+1} + ⋯ + a_{n} falls & n ≥ m \\ 0 falls & n < m \end{matrix}

Insbesondere ist ∑_{k=m}^{m} a_{k} = a_{m} und

∑_{k=m}^{n+1} a_{k} = ∑_{k=m}^{n} a_{k} + a_{n+1} .  (*)

Durch letzte Eigenschaft kann man das Summenzeichen rekursiv ähnlich zum Prinzip der vollständigen Induktion definieren: Man wählt als Induktionsanfang

∑_{k=m}^{m−1} a_{k} := 0 und (*) als Induktionsschritt. Weitere Beispiele rekursiver Defini-

tionen sind die Potenzen einer reellen Zahl als x^{1} := x (Induktionsanfang) und x^{n+1} := x · x^{n} (Induktionsschritt). Für x ≠ 0 definiert man^{2} außerdem x^{0} := 1. Mit diesen Vorbereitungen beweisen wir

Satz 2.3 (geometrische Summenformel) Es sei x eine von 0 und 1 verschie-

dene reelle Zahl und n ∈ ℕ. Dann gilt ∑_{k=0}^{n} x^{k} = \frac{1 − x^{n+1}}{1 − x}.

Beweis. i) Induktionsanfang: Für n = 0 steht auf der linken Seite x^{0} = 1 und auf der rechten Seite \frac{1−x}{1−x} = 1, die Aussage ist also wahr unter der Voraussetzung

6 x ≠ 0 und x ≠ 1. ii) Induktionsschritt:

2Der Ausdruck “0^{0}” ist nicht definiert. Jedoch werden wir im weiteren Verlauf des Semesters x^{y} definieren und x^{y} für x, y → 0 untersuchen.

Preliminary version – 31. Januar 2018

∑_{k=0}^{n+1} x^{k} = ∑_{k=0}^{n} x^{k} + x^{n+1} = \frac{1 − x^{n+1}}{1 − x} + x^{n+1} \frac{1 − x}{1 − x} = \frac{1 − x^{n+1}}{1 − x} + \frac{x^{n+1} − x^{n+2}}{1 − x}

= \frac{1 − x^{n+2}}{1 − x} .  □

(Die linke Seite ist auch für x = 1 sinnvoll und ergibt ∑_{k=0}^{n} 1 = n + 1. Fragen wie nach dem Wert der rechten Seite für x → 1 sind typisch für die Analysis.)

Eine Auswahl von Formeln, die durch vollständige Induktion bewiesen werden, ist:

Übung 2.4

∑_{k=0}^{n} k = \frac{n(n + 1)}{2}  (Satz 2.2),  ∑_{k=0}^{n} k^{2} = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} ,

∑_{k=0}^{n} k^{3} = \frac{n^{2}(n + 1)^{2}}{4} ,  ∑_{k=0}^{n}(2k + 1) = (n + 1)^{2} .  ♢

Ähnlich zum Summenzeichen wird auch das Produktzeichen (mit sonst gleichen Bezeichnungen wie zuvor) eingeführt als

∏_{k=m}^{n} a_{k} := \{ \begin{matrix}a_{m} · a_{m+1} ⋯ a_{n} falls & n ≥ m \\ 1 falls & n < m \end{matrix}

Die rekursive Definition ist ∏_{k=m}^{m−1} a_{k} := 1 und ∏_{k=m}^{n+1} a_{k} := a_{n+1} · ∏_{k=m}^{n} a_{k}. Besonders

wichtig ist für n ∈ ℕ der Ausdruck n! (gesprochen “n-Fakultät”) definiert durch

n! := \{ \begin{matrix}∏_{k=1}^{n} k falls & n ≥ 1 , \\ 1 falls & n = 0 , \end{matrix}

also n! = 1 · 2 ⋯ n für n ≥ 1. Außerdem definieren wir für n ∈ ℤ und α ∈ ℝ die Binomialkoeffizienten

\binom{α}{n} := \{ \begin{matrix}\frac{1}{n!} ∏_{k=0}^{n−1}(α − k) , falls & n ≥ 0 , \\ 0 falls & n < 0 . \end{matrix}

Insbesondere gilt \binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1 für alle n ∈ ℕ und \binom{m}{n} = 0 für m ∈ ℕ mit m < n. Ist m ∈ ℕ mit m ≥ n, so ergibt sich alternativ die Darstellung

\binom{m}{n} = \frac{m!}{n!(m − n)!}.

Lemma 2.5 Für n, k ∈ ℕ gilt \binom{n + 1}{k + 1} = \binom{n}{k} + \binom{n}{k + 1}.

Beweis. Für k = 0 ist auf der linken Seite \binom{n + 1}{1} = n + 1 und auf der rechten

Seite \binom{n}{0} + \binom{n}{1} = 1 + n, d.h. die Formel gilt für k = 0. Für n = k sind beide Seiten der Gleichung gleich 1 und für k > n verschwinden beide Seiten der Gleichung. Damit verbleibt der Fall n > k ≥ 1:

\binom{n}{k} + \binom{n}{k + 1} = \frac{n!}{k!(n − k)!} + \frac{n!}{(k + 1)!(n − (k + 1))!}

= \frac{n!(k + 1)}{k!(k + 1)(n − k)!} + \frac{n!(n − k)}{(k + 1)!(n − k)(n − k − 1)!}

= \frac{n!(k + 1) + n!(n − k)}{(k + 1)!(n − k)!} = \frac{(n + 1)!}{(k + 1)!(n + 1 − (k + 1))!}

= \binom{n + 1}{k + 1} .  □

Das Lemma ist der Hintergrund für das Pascalsche Dreieck zur Veranschaulichung der Binomialkoeffizienten. Insbesondere ist \binom{n}{k} ∈ ℕ für n, k ∈ ℕ. Satz 2.6 (Binomialentwicklung) Für reelle Zahlen x, y ≠ 0 und n ∈ ℕ gilt

(x + y)^{n} = ∑_{k=0}^{n} \binom{n}{k}x^{k}y^{n−k}.

Beweis. Durch Induktion nach n. i) Induktionsanfang: Für n = 0 ist (x + y)^{0} = 1

und ∑_{k=0}^{0} \binom{0}{k}x^{k}y^{−k} = 1.

ii) Induktionsschritt:

(x + y)^{n+1} = (x + y)(x + y)^{n} = \underbrace{∑_{k=0}^{n} \binom{n}{k}x^{k+1}y^{n−k}}_{k+1→l} + \underbrace{∑_{k=0}^{n} \binom{n}{k}x^{k}y^{n+1−k}}_{k→l}

= ∑_{l=1}^{n+1} \binom{n}{l − 1}x^{l}y^{n+1−l} + ∑_{l=0}^{n} \binom{n}{l}x^{l}y^{n+1−l}

= ∑_{l=1}^{n} \underbrace{\{\binom{n}{l − 1} + \binom{n}{l}\}}_{=\binom{n+1}{l}} x^{l}y^{n+1−l} + \underbrace{\binom{n}{n}}_{=\binom{n+1}{n+1}} x^{n+1}y^{0} + \underbrace{\binom{n}{0}}_{=\binom{n+1}{0}} x^{0}y^{n+1}

= ∑_{l=0}^{n+1} \binom{n + 1}{l}x^{l}y^{n+1−l} .  □

3 Gruppen und Körper

3.1 Gruppen

Die Erweiterung von ℕ zu den ganzen Zahlen ℤ bewirkt, daß die Subtraktion stets ausführbar ist. Dadurch bildet ℤ eine sogenannte kommutative Gruppe.

Unter einer Verknüpfung oder Komposition auf einer Menge G versteht man eine Abbildung

∗ : G × G → G , ∗ : (a, b) ↦ a ∗ b .

Beispiele sind die Addition ∗ = + und Multiplikation ∗ = · in ℕ, ℤ, ℚ, ℝ. Ein weiteres wichtiges Beispiel ist die Menge G = Abb(X, X) = {f : X → X} der Selbstabbildungen von X mit der Komposition ∗ = ∘ als Verknüpfung, f, g ∈ Abb(X, X) ⇒ f ∘ g ∈ Abb(X, X).

Definition 3.1 Eine Menge G zusammen mit einer Verknüpfung ∗ heißt Gruppe, falls die folgenden Axiome erfüllt sind:

(G1) (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) für alle a, b, ∈ G (Assoziativgesetz).

(G2) Es gibt ein neutrales Element e ∈ G mit e ∗ a = a für alle a ∈ G.

(G3) Zu jedem a ∈ G gibt es ein a^{−1} ∈ G (das zu a inverse Element) mit a^{−1} ∗ a = e.

Die Gruppe heißt kommutativ (oder abelsch), falls außerdem a ∗ b = b ∗ a für alle a, b ∈ G. In diesem Fall schreibt man meist + für die Verknüpfung, 0 für das neutrale Element und −a für das zu a inverse Element.

Gruppen sind sehr wichtig in Mathematik und Naturwissenschaften. Beispiele für Gruppen sind, neben den Zahlbereichen, z.B. Drehungen, Verschiebungen, Spiegelungen; allgemein Bewegungen und Zeitentwicklung, Umordnungen (Permutationen), Symmetrieoperationen, etc.

Wir stellen wichtige Eigenschaften von Gruppen zusammen, die direkt aus den Definitionen folgen.

Satz 3.2 Ist G eine Gruppe, so gilt:

i) Das neutrale Element ist eindeutig bestimmt, und außerdem gilt a∗e = a für alle a ∈ G. ii) Das inverse Element a^{−1} ist für jedes a ∈ G eindeutig bestimmt, und außerdem gilt a ∗ a^{−1} = e sowie (a^{−1})^{−1} = a und (a ∗ b)^{−1} = b^{−1} ∗ a^{−1}.

iii) Es gelten die Kürzungsregeln a ∗ b′ = a ∗ b ⇒ b = b′  und  b′ ∗ a =

b ∗ a ⇒ b = b′.

Beweis. Sei e ∈ G eines der neutralen Elemente und a ∈ G. Zum Inversen a^{−1} ∈ G gibt es wieder ein Inverses (a^{−1})^{−1} ∈ G, und es gilt

a ∗ a^{−1} = e ∗ (a ∗ a^{−1}) = ((a^{−1})^{−1} ∗ a^{−1}) ∗ (a ∗ a^{−1}) = (((a^{−1})^{−1} ∗ a^{−1}) ∗ a) ∗ a^{−1}

= ((a^{−1})^{−1} ∗ (a^{−1} ∗ a)) ∗ a^{−1} = ((a^{−1})^{−1} ∗ e) ∗ a^{−1} = (a^{−1})^{−1} ∗ (e ∗ a^{−1})

= (a^{−1})^{−1} ∗ a^{−1} = e

und daraus

a ∗ e = a ∗ (a^{−1} ∗ a) = (a ∗ a^{−1}) ∗ a = e ∗ a = a .

Sei ẽ ∈ G ein weiteres neutrales Element, so gilt aus Sicht von e die Gleichung e ∗ ẽ = ẽ und aus Sicht von ẽ die Gleichung e ∗ ẽ = e, also e = ẽ. Damit ist i) bewiesen und a ∗ a^{−1} = e aus ii).

Sei ã^{−1} ein weiteres Inverses zu a, so gilt

ã^{−1} = ã^{−1} ∗ e = ã^{−1} ∗ (a ∗ a^{−1}) = (ã^{−1} ∗ a) ∗ a^{−1} = e ∗ a^{−1} = a^{−1} ,

also ist das Inverse eindeutig. Damit ist wegen a ∗ a^{−1} = e das Inverse von a^{−1} durch a selbst gegeben. Schließlich gilt

(b^{−1}∗a^{−1})∗(a∗b) = ((b^{−1}∗a^{−1})∗a)∗b = (b^{−1}∗(a^{−1}∗a))∗b = (b^{−1}∗e)∗b = b^{−1}∗b = e

so daß b^{−1} ∗ a^{−1} das Inverse zu a ∗ b ist.

Die Kürzungsregeln folgen nach Verknüpfung von links/rechts mit a^{−1} unter Verwendung der Assoziativität. □

Definition 3.3 Sei G eine Gruppe mit Verknüpfung ∗. Eine nichtleere Teilmenge H ⊆ G heißt Untergruppe, wenn für alle a, b ∈ H auch a ∗ b ∈ H und a^{−1} ∈ H gilt.

Es folgt automatisch e ∈ H (durch Wahl von b = a^{−1}). Ist G eine Gruppe, so sind die Teilmengen H = G und H = {e} Untergruppen. Sie heißen triviale Untergruppen.

Beispiele sind ℤ ⊆ ℚ bezüglich der Addition oder G als Gruppe der Drehungen eines Körpers und H als Untergruppe der Drehungen um eine feste Achse.

3.2 Körper

Die Erweiterung von ℤ zu ℚ bewirkt, daß die Division durch von Null verschiedene Elemente ausführbar wird. Außerdem sind die beiden Verknüpfungen + und · kompatibel. Man sagt, ℚ ist ein Körper:

Definition 3.4 Eine Menge K zusammen mit zwei Verknüpfungen

+ :K × K → K ,  + : (a, b) ↦ a + b  (Addition)
· :K × K → K ,  · : (a, b) ↦ a · b  (Multiplikation)

heißt Körper, wenn folgendes gilt:

(K1) K zusammen mit der Addition ist eine kommutative Gruppe. Ihr neutrales Element wird mit 0 bezeichnet und das zu a ∈ K inverse Element mit −a.

(K2) Sei K^{×} := K \ {0}, dann ist für a, b ∈ K^{×} auch a · b ∈ K^{×}, und K^{×} mit dieser Multiplikation ist eine kommutative Gruppe. Ihr neutrales Element wird mit 1 bezeichnet und das zu a ∈ K^{×} inverse Element mit a^{−1} = 1/a. Man schreibt auch a/b = a · b^{−1} = b^{−1} · a.

(K3) Es gelten die Distributivgesetze

a · (b + c) = a · b + a · c und (a + b) · c = a · c + b · c

für alle a, b, c ∈ K.

Offenbar sind ℚ und ℝ Körper, ℤ ist es nicht (aber ℚ, ℝ und ℤ sind Ringe). Später werden wir den Körper ℂ der komplexen Zahlen einführen. In der Algebra werden noch viele weitere Körper untersucht, z.B. kann man die zweielementige Menge ℤ_{2} := {0, 1} zu einem Körper machen. In ℚ, ℝ, ℂ schreiben wir die Multiplikation meist als ab statt a · b.

In einem Körper gilt

i) 1 ≠ 0 (da 1 ∈ K^{×} und 0 ∉ K^{×})

ii) a · 0 = 0 · a = 0 (verwende a · 0 = a · (0 + 0) = a · 0 + a · 0)

iii) a · b = 0 ⇒ a = 0 oder b = 0 (aus (K2))

iv) a · (−b) = −(a · b) und (−a) · (−b) = a · b

v) a · b = a · c und a ≠ 0 ⇒ b = c

3.3 Ungleichungen

Die rationalen und reellen Zahlen sind dadurch gekennzeichnet, daß gewisse Elemente als positiv ausgezeichnet sind:

Definition 3.5 (Anordnungs-Axiome) Ein Körper K heißt angeordnet, falls eine Teilmenge K_{+}^{×} ⊆ K existiert mit folgenden Eigenschaften:

(A1) Für a ∈ K^{×} ist entweder a ∈ K_{+}^{×} oder −a ∈ K_{+}^{×}.

(A2) Aus a, b ∈ K_{+}^{×} folgen a + b ∈ K_{+}^{×} und ab ∈ K_{+}^{×}.

Die Elemente a ∈ K_{+}^{×} heißen positiv, Schreibweise a > 0.

Offenbar sind ℚ und ℝ angeordnete Körper. Man vereinbart

a > b,  falls a − b > 0
b < a,  falls a > b
a ≤ b,  falls a < b oder a = b
a ≥ b,  falls a > b oder a = b

Ist −a positiv, also a < 0, so heißt a negativ. Ist a ≥ 0, so heißt a nichtnegativ. Die Menge der nichtnegativen reellen Zahlen wird mit ℝ_{+} bezeichnet, die der positiven reellen Zahlen mit ℝ_{+}^{×}. Außerdem ist ℝ^{×} := ℝ \ {0}. Die Anordnung ermöglicht die Darstellung der reellen Zahlen auf der Zahlengeraden.

Alle Regeln für das Rechnen mit Ungleichungen folgen aus diesen Axiomen. Hier eine Auswahl ohne Beweis.

Lemma 3.6 Es sei K ein angeordneter Körper (z.B. ℝ oder ℚ). Dann gelten:

i) Für beliebige a, b ∈ K gilt genau eine der Relationen a > b, a = b, a < b.

ii) Aus a > b und b > c folgt a > c (Transitivität).

iii) Aus a > b folgen a + c > b + c für alle c ∈ K sowie ac > bc für c ∈ K_{+}^{×} und ac < bc für −c ∈ K_{+}^{×}.

iv) Aus a > b > 0 oder 0 > a > b folgt \frac{1}{a} < \frac{1}{b}, während aus a > 0 > b folgt \frac{1}{a} > 0 > \frac{1}{b}.

v) Aus a > b und c > d folgt a+c > b+d und im Fall b, d > 0 auch ac > bd.

vi) Für a ≠ 0 gilt a^{2} > 0.

Analoge Regeln gelten für “≥”. Indem man n ∈ ℕ mit n1 := \underbrace{1 + ⋯ + 1}_{n mal} ∈ K

identifiziert, kann man ℕ als Teilmenge jedes angeordneten Körpers K auffassen, analog auch ℤ. Indem man \frac{p}{q} ∈ ℚ_{+}^{×} für p ∈ ℕ, q ∈ ℕ^{×} mit (p1)(q1)^{−1} ∈ K identifiziert, kann man ℚ_{+}^{×} und analog auch ℚ als Teilmenge jedes angeordneten Körpers K auffassen.

Definition 3.7 (Absolutbetrag) Es sei K ein angeordneter Körper und a ∈ K. Dann heißt

|a| ∈ K_{+} , |a| := \{ \begin{matrix}a falls & a ≥ 0 \\ −a falls & a < 0 \end{matrix}

der Absolutbetrag von a.

Satz 3.8 Für den Absolutbetrag in einem angeordneten Körper K gilt (mit a, b ∈ K)

i) |a| = | − a|
ii) a ≤ |a|, −a ≤ |a|

iii) |a + b| ≤ |a| + |b| (Dreiecksungleichung)

iv) |ab| = |a||b|

v) ||a| − |b|| ≤ |a − b|

Beweis. i) und ii) folgen aus der Definition. iii) Aus ii) und Lemma 3.6.iv folgen a + b ≤ |a| + |b| und −(a + b) ≤ |a| + |b|, aus der Definition des Betrages dann iii). iv) Durch Fallunterscheidung nach a ≷ 0 und b ≷ 0.

v) Aus der Dreiecksungleichung folgt |a| = |a − b + b| ≤ |a − b| + |b| bzw. |a| − |b| ≤ |a − b|. Vertauschen von a, b liefert |b| − |a| ≤ |b − a| = |a − b|, zusammengefaßt damit v). □

Die Dreiecksungleichung (und ihre Verallgemeinerungen) werden wir oft benötigen.

Lemma 3.9 (Bernoullische Ungleichung) Es sei K ein angeordneter Körper (z.B. ℝ oder ℚ).

i) Für alle x ∈ K mit x > −1 und x ≠ 0 und n ∈ ℕ mit n ≥ 2 gilt (1 + x)^{n} > 1 + nx.

ii) Für alle x ∈ K mit x > −1 und n ∈ ℕ gilt (1 + x)^{n} ≥ 1 + nx.

Beweis. Wir beweisen i) durch Induktion nach n. (1) Induktionsanfang: Für n = 2 ergibt sich (1 + x)^{2} = 1 + 2x + x^{2} > 1 + 2x wegen x^{2} > 0.

(2) Induktionsschritt. Die Bernoullische Ungleichung gelte für n. Dann folgt unter Verwendung von 1 + x > 0 und x^{2} > 0

(1+x)^{n+1} = \underbrace{(1 + x)^{n}}_{>1+nx}(1+x) > (1+nx)(1+x) = 1+(n+1)x+nx^{2} > 1+(n+1)x .

Der Beweis von ii) ist analog. □

Definition 3.10 Ein angeordneter Körper K heißt archimedisch, wenn zusätzlich gilt:

(A3) Zu jedem Element a ∈ K gibt es eine natürliche Zahl n, so daß n − a > 0.

Offenbar sind ℚ und ℝ archimedisch angeordnet.

Satz 3.11 Es sei K ein archimedisch angeordneter Körper und q, R, ϵ ∈ K und n ∈ ℕ. Dann gilt:

i) Ist q > 1, so gibt es zu jedem R ∈ K ein N ∈ ℕ mit q^{n} > R ∀n ≥ N.

ii) Ist 0 < q < 1, so gibt es zu jedem ϵ > 0 ein N ∈ ℕ mit q^{n} < ϵ ∀n ≥ N.

iii) Zu jedem ϵ > 0 gibt es ein n ∈ ℕ^{×} mit 0 < \frac{1}{n} < ϵ.

Beweis. i) Setze q = 1 + x mit x > 0. Nach (A3) gibt es ein N ∈ ℕ mit \frac{R}{x} < N, also Nx > R. Nach Bernoulli gilt q^{N} > 1 + Nx für N ≥ 2, N ∈ ℕ. Für Nx > R ergibt sich q^{N} > 1 + R > R und damit q^{n} > R für alle n ≥ N ≥ 2.

ii) Für 0 < q < 1 ist \frac{1}{q} > 1. Nach i) gibt es ein N ∈ ℕ mit (\frac{1}{q})^{n} > R := \frac{1}{ϵ} für alle n ≥ N. Damit ergibt sich 0 < q^{n} < \frac{1}{R} = ϵ für alle n ≥ N.

iii) Nach (A3) gibt es ein N ∈ ℕ mit 0 < \frac{1}{ϵ} =: R < N. Dann ist N ≥ 1, und es folgt 0 < \frac{1}{n} ≤ \frac{1}{N} < \frac{1}{R} = ϵ für alle n ≥ N. □

4 Reelle Zahlen

Alle bisher eingeführten algebraischen Strukturen gelten gleichermaßen für beide archimedisch angeordneten Körper ℚ und ℝ. Der wesentliche analytische Unterschied ist die Vollständigkeit von ℝ. Wir definieren die Vollständigkeit zunächst geometrisch über Intervallschachtelungen, später über sogenannte Fundamentalfolgen (was sich auf andere Beispiele verallgemeinern läßt).

Definition 4.1 i) Beschränkte Intervalle. Seien a, b ∈ ℝ mit a < b. Wir setzen

[a, b] := {x ∈ ℝ : a ≤ x ≤ b} (abgeschlossenes Intervall)
]a, b[ := {x ∈ ℝ : a < x < b} (offenes Intervall)
[a, b[ := {x ∈ ℝ : a ≤ x < b} (rechts halboffenes Intervall)
]a, b] := {x ∈ ℝ : a < x ≤ b} (links halboffenes Intervall)

Die Intervalle [a, b] nennt man auch kompakt. Für alle diese Intervalle I = [a, b],]a, b[, … heißen die Punkte a, b die Randpunkte und die x ∈ ℝ mit a < x < b die inneren Punkte. Für jedes dieser Intervalle I ist Ī:= [a, b] der Abschluß. Die reelle Zahl |I| := b − a heißt Länge des Intervalls I.

ii) Unbeschränkte Intervalle. Sei a ∈ ℝ. Wir setzen

\begin{aligned}[a, ∞[ & := \{x ∈ ℝ : a ≤ x\} & ]a, ∞[ & := \{x ∈ ℝ : a < x\} \\ ] − ∞, a] & := \{x ∈ ℝ : x ≤ a\} & ] − ∞, a[ & := \{x ∈ ℝ : x < a\} \end{aligned}

und ] − ∞, ∞[ = ℝ.

Die in i) und ii) angegebenen Intervalle heißen auch echte Intervalle im Unterschied zum unechten Intervall [a, a] = {x ∈ ℝ : a ≤ x ≤ a} = {a}.

Manchmal werden offene Intervalle auch als (a, b) geschrieben.

Definition 4.2 Eine Intervallschachtelung ist eine Folge I_{0}, I_{1}, I_{2}, …, kompakter Intervalle, kurz (I_{n})_{n∈ℕ}, mit folgenden Eigenschaften:

(I1) I_{n+1} ⊆ I_{n} für alle n ∈ ℕ,

(I2) zu jedem ϵ > 0 gibt es ein Intervall I_{n} mit der Länge |I_{n}| < ϵ.

Eine Formulierung der Vollständigkeit der reellen Zahlen besteht in der Gültigkeit des

4.3 Intervallschachtelungsprinzip. Zu jeder Intervallschachtelung (I_{n})_{n∈ℕ} in ℝ existiert ein x ∈ ℝ mit x ∈ I_{n} für alle n ∈ ℕ.

Die so erhaltene reelle Zahl x ist eindeutig bestimmt: Gäbe es zwei solche Zahlen x_{1}, x_{2} mit x_{1} < x_{2}, so müßte das Intervall [x_{1}, x_{2}] in allen I_{n} enthalten sein, und jedes dieser I_{n} hätte eine Länge ≥ x_{2} − x_{1} im Widerspruch zu (I2). Wir betrachten zwei Intervallschachtelungen (I_{n})_{n∈ℕ} und (J_{n})_{n∈ℕ} als äquivalent, wenn es ein N ∈ ℕ gibt, so daß für alle n ≥ N natürliche Zahlen k, l existieren mit J_{k} ⊆ I_{n} ⊆ J_{0} und I_{l} ⊆ J_{n} ⊆ I_{0}. Die zugehörige Quotientenmenge, d.h. die Menge der Äquivalenzklassen von Intervallschachtelungen, heißt dann Menge der reellen Zahlen und wird mit ℝ bezeichnet.

Eine erste Anwendung der Vollständigkeit ist die Existenz der k-ten Wurzeln positiver reeller Zahlen.

Satz 4.4 Zu jeder reellen Zahl x > 0 und jeder natürlichen Zahl k ≥ 1 gibt es genau eine reelle Zahl y > 0 mit y^{k} = x. (Diese wird als y = x^{\frac{1}{k}} oder y = \sqrt[k]{x} geschrieben.)

Beweis. Da aus y_{1} > y_{2} > 0 die Relation y_{1}^{k} > y_{2}^{k} > 0 folgt, kann es höchstens eine positive Lösung geben. Für x = 1 ist y = 1 die einzige Lösung. Wir betrachten zunächst den Fall x > 1 und konstruieren simultan zwei Intervallschachtelungen (I_{n})_{n∈ℕ} und (J_{n})_{n∈ℕ} mit I_{n} := [a_{n}, b_{n}] und J_{n} := [a_{n}^{k}, b_{n}^{k}] und folgenden Eigenschaften:

(1_{n}) a_{n}^{k} ≤ x ≤ b_{n}^{k}, d.h. x ∈ J_{n}

(2_{n}) |I_{n}| = \frac{1}{2^{n}} |I_{0}| Wir beginnen mit I_{0} := [1, x] und J_{0} = [1, x^{k}] als Induktionsanfang. Dann ist (2_{0}) klar, und aus 1 < x folgt 1^{k} ≤ x ≤ x^{k}. Induktionsschritt von n auf n + 1: Gegeben ist I_{n} = [a_{n}, b_{n}] mit (1_{n}) und (2_{n}). Durch Zerschneiden im Mittelpunkt m_{n} := \frac{1}{2}(a_{n} + b_{n}) = a_{n} + \frac{1}{2}(b_{n} − a_{n}) von I_{n} definieren wir 4 Teilintervalle

I_{n}^{−} := [a_{n}, m_{n}] ,  I_{n}^{+} := [m_{n}, b_{n}] ,  J_{n}^{−} := [a_{n}^{k}, m_{n}^{k}] ,  J_{n}^{+} := [m_{n}^{k}, b_{n}^{k}] .

Wir wählen

I_{n+1} := \{ \begin{matrix}I_{n}^{−} & falls x ∈ J_{n}^{−} =: J_{n+1} \\ I_{n}^{+} & sonst (und dann J_{n}^{+} =: J_{n+1}) \end{matrix}

Diese Konstruktion erfüllt (1_{n+1}) und wegen |I_{n+1}| = \frac{1}{2}|I_{n}| auch (2_{n+1}). Nach Satz 3.11 erfüllt (I_{n})_{n∈ℕ} die Eigenschaften einer Intervallschachtelung (Definition 4.2), und nach dem Intervallschachtelungsprinzip gibt es genau ein y ∈ ℝ mit y ∈ I_{n} für alle n ∈ ℕ.

Die Gleichung y^{k} = x folgt aus der Tatsache, daß auch (J_{n})_{n∈ℕ} eine Intervallschachtelung ist. Der Einschluß J_{n+1} ⊆ J_{n} ist klar, und für die Längen gilt für k > 1

|J_{n}| = b_{n}^{k} − a_{n}^{k} = \underbrace{(b_{n} − a_{n})}_{=|I_{n}|} \underbrace{(b_{n}^{k−1}a_{n}^{0} + b_{n}^{k−2}a_{n}^{1} + ⋯ + b_{n}^{0}a_{n}^{k−1})}_{<kx^{k−1}} < \frac{kx^{k−1}}{2^{n}} |I_{0}| .

Sowohl x als auch y^{k} (wegen a_{n} ≤ y ≤ b_{n} ⇒ a_{n}^{k} ≤ y^{k} ≤ b_{n}^{k}) liegen in jedem Intervall J_{n}. Da diese in allen Intervallen der Schachtelung liegende reelle Zahl eindeutig ist, gilt y^{k} = x.

Ist 0 < x < 1, so konstruiert man zu \frac{1}{x} > 1 die k-te Wurzel y > 1 mit y^{k} = \frac{1}{x}. Dann ist \frac{1}{y} die k-te Wurzel aus x, denn (\frac{1}{y})^{k} = \frac{1}{y^{k}} = \frac{1}{1/x} = x. □

Übung 4.5 In den Übungen werden das arithmetische, geometrische und harmonische Mittel definiert und untersucht. Mit diesen lassen sich sehr zweckmäßige Intervallschachtelungen konstruieren. ♢

Definition 4.6 (obere und untere Schranken) Eine Teilmenge M ⊆ ℝ heißt nach oben beschränkt bzw. nach unten beschränkt, wenn es ein s ∈ ℝ gibt, so daß für alle x ∈ M gilt

x ≤ s bzw. x ≥ s .

In diesem Fall heißt s eine obere Schranke bzw. eine untere Schranke. Die Menge M heißt beschränkt, wenn M nach oben und unten beschränkt ist.

Beispiel 4.7 Für a, b ∈ ℝ sind die offenen, halboffenen und abgeschlossenen Intervalle ]a, b[, [a, b[, ]a, b] und [a, b] beschränkt, damit auch nach oben oder unten beschränkt. Aus dem archimedischen Axiom folgt: Die Intervalle [a, ∞] und ]a, ∞] sind nach unten beschränkt, aber nicht beschränkt. Die Intervalle ] − ∞, b[ und ] − ∞, b] sind nach oben beschränkt, aber nicht beschränkt. Das Intervall ] − ∞, ∞[ ist weder nach oben noch nach unten beschränkt. ◁

In einer beschränkten Menge braucht es eine größte oder kleinste Zahl nicht zu geben. Ist I = ]0, 1[, dann gibt es zu jeder Zahl x ∈ I eine größere, z.B. \frac{1+x}{2} > x. Damit ist s = 1 eine obere Schranke von I (und jede reelle Zahl s > 1 ist ebenfalls eine obere Schranke), aber 1 ∉ I. Aber 1 ist die kleinste obere Schranke von I:

Definition 4.8 (Supremum und Infimum) Eine Zahl s ∈ ℝ heißt Supremum der Menge M ⊆ ℝ, geschrieben s = sup M, wenn s die kleinste obere Schranke für M ist, d.h.

i) M ist beschränkt und s ist eine obere Schranke für M.

ii) Jede Zahl s′ < s ist keine obere Schranke für M. Entsprechend ist das Infimum von M ⊆ ℝ die größte untere Schranke, geschrieben inf M.

Beispiel 4.9 Für die Intervalle I gegeben durch ]a, b[, [a, b[, ]a, b] und [a, b] mit a < b gilt jeweils sup I = b und inf I = a. Auf der nach oben abgeschlossenen Seite von [a, b] und ]a, b] wird das Supremum b in I angenommen, es liegt dann ein Maximum vor, wobei max M := {x ∈ M : y ≤ x ∀y ∈ M}. Es gilt dann sup(]a, b]) = max(]a, b]) = b. Dagegen gilt sup([a, b[) = b, aber [a, b[ besitzt kein Maximum. ◁

Satz 4.10 Jede nach oben (unten) beschränkte nichtleere Teilmenge M ⊆ ℝ besitzt ein Supremum (Infimum).

Bemerkung: Das ist eine Formulierung der Vollständigkeit und gilt somit nicht für M ⊆ ℚ! Beweis (für das Supremum). Analog zum Existenzbeweis der k-ten Wurzel (Satz 4.4) konstruiert man eine Intervallschachtelung (I_{n})_{n∈ℕ} mit I_{n} = [a_{n}, b_{n}] derart, daß b_{n} ∈ ℝ eine obere Schranke ist und a_{n} ∈ M keine obere Schranke ist. Man startet mit einem beliebigen a_{0} ∈ M und einer beliebigen oberen Schranke b_{0} und konstruiert per Induktion das Intervall I_{n+1} durch Halbierung von I_{n}. Eine der Hälften hat die geforderten Eigenschaften. □

Umgekehrt folgt das Intervallschachtelungsprinzip aus der Existenz eines Supremums und Infimums für beschränkte Mengen: Es sei (I_{n})_{n∈ℕ} mit I_{n} = [a_{n}, b_{n}] eine Intervallschachtelung. Die Menge A := {a_{0}, a_{1}, … } ist nach oben beschränkt durch jede der oberen Schranken b_{i}. Dann gibt es das Supremum s = sup A ∈ ℝ (kleinste obere Schranke) mit a_{n} ≤ s ≤ b_{n} für alle n ∈ ℕ.

5 Komplexe Zahlen

Die komplexen Zahlen stellen eine Erweiterung der reellen Zahlen dar, in der die Gleichung z^{2} + 1 = 0 lösbar ist. Viele Bereiche der Analysis lassen sich ohne Modifikation von den reellen auf die komplexen Zahlen erweitern, und manche Eigenschaften im Reellen lassen sich über den “Umweg” der komplexen Zahlen besser verstehen.

Für den zu bestimmenden Erweiterungskörper ℂ der reellen Zahlen fordern wir:

i) z^{2} + 1 = 0 ist lösbar, und i bezeichne eine Lösung dieser Gleichung.

ii) Für jede reelle Zahl x ∈ ℝ gilt auch x ∈ ℂ. Dann ist für x, y ∈ ℝ auch z := x + iy ∈ ℂ. Die Körperaxiome (insbesondere Kommutativität und Distributivität) sowie i^{2} = −1 liefern für x, y, u, v ∈ ℝ:

(x + iy) + (u + iv) = (x + u) + i(y + v) ,
(x + iy) · (u + iv) = (xu − yv) + i(xv + yu) .  (*)

Damit ist die Menge der Elemente der Form x + iy abgeschlossen unter Addition und Multiplikation. Aus (x + iy) = (u + iv) folgt (x − u)^{2} = −(y − v)^{2}, also x = u und y = v. Die beiden reellen Zahlen x, y in z = x + iy sind durch z eindeutig definiert.

Satz 5.1 Die mit der Addition und Multiplikation aus (*) versehene Menge ℂ = {z = x + iy : x, y ∈ ℝ} bildet einen Körper, den Körper der komplexen Zahlen.

Beweis. Es sind die Körperaxiome nach Definition 3.4 zu überprüfen. Man findet: • 0 = 0 + i0 ist das neutrale Element der Addition.

• 1 = 1 + i0 ist das neutrale Element der Multiplikation.

• −z = −x − iy ist bezüglich der Addition das zu z = x + iy inverse Element.

• Nicht so offensichtlich ist das zu z = x + iy ≠ 0 bezüglich der Multiplikation inverse Element: Dieses ist gegeben durch z^{−1} = \frac{x}{x^{2}+y^{2}} − i\frac{y}{x^{2}+y^{2}} . Entscheidend dabei ist x^{2} + y^{2} ≠ 0 für alle z = x + iy ≠ 0.

Durch Nachrechnen zeigt man die Distributivgesetze. □

Allerdings läßt sich in ℂ keine Anordung ℂ_{+}^{×} definieren, so daß je zwei komplexe Zahlen nicht vergleichbar sind. Gäbe es in ℂ eine Relation >, so wäre nach Lemma 3.6.v) sowohl 1 = 1^{2} > 0 als auch −1 = i^{2} > 0, und dann 0 = 1+(−1) > 0, Widerspruch. Es kann jedoch der Abstand komplexer Zahlen über den Betrag verglichen werden.

Definition 5.2 Für z = x + iy ∈ ℂ heißt • Re(z) := x ∈ ℝ der Realteil von z,

• Im(z) := y ∈ ℝ der Imaginärteil von z

• z̄:= x − iy die zu z konjugiert komplexe Zahl.

• |z| := \sqrt{z · z̄} = \sqrt{x^{2} + y^{2}} der Betrag von z. Die Abbildung z ↦ z̄ heißt komplexe Konjugation.

Dabei ist mit \sqrt{x^{2} + y^{2}} ∈ ℝ_{+} die eindeutig bestimmte nichtnegative Wurzel gemeint. Damit folgt für z ≠ 0 die Identität \frac{1}{z} = \frac{z̄}{z·z̄} = \frac{z̄}{|z|^{2}} . Weiter gilt

\overline{z + w} = z̄ + w̄ ,  \overline{z · w} = z̄ · w̄ ,
z + z̄ = 2Re(z) ,  z − z̄ = 2iIm(z) ,
¯z̄ = z ,  z ∈ ℝ ⇔ z = z̄ .

Beispiel 5.3 Es sei z = \frac{3+4i}{1−2i}, gesucht sind Re(z), Im(z) und |z|. Dazu schreiben wir:

z = \frac{3 + 4i}{1 − 2i} = \frac{(3 + 4i)(1 + 2i)}{(1 − 2i)(1 + 2i)} = \frac{1}{5}((3 · 1 − 4 · 2) + i(3 · 2 + 4 · 1)) = −1 + 2i .

Somit Re(z) = −1, Im(z) = 2 und |z| = \sqrt{5}. ◁

18 Wir nennen eine Teilmenge M ⊆ ℂ beschränkt, falls die reelle Teilmenge der Beträge {|z| : z ∈ M} beschränkt ist. Eine beschränkte komplexe Menge kann jedoch kein Supremum/Infimum besitzen.

Preliminary version – 31. Januar 2018

Satz 5.4 Für beliebige z, w ∈ ℂ gilt

i) |z| > 0 ⇔ z ≠ 0,
ii) |z̄| = |z|,
iii) |Re(z)| ≤ |z| , |Im(z)| ≤ |z|,
iv) |z · w| = |z| · |w|,
v) |z + w| ≤ |z| + |w| (Dreiecksungleichung).

Beweis. i),ii),iii) sind klar. Zu (iv) betrachte |zw|^{2} = zw\overline{zw} = zz̄ww̄ = |z|^{2}|w|^{2}. Bleibt die Dreiecksungleichung:

|z + w|^{2} = (z + w)(z̄ + w̄) = |z|^{2} + zw̄ + z̄w + |w|^{2} = |z|^{2} + 2Re(zw̄) + |w|^{2}
≤^{iii)} |z|^{2} + 2|zw̄| + |w|^{2} = |z|^{2} + 2|z||w| + |w|^{2} = (|z| + |w|)^{2} .  □

Es ist nun sehr intuitiv, eine komplexe Zahl z = x + iy als Punkt (x, y) in einem kartesischen Koordinatensystem in der Ebene (Gaußsche Zahlenebene) darzustellen. Nach Pythagoras ist dann |z| gerade der Abstand dieses Punktes vom Ursprung 0 = (0, 0).

[figure: *; (x, y); y; x; ^{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}; 0; α]

Für r > 0 sind die Mengen K_{r}(a) := \{z ∈ ℂ : |z − a| < r\} bzw. \overline{K_{r}(a)} := \{z ∈ ℂ : |z − a| ≤ r} bzw. offene bzw. abgeschlossene Kreise (später mehr dazu) mit Mittelpunkt a ∈ ℂ und Radius r. Ist z ≠ 0, dann ergeben sich Real- und Imaginärteil in Polarkoordinaten zu x = |z| cos α und y = |z| sin α, so daß wir folgende Darstellung einer komplexen Zahl erhalten:

z = |z|(cos α + i sin α) , 0 ≤ α < 2π .

Die Addition (x, y) + (u, v) := (x + u, y + v) entspricht geometrisch der Addition von Vektoren:

[figure: Im; Re; z; wz; w; z+w; 0; 1]

Die Dreiecksungleichung |z + w| ≤ |z| + |w| entspricht der Tatsache, daß in einem Dreieck die Summe zweier Seitenlängen größer ist als die Länge der verbleibenden Seite.

Die Multiplikation schreibt man am besten in Polarkoordinaten: Ist z = |z|(cos α + i sin α) und w = |w|(cos β + i sin β), dann ergibt sich

zw = |z||w|((cos α cos β − sin α sin β) + i(cos α sin β + sin α cos β))
= |z||w|( cos(α + β) + i sin(α + β)) ,

wobei im letzten Schritt die Additionstheoreme verwendet wurden. Folglich ergibt sich in Polarkoordinaten das Produkt zw durch Multiplikation der Radien und Addition der Winkel von z und w.

Über diese geometrische Deutung der Multiplikation findet man die n-ten Einheitswurzeln, also komplexe Zahlen mit z^{n} = 1. Nach der Eindeutigkeit der reellen Wurzeln gilt |z_{k}| = 1 für jede Lösung z_{k}: die Einheitswurzeln liegen auf dem (Einheits-) Kreis mit Radius 1 um den Ursprung. Damit gilt z_{k} = cos α_{k} + i sin α_{k} und nach der Multiplikationsregel z_{k}^{n} = cos(nα_{k}) + i sin(nα_{k}). Aus z_{k}^{n} = 1 folgt nun nα_{k} = 2πk mit k ∈ ℤ, und die Menge der verschiedenen Lösungswinkel ist somit α = \{\frac{2πk}{n} : k = 0, 1, 2, …, n − 1\}. Folglich hat z^{n} = 1 die n Lösungen z_{k} = cos \frac{2πk}{n} + i sin \frac{2πk}{n} mit k = 0, 1, …, n − 1. Insbesondere hat

• z^{2} = 1 die Lösungen z = {1, −1},

• z^{3} = 1 die Lösungen z = \{1, −\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i, −\frac{1}{2} − \frac{\sqrt{3}}{2}i\}
• z^{4} = 1 die Lösungen z = {1, i, −1, −i}.

In den Übungen wird gezeigt, daß sich die 5. Einheitswurzeln durch den Goldenen Schnitt g > 1 ausdrücken lassen, g − 1 = \frac{1}{g} = h. Die 6. Einheitswurzeln sind Potenzen von \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i.

Die Tatsache, daß z^{n} = 1 genau n Lösungen hat, steht in Verbindung zum

5.5 Fundamentalsatz der Algebra. Es sei n > 0. Jede Gleichung

z^{n} + a_{n−1}z^{n−1} + ⋯ + a_{1}z + a_{0} = 0

mit komplexen Koeffizienten besitzt in ℂ mindestens eine Lösung.

Nach Polynomdivision hat die Gleichung dann genau n mit Vielfachheit gezählte Lösungen. Der Beweis wird später gegeben, wenn geeignete Methoden erarbeitet sind.

Wir betrachten den Fall n = 2 und

0 = z^{2} + 2az + b = (z + a)^{2} − (a^{2} − b) , a, b ∈ ℂ .

Die formale Lösung z = −a ± \sqrt{a^{2} − b} bleibt natürlich richtig, die konkrete Berechnung erfordert jedoch die Umwandlung von a^{2} − b in Polarkordinaten und Winkelhalbierung. Eine andere Strategie ist die folgende: Wir suchen Lösungen w = x + iy ∈ ℂ von w^{2} = c mit w = z + a und c = a^{2} − b = α + iβ ∈ ℂ. Dann ist

x^{2} − y^{2} = α ,  x^{2} + y^{2} = |c| = \sqrt{α^{2} + β^{2}} ,  2xy = β .

Ist β ≠ 0, dann folgt unter Beachtung von 2xy = β

x = ±\sqrt{\frac{1}{2}(\sqrt{α^{2} + β^{2}} + α)} , y = ±\frac{β}{|β|}\sqrt{\frac{1}{2}(\sqrt{α^{2} + β^{2}} − α)} ,

Ist β = 0, dann ist w = ±\sqrt{α} für α > 0 und w = ±i\sqrt{−α} für α < 0.

Zusammenfassung Teil I

• Grundlegende Begriffe zu Mengen und Abbildungen

• ∀ (für alle) und ∃ (es gibt ein) sowie ihre Negationen

• Beweismethoden: indirekter Beweis und vollständige Induktion

• Geometrische Summenformel, Binomialentwicklung

• Rechnen mit Ungleichungen, Dreiecksungleichung, Bernoullische Ungleichung

• Reelle Zahlen: Intervallschachtelungsprinzip; Supremum und Infimum, Maximum und Minumum

• Komplexe Zahlen: i^{2} = −1, Bildung des Inversen, komplexe Konjugation, Betrag, Dreiecksungleichung, Einheitswurzeln

Teil II

Vektorräume

6 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen

Wir geben hier zunächst eine elementare Einführung in lineare Gleichungssysteme (LGS) und das Standardverfahren zur Bestimmung der Lösung. Eine systematische Untersuchung der Menge der Lösungen erfolgt später, wenn Vektorräume und linearen Abbildungen zwischen ihnen bereitgestellt sind.

Definition 6.1 Es sei 𝕂 = ℝ oder 𝕂 = ℂ. Ein lineares Gleichungssystem über 𝕂 aus m Gleichungen mit n Unbekannten ist ein System der Form

a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + ⋯ + a_{1n}x_{n} = b_{1}
a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + ⋯ + a_{2n}x_{n} = b_{2}
⋮  (*)
a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + ⋯ + a_{mn}x_{n} = b_{m}

wobei die Koeffizienten (a_{ij}) = {a_{11}, …, a_{mn}} ∈ 𝕂 und die b_{1}, …, b_{m} ∈ 𝕂 fest vorgegebene Zahlen sind und das n-Tupel (x_{1}, …, x_{n}) ∈ 𝕂^{n} eine zu bestimmende Lösung des Systems ist.

Wichtig ist, daß keine Exponenten wie x_{1}^{2}, x_{2}^{−1}, x_{n}^{3} usw. der x_{i} auftreten. Offenbar gilt:

Satz 6.2 (elementare Zeilenumformungen) Gegeben sei ein LGS (*). Die Menge der Lösungen (x_{1}, …, x_{n}) ∈ 𝕂^{n} des Systems bleibt unverändert bei folgenden Typen von Änderungen des Systems:

Typ I Vertauschen zweier Gleichungen.

Typ II Ersetzen der j-ten Gleichung durch die Summe aus der i-ten und j-ten Gleichung und Beibehalten der i-ten Gleichung.

Typ III Multiplikation der i-ten Gleichung mit λ ∈ 𝕂^{×} (d.h. λ ≠ 0).

Die Änderungen vom Typ II und III werden oft zusammen ausgeführt:

Typ IV Ersetzen der j-ten Gleichung durch die Summe aus dem λ-fachen der i-ten Gleichung und der j-ten Gleichung und Beibehalten der i-ten Gleichung.

Alle diese elemenaren Zeilenumformungen lassen sich wieder rückgängig machen. Z.B. Typ II durch

i) Multiplikation der i-ten Gleichung mit (−1)

ii) Addition der neuen i-ten Gleichung zur j-ten

iii) Multiplikation der i-ten Gleichung mit (−1)

und Typ III durch

i) Multiplikation der i-ten Gleichung mit \frac{1}{λ}.

Die Lösungsstrategie besteht darin, durch elementaren Zeilenumformungen das System so umzuformen, daß zumindest eine der Variablen allein steht und abgelesen werden kann. Das Verfahren wird dann für die verbliebenen n−1 Variablen wiederholt, usw.

Beispiel 6.3 I_{ij} bedeutet Vertauschen der Gleichungen i und j und IV_{ij}(λ) bedeutet Addition der λ-fachen i-ten Gleichung zur j-ten:

\begin{aligned}1 · x_{1} & + & 0 · x_{2} & + & 1 · x_{3} & + & 0 · x_{4} & = & 2 \\ 0 · x_{1} & + & 3 · x_{2} & + & 0 · x_{3} & + & (−1) · x_{4} & = & 6 \\ 0 · x_{1} & + & 1 · x_{2} & + & \frac{1}{4} · x_{3} & + & 0 · x_{4} & = & 0 \end{aligned}

I_{23}, IV_{23}(−3) :  \begin{aligned}1 · x_{1} & + & 0 · x_{2} & + & 1 · x_{3} & + & 0 · x_{4} & = & 2 \\ 0 · x_{1} & + & 1 · x_{2} & + & \frac{1}{4} · x_{3} & + & 0 · x_{4} & = & 0 \\ 0 · x_{1} & + & 0 · x_{2} & − & \frac{3}{4} · x_{3} & + & (−1) · x_{4} & = & 6 \end{aligned}

Geben wir z.B. x_{4} beliebig vor, dann lesen wir ab: x_{3} = −8 − \frac{4}{3}x_{4}, x_{2} = 2 + \frac{1}{3}x_{4} und x_{1} = 10 + \frac{4}{3}x_{4}. ◁

Das ist eine typische Situation: in Lösungen linearer Gleichungssysteme können manche Variablen beliebig gewählt werden, andere sind eindeutig bestimmt, oder es kann auch gar keine Lösung geben. Wir werden im 2. Semster Methoden erarbeiten, mit denen die Menge der Lösungen eines LGS charakterisiert werden kann. Zunächst führen wir eine Matrixschreibweise ein, mit der lineare Gleichungssysteme und die elementaren Zeilenumformungen sich übersichtlicher schreiben lassen.

Definition 6.4 Ein Schema der Form

A = ( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} & … & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & … & a_{2n} \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ a_{m1} & a_{m2} & … & a_{mn} \end{matrix} )

mit a_{ij} ∈ 𝕂 für alle 1 ≤ i ≤ m und 1 ≤ j ≤ n heißt m × n-Matrix (über 𝕂). Die Menge aller m × n-Matrizen über 𝕂 wird mit M(m × n, 𝕂) bezeichnet.

Man schreibt auch A = (a_{ij}) _{\begin{matrix}i = 1, …, m \\ j = 1, …, n \end{matrix}} oder, wenn die Größe m×n klar ist, auch

A = (a_{ij}), mit dem Eintrag a_{ij} auf der Kreuzung der i-ten Zeile mit der j-ten Spalte. Der erste Index ist also der Zeilenindex, der zweite Index der Spaltenindex. Wir identifizieren M(n×1, 𝕂) mit 𝕂^{n}, d.h. wir schreiben Elemente aus 𝕂^{n} in der

Regel als Spalten x = (x_{i})_{i=1,...,n} = ( x_{1} ; ⋮ ; x_{n} ). Sind x = ( x_{1} ; ⋮ ; x_{n} ) , y = ( y_{1} ; ⋮ ; y_{n} ) ∈

𝕂^{n} und ist λ ∈ 𝕂, so erklärt man die Addition und die Multiplikation mit Skalaren durch

x + y := ( x_{1} + y_{1} ; ⋮ ; x_{n} + y_{n} ) und λx := ( λx_{1} ; ⋮ ; λx_{n} ) .

Schließlich erklären wir eine Matrixmultiplikation · : M(m×n, 𝕂)×𝕂^{n} → 𝕂^{m} wie folgt:

( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} & … & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & … & a_{2n} \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ a_{m1} & a_{m2} & … & a_{mn} \end{matrix} ) · ( x_{1} ; x_{2} ; ⋮ ; x_{n} ) := ( a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + ⋯ + a_{1n}x_{n} ; a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + ⋯ + a_{2n}x_{n} ; ⋮ ; a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + ⋯ + a_{mn}x_{n} ) .

Die Größe der Matrizen muß dabei passen, d.h. ein Produkt M(m × n, 𝕂) × 𝕂^{l} ist für l ≠ n nicht erklärt! Ist also A = (a_{ij}) _{\begin{matrix}i = 1, …, m \\ j = 1, …, n \end{matrix}} und x = (x_{j})_{j=1,...,n}, so ist

A · x = b = (b_{i})_{i=1,...,m} mit b_{i} = ∑_{j=1}^{n} a_{ij}x_{j}.

Beispiel 6.5 Sei A = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{matrix} ) ∈ M(2 × 3, ℝ) und x = ( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ −1 \end{matrix} ) ∈ ℝ^{3}, so

ist A · x = ( \begin{matrix}1 · 1 + 2 · 2 + 3 · (−1) \\ 4 · 1 + 5 · 2 + 6 · (−1) \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}2 \\ 8 \end{matrix} ) ∈ ℝ^{2}. ◁

Damit läßt sich ein lineares Gleichungssystem aus m Gleichungen mit n Unbekannten schreiben als A · x = b, wobei A ∈ M(m × n, 𝕂) und b ∈ 𝕂^{m} gegeben sind und die Lösung x ∈ 𝕂^{n} gesucht ist. Wir können nun die elementaren Zeilenumformungen des LGS A · x = b in Matrixschreibweise formulieren:

Typ I Vertauschen zweier Zeilen von A und der entsprechenden Einträge von b.

Typ II Ersetzen der j-ten Zeile von A durch die Summe aus der i-ten und j-ten Zeile und Beibehalten der i-ten Zeile, sowie Ersetzen des j-ten Eintrags von b durch die Summe aus i-tem und j-tem Eintrag von b und Beibehalten des i-ten Eintrags von b.

Typ III Multiplikation der i-ten Zeile von A und des i-ten Eintrags von b mit λ ∈ 𝕂^{×}.

Typ IV Ersetzen der j-ten Zeile von A durch die Summe aus dem λ-fachen der i-ten Zeile und der j-ten Zeile und Beibehalten der i-ten Zeile, und entsprechend für die Einträge von b.

Man sieht dabei, daß die elementaren Zeilenumformungen an der Lösung x = (x_{j}) nichts ändern. Deshalb kann x gefahrlos weggelassen werden und die Zeilenumformungen einheitlich für die erweiterte Koeffizientenmatrix

(A|b) = ( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} & … & a_{1n} & b_{1} \\ a_{21} & a_{22} & … & a_{2n} & b_{2} \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ a_{m1} & a_{m2} & … & a_{mn} & b_{m} \end{matrix} )

durchgeführt werden.

Beispiel 6.6 Wir wiederholen die Schritte aus Beispiel 6.3:

( \begin{matrix}1 & 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & 0 & −1 & 6 \\ 0 & 1 & \frac{1}{4} & 0 & 0 \end{matrix} ) ⟶^{\begin{matrix}I & 23 \\ IV_{13}(−3) \end{matrix}}  ( \begin{matrix}1 & 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & \frac{1}{4} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & −\frac{3}{4} & −1 & 6 \end{matrix} )

Eine solche Matrix heißt in Zeilenstufenform. Durch Zeilenumformung vom Typ III kann erreicht werden, daß die erste von Null verschiedene Zahl jeder Zeile zu 1 wird:

⟶^{III_{3}(− \frac{4}{3} )} ( \begin{matrix}1 & 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & \frac{1}{4} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{4}{3} & −8 \end{matrix} )

Schließlich kann mit Typ IV erreicht werden, daß alle Zahlen oberhalb der ersten 1 jeder Zeile zu Null werden:

⟶^{IV_{32}(− \frac{4}{3} ), IV_{31}(−1)} ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 & −\frac{4}{3} & 10 \\ 0 & 1 & 0 & −\frac{1}{3} & 2 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{4}{3} & −8 \end{matrix} )

Die Lösung ist damit (wie zuvor) x_{3} = −8− \frac{4}{3}x_{4}, x_{2} = 2+ \frac{1}{3}x_{4} und x_{1} = 10+ \frac{4}{3}x_{4}.

◁

Eine nützliche Definition ist also

Definition 6.7 Eine Matrix A ∈ M(m × n, 𝕂) heißt in Zeilenstufenform, falls gilt:

i) Es gibt eine Zahl r ≤ m, so daß die Zeilen mit Index i = 1, …, r nicht identisch Null sind, während die Zeilen mit Index i = r + 1, …, m identisch Null sind. ii) Bezeichne j_{i} := min{j : a_{ij} ≠ 0} den kleinsten Spaltenindex der Zeilen

i = 1, …, r mit Eintrag ≠ 0, so gilt j_{1} < j_{2} < ⋯ < j_{r}.

Satz 6.8 Jede Matrix A ∈ M(m × n, 𝕂) läßt sich durch endlich viele elementare Zeilenumfomungen auf spezielle Zeilenstufenform

Ã = ( \begin{matrix}0 & … & 0 & 1 & ∗ & … & ∗ & 0 & ∗ & … & ∗ & 0 & ∗ & … & ∗ & 0 & … \\ 0 & … & 0 & 0 & 0 & … & 0 & 1 & ∗ & … & ∗ & 0 & ∗ & … & ∗ & 0 & … \\ 0 & & & & & … & & & & & 0 & 1 & ∗ & … & ∗ & 0 \\ 0 & & & & & & & & & … & & & & & 0 & 1 & … \\ ⋮ & & & & & & & & & … & & & & & & & ... \end{matrix} )

bringen mit a_{ij_{i}} = 1 und a_{kj_{i}} = 0 für k ≠ i, wenn j_{i} := min{j : a_{ij} ≠ 0}. Ein ∗ steht für ein beliebiges Element aus 𝕂. Jede Zeile wird nach einer Reihe von Nullen mit 1 begonnen, und zwar später als in jeder der vorangehenden Zeilen. Oberhalb und unterhalb der führenden 1 sind alle Einträge Null.

Beweis. Suche die erste Spalte j, die nicht identisch Null ist. Durch Zeilenvertauschung (Typ I) läßt sich erreichen, daß der erste Eintrag a_{1j} dieser Spalte ≠ 0 ist. Teile die erste Zeile durch diesen Eintrag a_{1j} (Typ III). Diese neue erste Zeile wird nun festgehalten. Addiere zu jeder Zeile i = 2, … m das (−a_{ij})-fache der neuen ersten Zeile (Typ IV). Dadurch wird a_{ij} = 0 für alle i > 1. Wiederhole das Verfahren für die Zeilen 2 bis m, wobei j nun der kleinste Spaltenindex mit einem a_{ij} ≠ 0 für i = 2, …, m ist, u.s.w. Das Ergebnis ist eine Matrix in Zeilenstufenform, wobei jede Zeile nach einer Reihe von Nullen mit 1 begonnen wird. Durch erneute Umformungen vom Typ IV werden dann (wie in Beispiel 6.6) oberhalb der führenden 1 jeder Zeile die Einträge auf 0 gebracht. □

Definition 6.9 Die Anzahl der Zeilen einer Matrix A ∈ M(m × n, 𝕂), die nach Überführung in Zeilenstufenform nicht identisch Null sind, heißt der Rang von A, geschrieben rang(A).

Wir werden später sehen, daß der Rang unabhängig von der Wahl der elementaren Zeilenumformungen ist.

Liegt die erweiterte Koeffizientenmatrix in spezieller Zeilenstufenform vor (was nach Satz 6.8 durch elementare Zeilenumformungen immer erreicht werden kann, wobei sich nach Satz 6.2 die Menge der Lösungen des LGS nicht ändert), so läßt sich die Lösung des LGS A · x = b mit A ∈ M(m × n, 𝕂) und b ∈ 𝕂^{m} wie folgt ermitteln:

Satz 6.10 (Gaußsches Eliminationsverfahren) Es sei A · x = b ein lineares Gleichungssystem, A ∈ M(m × n, 𝕂) und b ∈ 𝕂^{m}. Die erweiterterte Koeffizientenmatrix (A|b) liege in spezieller Zeilenstufenform vor.

• Ist rang(A|b) ≠ rang(A) = r, d.h. b_{r+1} ≠ 0, so gibt es keine Lösung, denn die (r + 1)-te Gleichung 0 = ∑_{j=1}^{n} a_{r+1,j}x_{j} = b_{r+1} ist nicht lösbar.

• Ist rang(A|b) = rang(A), so sind die n − r Variablen x_{k} mit k ∉ {j_{1}, …, j_{r}} im Sinne von Definition 6.7.ii), welche also Stufen der Länge ≥ 2 entsprechen, freie Variablen. Sie können beliebig aus 𝕂 gewählt werden.

• Die verbleibenden x_{j_{i}} mit i = 1, …, r sind gebundene Variablen, deren Wert sich nach Wahl der freien x_{k} bestimmt zu x_{j_{i}} = b_{i} − ∑_{k∉{j_{1},...,j_{r}}} a_{ik}x_{k}. □

Offenbar gilt: Für n = r ist die Lösung eindeutig bestimmt, für m = r (keine Nullzeilen) ist das LGS für alle b ∈ 𝕂^{m} lösbar. Achtung: die sofortige Lösung des LGS durch x_{j_{i}} = b_{i} − ∑_{k∉{j_{1},...,j_{r}}} a_{ik}x_{k} ist nur richtig, wenn (A|b) in spezieller Zeilenstufenform vorliegt.

Mit y = ( x_{j_{1}} ; ⋮ ; x_{j_{r}} ) ∈ 𝕂^{r} für die gebundenen Variablen und w = ( x_{k_{1}} ; ⋮ ; x_{k_{n−r}} ) ∈

𝕂^{n−r} mit k_{1} < ⋯ < k_{n−r} ∉ {j_{1}, …, j_{r}} für die freien Variablen und Zusammenfassung der Matrixelemente c_{il} := a_{ik_{l}} zu einer Matrix C = (c_{il}) ∈ M(r × (n − r), 𝕂) ergibt sich die Lösung von A · x = b (in spezieller Zeilen-

stufenform) zu y = b̃ − C · w mit w ∈ 𝕂^{n−r} beliebig und b̃ = ( b_{1} ; ⋮ ; b_{r} ) ∈ 𝕂^{r}.

Beispiel 6.11

( \begin{matrix}2 & 1 & 3 & −2 & 1 \\ 5 & 3 & 8 & −4 & −1 \\ 4 & 1 & 5 & −6 & 9 \end{matrix} ) ⟶^{III_{1}( \frac{1}{2} ),IV_{12}(−5),IV_{13}(−2)} ( \begin{matrix}1 & \frac{1}{2} & \frac{3}{2} & −1 & \frac{1}{2} \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 1 & −\frac{7}{2} \\ 0 & −1 & −1 & −2 & 7 \end{matrix} )

⟶^{III_{2}(2),IV_{23}(1))} ( \begin{matrix}1 & \frac{1}{2} & \frac{3}{2} & −1 & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 1 & 2 & −7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) ⟶^{IV_{21}(− \frac{1}{2} )} ( \begin{matrix}1 & 0 & 1 & −2 & 4 \\ 0 & 1 & 1 & 2 & −7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} )

Als Lösung lesen wir ab:

\underbrace{( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix} )}_{y} = \underbrace{( \begin{matrix}4 \\ −7 \end{matrix} )}_{b̃} − \underbrace{( \begin{matrix}1 & −2 \\ 1 & 2 \end{matrix} )}_{C} · \underbrace{( \begin{matrix}x_{3} \\ x_{4} \end{matrix} )}_{w}

mit x_{3}, x_{4} ∈ 𝕂 beliebig. Wir haben rang(A|b) = rang(A) = 2. ◁

7 Vektorräume

Vektorräume sind der zentrale Gegenstand der linearen Algebra.

Definition 7.1 Sei K ein Körper. Eine Menge V zusammen mit einer inneren Verknüpfung + : V × V → V (der Addition) und einer äußeren Verknüpfung · : K × V → V (Multiplikation mit Skalaren) heißt Vektorraum über K, wenn gilt:

(V1) V zusammen mit der Addition ist eine kommutative Gruppe. (Wie üblich wird das neutrale Element wird mit 0 ∈ V bezeichnet und das zu v ∈ V inverse Element mit −v.)

(V2) Für die Multiplikation mit Skalaren gilt

(λ + μ) · v = λ · v + μ · v ,  λ · (v + w) = λ · v + λ · w ,
λ · (μ · v) = (λμ) · v ,  1 · v = v ,

für alle λ, μ ∈ K und v, w ∈ V.

Ein Element eines Vektorraums V heißt Vektor.

Die wichtigsten Fälle sind Vektorräume über K = ℝ und K = ℂ, und schreiben oft auch 𝕂 statt K. Wir sprechen dann von reellen bzw. komplexen Vektorräumen.

Satz 7.2 In einem Vektorraum über K gilt

i) 0 · v = 0 ∈ V ∀v ∈ V
ii) λ · 0 = 0 ∈ V ∀λ ∈ K
iii) (−1) · v = −v ∀v ∈ V
iv) λ · v = 0 ∈ V ⇔ λ = 0 oder v = 0

Beweis. Beweis von i),ii),iii) analog zu Körpern am Ende von 3.2. iv): Ist λ · v = 0, aber λ ≠ 0, so gilt v = 1 · v = (λ^{−1}λ) · v = λ^{−1} · (λ · v) = 0. □

Beispiel 7.3 (für Vektorräume)

i) K^{n} = {x = (x_{1}, …, x_{n}) : x_{i} ∈ K} ist ein Vektorraum mit Addition

(x_{1}, …, x_{n}) + (y_{1}, …, y_{n}) := (x_{1} + y_{1}, …, x_{n} + y_{n})

und skalarer Multiplikation

λ · (x_{1}, …, x_{n}) := (λx_{1}, …, λx_{n}) .

Wir schreiben Vektoren aus K^{n} oft auch als Spalten statt als Zeilen. ii) Der Vektorraum M(m×n, K) der (m×n)-Matrizen mit Einträgen aus K ist ein Vektorraum mit komponentenweiser Addition und skalarer Multiplikation: Schreiben wir A = (a_{ij}), B = (b_{ij}) ∈ M(m × n, K), so ist

A + B := (a_{ij} + b_{ij}) , λ · A := (λa_{ij}) .

iii) ℂ kann als reeller Vektorraum aufgefaßt werden durch · : ℝ × ℂ → ℂ, (λ, x + iy) ↦ λx + iλy. ◁

Im Laufe dieser Vorlesung werden wir weitere wichtige Beispiele für Vektorräume kennenlernen. Hier ein Ausblick ohne Erläuterungen:

• Polynome

• konvergente Zahlenfolgen, Nullfolgen, Potenzreihen

• stetige Funktionen, differenzierbare Funktionen, integrierbare Funktionen

• lineare Abbildungen

• lineare stetige Operatoren auf Hilbert-Räumen

Definition 7.4 Sei V ein Vektorraum. Eine Teilmenge W ⊆ V heißt Untervektorraum, wenn

(UV1) W ≠ ∅

(UV2) v, w ∈ W ⇒ v + w ∈ W (d.h. W ist abgeschlossen bezüglich der Addition)

(UV3) v ∈ W , λ ∈ K ⇒ λ · v ∈ W (d.h. W ist abgeschlossen bezüglich der Multiplikation mit Skalaren)

Ein Untervektorraum ist automatisch ein Vektorraum. Beispiele sind

i) der Nullvektor W = {0}

ii) Vielfache W = {λ · v : λ ∈ K} eines ausgewählten Vektors v ∈ V, speziell jede Gerade in der Ebene durch den Nullpunkt, W = {(x, y) ∈ ℝ^{2} : ax + by = 0} für a, b ∈ ℝ.

Satz 7.5 Seien W_{i} mit i ∈ I (Indexmenge) jeweils Untervektorräume von V, so ist der Durchschnitt W := ⋂_{i∈I} W_{i} ⊆ V wieder ein Untervektorraum von V.

Beweis. 0 ∈ W_{i} ∀i ∈ I, also 0 ∈ W (damit ist W nicht leer). Seien v, w ∈ W, so sind v, w ∈ W_{i} ∀i ∈ I. Dann ist auch v + w ∈ W_{i} ∀i ∈ I und somit v + w ∈ W. Analog ist λ · v ∈ W. □

Dagegen ist die Vereinigung von Untervektorräumen im allgemeinen nicht wieder ein Untervektorraum. Man kann eine solche Vereinigung aber zu einen Vektorraum abschließen.

Definition 7.6 (Linearkombinationen) Seien v_{1}, …, v_{r} ∈ V (nicht notwendig verschiedene) Vektoren aus V. Ein Vektor v ∈ V heißt Linearkombination von v_{1}, …, v_{r}, wenn es λ_{1}, …, λ_{r} ∈ K gibt, so daß

v = λ_{1} · v_{1} + ⋯ + λ_{r} · v_{r} = ∑_{i=1}^{r} λ_{i} · v_{i} .

Wir bezeichnen mit

span_{K}(v_{1}, …, v_{r}) = {∑_{i=1}^{r} λ_{i} · v_{i} : λ_{i} ∈ K}

den Raum aller Linearkombinationen von v_{1}, …, v_{r}. Offenbar ist span_{K}(v_{1}, …, v_{r}) ein Untervektorraum von V, er heißt der durch v_{1}, …, v_{r} aufgespannte (oder erzeugte) Untervektorraum.

Die Definition läßt sich verallgemeinern auf Untervektorräume, die von einer Familie (v_{i})_{i∈I} aus möglicherweise unendlich vielen Vektoren aufgespannt wird. Dann ist span_{K}(v_{i})_{i∈I} definiert als die Menge aller endlichen Linearkombinationen, d.h. zu jedem v ∈ span_{K}(v_{i})_{i∈I} gibt es Indizes i_{1}, …, i_{r} ∈ I und Skalare λ_{1}, …, λ_{r} ∈ K, so daß v = ∑_{j=1}^{r} λ_{j}v_{i_{j}}.

Beispiel 7.7 (für Linearkombinationen)

i) Für V = ℝ^{3} und v_{1}, v_{2} ∈ V ist span_{ℝ}(v_{1}) die Gerade durch 0 und v_{1}, falls v_{1} ≠ 0, und span_{ℝ}(v_{1}, v_{2}) die Ebene durch 0, v_{1}, v_{2}, falls v_{1} ≠ 0 und

v_{2} ∉ span_{ℝ}(v_{1}).

ii) Im Vektorraum K^{n} setzen wir e_{i} = (0, …, 0, 1, 0, …, 0), wobei die 1 an der i-ten Stelle steht. Dann ist span_{K}(e_{i})_{i=1,...,n} = K^{n}. ◁

Im weiteren wird es wichtig sein, ob sich ein Vektor v ∈ V in eindeutiger Weise als Linearkombination von vorgegebenen Vektoren v_{1}, …, v_{r} darstellen läßt oder nicht.

Definition 7.8 Sei V ein Vektorraum über K. Eine Familie von endlich vielen Vektoren v_{1}, …, v_{r} heißt linear unabhängig (bzw. die Vektoren v_{1}, …, v_{r} heißen linear unabhängig), wenn aus λ_{1} · v_{1} + ⋯ + λ_{r} · v_{r} = 0 für λ_{1}, …, λ_{r} ∈ K folgt λ_{1} = λ_{2} = ⋯ = λ_{r} = 0.

Eine beliebige Familie (v_{i})_{i∈I} heißt linear unabhängig, wenn jede endliche Teilfamilie linear unabhängig ist. Entsprechend heißt eine Familie (v_{i})_{i∈I}, die nicht linear unabhängig ist, linear abhängig. In diesem Fall gibt es also v_{i_{1}}, …, v_{i_{r}} ≠ 0 mit i_{1}, …, i_{r} ∈ I und λ_{1}, …, λ_{r} ≠ 0 mit ∑_{j=1}^{r} λ_{j} · v_{i_{j}} = 0.

Satz 7.9 Eine Familie (v_{1}, …, v_{n}) von Vektoren v_{j} = ( v_{1j} ; ⋮ ; v_{mj} ) ∈ K^{m} ist genau

dann linear unabhängig, wenn für die Matrix A = (v_{ij}) ∈ M(m × n, K) gilt rang(A) = n.

Beweis. Nach Definition des Matrixprodukts gilt

λ_{1} · v_{1} + ⋯ + λ_{n} · v_{n} = 0 ⇔ A · x = 0

mit x = ( λ_{1} ; ⋮ ; λ_{n} ) ∈ K^{n}. Die Familie (v_{1}, …, v_{n}) ist also genau dann linear

unabhängig, wenn A · x = 0 nur die triviale Lösung x = 0 besitzt. Das erfordert rang(A) = n. □

Beispiel 7.10 Sei z.B. v_{1} = ( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} ), v_{2} = ( \begin{matrix}4 \\ 5 \\ 6 \end{matrix} ), v_{3} = ( \begin{matrix}7 \\ 8 \\ 9 \end{matrix} ) so betrachten

wir

A = ( \begin{matrix}1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9 \end{matrix} ) ⟶^{IV_{12}(−2) , IV_{13}(−3)} ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 0 & −3 & −6 \\ 0 & −6 & −12 \end{matrix} ) ⟶^{III_{2}(−1),IV_{23}(6)} ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} )

Damit ist (v_{1}, v_{2}, v_{3}) nicht linear unabhängig. Dagegen ist (v_{1}, v_{2}) linear unabhängig, denn Weglassen der 3. Spalte ergibt rang(v_{1}, v_{2}) = 2. ◁

Wir werden später sehen, daß in beliebigen endlich erzeugten Vektorräumen die lineare Unabhängigkeit stets durch Lösen linearer Gleichungssysteme ermittelt werden kann.

Satz 7.11 Für eine Familie (v_{i})_{i∈I} sind folgende Bedingungen äquivalent: i) (v_{i})_{i∈I} ist linear unabhängig

ii) Jeder Vektor v ∈ span_{K}(v_{i})_{i∈I} läßt sich in eindeutiger Weise als Linearkombination von Vektoren aus (v_{i})_{i∈I} darstellen.

Beweis. i)⇒ii). Sei v ∈ span_{K}(v_{i})_{i∈I} auf zwei verschiedene Arten als Linearkombination darstellbar,

v = ∑_{i∈I} λ_{i} · v_{i} = ∑_{i′∈I} μ_{i′} · v_{i′} ,

wobei nur endlich viele Skalare λ_{i}, μ_{i′} ungleich Null sind. Es gibt also eine endliche Teilmenge J ⊆ I (Vereinigung der Indizes i, i′, für die λ_{i} ≠ 0 oder μ_{i′} ≠ 0), so daß

∑_{j∈J}(λ_{j} − μ_{j}) · v_{j} = 0 .

Da nach Voraussetzung i) jede endliche Teilfamilie von (v_{i})_{i∈I} linear unabhängig ist, ist λ_{j} = μ_{j} für alle j ∈ J und weiter für alle i ∈ I (auf dem Komplement I \ J ist λ_{i} = μ_{i} = 0).

ii)⇒i). Der Nullvektor läßt sich als Linearkombination von (v_{i})_{i∈I} darstellen, in der sämtliche Skalare Null sind. Ist die Linearkombination eindeutig, so ist (v_{i})_{i∈I} linear unabhängig. □

8 Erzeugendensystem, Basis und Dimension

Definition 8.1 Eine Familie (v_{i})_{i∈I} von Vektoren v_{i} ∈ V heißt Erzeugendensystem von V, wenn V = span_{K}(v_{i})_{i∈I}, wenn also jeder Vektor v ∈ V eine endliche Linearkombination von (v_{i})_{i∈I} ist.

Ein Erzeugendensystem B = (v_{i})_{i∈I} heißt Basis von V, wenn B linear unabhängig ist.

Der Vektorraum V heißt endlich erzeugt, falls es ein endliches Erzeugendensystem B = (v_{1}, …, v_{r}) von V gibt.

Beispiel 8.2 (für Erzeugendensysteme und Basen)

i) Im Vektorraum K^{n} ist B = (e_{1}, …, e_{n}), mit e_{i} = (0, …, 0, 1, 0, …, 0), ein Erzeugendensystem, denn jeder Vektor x = (x_{1}, …, x_{n}) läßt sich schreiben als x = ∑_{i=1}^{n} x_{i}e_{i} mit x_{i} ∈ K. Das Erzeugendensystem ist linear unabhängig und deshalb eine Basis, die Standardbasis des K^{n}.

ii) Im Vektorraum M(m × n, K) ist B = (E_{ij})_{{i=1,...m \atop j=1,...,n}} mit

E_{ij} = ( \begin{matrix}& & & 0 \\ & O & & ⋮ & & O \\ & & & 0 \\ 0 & ⋯ & 0 & 1 & 0 & ⋯ & 0 \\ & & & 0 \\ & O & & ⋮ & & O \\ & & & 0 \end{matrix} ) ,

wobei die 1 im Schnittpunkt der i-ten Zeile mit der j-ten Spalte steht, ein Erzeugendensystem. Jede Matrix A = (a_{ij}) läßt sich darstellen als A = ∑_{i=1}^{m} ∑_{j=1}^{n} a_{ij}E_{ij}. Das Erzeugendensystem ist linear unabhängig und deshalb eine Basis, die Standardmatrixbasis.

iii) In ℂ, aufgefaßt als reeller Vektorraum, ist B = (1, i) eine Basis, denn jede komplexe Zahl kann als z = x · 1 + y · i mit x, y ∈ ℝ geschrieben werden.

Fassen wir ℂ = ℂ^{1} dagegen als komplexen Vektorraum auf, dann ist B = (1, i) zwar ein Erzeugendensystem, aber keine Basis mehr, denn 1 und i sind nicht mehr linear unabhängig über ℂ: 1 · 1 + i · i = 0. ◁

Ist B = (v_{1}, …, v_{n}) ein endliches Erzeugendensystem bzw. eine endliche Basis, dann ist jede Permutation (Umordnung) der Vektoren v_{i} wieder ein endliches Erzeugendensystem bzw. eine endliche Basis. Z.B. ist B = (v_{1}, v_{2}, v_{3}) mit v_{1} = (1, 0, 0), v_{2} = (0, 0, 1), v_{3} = (0, 1, 0) eine Basis von K^{3}, aber es ist übersichtlicher, statt B mit der durch Umordnung erhaltenen Standardbasis (v_{1}, v_{3}, v_{2}) zu arbeiten.

Für die Definition einer Basis gibt es mehrere äquivalente Möglichkeiten. Wir beschränken uns zunächst auf endlich erzeugte Vektorräume:

Satz 8.3 Für eine Familie B = (v_{1}, …, v_{n}) von Vektoren v_{i} ∈ V, V ≠ {0}, sind folgende Bedingungen äquivalent:

i) B ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem von V (also eine Basis).

ii) B ist ein Erzeugendensystem von V, aber (v_{1}, …, v_{r−1}, v_{r+1}, …, v_{n}) ist für jedes 1 ≤ r ≤ n kein Erzeugendensystem mehr.

iii) Zu jedem v ∈ V gibt es eindeutig bestimmte λ_{1}, …, λ_{n} ∈ K mit v = ∑_{i=1}^{n} λ_{i} · v_{i} (Eindeutigkeit der Zerlegung von v nach der Basis).

iv) B ist linear unabhängig, während (v_{1}, …, v_{n}, v) linear abhängig ist für alle v ∈ V.

Beweis. i)⇒ii). Wäre (v_{1}, …, v_{r−1}, v_{r+1}, …, v_{n}) ein Erzeugendensystem, dann gibt es λ_{1}, …, λ_{r−1}, λ_{r+1}, …, λ_{n} ∈ K mit v_{r} = ∑_{i=1}^{r−1} λ_{i} · v_{i} + ∑_{j=r+1}^{n} λ_{j} · v_{j}. Damit ist 0 = ∑_{i=1}^{r−1} λ_{i} · v_{i} + (−1) · v_{r} + ∑_{j=r+1}^{n} λ_{j} · v_{j}, so daß B nicht linear unabhängig wäre.

ii)⇒iii). Angenommen, es gibt ein v ∈ V und für dieses zwei verschiedene Darstellungen

v = ∑_{i=1}^{n} λ_{i} · v_{i} und v = ∑_{i=1}^{n} μ_{i} · v_{i}

mit λ_{r} ≠ μ_{r} für mindestens ein r. (Es gibt mindestens eine Darstellung, da B Erzeugendensystem.) Subtraktion beider Gleichungen und Division durch (λ_{r} − μ_{r}) ergibt

v_{r} = ∑_{i=1}^{r−1} \frac{λ_{i} − μ_{i}}{μ_{r} − λ_{r}} · v_{i} + ∑_{j=r+1}^{n} \frac{λ_{j} − μ_{j}}{μ_{r} − λ_{r}} · v_{j}

Das würde bedeuten, daß (v_{1}, …, v_{r−1}, v_{r+1}, …, v_{n}) ein Erzeugendensystem wäre, denn in einer Linearkombination ließe sich v_{r} durch die v_{i}, v_{j} mit i, j ≠ r ausdrücken, im Widerspruch zu ii).

iii)⇒iv). Nach Satz 7.11 ist B linear unabhängig. Andererseits gibt es für jedes v ∈ V Skalare λ_{1}, …, λ_{n} ∈ K mit 0 = ∑_{i=1}^{n} λ_{i} · v_{i} + (−1) · v, so daß (v_{1}, …, v_{n}, v) nicht linear unabhängig ist.

iv)⇒i). Da (v_{1}, …, v_{n}, v) für alle v ∈ V linear abhängig ist, gibt es λ_{1}, …, λ_{n}, λ ∈ K, welche nicht alle gleich 0 sind, mit 0 = ∑_{i=1}^{n} λ_{i} ·v_{i} +λ·v. Wäre λ = 0, so auch λ_{i} = 0 für alle i = 1, …, n, da B linear unabhängig ist. Also ist λ ≠ 0 und somit

v = ∑_{i=1}^{n} \frac{−λ_{i}}{λ} · v_{i} .

Damit ist B ein Erzeugendensystem. □

Die wichtigste Eigenschaft einer Basis ist die Eindeutigkeit der Zerlegung eines gegebenen Vektors nach einer Basis des Vektorraums. Ist eine Basis fixiert, dann kann man an Stelle des Vektors v ∈ V mit einem Tupel von Zahlen (λ_{1}, …, λ_{n}) mit λ_{i} ∈ K arbeiten. Diese Zahlen λ_{i} heißen die Koordinaten von v = ∑_{i=1}^{n} λ_{i} · v_{i} bezüglich der Basis (v_{1}, …, v_{n}).

Beispiel 8.4 Es sei V = span_{ℝ}(v_{1}, v_{2}, v_{3}) mit v_{1} = ( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 4 \end{matrix} ), v_{2} = ( \begin{matrix}2 \\ 3 \\ 5 \end{matrix} ), v_{3} =

( \begin{matrix}1 \\ 3 \\ 6 \end{matrix} ). Wir überprüfen, ob (v_{1}, v_{2}, v_{3}) linear unabhängig sind durch Berechnen

des Rangs der Matrix A = (v_{ij}):

A = ( \begin{matrix}1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{matrix} ) ⟶^{IV_{12}(−2) , IV_{13}(−4)} ( \begin{matrix}1 & 2 & 1 \\ 0 & −1 & 1 \\ 0 & −3 & 2 \end{matrix} ) ⟶^{IV_{23}(−3)} ( \begin{matrix}1 & 2 & 1 \\ 0 & −1 & 1 \\ 0 & 0 & −1 \end{matrix} )

Folglich ist (v_{1}, v_{2}, v_{3}) linear unabhängig, außerdem Erzeugendensystem von V

und damit Basis. Falls w = ( \begin{matrix}2 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} ) ∈ V, so muß es eindeutig bestimmte Koeffi-

zienten λ_{1}, λ_{2}, λ_{3} ∈ ℝ geben mit w = λ_{1}v_{1} + λ_{2}v_{2} + λ_{3}v_{3}. Das ist aber gerade ein lineares Gleichungssystem

(A|w) = ( \begin{matrix}1 & 2 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 3 & 2 \\ 4 & 5 & 6 & 3 \end{matrix} ) ⟶^{IV_{12}(−2) , IV_{13}(−4)} ( \begin{matrix}1 & 2 & 1 & 2 \\ 0 & −1 & 1 & −2 \\ 0 & −3 & 2 & −5 \end{matrix} )

⟶^{IV_{23}(−3)} ( \begin{matrix}1 & 2 & 1 & 2 \\ 0 & −1 & 1 & −2 \\ 0 & 0 & −1 & 1 \end{matrix} ) ⟶^{IV_{32}(1), IV_{31}(1), III_{3}(−1)} ( \begin{matrix}1 & 2 & 0 & 3 \\ 0 & −1 & 0 & −1 \\ 0 & 0 & 1 & −1 \end{matrix} )

⟶^{IV_{21}(2), III_{2}(−1)} ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & −1 \end{matrix} )

welches die Koeffizienten λ_{1} = 1, λ_{2} = 1, λ_{3} = −1 liefert. Insbesondere ist w ∈ V.

◁

Wir führen nun mit der Dimension eine zentrale Charakterisierung von Vektorräumen ein. Zunächst gilt:

Satz 8.5 Ist V nicht endlich erzeugt, dann gibt es eine unendliche linear unabhängige Familie von Vektoren.

Beweis. Durch Induktion nach der Anzahl n linear unabhängiger Vektoren von V: Seien (v_{1}, …, v_{n}) linear unabhängig. Wäre (v_{1}, …, v_{n}, v_{n+1}) linear abhängig für jedes v_{n+1} ∈ V, so wäre (v_{1}, …, v_{n}) Erzeugendensystem, Widerspruch. □

Die zentrale Eigenschaft ist:

Satz 8.6 Sei V ein endlich erzeugter Vektorraum. Dann besteht jede Basis von V aus der gleichen Anzahl von Vektoren.

Der Beweis wird später nachgeholt. Wir vermerken:

Definition 8.7 In einem Vektorraum V über K heißt die durch

dim_{K}V := \{ \begin{matrix}0 & falls V = \{0\}, \\ n & falls V endlich erzeugt ist und eine aus n Vektoren bestehende Basis besitzt, \\ ∞ & falls V nicht endlich erzeugt ist \end{matrix}

definierte Zahl die Dimension von V.

Offenbar ist dim_{K}(K^{n}) = n und dim_{ℝ}(ℂ) = 2, aber dim_{ℂ}(ℂ) = 1. Wir schreiben auch dim(V) statt dim_{K}(V), wenn der Körper klar ist. Die Dimension ist eine entscheidende Charakterisierung eines Vektorraums.

Der Beweis von Satz 8.6 erfordert etwas Vorarbeit, die von eigenem Interesse ist.

Satz 8.8 (Austauschlemma von Steinitz) Es sei (v_{1}, …, v_{n}) Erzeugendensystem (bzw. eine Basis) eines Vektorraums V über K und w = ∑_{i=1}^{n} λ_{i}v_{i} mit λ_{r} ≠ 0 für ein r ∈ {1, …, n}. Dann ist auch (v_{1}, …, v_{r−1}, w, v_{r+1}, …, v_{n}) ein Erzeugendensystem (bzw. eine Basis) von V.

Beweis. Unter den Voraussetzungen gilt

v_{r} = \frac{1}{λ_{r}} · w + ∑_{i=1}^{r−1} \frac{−λ_{i}}{λ_{r}} · v_{i} + ∑_{j=r+1}^{n} \frac{−λ_{j}}{λ_{r}} · v_{j} .

Sei v ∈ V ein beliebiger Vektor, dann gibt es μ_{1}, …, μ_{n} ∈ K mit v = ∑_{i=1}^{n} μ_{i} · v_{i}. Einsetzen von v_{r} liefert

v = ∑_{i=1}^{r−1} (μ_{i} − \frac{μ_{r}λ_{i}}{λ_{r}} ) · v_{i} + \frac{μ_{r}}{λ_{r}} · w + ∑_{j=r+1}^{n} (μ_{j} − \frac{μ_{r}λ_{j}}{λ_{r}} ) · v_{j} .

Damit ist (v_{1}, …, v_{r−1}, w, v_{r+1}, …, v_{n}) ein Erzeugendensystem.

Ist B = (v_{1}, …, v_{n}) Basis, dann betrachten wir zur Untersuchung der linearen Unabhängigkeit

0 = ∑_{i=1}^{r−1} μ_{i} · v_{i} + μ · w + ∑_{j=r+1}^{n} μ_{j} · v_{j} .

Einsetzen von w liefert

0 = ∑_{i=1}^{r−1}(μ_{i} + μλ_{i}) · v_{i} + μλ_{r} · v_{r} + ∑_{j=r+1}^{n}(μ_{j} + μλ_{j}) · v_{j} .

Da B linear unabhängig, folgt μ_{i} + μλ_{i} = 0 für i ≠ r und μλ_{r} = 0, also μ = 0 und dann μ_{i} = 0. □

Satz 8.9 (Basisauswahlsatz) Aus jedem endlichen Erzeugendensystem läßt sich eine Basis auswählen. Insbesondere hat jeder endlich erzeugte Vektorraum eine Basis.

Beweis. Man nehme aus einem endlichen Erzeugendensystem einzelne Vektoren weg, so daß die reduzierte Familie immer noch ein Erzeugendensystem des Vektorraums bleibt. Ist das nicht mehr möglich, so liegt eine Basis vor. □

Satz 8.10 (Austauschsatz) In einem Vektorraum V über K sei B = (v_{1}, …, v_{n}) eine Basis und (w_{1}, …, w_{r}) eine linear unabhängige Familie von Vektoren aus V. Dann ist r ≤ n, und es gibt paarweise verschiedene Indizes i_{1}, …, i_{r} ∈ {1, 2, …, n}, so daß man nach Austausch von v_{i_{j}} durch w_{j} für alle 1 ≤ j ≤ r wieder eine Basis von V erhält. Nach Permutation der Indizes (Umnumerierung) erreicht man, daß B^{∗} = (w_{1}, …, w_{r}, v_{r+1}, …, v_{n}) eine Basis von V ist.

Beweis. Wir tauschen schrittweise die Basisvektoren aus. Im ersten Schritt finden wir ein 1 ≤ s ≤ n, so daß (v_{1}, …, v_{s−1}, w_{1}, v_{s+1}, …, v_{n}) eine Basis ist. Nun nennen wir v_{1} ↦ v_{s} und ordnen durch Vertauschen von v_{s} ↔ w_{1} die Basis um, so daß (w_{1}, v_{2}, …, v_{n}) eine Basis ist.

Dann gibt es μ_{1}, λ_{2}, …, λ_{n} ∈ K mit w_{2} = μ_{1} · w_{1} + ∑_{i=2}^{n} λ_{i} · v_{i}. Mindestens eines der λ_{i} ist von 0 verschieden, denn sonst wäre w_{2} = μ_{1} · w_{1}, und die Familie (w_{1}, …, w_{r}) wäre nicht linear unabhängig. Es läßt sich deshalb ein v_{s} mit 2 ≤ s ≤ n durch w_{2} austauschen, so daß nach Umnumerierung (w_{1}, w_{2}, v_{3} …, v_{n}) eine Basis von V ist.

Ist r ≤ n, so führt die wiederholte Anwendung dieses Verfahrens auf eine Basis (w_{1}, …, w_{r}, v_{r+1}, …, v_{n}). Wäre r > n, dann erhalten wir im n-ten Schritt eine Basis (w_{1}, …, w_{n}) von V. Dann ist w_{n+1} nach dieser Basis zerlegbar, so daß (w_{1}, …, w_{r}) für r > n nicht mehr linear unabhängig wäre. □

Beweis von Satz 8.6. Seien zwei Basen B_{1} = (v_{1}, …, v_{n}) und B_{2} = (w_{1}, …, w_{r}) von V gegeben. Ist n < r, dann wäre nach Satz 8.10 B_{2} nicht linear unabhängig, also keine Basis. Ist n > r, dann wäre nach Satz 8.10 B_{1} nicht linear unabhängig, also keine Basis. Folglich gilt n = r. □

Satz 8.11 Ist W ⊆ V Untervektorraum eines endlich erzeugten Vektorraums V, so ist auch W endlich erzeugt, und es gilt

i) dim(W) ≤ dim(V),

ii) aus dim(W) = dim(V) folgt W = V.

Beweis. i) Wäre W nicht endlich erzeugt, dann gäbe es nach Satz 8.5 eine unendliche linear unabhängige Familie, die auch in V linear unabhängig wäre, Widerspruch. Ebenso kann es nach dem Austauschsatz höchstens n := dim_{K}(V) linear unabhängige Vektoren in W geben.

ii) Sei dim(W) = dim(V) = n und (w_{1}, …, w_{n}) eine Basis von W. Wäre V ≠ W, so gibt es ein v ∈ V \ W, das keine Linearkombination von (w_{1}, …, w_{n}) ist. Damit wäre (w_{1}, …, w_{n}, v) linear unabhängig, Widerspruch. □

Dieser Satz ist sehr hilfreich. Wenn wir schon wissen, daß ein Vektorraum V die Dimension n hat und n linear unabhängige Vektoren v_{1}, …, v_{n} ∈ V gegeben sind, dann ist W = span(v_{1}, …, v_{n}) ein Untervektorraum, in dem (v_{1}, …, v_{n}) eine Basis ist. Aus der Gleichheit der Dimensionen folgt W = V, also ist (v_{1}, …, v_{n}) ein Erzeugendensystem von V. Es ist wesentlich einfacher, die lineare Unabhängigkeit mit dem Gaußschen Algorithmus für lineare Gleichungssysteme zu überprüfen als die Eigenschaft des Erzeugendensystems. Daraus wird die Bedeutung der Dimension ersichtlich.

Ein weiteres nützliches Hilfsmittel ist:

Satz 8.12 (Basisergänzungssatz) In einem endlich erzeugten Vektorraum V sei eine Familie (w_{1}, …, w_{r}) von linear unabhängigen Vektoren gegeben. Dann läßt sich diese Familie zu einer Basis (w_{1}, …, w_{r}, v_{r+1}, …, v_{n}) von V ergänzen.

Beweis. Man nehme irgendeine Basis von V und wende den Austauschsatz an. □

In nicht endlich erzeugten (also unendlich-dimensionalen) Vektorräumen gibt es einige Besonderheiten. Zwar gilt unter Benutzung des Auswahlaxioms, daß auch jeder unendlich-dimensionale Vektorraum eine Basis besitzt, jedoch kann man eine solche nicht angeben. Später führen wir unitäre und euklidische Vektorräume ein, welche auch unendlich-dimensional sein können. In diesen gibt es sogenannte Orthonormalbasen, so daß sich jeder Vektor als eindeutige unendliche Linearkombination darstellen läßt, was Methoden der Analysis erfordert. Die Orthonormalbasen sind dann keine Basen im Sinne von Definition 8.1.

Definition 8.13 Sei V ein Vektorraum und W_{1}, …, W_{r} ⊆ V Untervektorräume. Dann heißt

W = W_{1} + ⋯ + W_{r} := {v ∈ V : es gibt v_{j} ∈ W_{j} mit v = v_{1} + ⋯ + v_{r} }

die Summe von W_{1}, …, W_{r}.

Offenbar ist W wieder ein Untervektorraum von V, und es gilt dim(∑_{i=1}^{r} W_{i}) ≤ ∑_{i=1}^{r} dim(W_{i}). Für r = 2 können wir mehr zeigen:

Satz 8.14 Für endlich-dimensionale Untervektorräume W_{1}, W_{2} ⊆ V gilt dim(W_{1} + W_{2}) = dim(W_{1}) + dim(W_{2}) − dim(W_{1} ∩ W_{2}).

Beweis. W_{1} ∩ W_{2} ist ein endlich-dimensionaler Untervektorraum von V. Man nehme eine Basis (v_{1}, …, v_{m}) von W_{1} ∩ W_{2} und ergänze sie zu Basen (v_{1}, …, v_{m}, w_{1}, …, w_{r}) von W_{1} und (v_{1}, …, v_{m}, w′_{1}, …, w′_{s}) von W_{2}. Damit wird W_{1} + W_{2} von B = (v_{1}, …, v_{m}, w_{1}, …, w_{r}, w′_{1}, …, w′_{s}) erzeugt. Wir zeigen: B ist linear unabhängig, also Basis. Dazu sei

0 = \underbrace{∑_{i=1}^{m} λ_{i}v_{i} + ∑_{j=1}^{r} μ_{j}w_{j}}_{=v∈W_{1}} + \underbrace{∑_{k=1}^{s} μ′_{k}w_{k}}_{=−v∈W_{2}} .

Das bedeutet v ∈ W_{1} ∩ W_{2}, also μ_{j} = 0 und μ′_{k} = 0 und somit v = 0. Aus der linearen Unabhängigkeit von (v_{1}, …, v_{m}) folgt schließlich auch λ_{i} = 0. Damit ist ist dim(W_{1} + W_{2}) = m + r + s sowie dim(W_{1}) = m + r und dim(W_{2}) = m + s. □

Um eine Basis von W_{1} ∩ W_{2} zu erhalten, wählt man zunächst Basen (w_{1}, …, w_{k}) von W_{1} und (w_{k+1}, …, w_{l}) von W_{2}. Ein Vektor aus W_{1} ∩ W_{2} liegt insbesondere in W_{1} und W_{2} und läßt sich somit darstellen als v = ∑_{i=1}^{k} λ_{i}v_{i} = ∑_{j=k+1}^{l}(−λ_{j})w_{j}. Dieses Problem läßt sich als lineare Gleichungssystem A · x = mit A = (v_{1}, …, v_{k}, v_{k+1}, …, v_{l}) und x = (λ_{1}, …, λ_{k}, λ_{k+1}, …, λ_{l}) auffassen. Ist rang(A) = r, so gibt es l − r freie Variablen unter den λ_{i}, d.h. es gilt dimW_{1} ∩ W_{2} = l − r. Durch Trennen in ∑_{i=1}^{k} λ_{i}v_{i} = ∑_{j=k+1}^{l}(−λ_{j})w_{j} läßt sich eine Basis von W_{1} ∩ W_{2} ablesen.

Beispiel 8.15 Sei W_{1} = span(v_{1}, v_{2}, v_{3}) und W_{2} = span(v_{4}, v_{5}) mit v_{1} = ( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} ),

v_{2} = ( \begin{matrix}4 \\ 5 \\ 6 \end{matrix} ), v_{3} = ( \begin{matrix}7 \\ 8 \\ 9 \end{matrix} ) sowie v_{4} = ( \begin{matrix}1 \\ 5 \\ 0 \end{matrix} ), v_{5} = ( \begin{matrix}0 \\ 2 \\ 1 \end{matrix} ). Nach Beispiel 7.10

gilt dim(W_{1}) = 2, insbesondere W_{1} = span(v_{1}, v_{2}). Die Dimension dim(W_{2}) = 2 ist klar. Setzen wir A = (v_{1}, v_{2}, v_{4}, v_{5}), so suchen wir zur Bestimmung von W_{1}∩W_{2} die Lösungsmenge x ∈ ℝ^{4} des LGS Ax = 0 durch elementare Zeilenumformungen. Die rechte Seite b = 0 kann weggelassen werden:

( \begin{matrix}1 & 4 & 1 & 0 \\ 2 & 5 & 5 & 2 \\ 3 & 6 & 0 & 1 \end{matrix} ) ↦ ( \begin{matrix}1 & 4 & 1 & 0 \\ 0 & −3 & 3 & 2 \\ 0 & −6 & −3 & 1 \end{matrix} ) ↦ ( \begin{matrix}1 & 4 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & −1 & −\frac{2}{3} \\ 0 & 0 & −9 & −3 \end{matrix} )

↦ ( \begin{matrix}1 & 4 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & −1 & −\frac{2}{3} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{3} \end{matrix} ) ↦ ( \begin{matrix}1 & 4 & 0 & −\frac{1}{3} \\ 0 & 1 & 0 & −\frac{1}{3} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{3} \end{matrix} ) ↦ ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & −\frac{1}{3} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{3} \end{matrix} )

Damit ergibt sich ( \begin{matrix}λ_{1} \\ λ_{2} \\ λ_{4} \end{matrix} ) + ( \begin{matrix}3 \\ −1 \\ 1 \end{matrix} ) · \frac{λ_{5}}{3} = 0 und λ_{5} ∈ ℝ beliebig. Das bedeutet

∑_{i=1,2,4,5} λ_{i}v_{i} = \frac{λ_{5}}{3} · (−3v_{1} + v_{2} − v_{4} + 3v_{5}) = 0, d.h. Linearkombinationen von

\underbrace{3v_{1} − v_{2}}_{∈W_{1}} = \underbrace{3v_{5} − v_{4}}_{∈W_{2}} = ( \begin{matrix}−1 \\ 1 \\ 3 \end{matrix} )

spannen W_{1}∩W_{2} auf. Somit ist dim(W_{1}∩W_{2}) = 1 und nach der Dimensionsformel (Satz 8.14) dim(W_{1} + W_{2}) = 3. ◁

Aus Satz 8.14 erhält man schrittweise eine allgemeine Dimensionsformel für Summen von Vektorräumen. Dabei entstehen komplizierte Durchschnitte (W_{l} ∩ (W_{1} +⋯+W_{l−1}) für l = 2, …, r, die sich im allgemeinen nicht besser ausdrücken lassen. Besonders transparent ist folgende Situation:

Definition 8.16 Sei V ein Vektorraum und W_{1}, …, W_{k} Untervektorräume von V. Ein Vektorraum W heißt direkte Summe der Untervektorräume W_{1}, …, W_{k}, bezeichnet mit

W = W_{1} ⊕ W_{2} ⊕ ⋯ ⊕ W_{k} ,

wenn gilt: (DS1) W = W_{1} + ⋯ + W_{k}

(DS2) Von Null verschiedene Vektoren w_{1} ∈ W_{1}, …, w_{k} ∈ W_{k} sind linear unabhängig in V.

In diesem Fall gilt dim(W) = ∑_{i=1}^{k} dim(W_{i}).

9 Polynome

Ein Polynom in x mit Koeffizienten in ℂ ist ein formaler Ausdruck der Form

f(x) = a_{n}x^{n} + a_{n−1}x^{n−1} + ⋯ + a_{1}x + a_{0} = ∑_{i=0}^{n} a_{i}x^{i} , a_{i} ∈ ℂ .

Die Menge aller solcher Polynomome wird mit ℂ[x] bezeichnet, bzw. mit ℝ[x] wenn a_{i} ∈ ℝ. Die Unbestimmte x werden wir zunächst als x ∈ ℂ oder x ∈ ℝ auffassen; später werden Verallgemeinerungen wichtig. Es gibt eine offensichtliche Addition

( ∑_{i=0}^{n} a_{i}x^{i}) + ( ∑_{i=0}^{m} b_{i}x^{i}) := ∑_{i=0}^{max(m,n)}(a_{i} + b_{i})x^{i} ,

wobei a_{i} = 0 für i > n und b_{i} = 0 für i > m gesetzt wird, und eine kompatible Multiplikation mit Skalaren λ( ∑_{i=0}^{n} a_{i}x^{i}) := ∑_{i=0}^{n} λa_{i}x^{i}. Damit bildet ℂ[x] einen Vektorraum über ℂ. Das Nullpolynom f(x) = 0 (alle a_{i} verschwinden) ist das neutrale Element.

Außerdem erhält man durch Ausmultiplizieren und Ordnen nach Potenzen von x eine Multiplikation (wodurch ℂ[x] zu einem Ring wird)

( ∑_{i=0}^{n} a_{i}x^{i}) · ( ∑_{j=0}^{m} b_{j}x^{j}) =: ∑_{k=0}^{m+n} c_{k}x^{k} , c_{k} = ∑_{j=0}^{k} a_{k−j}b_{j} .

(Es wird wieder a_{i} = 0 für i > n und b_{j} = 0 für j > m gesetzt.) Die auftretenden Summanden ergeben sich aus den Diagonalen im folgenden Schema (mit k = max(m, n)):

a_{k}b_{0} a_{k}b_{1}  … a_{k}b_{k}
[figure: ⋮; ⋮]
a_{2}b_{0}  … a_{2}b_{k}
[figure]
a_{1}b_{0} a_{1}b_{1}  … a_{1}b_{k}
[figure]
a_{0}b_{0} a_{0}b_{1} a_{0}b_{2} … a_{0}b_{k}

Der maximale Exponent von x, für den der Koeffizient in f(x) ungleich Null ist, heißt der Grad des Polynoms und wird mit deg(f) bezeichnet. Genauer ist für f(x) = ∑_{i=0}^{n} a_{i}x^{i}

deg(f) = \{ \begin{matrix}−∞ & für f = 0 \\ max\{i ∈ ℕ : a_{i} ≠ 0\} & sonst \end{matrix}

Konstante, aber nichtverschwindende, Polynome haben den Grad 0. Es gilt

deg(f + g) ≤ max(deg(f), deg(g)) , deg(f · g) = deg(f) + deg(g)

(mit (−∞) + n = −∞ und (−∞) + (−∞) = −∞).

Satz 9.1 (Division mit Rest) Sind f, g ∈ ℂ[x] und ist g ≠ 0, dann gibt es eindeutig bestimmte Polynome q, r ∈ ℂ[x] mit

f = q · g + r , deg(r) < deg(g) .

Beweis. i) Wir beweisen zunächst die Eindeutigkeit. Sei f = q · g + r = q′ · g + r′ mit deg(r) < deg(g) und deg(r′) < deg(g), dann folgt

(q − q′) · g = r′ − r .

Wäre q ≠ q′, dann ist der Grad der linken Seite deg((q−q′)·g) > deg(g), während der Grad der rechten Seite deg(r′ − r) < deg(g) ist, Widerspruch. Also ist q = q′ und dann r = r′.

ii) Existenz der Polynome durch explizite Konstruktion mittels “Division mit

Rest”. Sei f = ∑_{i=0}^{n} a_{i}x^{i} und g = ∑_{i=0}^{m} b_{i}x^{i}, mit a_{n}, b_{m} ≠ 0. Für n < m ist q = 0

und r = f. Sei also n ≥ m. Wir setzen

q_{(1)} := \frac{a_{n}}{b_{m}} x^{n−m} , f_{(1)} := f − q_{(1)} · g .

Da der höchste Koeffizient von f durch Subtraktion entfernt wurde, gilt deg(f_{(1)}) < deg(f). Auf diese Weise konstruiert man eine Folge von Monomen q_{(k)} = c_{k}x^{i(k)}, so daß für f_{(k)} := f_{(k−1)} − q_{(k)} · g gilt deg(f_{(k)}) < deg(f_{(k−1)}). Das Verfahren bricht im l-ten Schritt ab, wenn deg(f_{(l)}) < deg(g). Dann ist r := f_{(l)} und q := q_{(1)} + ⋯ + q_{(l)}. □

Beispiel 9.2 Es sei f = x^{3} und g = 2x^{2} + x, also a_{3} = 1 und b_{2} = 2. Dann ist q_{(1)} = \frac{a_{3}}{b_{3}} x^{3−2} = \frac{1}{2}x und f_{(1)} = f − \frac{1}{2}x · (2x^{2} + x) = −\frac{1}{2}x^{2}. Im nächsten Schritt ist

q_{(2)} = \frac{− \frac{1}{2}}{2} x^{0} = −\frac{1}{4} und f_{(2)} = f_{(1)} + \frac{1}{4} · (2x^{2} + x) = \frac{1}{4}x. Hier bricht das Verfahren ab. Somit gilt x^{3} = (\frac{1}{2}x − \frac{1}{4})(2x^{2} + x) + \frac{1}{4}x. ◁

Ist r = 0 in Satz 9.1, so heißt g ein Teiler von f.

Definition 9.3 Eine Zahl α ∈ ℂ heißt Nullstelle eines Polynoms f = ∑_{i=0}^{n} a_{i}x^{i}, wenn f(α) = ∑_{i=0}^{n} a_{n}α^{i} = 0.

Satz 9.4 Eine Zahl α ∈ ℂ ist genau dann Nullstelle eines Polynoms f ∈ ℂ[x], wenn x − α Teiler von f ist.

Beweis. Für deg(f) = 0 hat f keine Nullstellen, für deg(f) = −∞ ist f = 0 und x − α ein Teiler für beliebige α ∈ ℂ. Verbleibt deg(f) ≥ 1. Die Division mit Rest liefert eindeutig bestimmte Polynome q, r ∈ ℂ[x] mit f = q · (x − α) + r und deg(q) = deg(f) − 1, deg(r) < deg(x − α) = 1, also r ∈ ℂ. Dann ist f(α) = r. □

Hat auch q eine Nullstelle α_{2}, so läßt sich ein weiterer Linearfaktor x − α_{2} abspalten, usw. Aus der Abbruchbedingung der Division mit Rest folgt, daß ein Polynom vom Grad n ≥ 0 höchstens n Nullstellen haben kann.

Satz 9.5 (Identitätssatz für Polynome) Stimmen die Werte der Polynome

f(x) = ∑_{i=0}^{n} a_{i}x^{i} und g(x) = ∑_{i=0}^{n} b_{i}x^{i} an n + 1 verschiedenen Stellen überein, dann

gilt a_{i} = b_{i} für alle i = 0, …, n und somit f(x) = g(x) für alle x ∈ ℂ.

Beweis. Das Polynom f − g hat n + 1 verschiedene Nullstellen und einen Grad ≤ n. Damit ist f − g das Nullpolynom. □

Folgerung 9.6 Die Polynome in x vom Grad ≤ n bilden einen n + 1dimensionalen Vektorraum P_{n}[x]. Durch B = {x^{0}, x^{1}, x^{2}, …, x^{n}} ist eine Basis in P_{n}[x] gegeben.

Dagegen ist ℂ[x] nicht endlich erzeugt.

Beweis. Das Nullpolynom ist das Nullelement. Klar ist, daß P_{n}[x] durch B erzeugt wird. Ist ∑_{i=0}^{n} a_{i}x^{i} = 0, so folgt a_{i} = 0 nach dem Identitätssatz. Da ℂ[x] den Untervektorraum P_{n}(x) für jedes n enthält, muß dim(ℂ[x]) = ∞ gelten. □

Je nach Problemstellung können sich andere Basen als sinnvoll erweisen. Besonders nützliche Basen tragen z.T. eigene Namen. Erwähnt seien Polynome von Hermite, Laguerre, Legendre, Tschebyschew, Jacobi, Gegenbauer.

Der Identitätssatz liefert die sehr wichtige Methode des

9.7 Koeffizientenvergleich. Gibt es für ein Polynom zwei Darstellungen, so sind die entsprechenden Koeffizienten einander gleich.

Satz 9.8 (Additionstheorem der Binomialkoeffizienten) Für alle s, t ∈ ℂ und n ∈ ℕ gilt

∑_{k=0}^{n} \binom{s}{k}\binom{t}{n − k} = \binom{s + t}{n} .

Beweis. i) Sei zunächst s, t ∈ ℕ. Dann gilt

(1 + x)^{s+t} = ∑_{n=0}^{s+t} \binom{s + t}{n}x^{n}

(1 + x)^{s} · (1 + x)^{t} = ( ∑_{k=0}^{s} \binom{s}{k}x^{k})( ∑_{l=0}^{t} \binom{t}{l}x^{l}) = ∑_{n=0}^{s+t} ( ∑_{k+l=n} \binom{s}{k}\binom{t}{l})x^{n}

Die Behauptung folgt aus ∑_{k+l=n} \binom{s}{k}\binom{t}{l} = ∑_{k=0}^{n} \binom{s}{k}\binom{t}{n − k} und Koeffizienten-

vergleich.

ii) Sei s ∈ ℂ und t ∈ ℕ. Interpretieren wir beide Seiten des Additionstheorems als Polynome in s, dann stimmen diese nach i) in unendlich vielen Stellen überein, nach dem Identitätssatz dann für alle s ∈ ℂ.

iii) Für s, t ∈ ℂ werden schließlich beide Seiten bei festem s als Polynome in t aufgefaßt, die nach ii) an unendlich vielen Stellen übereinstimmen, damit überall.

□

Definition 9.9 Seien f, g ∈ ℂ[x] Polynome, mit g ≠ 0, und sei A ⊆ ℂ eine Teilmenge, die alle Nullstellen von g enthält. Dann heißt der für x ∈ ℂ \ A erklärte Quotient R(x) = \frac{f(x)}{g(x)} eine rationale Funktion.

Durch Polynomdivision läßt sich der Definitionsbereich maximal erweitern. Für rationale Funktionen gilt

Satz 9.10 (Partialbruchzerlegung) Für α_{0}, α_{1}, …, α_{n} ∈ ℂ und ν_{1}, …, ν_{n} ∈ ℕ^{×} sei g(x) = α_{0}(x − α_{1})^{ν_{1}} ⋯ (x − α_{n})^{ν_{n}} ein Polynom vom Grad deg(g) = ν_{1} + ⋯ + ν_{n}. Dann gibt es zu f ∈ ℂ[x] ein eindeutig bestimmtes Polynom q vom Grad deg(f) − deg(g) (mit q = 0 falls deg(f) < deg(g)) und eindeutig bestimmte Koeffizienten b_{k,j_{k}} ∈ ℂ mit k = 1, …, n und j_{k} = 1, … ν_{k}, so daß für alle x ∉ {α_{1}, …, α_{n}} gilt

\frac{f(x)}{g(x)} = q(x) + ∑_{k=1}^{n} ∑_{j_{k}=1}^{ν_{k}} \frac{b_{k,j_{k}}}{(x − α_{k})^{j_{k}}}

= q(x) + ∑_{k=1}^{n} (\frac{b_{k,1}}{(x − α_{k})^{1}} + \frac{b_{k,2}}{(x − α_{k})^{2}} + ⋯ + \frac{b_{k,ν_{k}}}{(x − α_{k})^{ν_{k}}} ) .

Diese Darstellung heißt Partialbruchzerlegung.

Beweis. Das Polynom q wird durch Division mit Rest erhalten, f = q · g + r. Damit genügt es, den Satz für rationale Funktionen \frac{f}{g} mit deg(f) < deg(g) und q = 0 zu beweisen. Wir schreiben g(x) = (x − α_{1})^{ν_{1}}h(x) mit h(α_{1}) ≠ 0. Dann gilt für x ∉ {α_{1}, …, α_{n}}

\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{1}{(x − α_{1})^{ν_{1}}} (\frac{f(x)}{h(x)} − \frac{f(α_{1})}{h(α_{1})} + \frac{f(α_{1})}{h(α_{1})})

= \frac{1}{(x − α_{1})^{ν_{1}}} (\frac{f(x)h(α_{1}) − f(α_{1})h(x)}{h(x) h(α_{1})} + \frac{f(α_{1})}{h(α_{1})}) .

Da f(x)h(α_{1}) − f(α_{1})h(x) die Nullstelle x = α_{1} hat, gibt es ein Polynom f′(x) vom Grad deg(f) − 1 mit

f(x)h(α_{1}) − f(α_{1})h(x) = (x − α_{1}) · h(α_{1}) · f′(x) ,

und es folgt

\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{b_{1,ν_{1}}}{(x − α_{1})^{ν_{1}}} + \frac{f′(x)}{g′(x)} ,  b_{1,ν_{1}} = \frac{f(α_{1})}{h(α_{1})} ,  g′(x) = (x − α_{1})^{ν_{1}−1}h(x)

Iteration des Verfahrens liefert die Behauptung. □

Es gibt mehrere Möglichkeiten, die Koeffizienten b_{k,j_{k}} konkret auszurechnen. Neben dem im Beweis benutzten Verfahren bietet sich ein Koeffizientenvergleich an:

Beispiel 9.11 Sei f(x) = x+1 und g(x) = x(x−2), dann ist \frac{x+1}{x(x−2)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{(x−2)}. Multiplikation mit x(x − 2) führt auf x + 1 = A(x − 2) + Bx, nach Koeffizientenvergleich A + B = 1 und −2A = 1, also A = −\frac{1}{2} und B = \frac{3}{2}.

Alternativ wählt man genügend viele Werte (von den Nullstellen des Nenners verschiedene Werte) für x: Für x = −1 gilt 0 = −A− \frac{B}{3} , für x = 3 gilt \frac{4}{3} = \frac{A}{3} +B. Es folgt dieselbe Lösung A = −\frac{1}{2} und B = \frac{3}{2}. ◁

Zusammenfassung Teil II

Begriffe

• Lineare Gleichungssysteme, Matrix-Schreibweise, erweiterte Koeffizientenmatrix

• Gaußsches Lösungsverfahren: spezielle Zeilenstufenform, Rangbedingung

• Vektorräume, Untervektorräume, lineare Unabhängigkeit, Linearkombinationen

• Erzeugendensystem, Basis, Dimension, Summen und Durchschnitte von Vektorräumen

• Polynome: Grad, Nullstellen

Methoden

• Lösung linearer Gleichungssysteme

• Bestimmung des Rangs einer Matrix

• Überprüfung einer Familie von Vektoren auf lineare Unabhängigkeit

• Zerlegung eines Vektors nach einer Basis

• Bestimmung von Basen für W_{1} +W_{2} und W_{1} ∩W_{2} für Untervektorräume W_{1}, W_{2} ⊆ V.

• Polynome: Polynomdivision, Partialbruchzerlegung

Teil III

Folgen und Reihen

10 Folgen und Grenzwerte

Unter einer Folge (a_{n})_{n∈ℕ} komplexer Zahlen versteht man eine Abbildung a : ℕ → ℂ, d.h. jedem n ∈ ℕ wird eine komplexe Zahl a_{n} ∈ ℂ zugeordnet. Analog ist eine Folge reeller Zahlen definiert.

Definition 10.1 Eine Folge (a_{n})_{n∈ℕ} heißt konvergent, wenn es eine Zahl a ∈ ℂ gibt mit folgender Eigenschaft: Zu jedem ϵ > 0 gibt es ein N ∈ ℕ, so daß |a_{n} − a| < ϵ für alle n ≥ N. Die Zahl a heißt Grenzwert oder Limes der Folge (a_{n})_{n∈ℕ}, geschrieben a = lim_{n→∞} a_{n}. Eine Folge, die gegen 0 konvergiert, heißt Nullfolge. Eine Folge, die nicht konvergent ist, heißt divergent.

Wichtig ist, daß das N ∈ ℕ in der Definition von ϵ abhängt. Verkleinert man ϵ, dann muß im allgemeinen N vergrößert werden.

Im Fall der Konvergenz ist der Grenzwert einer Folge eindeutig: Angenommen, a, b wären Grenzwerte der Folge (a_{n})_{n∈ℕ}, dann gibt es zu jedem ϵ = \frac{1}{3}|a − b| > 0 ein N ∈ ℕ mit |a_{n} − a| < ϵ und |a_{n} − b| < ϵ. Nach der Dreicksungleichung gilt aber |a − b| = |(a − a_{n}) + (a_{n} − b)| ≤ |a_{n} − a| + |a_{n} − b| < 2ϵ, im Widerspruch zu 2ϵ = \frac{2}{3}|a − b|. Geometrisch bedeutet Definition 10.1, daß alle Folgenglieder a_{n} mit n ≥ N in der Kreisscheibe

K_{ϵ}(a) := {z ∈ ℂ : |z − a| < ϵ}

in ℂ mit Mittelpunkt a und Radius ϵ liegen, bzw. für reelle Folgen im offenen Intervall I_{ϵ}(a) = {x ∈ ℝ : |x−a| < ϵ} mit Mittelpunkt a und halber Länge (Radius) ϵ. Die Teilmengen K_{ϵ}(a) ⊆ ℂ bzw. I_{ϵ}(a) ⊆ ℝ heißen auch die ϵ-Umgebungen von a.

Beispiel 10.2 i) Die konstante Folge (a_{n})_{n∈ℕ} mit a_{n} = a für alle n ∈ ℕ konvergiert gegen a.

ii) Die Folge (\frac{1}{n+1})_{n∈ℕ} konvergiert nach Satz 3.11.ii) gegen 0, ist also eine Nullfolge.

iii) Die Folge ((−1)^{n})_{n∈ℕ} divergiert: Angenommen, a ∈ ℂ wäre Grenzwert dieser Folge, dann gäbe es für ϵ = 1 ein N ∈ ℕ mit |(−1)^{n} − a| < 1 für alle n ≥ N. Damit wäre nach der Dreiecksungleichung

2 = |(−1)^{n+1} − (−1)^{n}| = |(−1)^{n+1} − a + a − (−1)^{n}|
≤ |(−1)^{n+1} − a| + |a − (−1)^{n}| < 2 ,  Widerspruch.  ◁

Ist (a_{n})_{n∈ℕ} konvergent gegen a und gibt es für die Folge (b_{n})_{n∈ℕ} ein m ∈ ℤ mit a_{n} = b_{n+m} für alle n ≥ N, so ist auch (b_{n})_{n∈ℕ} konvergent mit lim_{n→∞} b_{n} = a. Damit können in einer konvergenten Folge die Folgenglieder a_{n} mit n ≤ N beliebig abgeändert werden, insbesondere auch weggelassen oder endlich viele Glieder vor a_{n} eingeschoben werden, ohne Konvergenz und Grenzwert zu ändern.

Satz 10.3 Es seien (a_{n})_{n∈ℕ} und (b_{n})_{n∈ℕ} Folgen mit lim_{n→∞} a_{n} = a und lim_{n→∞} b_{n} = b. Dann gilt:

i) lim_{n→∞}(a_{n} + b_{n}) = a + b

ii) lim_{n→∞}(a_{n} · b_{n}) = ab

iii) Ist b ≠ 0, dann gibt es ein N ∈ ℕ mit b_{n} ≠ 0 für alle n ≥ N, und

lim_{n→∞} \frac{a_{n+N}}{b_{n+N}} = \frac{a}{b}

Beweis. i) Zu gegebenem ϵ > 0 gibt es ein N ∈ ℕ mit |a_{n} −a| < \frac{ϵ}{2} und |b_{n} −b| < \frac{ϵ}{2} für alle n ≥ N (man wähle die größere der Schranken N beider Folgen). Die Dreiecksungleichung liefert

|a_{n} + b_{n} − (a + b)| ≤ |a_{n} − a| + |b_{n} − b| < \frac{ϵ}{2} + \frac{ϵ}{2} für alle n ≥ N .

ii) Wähle N derart, daß |a_{n} − a| < min(1, \frac{ϵ}{2(|b|+1)}) und |b_{n} − b| < \frac{ϵ}{2(|a|+1)} für alle n ≥ N. Dann ist |a_{n}| = |a_{n} − a + a| ≤ |a_{n} − a| + |a| < |a| + 1 und

|a_{n}b_{n} − ab| = |a_{n}(b_{n} − b) + (a_{n} − a)b| ≤ |a_{n}(b_{n} − b)| + |(a_{n} − a)b|

= |a_{n}| |b_{n} − b| + |a_{n} − a| |b| < (|a| + 1)\frac{ϵ}{2(|a| + 1)} + \frac{ϵ}{2(|b| + 1)}|b| < ϵ .

iii) Wähle N derart, daß |b_{n} − b| < min(\frac{1}{2}|b|, \frac{ϵ}{2}|b|^{2}) für alle n ≥ N. Für diese n gilt dann |b| = |(b − b_{n}) + b_{n}| ≤ |b − b_{n}| + |b_{n}|, also |b_{n}| ≥ |b| − |b − b_{n}| > \frac{1}{2}|b| > 0. Weiter folgt für n ≥ N

|\frac{1}{b_{n}} − \frac{1}{b}| = |\frac{b − b_{n}}{b_{n}b} | = \frac{|b_{n} − b|}{|b| |b_{n}|} < \frac{2|b_{n} − b|}{|b|^{2}} < ϵ .

Somit gilt lim_{n→∞} \frac{1}{b_{N+n}} = \frac{1}{b}, und mit ii) folgt die Behauptung. □

Folgerung 10.4 Die Menge der konvergenten Folgen bildet einen Vektorraum mit Addition (a_{n})_{n∈ℕ} + (b_{n})_{n∈ℕ} := (a_{n} + b_{n})_{n∈ℕ} und skalarer Multiplikation λ · (a_{n})_{n∈ℕ} := (λa_{n})_{n∈ℕ}. Dieser Vektorraum wird oft mit c bezeichnet. Die Menge der Nullfolgen bildet einen Untervektorraum c_{0} ⊆ c. Ein weiterer Untervektorraum von c ist gegeben durch die Menge d der Folgen, in denen nur endlich-viele Folgenglieder ungleich Null sind. Insbesondere ist d ⊆ c_{0} Untervektorraum.

Für k∈ℕ seien Folgen δ_{k} = (δ_{kn})_{n∈ℕ} ∈ d definiert durch δ_{kn}= \{ \begin{matrix}1 & falls k = n , \\ 0 & sonst . \end{matrix}

Die Familie (δ_{k})_{k∈ℕ} ist Basis von d, da jede Folge aus d sich als eindeutige endliche Linearkombination der (δ_{k})_{k∈ℕ} schreiben läßt. Insbesondere sind d, und damit erst recht c_{0} und c, unendlich-dimensionale Vektorräume. Zu beachten ist, daß in c_{0} oder c die Familie (δ_{k})_{k∈ℕ} zwar linear unabhängig ist, aber kein Erzeugendensystem und damit keine Basis ist!

Satz 10.5 (elementare Grenzwerte) Im folgenden sei n ∈ ℕ^{×}.

i) lim_{n→∞} \frac{1}{n^{s}} = 0 für alle s ∈ ℚ_{+}^{×}. (Dabei ist n^{\frac{p}{q}} = \sqrt[q]{n^{p}} ∈ ℝ.)

ii) lim_{n→∞} \sqrt[n]{a} = 1 für alle a ∈ ℝ_{+}^{×}.

iii) lim_{n→∞} \sqrt[n]{n} = 1.

iv) lim_{n→∞} z^{n} = 0 für alle z ∈ ℂ mit |z| < 1.

v) lim_{n→∞} \frac{n^{k}}{z^{n}} = 0 für alle z ∈ ℂ mit |z| > 1 und alle k ∈ ℕ.

Beweis. i) Zu gegebenem ϵ > 0 wähle nach dem Archimedischen Axiom N ∈ ℕ derart, daß N > ϵ^{− \frac{1}{s}}. Dann gilt für n ≥ N zunächst \frac{1}{n} ≤ \frac{1}{N}, dann \frac{1}{n^{p}} ≤ \frac{1}{N^{p}} und

\sqrt[q]{\frac{1}{n^{p}}} ≤ \sqrt[q]{\frac{1}{N^{p}}}, also |\frac{1}{n^{s}} | ≤ |\frac{1}{N^{s}} | < ϵ.

ii) Für a ≥ 1 setze x_{n} := \sqrt[n]{a} − 1 > 0. Nach der Bernoullischen Ungleichung ist a = (1 + x_{n})^{n} ≥ 1 + nx_{n}, damit x_{n} < \frac{a}{n} und 0 < |\sqrt[n]{a} − 1| = x_{n} < ϵ für alle

n ≥ N > \frac{a}{ϵ}. Für 0 < a < 1 gilt lim_{n→∞} \sqrt[n]{\frac{1}{a}} = 1. Die Behauptung folgt dann aus

Satz 10.3.iii).

iii) Sei n ≥ 2. Nach Binomialentwicklung gilt für x_{n} := \sqrt[n]{n} − 1 > 0

n = (1 + x_{n})^{n} ≥ 1 + \binom{n}{2}x_{n}^{2} = 1 + \frac{n(n − 1)}{2}x_{n}^{2} ,

also n − 1 ≥ \frac{n(n−1)}{2}x_{n}^{2} und schließlich x_{n} ≤ \sqrt{\frac{2}{n}} für n ≥ 2. Wähle N > \frac{2}{ϵ^{2}} , so folgt |\sqrt[n]{n} − 1| = x_{n} < ϵ für alle n ≥ N.

iv) Es gilt |z^{n} − 0| = |z|^{n}. Die Aussage folgt aus Satz 3.11.ii).

v) Betrachte n > 2k + 1 und |z| = 1 + x mit x > 0. Dann ergibt die Binomialentwicklung

(1 + x)^{n} > \binom{n}{k + 1}x^{k+1} = \frac{n(n − 1) ⋯ (n − k)}{(k + 1)!}x^{k+1} > n · (\frac{n}{2})^{k} \frac{x^{k+1}}{(k + 1)!} ,

also |\frac{n^{k}}{z^{n}} | < \frac{2^{k}(k+1)!}{x^{k+1}} · \frac{1}{n}. Wähle N ∈ ℕ mit N > max (\frac{2^{k+1}(k+1)!}{x^{k+1}} · \frac{1}{ϵ} , 2k + 1), dann folgt |\frac{n^{k}}{z^{n}} | < ϵ für alle n ≥ N. □

Beispiel 10.6 Es sei n ∈ ℕ^{×}.

i) lim_{n→∞} \frac{2n^{2} + 3n}{3n^{2} + 4} = lim_{n→∞} \frac{2 + \frac{3}{n}}{3 + \frac{4}{n^{2}}} = \frac{lim_{n→∞} 2 + \frac{3}{n}}{lim_{n→∞} 3 + \frac{4}{n^{2}}} = \frac{2}{3}

ii) Für k ∈ ℕ gilt: lim_{n→∞} \sqrt[n]{n^{k}} = lim_{n→∞}(\sqrt[n]{n})^{k} = ( lim_{n→∞}(\sqrt[n]{n}))^{k} = 1. ◁

Einige weitere Rechenregeln für Grenzwerte:

Satz 10.7 i) Die Folge (a_{n})_{n∈ℕ} konvergiere gegen a ∈ ℂ. Dann gilt

lim_{n→∞} |a_{n}| = |a| , lim_{n→∞} \overline{a_{n}} = ā , lim_{n→∞} Re(a_{n}) = Re(a) , lim_{n→∞} Im(a_{n}) = Im(a) .

Insbesondere sind die Grenzwerte reeller Folgen reell, und es gilt

lim_{n→∞} a_{n} = lim_{n→∞} Re(a_{n}) + i · lim_{n→∞} Im(a_{n}) .

ii) Es gelte lim_{n→∞} a_{n} = a und lim_{n→∞} b_{n} = b, ferner gebe es ein N ∈ ℕ mit a_{n} ≤ b_{n} für alle n ≥ N. Dann gilt a ≤ b.

iii) Zu einer reellen Folge (c_{n})_{n∈ℕ} gebe es konvergente reelle Folgen (a_{n})_{n∈ℕ} und (b_{n})_{n∈ℕ} und ein N ∈ ℕ derart, daß a_{n} ≤ c_{n} ≤ b_{n} für alle n ≥ N. Gilt lim_{n→∞} a_{n} = lim_{n→∞} b_{n} = a, dann konvergiert auch (c_{n})_{n∈ℕ} mit lim_{n→∞} c_{n} = a.

iv) Für eine Folge (a_{n})_{n∈ℕ} komplexer Zahlen gebe es ein N ∈ ℕ und ein 0 < q < 1, so daß für alle n ≥ N gilt a_{n} ≠ 0 und |\frac{a_{n+1}}{a_{n}} | ≤ q. Dann gilt

lim_{n→∞} a_{n} = 0.

Beweis. i) Nach Satz 5.4 gilt |Re(a_{n}) − Re(a)| = |Re(a_{n} − a)| ≤ |a_{n} − a|, damit folgt aus der Konvergenz von (a_{n})_{n∈ℕ} die Konvergenz von (Re(a_{n}))_{n∈ℕ}. Analog für Im(a_{n}) und \overline{a_{n}}. Für die Beträge folgt die Aussage aus Satz 3.8: ||a_{n}| − |a|| ≤ |a_{n} − a|. Der zweite Teil ist klar.

ii) Nach Voraussetzung gibt es zu ϵ > 0 ein N ∈ ℕ, so daß gleichzeitig a_{n} ≤ b_{n} sowie |a_{n} − a| < ϵ und |b_{n} − b| < ϵ gilt für alle n ≥ N. Nach Fallunterscheidung bedeutet das −ϵ < a_{n} − a < ϵ und −ϵ < b_{n} − b < ϵ, somit schließlich a − ϵ < a_{n} ≤ b_{n} < b + ϵ. Das ergibt a − b < 2ϵ für alle ϵ > 0, also a − b ≤ 0.

iii) Wie in ii) gilt a−ϵ < a_{n} ≤ c_{n} ≤ b_{n} < a+ϵ für alle n ≥ N, also |c_{n} −a| < ϵ. iv) Aus |\frac{a_{n+1}}{a_{n}} | ≤ q folgt |a_{n+1}| ≤ q|a_{n}|, damit für n = N + k die Relation

|a_{n}| ≤ q|a_{n−1}| ≤ q^{2}|a_{n−2}| ⋯ ≤ q^{k}|a_{N}| = q^{n} \frac{|a_{N}|}{q^{N}} .

Zu jedem ϵ > 0 gibt es nach Satz 3.11.ii) ein N′ ∈ ℕ mit q^{n} < ϵ\frac{q^{N}}{|a_{N} |} für alle n ≥ N′. Damit gilt |a_{n} − 0| < ϵ für alle n ≥ max(N′, N). □

Beispiel 10.8 i) Für s ∈ ℚ_{+}^{∗} gilt 1 ≤ \sqrt[n]{n^{s}} ≤ \sqrt[n]{n^{k}} für ein k ≥ s und damit

lim_{n→∞} \sqrt[n]{n^{s}} = 1.

ii) Für 0 ≤ a < b gilt b ≤ \sqrt[n]{a^{n} + b^{n}} ≤ \sqrt[n]{2(b^{n})} = b\sqrt[n]{2}, damit

lim_{n→∞} \sqrt[n]{a^{n} + b^{n}} = b. ◁

Entsprechend der allgemeinen Definition beschränkter Teilmengen heißt eine Folge (a_{n})_{n∈ℕ} beschränkt, wenn es ein s ∈ ℝ gibt mit |a_{n}| ≤ s für alle n ∈ ℕ.

Satz 10.9 Jede konvergente Folge ist beschränkt.

Beweis. Es sei a der Grenzwert einer konvergenten Folge (a_{n})_{n∈ℕ}, dann gibt es zu ϵ = 1 ein N ∈ ℕ mit |a_{n} − a| < 1 für alle n ≥ N. Dann ist |a_{n}| = |a_{n} − a + a| ≤ |a_{n} − a| + |a| < |a| + 1 für alle n ≥ N, und insgesamt gilt |a_{n}| ≤ s := max (|a_{0}|, |a_{1}|, …, |a_{N}|, |a| + 1). □

Die Umkehrung wäre falsch: Aus der Beschränktheit einer Folge folgt nicht die Konvergenz, wie das Beispiel ((−1)^{n})_{n∈ℕ} zeigt.

Definition 10.10 Eine Folge (a_{n})_{n∈ℕ} reeller Zahlen heißt

i) monoton wachsend bzw. streng monoton wachsend, wenn für alle n ∈ ℕ gilt a_{n} ≤ a_{n+1} bzw. a_{n} < a_{n+1};

ii) monoton fallend bzw. streng monoton fallend, wenn für alle n ∈ ℕ gilt a_{n} ≥ a_{n+1} bzw. a_{n} > a_{n+1};

iii) (streng) monoton, wenn sie (streng) monoton wachsend oder (streng) monoton fallend ist.

Bemerkung: Monotonie kann nicht für Folgen komplexer Zahlen definiert werden.

Satz 10.11 Jede beschränkte monotone Folge (a_{n})_{n∈ℕ} konvergiert

i) gegen sup A, falls die Folge monoton wachsend ist,

ii) gegen inf A, falls die Folge monoton fallend ist,

wobei A := {a_{n} : n ∈ ℕ} ⊆ ℝ.

Beweis. i) Sei s := sup A, d.h. die kleinste obere Schranke. Dann gibt es zu jedem ϵ > 0 ein a_{N} ∈ A mit s − ϵ < a_{N}. Da (a_{n})_{n∈ℕ} monoton wachsend ist, gilt s − ϵ < a_{n} ≤ s, d.h. |a_{n} − s| < ϵ, für alle n ≥ N. ii) ist analog. □

Satz 10.12 (Eulersche Zahl e) Für n ∈ ℕ^{×} sei a_{n} := (1 + \frac{1}{n})^{n}. Dann gilt: Die Folge (a_{n})_{n≥1} ist konvergent, und für ihren Grenzwert e := lim_{n→∞}(1 + \frac{1}{n})^{n} gilt 2 < e ≤ 3.

Genauer gilt: e ist irrational mit e = 2, 71828 . . .. Wir werden später sehen, daß e in der Analysis eine wichtige Rolle spielt.

Beweis. Wir zeigen: (a_{n})_{n∈ℕ^{×}} ist monoton wachsend und beschränkt. Monotonie folgt aus

\frac{a_{n}}{a_{n−1}} = \frac{(\frac{n+1}{n})^{n}}{(\frac{n}{n−1})^{n−1}} = \frac{n}{n − 1}( \frac{\frac{n+1}{n}}{\frac{n}{n−1}} )^{n} = \frac{n}{n − 1}(\frac{n^{2} − 1}{n^{2}})^{n} = \frac{n}{n − 1}(1 − \frac{1}{n^{2}} )^{n}

>^{Bernoulli} \frac{n}{n − 1}(1 − n\frac{1}{n^{2}} ) = 1 ,

d.h. a_{n} > a_{n−1} für alle n ≥ 2. Weiter gilt nach der binomischen Formel für n ≥ 2

(1 + \frac{1}{n})^{n} = ∑_{k=0}^{n} \binom{n}{k}\frac{1}{n^{k}} = 1 + ∑_{k=1}^{n} \frac{n}{n} · \frac{n − 1}{n} ⋯ \frac{n − k + 1}{n} · \frac{1}{k!} < 1 + ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{k!}

≤ 1 + ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{2^{k−1}} = 1 + ∑_{k=0}^{n−1} \frac{1}{2^{k}} = 1 + \frac{1 − \frac{1}{2^{n}}}{1 − \frac{1}{2}} < 3 .

Dabei wurde für k ≥ 1 die Ungleichung \frac{1}{1·2·3···k} ≤ \frac{1}{2^{k−1}} sowie im letzten Schritt die geometrische Summenformel benutzt. Also ist a_{n} beschränkt mit a_{n} < 3, und nach Satz 10.11 konvergiert die Folge. Eine untere Schranke ergibt sich z.B. für n = 2 zu (1 + \frac{1}{2})^{2} = \frac{9}{4} > 2. □

Oft sind Folgen rekursiv definiert durch einen Startwert a_{0} (oder mehrere Startwerte a_{0}, a_{1}, …, a_{N}) und eine Rekursionsformel.

Satz 10.13 (Folge zur Berechnung der Quadratwurzeln) Es sei a ∈ ℝ_{+}^{∗}. Für einen beliebigen Startwert x_{0} > 0 konvergiert die rekursiv definierte Folge

x_{n+1} := \frac{1}{2}(x_{n} + \frac{a}{x_{n}} ) für n ∈ ℕ

gegen \sqrt{a} ∈ ℝ_{+}^{∗}, d.h. lim_{n→∞} x_{n} = \sqrt{a}.

Beweis. Nach Induktion ist x_{n} > 0 für alle n ∈ ℕ. Weiter gilt

x_{n+1}^{2} − a = \frac{1}{4}(x_{n} + \frac{a}{x_{n}} )^{2} − a = \frac{1}{4}(x_{n} − \frac{a}{x_{n}} )^{2} ≥ 0 ,

d.h. x_{n} ≥ \sqrt{a} für alle n ≥ 1. Damit ergibt sich, daß die Folge (x_{n})_{n≥1} monoton fallend ist:

x_{n} − x_{n+1} = \frac{1}{2x_{n}} (x_{n}^{2} − a) > 0 n ≥ 1 .

Nach Satz 10.11 konvergiert (x_{n})_{n∈ℕ} gegen einen Grenzwert x ≥ \sqrt{a}. Für diesen Grenzwert gilt die Gleichung x = \frac{1}{2}(x + \frac{a}{x}), mit der positiven Lösung x = \sqrt{a}. □

Das Rekursionsverfahren hat mehrere interessante Eigenschaften: 1) Es ist stabil, also unabhängig vom Startwert. 2) Man kann zeigen, daß die Folge sehr schnell (quadratisch) gegen den Grenzwert konvergiert, so daß schon wenige Folgenglieder eine brauchbare Näherung liefern.

Allgemeiner gilt:

Satz 10.14 (Folge zur Berechnung der k-ten Wurzeln) Es sei a ∈ ℝ_{+}^{∗}. Für einen beliebigen Startwert x_{0} > 0 konvergiert die rekursiv definierte Reihe

x_{n+1} := \frac{1}{k}((k − 1)x_{n} + \frac{a}{x_{n}^{k−1}} ) für n ∈ ℕ

gegen \sqrt[k]{a} ∈ ℝ_{+}^{∗}, d.h. lim_{n→∞} x_{n} = \sqrt[k]{a}.

Beweis: Nach Bernoullischer Ungleichung gilt

(x_{n+1})^{k} = x_{n}^{k}(1 + \frac{1}{k}(\frac{a}{x_{n}^{k}} − 1))^{k} ≥ x_{n}^{k}(1 + (\frac{a}{x_{n}^{k}} − 1)) = a .

Daraus folgt dann für n ≥ 1 die Ungleichung x_{n+1} − x_{n} = \frac{a−x_{n}^{k}}{kx_{n}^{k−1}} ≤ 0, d.h. (x_{n})_{n≥1} konvergiert als monoton fallende und durch \sqrt[k]{a} nach unten beschränkte Folge gegen einen Grenzwert x. Für diesen gilt die Grenzwertgleichung

x = lim_{n→∞} x_{n+1} = lim_{n→∞} \frac{1}{k}((k − 1)x_{n} + \frac{a}{x_{n}^{k−1}} ) = \frac{1}{k}((k − 1)x + \frac{a}{x^{k−1}} ) ,

somit x = \frac{a}{x^{k−1}} und x = \sqrt[k]{a}. □

11 Der Satz von Bolzano-Weierstraß. Cauchy-Folgen

Definition 11.1 Es sei (a_{n})_{n∈ℕ} eine Folge komplexer Zahlen und n_{0} < n_{1} < n_{2} < … eine aufsteigende Folge natürlicher Zahlen. Dann heißt die Folge (a_{n_{k}})_{k∈ℕ} = (a_{n_{0}}, a_{n_{1}}, a_{n_{2}}, …) eine Teilfolge von (a_{n})_{n∈ℕ}.

Direkt aus der Definition folgt, daß jede Teilfolge (a_{n_{k}})_{k∈ℕ} einer konvergenten Folge (a_{n})_{n∈ℕ} konvergent ist gegen den gleichen Grenzwert, d.h. für konvergente Folgen gilt lim_{n→∞} a_{n} = lim_{k→∞} a_{n_{k}}.

Definition 11.2 Eine Zahl h ∈ ℂ heißt Häufungspunkt der Folge (a_{n})_{n∈ℕ}, wenn es eine Teilfolge (a_{n_{k}})_{k∈ℕ} gibt, die gegen h konvergiert.

Satz 11.3 Eine Zahl h ∈ ℂ ist genau dann Häufungspunkt der Folge (a_{n})_{n∈ℕ}, wenn für alle ϵ > 0 gilt: Die Menge {n ∈ ℕ : |h − a_{n}| < ϵ} ist unendlich.

Beweis. (⇒) Es gebe eine gegen h konvergente Teilfolge (a_{n_{k}})_{k∈ℕ}. Also gibt es zu jedem ϵ > 0 ein N ∈ ℕ mit |a_{n_{k}} − h| < ϵ für alle k ≥ N. Die Menge {n_{k} ∈ ℕ : k ≥ N} ist unendlich.

(⇐) Jede ϵ-Umgebung von h enthalte unendlich viele Folgenglieder. Wir konstruieren induktiv eine Abbildung k → n_{k} mit n_{k+1} > n_{k} und |a_{n_{k}} − h| < \frac{1}{k+1}, also eine gegen h konvergente Teilfolge.

i) Induktionsanfang: Wegen {n ∈ ℕ : |a_{n} − h| < 1} ≠ ∅ gibt es ein n_{0} ∈ ℕ mit |a_{n_{0}} − h| < 1. ii) Induktionsschritt k → k + 1: Sei a_{n_{k}} gewählt mit |a_{n_{k}} − h| < \frac{1}{k+1}. Nach Voraussetzung ist die Menge \{n ∈ ℕ : |a_{n} − h| < \frac{1}{k+2}\} unendlich, insbesondere enthält sie eine Zahl m > n_{k}. Setze n_{k+1} := m. □

Beispiel 11.4 i) Die alternierende Folge (a_{n})_{n∈ℕ} mit a_{n} := (−1)^{n} besitzt die beiden Häufungspunkte 1 und −1, denn (a_{2n})_{n∈ℕ} konvergiert gegen 1 und (a_{2n+1})_{n∈ℕ} gegen −1.

ii) Die durch a_{n} := (−1)^{n} + \frac{1}{n+1} gegebenen Folge hat ebenfalls 1 und −1 als

Häufungspunkte, denn lim_{n→∞} a_{2n} = lim_{n→∞}(1 + \frac{1}{n + 1}) = 1 und lim_{n→∞} a_{2n+1} =

lim_{n→∞}(−1 + \frac{1}{n + 1}) = −1.

iii) Die durch a_{n} = n definierte Folge hat keine Häufungspunkte: jede Teilfolge enthält unendlich viele Elemente, die paarweise einen Abstand ≥ 1 haben.

iv) Eine konvergente Folge hat ihren Grenzwert als einzigen Häufungspunkt, da jede Teilfolge gegen den gleichen Grenzwert konvergiert.

Satz 11.5 (Bolzano-Weierstraß) Jede beschränkte Folge komplexer Zahlen besitzt eine konvergente Teilfolge.

Beweis. Wir zeigen den Satz zunächst für Folgen reeller Zahlen a_{n} ∈ ℝ. Wegen der Beschränktheit der Folge gibt es reelle Zahlen c < d mit a_{n} ∈ [c, d] für alle n ∈ ℕ. Wir konstruieren induktiv eine Intervallschachtelung (I_{k})_{k∈ℕ}, so daß I_{k} = [c_{k}, d_{k}] unendlich viele Folgenglieder a_{n} enthält, sowie eine zugehörige Folge (n_{k})_{k∈ℕ} natürlicher Zahlen mit n_{k+1} > n_{k} und a_{n_{k}} ∈ I_{k}.

i) Induktionsanfang: Wähle I_{0} = [c_{0}, d_{0}] mit c_{0} := c und d_{0} = d sowie ein a_{n_{0}} ∈ I_{0}. ii) Induktionsschritt k → k + 1. Sei I_{k} = [c_{k}, d_{k}] bereits konstruiert und m_{k} := \frac{1}{2}(c_{k} + d_{k}) der Mittelpunkt. Da I_{k} unendlich viele Folgenglieder enthält, können nicht beide Teilintervalle [c_{k}, m_{k}] und [m_{k}, d_{k}] nur endlich viele Folgenglieder enthalten. Setze I_{k+1} := [c_{k+1}, d_{k+1}] mit c_{k+1} := c_{k} und d_{k+1} := m_{k}, falls [c_{k}, m_{k}] unendlich viele Folgenglieder enthält, ansonsten I_{k+1} := [c_{k+1}, d_{k+1}] mit c_{k+1} := m_{k} und d_{k+1} := d_{k}. Offenbar gilt I_{k+1} ⊆ I_{k} und |I_{k+1}| = \frac{1}{2}|I_{k}| = \frac{1}{2^{k+1}} |I_{0}|.

Da die Menge {n ∈ ℕ : a_{n} ∈ I_{k+1}} unendlich ist, enthält sie ein Element m > n_{k}. Setze n_{k+1} := m, d.h. es gilt a_{n_{k+1}} ∈ I_{k+1} und n_{k+1} > n_{k}.

Nach dem Intervallschachtelungsprinzip gibt es eine eindeutig bestimmte Zahl h ∈ ℝ mit h ∈ I_{k} für alle k ∈ ℕ. Dann gibt es zu jedem ϵ > 0 ein N ∈ ℕ mit I_{k} ⊆ [h − ϵ, h + ϵ] für alle k ≥ N, d.h. |a_{n_{k}} − h| ≤ ϵ < 2ϵ für alle k ≥ N. Das bedeutet lim_{k→∞} a_{n_{k}} = h, und der Satz von Bolzano-Weierstraß ist im reellen Fall bewiesen.

Ist (a_{n})_{n∈ℕ} eine beschränkte Folge komplexer Zahlen, dann bildet (Re(a_{n}))_{n∈ℕ} eine beschränkte Folgen reeller Zahlen. Nach obigem Beweis gibt es eine konvergente Teilfolge (Re(a_{n_{k}}))_{k∈ℕ} mit lim_{k→∞} Re(a_{n_{k}}) = h_{1}. Die Folge der Imaginärteile (Im(a_{n_{k}}))_{k∈ℕ} ist ebenfalls eine beschränkte Folge reeller Zahlen und enthält somit eine konvergente Teilfolge (Im(a_{(n_{k})_{l}}))_{l∈ℕ} mit lim_{l→∞} Im(a_{(n_{k})_{l}}) = h_{2}. Dann gilt auch lim_{l→∞} Re(a_{(n_{k})_{l}}) = h_{1} als Teilfolge einer konvergenten Folge. Insgesamt ist eine konvergente komplexe Teilfolge (a_{(n_{k})_{l}})_{l∈ℕ} von (a_{n})_{n∈ℕ} konstru-

iert mit lim_{l→∞} a_{(n_{k})_{l}} = h_{1} + ih_{2}. □

Nach Definition 11.2 kann man den Satz von Bolzano-Weierstraß auch so formulieren, daß jede beschränkte Folge komplexer Zahlen mindestens einen Häufungspunkt besitzt.

Definition 11.6 Es sei (a_{n})_{n∈ℕ} eine beschränkte Folge reeller Zahlen.

• Der größte Häufungspunkt a^{∗} von (a_{n})_{n∈ℕ} heißt limes superior, geschrieben a^{∗} = lim sup a_{n}.

• Der kleinste Häufungspunkt a_{∗} von (a_{n})_{n∈ℕ} heißt limes inferior, geschrieben a_{∗} = lim inf a_{n}.

Für konvergente Folgen gilt a_{∗} = a^{∗} = lim_{n→∞} a_{n}.

Der Beweis des Satzes von Bolzano-Weierstraß nutzt ganz entscheidend das Intervallschachtelungsprinzip. Unter Verwendung des Satzes von Bolzano-Weierstraß beweisen wir nun das Cauchysche Konvergenzkriterium, das es auch ohne Kenntnis des Grenzwertes erlaubt, die Konvergenz von Folgen zu entscheiden.

Satz 11.7 (Cauchysches Konvergenzkriterium) Eine Folge (a_{n})_{n∈ℕ} komplexer Zahlen konvergiert genau dann, wenn es zu jedem ϵ > 0 ein N ∈ ℕ gibt, so daß |a_{n} − a_{m}| < ϵ gilt für alle n, m ≥ N.

Beweis. (⇒) Die Folge (a_{n})_{n∈ℕ} sei konvergent mit Grenzwert a. Dann gibt es zu jedem ϵ > 0 ein N ∈ ℕ mit |a_{n} − a| < \frac{ϵ}{2} und |a_{m} − a| < \frac{ϵ}{2} für alle n, m ≥ N. Die Dreiecksungleichung liefert |a_{n}−a_{m}| = |a_{n}−a+(a−a_{m})| ≤ |a_{n}−a|+|a_{m}−a| < ϵ.

(⇐) Es gelte |a_{n} − a_{m}| < ϵ für alle n, m ≥ N. Dann ist die Folge (a_{n})_{n∈ℕ} beschränkt, denn zu ϵ = 1 gibt es ein N ∈ ℕ mit |a_{n} − a_{N}| < 1 für alle n ≥ N; somit gilt |a_{n}| ≤ max(|a_{0}|, |a_{1}|, …, |a_{N}|, |a_{N}| + 1). Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß besitzt (a_{n})_{n∈ℕ} eine konvergente Teilfolge (a_{n_{k}})_{k∈ℕ} mit a := lim_{k→∞} a_{n_{k}}. Wir zeigen, daß auch (a_{n})_{n∈ℕ} gegen a konvergiert: Zu beliebigem ϵ > 0 gibt es ein N′ ∈ ℕ, so daß gleichzeitig gilt |a_{n} − a_{m}| < \frac{ϵ}{2} für alle m, n ≥ N′ und |a_{n_{k}} − a| < \frac{ϵ}{2} für ein n_{k} ≥ N′. Die Dreiecksungleichung liefert |a_{n} −a| = |a_{n} −a_{n_{k}} +(a_{n_{k}} −a)| ≤ |a_{n} − a_{n_{k}}| + |a_{n_{k}} − a| < ϵ. □

Definition 11.8 Eine Folge (a_{n})_{n∈ℕ} komplexer Zahlen heißt Cauchy-Folge (oder Fundamentalfolge), wenn zu jedem ϵ > 0 ein N ∈ ℕ existiert, so daß |a_{n} − a_{m}| < ϵ für alle n, m ≥ N.

Nach Satz 11.7 sind in ℂ genau die Cauchy-Folgen die konvergenten Folgen. Der Beweis benutzt Bolzano-Weierstraß, wobei der entscheidende Teil für reelle Folgen bewiesen wird, wo das Intervallschachtelungsprinzip zur Verfügung steht. Damit wird das Cauchysche Konvergenzkriterium letztendlich auf die Vollständigkeit von ℝ zurückgeführt. Bemerkenswert ist, daß auch die Umkehrung gilt:

Satz 11.9 Für einen archimedisch angeordneten Körper folgt das Intervallschachtelungsprinzip aus dem Cauchyschen Konvergenzkriterium.

Beweis. Es sei ([a_{n}, b_{n}])_{n∈ℕ} eine Intervallschachtelung. Zu ϵ > 0 gibt es ein N ∈ ℕ mit |a_{N} − b_{N}| < ϵ. Wegen a_{n}, a_{m} ∈ [a_{N}, b_{N}] für alle n, m ≥ N gilt |a_{n} − a_{m}| < ϵ für alle m, n ≥ N, d.h. (a_{n})_{n∈ℕ} ist eine Cauchy-Folge. Sei s := lim_{n→∞} a_{n} der Grenzwert. Da (a_{n})_{n∈ℕ} monoton wachsend ist, gilt a_{n} ≤ s für alle n ∈ ℕ. Aus a_{k} < b_{n} und Satz 10.7.ii) für die konstante Folge (b_{n})_{k} = b_{n} folgt s ≤ b_{n} für alle n ∈ ℕ. Somit gilt s ∈ [a_{n}, b_{n}] für alle n ∈ ℕ. □

Wir werden sehen, daß sich Folgen in sehr viel allgemeineren Räumen als ℝ oder ℂ betrachten lassen. In diesen Fällen ist die Intervallschachtelung nicht mehr sinnvoll, während die Definition der Vollständigkeit über die Konvergenz von Cauchy-Folgen im wesentlichen die gleiche bleibt, solange ein Abstand erklärt ist.

12 Reihen

Ist (a_{n})_{n∈ℕ} eine Folge komplexer Zahlen, so werden durch

s_{0} := a_{0} , s_{1} := a_{0} + a_{1} , …, s_{m} := ∑_{k=0}^{m} a_{k}

die sogenannten Partialsummen definiert. Diese bilden dann die Folge der Partialsummen (s_{m})_{m∈ℕ}, die wieder auf Konvergenz untersucht werden kann. Eine solche Folge der Partialsummen heißt (unendliche) Reihe, und für diese schreibt man ∑_{n=0}^{∞} a_{n}. Das Symbol hat eine doppelte Bedeutung: Zum einen ist ∑_{n=0}^{∞} a_{n} gleichbedeutend mit der Folge der Partialsummen (s_{m})_{m∈ℕ} mit s_{m} := ∑_{k=0}^{m} a_{k}. Konvergiert diese Folge, dann meint man mit ∑_{n=0}^{∞} a_{n} auch den eindeutig bestimmten Grenzwert der Folge der Partialsummen. Über das Cauchysche Konvergenzkriterium für Folgen erhalten wir: Satz 12.1 (Cauchy-Kriterium für Reihen) Eine Reihe ∑_{n=0}^{∞} a_{n} ist genau dann konvergent, wenn es zu jedem ϵ > 0 ein N ∈ ℕ gibt, so daß | ∑_{k=n}^{m} a_{k}| < ϵ für alle m ≥ n > N.

Beweis. Klar wegen |s_{m} − s_{n−1}| = | ∑_{k=n}^{m} a_{k}|. □

Daraus ergibt sich, daß aus der Konvergenz von ∑_{n=0}^{∞} a_{n} auch die Konvergenz von ∑_{n=p}^{∞} a_{n} folgt, und umgekehrt (wenn alle a_{n} definiert sind).

Satz 12.2 Die geometrische Reihe ∑_{n=0}^{∞} z^{n} konvergiert für z ∈ ℂ mit 0 < |z| < 1, und in diesem Fall gilt ∑_{n=0}^{∞} z^{n} = \frac{1}{1 − z}. Beweis. Nach Satz: 2.3 (analog zu beweisen für z ∈ ℂ \ {0, 1}) sind für z ∉ {0, 1} die Partialsummen gegeben durch

s_{n} := ∑_{k=0}^{n} z^{k} = \frac{1 − z^{n+1}}{1 − z} ,

und nach Satz 10.5.iv) ist die Folge (\frac{1−z^{n+1}}{1−z} )_{n∈ℕ} für |z| < 1 konvergent mit dem angegebenen Grenzwert. □ Beispiel 12.3 (periodische Dezimalbrüche) Für q = 0.\overline{189} := 189 ∑_{n=1}^{∞} 10^{−3n} gilt q = \frac{189}{1000} · ∑_{n=0}^{∞} 10^{−3n} = \frac{189}{1000} · \frac{1}{1−10^{−3}} = \frac{189}{999} = \frac{21}{111} = \frac{7}{37}. ◁

55

Preliminary version – 31. Januar 2018

Satz 12.4 Die harmonische Reihe ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n} ist divergent.

Beweis. Wir zeigen, daß die Folge der Partialsummen keine Cauchy-Folge ist. Für beliebige N ∈ ℕ^{×} gilt

s_{2N} − s_{N} = ∑_{k=N+1}^{2N} \frac{1}{k} ≥ ∑_{k=N+1}^{2N} \frac{1}{2N} = \frac{1}{2} .

Wäre (s_{n})_{n≥1} eine Cauchy-Folge, so gäbe es zu ϵ = \frac{1}{2} ein N_{0} ∈ ℕ mit |s_{n}−s_{m}| < \frac{1}{2} für alle n, m ≥ N_{0}, Widerspruch. □

Es ist im allgemeinen leichter, die Konvergenz einer Reihe zu beweisen, als den Grenzwert konkret anzugeben. Für den Konvergenzbeweis stehen mehrere Kriterien zur Verfügung.

Lemma 12.5 Sind ∑_{n=0}^{∞} a_{n} und ∑_{n=0}^{∞} b_{n} konvergent, so gilt

∑_{n=0}^{∞}(a_{n} + b_{n}) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n} + ∑_{n=0}^{∞} b_{n}  und ∑_{n=0}^{∞}(za_{n}) = z ∑_{n=0}^{∞} a_{n}  (z ∈ ℂ) .

Beweis. Folgt aus Satz 10.3. □

Somit bilden konvergente Reihen einen Vektorraum.

Lemma 12.6 Ist ∑_{n=0}^{∞} a_{n} konvergent, so bildet (a_{n})_{n∈ℕ} eine Nullfolge.

Beweis. Nach Cauchy-Kriterium ist |a_{n+1}| = |s_{n+1} − s_{n}| < ϵ für alle n > N. □

Das ist nützlich in negierter Form: Ist (a_{n})_{n∈ℕ} keine Nullfolge, so kann die Reihe

∑_{n=0}^{∞} a_{n} nicht konvergent sein. Z.B. kann ∑_{n=0}^{∞} z^{n} für |z| ≥ 1 nicht konvergieren, da

(z^{n})_{n∈ℕ} dann keine Nullfolge ist.

Die Umkehrung von Lemma 12.6 wäre falsch: Ist (a_{n})_{n∈ℕ} Nullfolge, so kann zunächst nichts über die Konvergenz gesagt werden, wie das Beispiel der harmonischen Reihe zeigt.

Lemma 12.7 Eine Reihe ∑_{n=0}^{∞} a_{n} mit positiven reellen Gliedern a_{n} ≥ 0 konver-

giert genau dann, wenn die Folge der Partialsummen beschränkt ist.

Beweis. Für a_{n} ≥ 0 ist die Folge der Partialsummen monoton. □

Beispiel 12.8 Die folgende Reihe ist konvergent: ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n(n + 1)} = 1.

Beweis. Wegen \frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} − \frac{1}{k+1} (Partialbruchzerlegung) gilt

s_{m} := ∑_{k=1}^{m} \frac{1}{k(k + 1)} = ∑_{k=1}^{m} \frac{1}{k} − ∑_{k=1}^{m} \frac{1}{(k + 1)} = 1 − \frac{1}{m + 1} .

Die Folge (1 − \frac{1}{n+1})_{n≥1} ist konvergent mit dem angegebenen Grenzwert. ◁

Satz 12.9 Für s ∈ ℚ_{+}^{×} ist

∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{s}} \{ \begin{matrix}konvergent für & s > 1 \\ divergent für & s ≤ 1 \end{matrix}

Beweis. Für s ≤ 1 gilt für die Partialsummen

s_{n} = \frac{1}{1^{s}} + \frac{1}{2^{s}} + ⋯ + \frac{1}{n^{s}} ≥ \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + ⋯ + \frac{1}{n} ,

und für die (divergente) harmonische Reihe ist die Folge der Partialsummen unbeschränkt.

Für s > 1 betrachten wir die Teilfolge s_{2^{k}−1} der Partialsummen. Durch Zusammenfassen der Summanden a_{2^{j}}, … a_{2^{j+1}−1} entsteht

s_{2^{k}−1} = 1 + (\frac{1}{2^{s}} + \frac{1}{3^{s}} ) + (\frac{1}{4^{s}} + ⋯ + \frac{1}{7^{s}} ) + ⋯ + (\frac{1}{(2^{k−1})^{s}} + ⋯ + \frac{1}{(2^{k} − 1)^{s}} )

≤ 1 + 2 · \frac{1}{2^{s}} + 4 · \frac{1}{4^{s}} + ⋯ + 2^{k−1} · \frac{1}{(2^{k−1})^{s}}

= ∑_{j=0}^{k−1} \frac{2^{j}}{(2^{j})^{s}} = ∑_{j=0}^{k−1} (\frac{1}{2^{s−1}} )^{j} = \frac{1 − (\frac{1}{2})^{(s−1)k}}{1 − (\frac{1}{2})^{s−1}} < \frac{2^{s−1}}{2^{s−1} − 1} .

Damit ist die Teilfolge (s_{2^{k}−1})_{k≥1} beschränkt. Da jedes n ∈ ℕ durch ein 2^{k} −1 ≥ n abgeschätzt werden kann und die Folge der Partialsummen monoton ist, ist auch (s_{n})_{n∈ℕ} selbst beschränkt und damit konvergent. □

Die Reihe ζ(z) := ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{z}} heißt Riemannsche Zeta-Funktion, wobei zunächst z ∈

ℚ mit z > 1 ist. Später wird sich zeigen, daß die Reihe auch für gewisse z ∈ ℂ sinnvoll ist. Über die Grenzwerte können wir zunächst nicht viel sagen. Später

werden wir z.B. ζ(2) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{2}} = \frac{π^{2}}{6} zeigen.

In Spezialfällen lassen sich Reihen von rationalen Funktionen ∑_{n=N}^{∞} \frac{g(n)}{f(n)} durch

ζ-Funktionen berechnen. Die Reihe konvergiert genau dann, wenn deg(f) ≥ deg(g) + 2 und f keine Nullstellen n ∈ ℕ mit n ≥ N hat. Liegen zusätzlich alle Nullstellen von f in ℤ und sind < N, dann kann die Reihe konkret berechnet werden als Linearkombinationen von 1 und ζ-Funktionen.

Beispiel 12.10 Gesucht sei die Reihe ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{2}(n + 1)^{2}} . Partialbruchzerlegung lie-

fert

\frac{1}{x^{2}(x + 1)^{2}} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{(x + 1)^{2}} − \frac{2}{x} + \frac{2}{x + 1} = \frac{1}{x^{2}(x + 1)^{2}} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{(x + 1)^{2}} − \frac{2}{x(x + 1)} ,

wobei wir wieder einige Terme zusammenfassen müssen. Es folgt mit ζ(2) := ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{2}} = \frac{π^{2}}{6} und Beispiel 12.8:

∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{2}(n + 1)^{2}} = ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{2}} + ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{(n + 1)^{2}} − 2 ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n(n + 1)}

= 2 ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{2}} − 1 − 2 ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n(n + 1)} = 2ζ(2) − 3 = \frac{π^{2}}{3} − 3 . ◁

Satz 12.11 (Konvergenzkriterium von Leibniz) Es sei (a_{n})_{n∈ℕ} eine mono-

ton fallende Nullfolge (insbesondere a_{n} ∈ ℝ_{+}). Dann ist die Reihe ∑_{n=0}^{∞}(−1)^{n}a_{n}

konvergent, und für den Grenzwert s gilt |s − ∑_{j=0}^{n}(−1)^{j}a_{j}| ≤ a_{n+1}.

Solche Reihen heißen alternierend.

Beweis. Für die geraden Partialsummen gilt s_{2k+2} − s_{2k} = a_{2k+2} − a_{2k+1} < 0, d.h. die Teilfolge (s_{2k})_{k∈ℕ} ist monoton fallend. Für die ungeraden Partialsummen gilt s_{2k+3}−s_{2k+1} = −a_{2k+3}+a_{2k+2} > 0, d.h. die Teilfolge (s_{2k+1})_{k∈ℕ} ist monoton wachsend. Weiter gilt s_{2k+1} − s_{2k} = −a_{2k+1} < 0, d.h. s_{2k} ≥ s_{2k+1} ≥ s_{1} für alle k ∈ ℕ. Da also (s_{2k})_{k∈ℕ} monoton und beschränkt ist, konvergiert die gerade Teilfolge gegen einen Grenzwert s_{g}, und analog konvergiert (s_{2k+1})_{k∈ℕ} gegen einen Grenzwert s_{u} ≤ s_{g}. Nach Satz 10.3 gilt s_{g} − s_{u} = lim_{k→∞}(s_{2k} − s_{2k+1}) = lim_{k→∞} a_{2k+1} = 0. Damit konvergiert die gesamte Folge der Partialsummen gegen den gemeinsamen Grenzwert s = s_{g} = s_{u}.

Die Fehlerabschätzung ergibt sich daraus, daß s zwischen s_{k} und s_{k+1} liegt und |s_{k} − s_{k+1}| = a_{k+1}. □

Beispiel 12.12 Die alternierende harmonische Reihe ∑_{n=0}^{∞}(−1)^{n} \frac{1}{n+1} ist konvergent. Der Grenzwert liegt zwischen s_{1} = \frac{1}{2} und s_{0} = 1. Mit später bereitgestellten Methoden kann man ∑_{n=0}^{∞}(−1)^{n} \frac{1}{n+1} = ln 2 zeigen.

Die alternierende Reihe ∑_{n=0}^{∞}(−1)^{n} \frac{1}{2n+1} ist konvergent. Der Grenzwert liegt zwischen s_{1} = \frac{1}{3} und s_{0} = 1. Mit später bereitgestellten Methoden kann man ∑_{n=0}^{∞}(−1)^{n} \frac{1}{2n+1} = \frac{π}{4} zeigen. ◁

13 Absolute Konvergenz von Reihen

Definition 13.1 Eine Reihe ∑_{n=0}^{∞} a_{n} heißt absolut konvergent, wenn auch die Reihe

∑_{n=0}^{∞} |a_{n}| konvergent ist.

Satz 13.2 (Majorantenkriterium) Es seien ∑_{n=0}^{∞} a_{n} und ∑_{n=0}^{∞} b_{n} Reihen und p ∈

ℕ derart, daß |a_{n}| ≤ |b_{n}| für alle n ≥ p.

i) Ist ∑_{n=0}^{∞} |b_{n}| konvergent, so konvergieren auch ∑_{n=0}^{∞} a_{n} und ∑_{n=0}^{∞} |a_{n}|, und es

gilt

| ∑_{n=p}^{∞} a_{n}| ≤ ∑_{n=p}^{∞} |a_{n}| ≤ ∑_{n=p}^{∞} |b_{n}| .

Insbesondere ist jede absolut konvergente Reihe auch konvergent.

ii) Ist ∑_{n=p}^{∞} a_{n} divergent, so ist auch ∑_{n=p}^{∞} |b_{n}| divergent.

Das Beispiel der alternierenden harmonischen Reihe zeigt, daß aus Konvergenz nicht absolute Konvergenz folgt.

Beweis. ii) folgt aus i) durch Negation.

i) Zu jedem ϵ > 0 gibt es nach dem Cauchyschen Konvergenzkriterium ein

N ∈ ℕ mit N ≥ p, so daß ∑_{k=n}^{m} |b_{k}| < ϵ für alle m ≥ n > N. Nach der Dreiecksun-

gleichung gilt für die endliche Summe

| ∑_{k=n}^{m} a_{k}| = |a_{n} + ⋯ + a_{m}| ≤ |a_{n}| + ⋯ + |a_{m}| = ∑_{k=n}^{m} |a_{k}| ≤ ∑_{k=n}^{m} |b_{k}| < ϵ ,

so daß ∑_{n=p}^{∞} a_{n} und ∑_{n=p}^{∞} |a_{n}| nach dem Cauchyschen Konvergenzkriterium konver-

gent sind. Aus Satz 10.7.i) folgt schließlich

| ∑_{n=p}^{∞} a_{n}| = | lim_{m→∞} ∑_{n=p}^{m} a_{n}| = lim_{m→∞} | ∑_{n=p}^{m} a_{n}|

≤ lim_{m→∞} ∑_{n=p}^{m} |a_{n}| \{ \begin{matrix}= ∑_{n=p}^{∞} |a_{n}| \\ ≤ lim_{m→∞} ∑_{n=p}^{m} |b_{n}| = ∑_{n=p}^{∞} |b_{n}| \end{matrix}  □

Beispiel 13.3 i) ∑_{n=1}^{∞} \frac{n!}{n^{n}} ist konvergent, da für n > 2 gilt:

\frac{n!}{n^{n}} = \frac{1}{n} · \frac{2}{n} ⋯ \frac{n − 1}{n} · \frac{n}{n} ≤ \frac{2}{n^{2}} , und ∑_{n=1}^{∞} \frac{2}{n^{2}} ist (absolut) konvergent.

ii) ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{\sqrt{n(n + 1)}} ist divergent, da \frac{1}{\sqrt{n(n+1)}} ≥ \frac{1}{n+1}, und die harmonische

Reihe ist divergent. ◁

Satz 13.4 (Quotientenkriterium) Es sei ∑_{n=0}^{∞} a_{n} eine Reihe mit a_{n} ≠ 0 für

alle n ∈ ℕ, und es gebe ein N ∈ ℕ und ein 0 < q < 1, so daß |\frac{a_{n+1}}{a_{n}} | ≤ q für alle n ≥ N. Dann konvergiert die Reihe absolut.

Beweis. Für n ≥ N gilt dann |a_{n}| ≤ q|a_{n−1}| ≤ … (q)^{n−N}|a_{N}|, so daß die Reihe

∑_{n=N}^{∞} |a_{n}| durch die konvergente Reihe ∑_{n=N}^{∞} q^{n} \frac{|a_{N}|}{q^{N}} = \frac{|a_{N}|}{1 − q} majorisiert wird. □

Die Eigenschaft |\frac{a_{n+1}}{a_{n}} | ≤ q für ein 0 < q < 1 ist automatisch erfüllt, wenn die Folge (|\frac{a_{n+1}}{a_{n}} |)_{n∈ℕ} gegen ein α < 1 konvergiert: Nach Definition des Grenzwertes gibt es dann zu α < q < 1 ein N ∈ ℕ, so daß |\frac{a_{n+1}}{a_{n}} | = |\frac{a_{n+1}}{a_{n}} − α + α| ≤

α + |\frac{a_{n+1}}{a_{n}} − α| ≤ q für alle n ≥ N. Gilt lim_{n→∞} |\frac{a_{n+1}}{a_{n}} | = q > 1, dann ist (a_{n})_{n∈ℕ} keine Nullfolge, und die Reihe divergiert.

Wichtig ist, daß das q im Quotientenkriterium unabhängig von n sein muß.

Für die Reihe ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{s}} mit s ∈ ℚ_{+}^{∗} ist zwar |(\frac{n}{n+1})^{s}| < 1 für alle n ≥ 1, aber zu

jedem q < 1 findet man ein N ∈ ℕ mit q < |(\frac{n}{n+1})^{s}| < 1 für alle n ≥ N. Über die Konvergenz kann das Quotientenkriterium in diesem Fall keine Aussage machen. Die Reihe ist für s > 1 absolut konvergent und für s ≤ 1 divergent.

Die Konvergenz der geometrischen Reihe kann nicht mit dem Quotientenkriterium begründet werden!

Beispiel 13.5 ∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{n!}(\frac{n}{4})^{n} ist (absolut) konvergent, denn

lim_{n→∞} |\frac{a_{n+1}}{a_{n}} | = lim_{n→∞} \frac{(n + 1)^{n+1} · 4^{n} · n!}{n^{n} · 4^{n+1} · (n + 1)!} = lim_{n→∞} \frac{1}{4}(1 + \frac{1}{n})^{n} = \frac{e}{4} < 1 .  ◁

Beispiel 13.6 (komplexe Binomialreihen) Über \binom{α}{k} := ∏_{j=1}^{k} \frac{α − j + 1}{j} für

k ∈ ℕ und α ∈ ℂ lassen sich komplexe Binomialkoeffizienten definieren. Wir betrachten für z ∈ ℂ die zugehörige binomische Reihe

B_{α}(z) := ∑_{n=0}^{∞} \binom{α}{n}z^{n} ,

die für α ∈ ℕ bei k = α abbricht und in die binomische Formel übergeht. Das Quotientenkriterium liefert lim_{n→∞} |\frac{a_{n+1}}{a_{n}} | = lim_{n→∞} |\frac{α − n}{n + 1} · z| = |z|, so daß die bi-

nomische Reihe für |z| < 1 absolut konvergent ist und für |z| > 1 divergiert. ◁

Satz 13.7 (Wurzelkriterium) Für eine Reihe ∑_{n=0}^{∞} a_{n} existiere ein N ∈ ℕ und

ein 0 < q < 1, so daß \sqrt[n]{|a_{n}|} ≤ q für alle n ≥ N. Dann konvergiert die Reihe

∑_{n=0}^{∞} a_{n} absolut.

Beweis. Die Reihe ∑_{n=N}^{∞} |a_{n}| besitzt die konvergente Majorante ∑_{n=N}^{∞} q^{n}. □

Da \{\sqrt[n]{|a_{n}|}\}_{n∈ℕ} im Wurzelkriterium beschränkt ist, existiert unter diesen Voraussetzungen lim sup_{n→∞} \sqrt[n]{|a_{n}|} und ist ≤ q. Das Wurzelkriterium kann deshalb

auch formuliert werden als: lim sup_{n→∞} \sqrt[n]{|a_{n}|} < 1 ⇒ ∑_{n=0}^{∞} a_{n} konvergiert ab-

solut. Insbesondere folgt absolute Konvergenz der Reihe, falls lim_{n→∞} \sqrt[n]{|a_{n}|} < 1. Ist \sqrt[n]{|a_{n}|} ≥ 1 für unendlich viele n ∈ ℕ, so ist (a_{n})_{n∈ℕ} keine Nullfolge, und die Reihe ist divergent.

Beispiel 13.8 Die Reihe ∑_{n=1}^{∞} n^{k}z^{n} für z ∈ ℂ mit |z| < 1 ist absolut konvergent:

Wir betrachten \sqrt[n]{|n^{k}z^{n}|} = \sqrt[n]{n^{k}}|z|. Wegen lim_{n→∞} \sqrt[n]{n^{k}} = 1 gibt es ein N ∈ ℕ, so daß \sqrt[n]{n^{k}} < \frac{2}{1+|z|}. Damit kann im Wurzelkriterium q = \frac{2|z|}{1+|z|} < 1 gewählt werden. ◁

Es sei ∑_{n=0}^{∞} a_{n} eine Reihe und τ : ℕ → ℕ eine bijektive Abbildung. Dann nennt

man die Reihe ∑_{n=0}^{∞} a_{τ(n)} eine Umordnung der Reihe. Im Gegensatz zu endlichen

Summen gilt das Kommutativgesetz “∑_{n=0}^{∞} a_{n} = ∑_{n=0}^{∞} a_{τ(n)}” nicht immer. Wir sehen

uns dazu das Beispiel der alternierenden harmonischen Reihe an und betrachten folgende Umordnung:

∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{τ(n)+1}}{τ(n)} = 1 − \frac{1}{2} + (\frac{1}{3} − \frac{1}{4}) + (\frac{1}{5} + \frac{1}{7} − \frac{1}{6}) + (\frac{1}{9} + \frac{1}{11} + \frac{1}{13} + \frac{1}{15} − \frac{1}{8}) + …
+ (\frac{1}{2^{n}+1} + \frac{1}{2^{n}+3} + ⋯ + \frac{1}{2^{n+1}−1} − \frac{1}{2n+2}) + …

In dieser Umordnung kommen alle negativ zu zählenden Glieder \frac{1}{2n+2} vor, aber immer mehr verzögert gegenüber den positiven Gliedern. Nun gilt die Abschätzung

(\frac{1}{2^{n}+1} + \frac{1}{2^{n}+3} + ⋯ + \frac{1}{2^{n+1}−1} − \frac{1}{2n+2}) > 2^{n−1} \frac{1}{2^{n+1}} − \frac{1}{2n+2} = \frac{1}{4} − \frac{1}{2n+2}
≥ \frac{1}{12} für n ≥ 2 .

Wie schon im Divergenzbeweis der harmonischen Reihe ist damit für ϵ = \frac{1}{12} das Cauchysche Konvergenzkriterium verletzt, so daß die umgeordnete Reihe divergiert. Man kann übrigens für die alternierende harmonische Reihe zu jedem x ∈ ℝ eine Umordnung derart finden, daß die umgeordnete Reihe gegen x konvergiert.

Wir zeigen nun, daß absolut konvergente Reihen beliebig umgeordnet werden dürfen:

Satz 13.9 (Umordnungssatz) Es sei ∑_{n=0}^{∞} a_{n} eine absolut konvergente Reihe.

Dann ist auch jede Umordnung dieser Reihe absolut konvergent mit dem gleichen Grenzwert.

Beweis. Es sei s = ∑_{n=0}^{∞} a_{n} und τ : ℕ → ℕ bijektiv. Zu jedem ϵ > 0 gibt es wegen

der absoluten Konvergenz ein N ∈ ℕ, so daß ∑_{n=N}^{∞} |a_{n}| < \frac{ϵ}{2}. Dann gilt

|s−∑_{n=0}^{N−1} a_{n}| = | lim_{M→∞} ∑_{n=0}^{M} a_{n}−∑_{n=0}^{N−1} a_{n}| = | lim_{M→∞} ∑_{n=N}^{M} a_{n}| = | ∑_{n=N}^{∞} a_{n}| ≤ ∑_{n=N}^{∞} |a_{n}| < \frac{ϵ}{2} .

Sei nun ein N′ ∈ ℕ so gewählt, daß {0, 1, …, N − 1} ⊆ {τ(0), τ(1), …, τ(N′)}, d.h. N′ ≥ max(τ^{−1}(0), … τ^{−1}(N − 1)}. Dann gilt für alle m ≥ N′ nach der Dreiecksungleichung

| ∑_{n=0}^{m} a_{τ(n)} − s| ≤ | ∑_{n=0}^{m} a_{τ(n)} − ∑_{n=0}^{N−1} a_{n}| + | ∑_{n=0}^{N−1} a_{n} − s| < ∑_{n=N}^{∞} |a_{n}| + \frac{ϵ}{2} < ϵ ,

denn in ∑_{n=0}^{m} a_{τ(n)} − ∑_{n=0}^{N−1} a_{n} heben sich a_{0}, a_{1}, …, a_{N−1} gegeneinander weg und

die Summe über die verbleibenden Terme ist wie angegeben beschränkt. Damit

konvergiert ∑_{n=0}^{∞} a_{τ(n)} gegen den gleichen Grenzwert s. Die absolute Konvergenz

folgt durch Wiederholung des Beweises für die Reihe ∑_{n=0}^{∞} |a_{τ(n)}|. □

Über den Umordnungssatz lassen sich Doppelreihen sinnvoll erklären. Dazu betrachten wir die Bijektion τ : ℕ × ℕ → ℕ definiert durch τ(m, n) := \frac{(m+n)(m+n+1)}{2} + n mit Umkehrung τ^{−1}(k) =

(\frac{α(α+3)}{2}−k, k−\frac{α(α+1)}{2})|_{α=max(β : \frac{β(β+1)}{2} ≤k)}. Ist ∑_{k=0}^{∞} a_{k} absolut konvergent und

setzen wir a_{k} = a_{τ(m,n)} =: a_{mn}, so folgt

∑_{k=0}^{∞} a_{k} = ∑_{m=0}^{∞} ( ∑_{n=0}^{∞} a_{mn}) = ∑_{n=0}^{∞} ( ∑_{m=0}^{∞} a_{mn}) .

14 Potenzreihen

Potenzreihen sind Verallgemeinerungen von Polynomen auf unendliche Summen,

also Reihen, P (z) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}z^{n} = a_{0}+∑_{n=1}^{∞} a_{n}z^{n} mit a_{n} ∈ ℂ und einer Unbestimmten

z ∈ ℂ. Beispiele sind die geometrische Reihe ∑_{n=0}^{∞} z^{n} und die binomische Reihe

B_{s}(z) = ∑_{n=0}^{∞} \binom{s}{n}z^{n}. Später werden auch die in einen anderen Ursprung z_{0} ∈ ℂ

verschobenen Potenzreihen P (z, z_{0}) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}(z − z_{0})^{n} betrachtet. Im allgemeinen

werden diese Reihen nicht für alle z ∈ ℂ konvergieren.

Satz 14.1 Konvergiert eine Potenzreihe P (z) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}z^{n} in einem Punkt z_{0} ∈

ℂ, dann konvergiert sie absolut in jedem Punkt z ∈ ℂ mit |z| < |z_{0}|.

Beweis. Die Folge (a_{n}z_{0}^{n})_{n∈ℕ} ist als Nullfolge insbesondere beschränkt, d.h. es gilt |a_{n}z_{0}^{n}| ≤ S für alle n ∈ ℕ. Dann ist |a_{n}z^{n}| = q^{n}|a_{n}z_{0}^{n}| ≤ q^{n}S mit q := |\frac{z}{z_{0}} | < 1.

Damit besitzt ∑_{n=0}^{∞} a_{n}z^{n} die konvergente Majorante ∑_{n=0}^{∞} q^{n}S, so daß die Reihe für

|z| < |z_{0}| absolut konvergent ist. □

Dieser Satz liefert für jede Potenzreihe P (z) die Existenz eines Konvergenzkreises mit Radius

R(P) := sup{r ∈ ℝ : P (r) konvergiert } ∈ ℝ_{+} ∪ {∞} .

Man nennt R(P) den Konvergenzradius von P.

Satz 14.2 Die Potenzreihe P ist für alle z ∈ ℂ mit |z| < R(P) absolut konvergent und für alle z ∈ ℂ mit |z| > R(P) divergent.

Beweis. i) Für |z| < R(P) gibt es ein r ∈ ℝ mit |z| < r < R(P), so daß P (r) konvergent ist. Dann ist P (z) absolut konvergent nach Satz 14.1.

ii) Sei |z| > R(P). Wäre P (z) konvergent, so wäre nach Satz 14.1 P (r) (sogar absolut) konvergent für alle R(P) < r < |z|, im Widerspruch zur Supremumseigenschaft von R(P). □

Der Konvergenzradius einer Potenzreihe P (z) kann unendlich sein; in diesem Fall ist P (z) absolut konvergent für alle z ∈ ℂ. Der Konvergenzradius R(P) ist 0, wenn P (z) nur für z = 0 konvergiert. Die Bestimmung des Konvergenzradius

von P = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}z^{n} kann über das Wurzelkriterium oder das Quotientenkriterium

versucht werden; ersteres funktioniert immer:

Satz 14.3 (Cauchy-Hadamard) Sei P = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}z^{n}. Dann gilt R(P) = \frac{1}{L} mit L = lim sup \sqrt[n]{|a_{n}|}.

Beweis. Nach Definition von lim sup gibt es unendlich viele a_{n} mit \sqrt[n]{|a_{n}|} > L−ϵ, also unendlich viele a_{n} mit |a_{n}| > (L − ϵ)^{n}. Wählen wir z = \frac{1}{L−ϵ} > R(P), dann kann ∑_{n=0}^{∞} a_{n}|z|^{n} nicht konvergieren. Umgekehrt gibt es zu jedem ϵ > 0 nur endlich viele a_{n} mit \sqrt[n]{|a_{n}|} > L+ϵ, also mit |a_{n}| > (L+ϵ)^{n}. Wählen wir z = \frac{1}{L+2ϵ}, dann konvergiert ∑_{n=0}^{∞} a_{n}z^{n} absolut. Da ϵ > 0 beliebig war, ist R(P) = \frac{1}{L}. □

Offenbar gilt R(P) = \frac{1}{q}, falls \{|\frac{a_{n+1}}{a_{n}} |\}_{n≥1} gegen q konvergiert (Euler). Über Konvergenz von P (z) auf dem Rand des Konvergenzkreises, d.h. für |z| = R(P), kann keine Aussage gemacht werden.

Beispiel 14.4 Für P (z) := ∑_{n=0}^{∞} z^{n} ist nach Satz 12.2 R(P) = 1.

Für P (z) = B_{α}(z) := ∑_{n=0}^{∞} \binom{α}{n}z^{n} ist nach Beispiel 13.6 R(P) = 1.

Für den Polylogarithmus P (z) = Li_{s}(z) := ∑_{n=1}^{∞} \frac{z^{n}}{n^{s}} ist R(P) = 1.

Absolut konvergente Reihen können nach Satz 13.9 beliebig umgeordnet werden. Dadurch wird es möglich, zwei Reihen innerhalb des gemeinsamen Konvergenzkreises zu multiplizieren und nach gemeinsamen Potenzen von z umzuordnen, ähnlich zum Produkt von Polynomen auf Seite 40:

Satz 14.5 Konvergieren die Potenzreihen f(z) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}z^{n} und g(z) = ∑_{n=0}^{∞} b_{n}z^{n}

im Punkt z ∈ ℂ absolut, so gilt

f(z) · g(z) = ∑_{n=0}^{∞} ( ∑_{k=0}^{n} a_{n−k}b_{k})z^{n} .

Beweis. Wegen der absoluten Konvergenz gibt es A, B ∈ ℝ_{+}^{×} mit ∑_{n=0}^{∞} |a_{n}z^{n}| ≤ A

und ∑_{n=0}^{∞} |b_{n}z^{n}| ≤ B. Nach dem Cauchy-Kriterium gibt es zu jedem ϵ > 0 ein N ∈

ℕ mit ∑_{n=k}^{m} |a_{n}z^{n}| < \frac{ϵ}{3B} und gleichzeitig ∑_{n=k}^{m} |b_{n}z^{n}| < \frac{ϵ}{3A} für alle m ≥ k ≥ N. Wir betrachten die Partialsummen f_{N}(z) = ∑_{n=0}^{2N} a_{n}z^{n}, g_{N}(z) = ∑_{n=0}^{2N} b_{n}z^{n} und h_{N}(z) := ∑_{n=0}^{2N} ∑_{k=0}^{n} a_{k}b_{n−k}z^{n}. Dann ist

|f_{N}(z)g_{N}(z) − h_{N}(z)|

= | ∑_{n=0}^{4N} ∑_{k=max(0,n−2N)}^{min(2N,n)} a_{k}b_{n−k}z^{n} − ∑_{n=0}^{2N} ∑_{k=0}^{n} a_{k}b_{n−k}z^{n}| = | ∑_{n=2N+1}^{4N} ∑_{k=n−2N}^{2N} a_{k}b_{n−k}z^{n}|

= | ∑_{n=2N+1}^{3N} ∑_{k=n−2N}^{N} a_{k}b_{n−k}z^{n} + ∑_{n=2N+1}^{3N} ∑_{k=N+1}^{2N} a_{k}b_{n−k}z^{n} + ∑_{n=3N+1}^{4N} ∑_{k=n−2N}^{2N} a_{k}b_{n−k}z^{n}|

≤ ∑_{k=0}^{N} |a_{k}z^{k}| ∑_{n=2N+1}^{3N} |b_{n−k}z^{n−k}| + ∑_{k=N+1}^{2N} |a_{k}z^{k}| ∑_{n=2N+1}^{3N} |b_{n−k}z^{n−k}|

+ ∑_{k=N+1}^{2N} |a_{k}z^{k}| ∑_{n=3N+1}^{4N} |b_{n−k}z^{n−k}|

< \frac{ϵ}{3A} ∑_{k=0}^{N} |a_{k}z^{k}| + B ∑_{k=N+1}^{2N} |a_{k}z^{k}| + \frac{ϵ}{3A} ∑_{k=N+1}^{2N} |a_{k}z^{k}| ≤ ϵ .

Somit gilt lim_{m→∞} f_{m}(z)g_{m}(z) = lim_{m→∞} h_{m}(z). Analog ergibt sich

( ∑_{n=0}^{∞} |a_{n}z^{n}|)( ∑_{n=0}^{∞} |b_{n}z^{n}|) = ∑_{n=0}^{∞} ( ∑_{k=0}^{n} |a_{n−k}| |b_{k}|)|z|^{n} .

Aus | ∑_{k=0}^{n} a_{n−k}b_{k}z^{n}| ≤ ∑_{k=0}^{n} |a_{n−k}| |b_{k}||z|^{n} folgt nun die absolute Konvergenz von

f(z) · g(z). □ Satz 14.6 (Multiplikation der Binomialreihen) i) Für alle s, t ∈ ℂ

und z ∈ ℂ mit |z| < 1 gilt B_{s}(z) · B_{t}(z) = B_{s+t}(z).

ii) Für alle x ∈ ℝ mit |x| < 1 und alle s ∈ ℚ gilt B_{s}(x) = (1 + x)^{s}

Beweis. i) Nach Satz 9.8 gilt

B_{s}(z) · B_{t}(z) = ∑_{n=0}^{∞} ( ∑_{k=0}^{n} \binom{s}{k}\binom{t}{n − k})z^{n} = ∑_{n=0}^{∞} \binom{s + t}{n}z^{n} = B_{s+t}(z) .

ii) Aus B_{p}(x) = (1 + x)^{p} für p ∈ ℕ folgt mit s = \frac{p}{q} und q ∈ ℕ^{×}

\underbrace{B_{\frac{p}{q}} (x) ⋯ B_{\frac{p}{q}} (x)}_{q mal} = B_{p}(x) = (1 + x)^{p} ,

also B_{\frac{p}{q}} (x) = (1 + x)^{\frac{p}{q}} wegen der Eindeutigkeit der Wurzel reeller Zahlen. Für negative s benutzt man B_{s}(x) · B_{−s}(x) = B_{0}(x) = 1. □

Daraus ergibt sich z.B.

\sqrt{1 + x} = ∑_{n=0}^{∞} \binom{\frac{1}{2}}{n}x^{n} = 1 + \frac{\frac{1}{2}}{1} x + \frac{\frac{1}{2}}{1} · \frac{(\frac{1}{2} − 1)}{2}x^{2} + \frac{\frac{1}{2}}{1} · \frac{(\frac{1}{2} − 1)}{2} \frac{(\frac{1}{2} − 2)}{3}x^{3} + …

= 1 + \frac{1}{2}x − \frac{1}{2 · 4}x^{2} + \frac{1 · 3}{2 · 4 · 6}x^{3} − \frac{1 · 3 · 5}{2 · 4 · 6 · 8}x^{4} + …

\frac{1}{\sqrt{1 + x}} = ∑_{n=0}^{∞} \binom{−\frac{1}{2}}{n}x^{n} = 1 + \frac{−\frac{1}{2}}{1} x + \frac{−\frac{1}{2}}{1} · \frac{(−\frac{1}{2} − 1)}{2}x^{2} + …

= 1 − \frac{1}{2}x + \frac{1 · 3}{2 · 4}x^{2} − \frac{1 · 3 · 5}{2 · 4 · 6}x^{3} + \frac{1 · 3 · 5 · 7}{2 · 4 · 6 · 8}x^{4} + …

Als weiteres Beispiel können wir die (sehr wichtige) Exponentialreihe einführen und untersuchen: Satz 14.7 i) Für alle z ∈ ℂ ist die Exponentialreihe exp(z) := ∑_{n=0}^{∞} \frac{z^{n}}{n!}

absolut konvergent, und es gilt | exp(z)| ≤ exp(|z|).

66

Preliminary version – 31. Januar 2018

ii) Für alle w, z ∈ ℂ gilt exp(w) · exp(z) = exp(w + z).

iii) Für N ∈ ℕ mit |z| < 1 + \frac{N}{2} gilt | exp(z) − ∑_{n=0}^{N} \frac{z^{n}}{n!} | ≤ \frac{2|z|^{N+1}}{(N + 1)!}.

iv) Es gilt exp(z) = lim_{n→∞}(1 + \frac{z}{n})^{n}, insbesondere e = exp(1).

Beweis. i) Das Quotientenkriterium liefert lim_{n→∞} |\frac{a_{n+1}}{a_{n}} | = lim_{n→∞} \frac{|z|}{n+1} = 0 < 1, damit ist exp(z) für alle z ∈ ℂ absolut konvergent. Die Ungleichung | exp(z)| ≤ exp(|z|) folgt aus Satz 13.2.

ii) Für t ∈ ℂ ist nach Satz 14.5

exp(wt) · exp(zt) = ∑_{n=0}^{∞} ( ∑_{k=0}^{n} \frac{w^{n−k}}{(n − k)!} \frac{z^{k}}{k!} )t^{n} = ∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{n!}( ∑_{k=0}^{n} \binom{n}{k}w^{n−k}z^{k})t^{n}

= ∑_{n=0}^{∞} \frac{(w + z)^{n}t^{n}}{n!} = exp((w + z)t) .

iii) Für |z| ≤ \frac{N+2}{2} gilt

| exp(z) − ∑_{n=0}^{N} \frac{z^{n}}{n!} | = | ∑_{n=N+1}^{∞} \frac{z^{n}}{n!} | ≤ ∑_{n=N+1}^{∞} \frac{|z|^{n}}{n!}

= \frac{|z|^{N+1}}{(N + 1)!}(1 + \frac{|z|}{N + 2} + \frac{|z|^{2}}{(N + 2)(N + 3)} + …)

≤ \frac{|z|^{N+1}}{(N + 1)!} ∑_{k=0}^{∞} (\frac{|z|}{N + 2})^{k} ≤ \frac{|z|^{N+1}}{(N + 1)!} ∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{2^{k}} = \frac{2|z|^{N+1}}{(N + 1)!} .

iv) Aus ii) folgt exp(z) = ( exp(\frac{z}{n}))^{n} für alle n ∈ ℕ^{×}. Damit gilt

| exp(z) − (1 + \frac{z}{n})^{n}| = |( exp(\frac{z}{n}))^{n} − (1 + \frac{z}{n})^{n}|

= |( exp(\frac{z}{n}) − (1 + \frac{z}{n})) ∑_{k=0}^{n−1} ( exp(\frac{z}{n}))^{k}(1 + \frac{z}{n})^{n−k−1}|

≤ | exp(\frac{z}{n}) − (1 + \frac{z}{n})| ∑_{k=0}^{n−1} ( exp(\frac{|z|}{n}))^{k}(1 + \frac{|z|}{n})^{n−k−1} .

Offenbar gilt 1 + \frac{|z|}{n} ≤ exp(\frac{|z|}{n}) und deshalb

∑_{k=0}^{n−1} ( exp(\frac{|z|}{n}))^{k}(1 + \frac{|z|}{n})^{n−k−1} ≤ n( exp(\frac{|z|}{n}))^{n−1} ≤ n( exp(\frac{|z|}{n}))^{n} = n exp(z) .

Schließlich gilt nach iii) für N = 1 und |\frac{z}{n}| < \frac{3}{2}, also n ≥ \frac{3}{2}|z|,

| exp(\frac{z}{n}) − (1 + \frac{z}{n})| ≤ 2|\frac{|z|^{2}}{2n^{2}}

und damit | exp(z)−(1+ \frac{z}{n})^{n}| ≤ \frac{|z|^{2}}{n^{2}} ·n exp(z). Für n → ∞ folgt die Behauptung.

□

Diese Eigenschaften haben mehrere Folgerungen.

i) Wegen exp(0) = 1 existiert für alle z ∈ ℂ das Inverse ( exp(z))^{−1} = exp(−z) ∈ ℂ, damit ist exp(z) ≠ 0 für alle z ∈ ℂ.

ii) Die Exponentialreihe konvergiert sehr schnell; im Schritt s_{N} → s_{N+1} der Partialsummen verbessert sich die Konvergenz um den Faktor N + 2. Damit kann die Eulersche Zahl e numerisch gut berechnet werden. Die Folge e = lim_{n→∞}(1 + \frac{1}{n})^{n} konvergiert viel schlechter.

iii) Es gilt exp s = e^{s} für alle s ∈ ℚ.

iv) Im Reellen folgt aus x_{1} > x_{2} > 0 die Beziehung exp(x_{1}) > exp(x_{2}). Über exp(−x) = \frac{1}{exp(x)} folgt dann exp(x_{1}) > exp(x_{2}) für alle x_{1} > x_{2}. Damit ist die zugehörige reelle Exponentialfunktion streng monoton wachsend auf ℝ.

Restgliedabschätzungen wie bei der Exponentialfunktion werden oft benötigt.

Satz 14.8 Eine Potenzreihe P (z) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}z^{n} habe einen Konvergenzradius

R(P) > 0. Dann gibt es zu jedem 0 < r < R(P) und jedem p ∈ ℕ eine Konstante

c_{p} ∈ ℝ, so daß | ∑_{n=p}^{∞} a_{n}z^{n}| < c_{p}|z|^{p} für alle z ∈ ℂ mit |z| ≤ r.

Beweis. Setze c_{p} := ∑_{k=0}^{∞} |a_{k+p}|r^{k}. Dann gilt | ∑_{n=p}^{∞} a_{n}z^{n}| ≤ ∑_{n=p}^{∞} |a_{n}||z|^{n} =

∑_{k=0}^{∞} |a_{k+p}||z|^{k}|z|^{p} ≤ c_{p}|z|^{p}. □

Eine wichtige Anwendung ist folgende Aussage über mögliche Nullstellen einer Potenzreihe:

Satz 14.9 Eine Potenzreihe P (z) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}z^{n}, mit a_{k} ≠ 0 für mindestens ein k,

habe einen Konvergenzradius R(P) > 0. Dann gibt es ein 0 < r < R(P), so daß höchstens endlich viele Nullstellen in der Kreisscheibe \overline{K_{r}(0)} = \{z ∈ ℂ : |z| ≤ r\} liegen.

Beweis. Es sei N = min(k : a_{k} ≠ 0). Zu beliebigem 0 < r < R(P) gibt es nach Satz 14.8 ein c > 0 mit |P (z) − a_{N}z^{N} | ≤ c|z|^{N+1}. Wäre die Aussage falsch, so enthielte jeder Kreis mit Radius \frac{r}{k} um 0, mit k ∈ ℕ^{×}, eine Nullstelle z_{k} ≠ 0 von P. Für diese gilt |a_{N}z_{k}^{N}| ≤ c|z_{k}|^{N+1}, also |a_{N}| ≤ c|z_{k}| ≤ \frac{r}{k}. Für k → ∞ ergibt sich ein Widerspruch zu a_{N} ≠ 0. □ Satz 14.10 (Identitätssatz für Potenzreihen) Für zwei Potenzreihen f(z) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}z^{n} und g(z) = ∑_{n=0}^{∞} b_{n}z^{n} mit positiven Konvergenzradien gebe es eine Nullfolge (z_{k})_{k∈ℕ} mit f(z_{k}) = g(z_{k}). Dann gilt a_{n} = b_{n} für alle n ∈ ℕ. Beweis. Folgt für P (z) = f(z) − g(z) aus Satz 14.9. □ Gilt z.B. f(z) = g(z) innerhalb einer Kreisscheibe um 0 oder auch nur entlang eines die 0 enthaltenden Kurvenstücks, so ist f = g innerhalb des gemeinsamen Konvergenzkreises.

Zusammenfassung Teil III

• Folgen, Konvergenz, Grenzwert

• elementare Grenzwerte, Eulersche Zahl

• Satz von Bolzano-Weierstraß

• Cauchy-Folgen, Vollständigkeit über Cauchy-Kriterium

• Reihen: Konvergenz, geometrische Reihe, Leibniz-Kriterium

• absolute Konvergenz: Majorantenkriterium, Quotientenkriterium, Wurzelkriterium, Umordnungssatz

• Potenzreihen: Konvergenzradius, Multiplikationssatz, Identitätssatz • Binomialreihe, Exponentialreihe

Teil IV

Metrische Räume und Stetigkeit

15 Euklidische, unitäre und normierte Vektorräume

Definition 15.1 Es sei 𝕂 = ℝ oder 𝕂 = ℂ und V ein Vektorraum über 𝕂. Ein Skalarprodukt auf V ist eine Abbildung ⟨ , ⟩ : V × V → 𝕂 mit

(S1) ⟨ , ⟩ ist linear in der zweiten Variablen, d.h.

⟨w, λ_{1}v_{1} + λ_{2}v_{2}⟩ = λ_{1}⟨w, v_{1}⟩ + λ_{2}⟨w, v_{2}⟩

für alle v_{1}, v_{2}, w ∈ V und λ_{1}, λ_{2} ∈ 𝕂.

(S2) Es gilt ⟨w, v⟩ = \overline{⟨v, w⟩} (komplexe Konjugation) für alle v, w ∈ V.

(S3) Es gilt ⟨v, v⟩ ≥ 0 für alle v ∈ V und ⟨v, v⟩ = 0 genau dann, wenn v = 0.

Ein reeller bzw. komplexer Vektorraum mit Skalarprodukt heißt euklidischer bzw. unitärer Vektorraum oder (in der Funktionalanalysis) Prä-Hilbert-Raum.

Achtung: Wir verwenden hier die Konvention der Physik. In der mathematischen Literatur wird das Skalarprodukt als linear in der ersten Komponente definiert. In unserer Konvention folgt aus (S1) und (S2) für die erste Komponente

⟨λ_{1}w_{1}+λ_{2}w_{2}, v⟩ = \overline{⟨v, λ_{1}w_{1}+λ_{2}w_{2}⟩} = \overline{λ_{1}⟨v, w_{1}⟩ + λ_{2}⟨v, w_{2}⟩} = \overline{λ_{1}}⟨w_{1}, v⟩+\overline{λ_{2}}⟨w_{2}, v⟩.

In reellen Vektorräumen ist das Skalarprodukt also auch in der ersten Variablen linear. Außerdem vereinfacht sich (S2) in reellen Vektorräumen zur Symmetrie ⟨v, w⟩ = ⟨w, v⟩. Es sei bemerkt, daß aus (S2) folgt ⟨v, v⟩ ∈ ℝ, so daß (S3) sinnvoll ist.

Beispiel 15.2 (Standardskalarprodukt in ℝ^{n}) Durch

⟨x, y⟩ := x_{1}y_{1} + x_{2}y_{2} + ⋯ + x_{n}y_{n} , für \begin{matrix}x = (x_{1}, …, x_{n}) ∈ ℝ^{n} , \\ y = (y_{1}, …, y_{n}) ∈ ℝ^{n} \end{matrix}

wird ein Skalarprodukt ⟨ , ⟩ : ℝ^{n} ×ℝ^{n} → ℝ definiert. Dieses heißt das kanonische Skalarprodukt im ℝ^{n}. ◁

Beispiel 15.3 (Standardskalarprodukt in ℂ^{n}) Durch

⟨w, z⟩ := \overline{w_{1}}z_{1} + \overline{w_{2}}z_{2} + ⋯ + \overline{w_{n}}z_{n} , für \begin{matrix}w = (w_{1}, …, w_{n}) ∈ ℂ^{n} , \\ z = (z_{1}, …, z_{n}) ∈ ℂ^{n} \end{matrix}

wird ein Skalarprodukt ⟨ , ⟩ : ℂ^{n} ×ℂ^{n} → ℂ definiert. Dieses heißt das kanonische Skalarprodukt im ℂ^{n}. ◁ Beispiel 15.4 Es sei V = ℝ^{2}. Dann definiert

⟨( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}y_{1} \\ y_{2} \end{matrix} )⟩ = (2x_{1} + x_{2})y_{1} + (x_{1} + 2x_{2})y_{2} = (2y_{1} + y_{2})x_{1} + (y_{1} + 2y_{2})x_{2}

ein Skalarprodukt. (S3) folgt aus ⟨x, x⟩ = 2x_{1}^{2} + 2x_{1}x_{2} + 2x_{2}^{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} + x_{1}^{2} + x_{2}^{2} ≥ 0 mit Gleichheit genau dann, wenn x_{1} = x_{2} = 0. Dieses Skalarprodukt ist verschieden vom kanonischen. Tatsächlich gibt es unendlich viele verschiedene Skalarprodukte auf 𝕂^{n}. ◁

Beispiel 15.5 Es sei

ℓ^{2} := {(a_{n})_{n∈ℕ} : ∑_{n=0}^{∞} |a_{n}|^{2} < ∞}

der Vektorraum der quadrat-summierbaren komplexen Zahlenfolgen. Dann definiert

⟨a, b⟩ := ∑_{n=0}^{∞} \overline{a_{n}}b_{n} , a = (a_{n})_{n∈ℕ}, b = (b_{n})_{n∈ℕ} ∈ ℓ^{2}

ein Skalarprodukt auf ℓ^{2}. Dabei wird verwendet, daß wegen |\overline{a_{n}}b_{n}| = |a_{n}| |b_{n}| ≤ \frac{1}{2}(|a_{n}|^{2} + |b_{n}|^{2}) die unendliche Reihe nach Majorantenkriterium absolut konvergiert. Ist ⟨a, a⟩ = 0, so folgt |a_{n}|^{2} = 0 für alle n, und (0)_{n∈ℕ} ist das neutrale Element von ℓ^{2}. ◁

Wir kommen nun zur wichtigsten Ungleichung für Skalarprodukte.

Satz 15.6 (Cauchy-Schwarzsche Ungleichung) Es sei V ein Vektorraum über 𝕂 mit Skalarprodukt ⟨ , ⟩ : V × V → 𝕂. Dann gilt

|⟨w, v⟩|^{2} ≤ ⟨v, v⟩⟨w, w⟩ für alle v, w ∈ V

mit Gleichheit genau dann, wenn v und w linear abhängig sind.

Beweis. i) Sei w ≠ 0 (für w = 0 ist die Ungleichung offensichtlich erfüllt), somit ist ⟨w, w⟩ ≠ 0. Dann gilt für beliebiges λ ∈ ℂ

0 ≤ ⟨λw − v, λw − v⟩ = λ\overline{λ}⟨w, w⟩ − \overline{λ}⟨w, v⟩ − λ⟨v, w⟩ + ⟨v, v⟩

= ⟨w, w⟩|λ − \frac{⟨w, v⟩}{⟨w, w⟩}|^{2} + \frac{1}{⟨w, w⟩}(⟨w, w⟩⟨v, v⟩ − |⟨w, v⟩|^{2}) .

Insbesondere gilt die Ungleichung für λ = \frac{⟨w,v⟩}{⟨w,w⟩} und wird zur Ungleichung von Cauchy-Schwarz.

ii) Gilt das Gleichheitszeichen in Cauchy-Schwarz, so ist

⟨λw − v, λw − v⟩ = ⟨w, w⟩|λ − \frac{⟨w, v⟩}{⟨w, w⟩}|^{2}

für beliebiges λ ∈ ℂ. Damit gilt ⟨λw−v, λw−v⟩ = 0 für λ = \frac{⟨w,v⟩}{⟨w,w⟩}, somit v = λw. □

Definition 15.7 Es sei V ein Vektorraum über 𝕂. Eine Norm auf V ist eine Abbildung ∥ ∥ : V → ℝ_{+} mit

(N1) ∥v∥ = 0 ⇔ v = 0 ,

(N2) ∥λv∥ = |λ| ∥v∥ für alle v ∈ V, λ ∈ 𝕂,

(N3) ∥v + w∥ ≤ ∥v∥ + ∥w∥ für alle v, w ∈ V (Dreiecksungleichung)

Ein Vektorraum mit Norm heißt normierter Vektorraum.

Satz 15.8 Jeder euklidische und unitäre Vektorraum ist auch ein normierter Vektorraum mit ∥v∥ := \sqrt{⟨v, v⟩}.

Beweis. (N1) und (N2) sind klar, (N3) folgt aus Cauchy-Schwarz:

∥v + w∥^{2} = ⟨v + w, v + w⟩ = ⟨v, v⟩ + 2Re(⟨v, w⟩) + ⟨w, w⟩
≤ ⟨v, v⟩ + 2|⟨v, w⟩| + ⟨w, w⟩
≤ ⟨v, v⟩ + 2\sqrt{⟨v, v⟩⟨w, w⟩} + ⟨w, w⟩ = (∥v∥ + ∥w∥)^{2} .  □

Damit liefern die Beispiele 15.2–15.5 auch Beispiele für normierte Vektorräume. Dabei werden die durch die Standard-Skalarprodukte aus den Beispielen 15.2,15.3 und 15.5 induzierten Normen meist mit ∥ ∥_{2} bezeichnet. Weitere Beispiele sind:

Beispiel 15.9 i) V = 𝕂^{n} ist mit ∥x∥_{1} := ∑_{i=1}^{n} |x_{i}| für x = (x_{1}, …, x_{n}) ∈ 𝕂^{n} ein normierter Vektorraum (𝕂^{n}, ∥ ∥_{1}). (N1) und (N2) sind klar, (N3) folgt aus der Dreiecksungleichung in ℝ bzw. ℂ für jede Komponente.

ii) ∥x∥_{p} := ( ∑_{i=1}^{n} |x_{i}|^{p})^{\frac{1}{p}} ist für jedes 1 ≤ p < ∞ eine Norm auf 𝕂^{n}. Vorerst können wir die Norm nur für p ∈ ℚ definieren. Der typische Beweis erfordert die Minkowskische Ungleichung, die erst später bewiesen wird.◁

Beispiel 15.10 Es sei

ℓ^{1} := {(a_{n})_{n∈ℕ} : ∑_{n=0}^{∞} |a_{n}| < ∞}

der Vektorraum der absolut-konvergenten Reihen (oder der summierbaren komplexen Zahlenfolgen). Dann definiert

∥a∥_{1} := ∑_{n=0}^{∞} |a_{n}|

eine Norm auf ℓ^{1}. Tatsächlich gilt

∥a + b∥_{1} = ∑_{n=0}^{∞} |a_{n} + b_{n}| ≤ ∑_{n=0}^{∞} |a_{n}| + ∑_{n=0}^{∞} |b_{n}| = ∥a∥_{1} + ∥b∥_{1} .

Aus ∥a∥_{1} = 0 folgt a_{n} = 0 für alle n, und (0)_{n∈ℕ} ist das neutrale Element von ℓ^{1}. ◁

Beispiel 15.11 Sei M eine beliebige Menge und ℓ^{∞}(M) die Menge der beschränkten Abbildungen f : M → 𝕂. Mit der punktweisen Addition (f_{1} + f_{2})(m) := f_{1}(m) + f_{2}(m) und (λf)(m) := λf(m) wird ℓ^{∞}(M) zu einem Vektorraum. Dann wird durch

∥f∥_{∞} := sup_{m∈M} |f(m)|

eine Norm (die Supremums-Norm) erklärt. Tatsächlich gilt

∥f + g∥_{∞} := sup_{m∈M} |f(m) + g(m)| ≤ sup_{m∈M}(|f(m)| + |g(m)|)

≤ sup_{m′,m′′∈M}(|f(m′)| + |g(m′′)|) = ∥f∥_{∞} + ∥g∥_{∞} .

Ist ∥f∥_{∞} = 0, so ist f(m) = 0 für alle m, und f ist die Nullabbildung. Somit ist (ℓ^{∞}(M), ∥ ∥_{∞}) ein normierter Vektorraum.

Ein wichtiger Spezialfall ist ℓ^{∞} := ℓ^{∞}(ℕ). Der Vektorraum ℓ^{∞}({1, 2, …, n}) kann mit 𝕂^{n} identifiziert werden, und die Supremumsnorm mit ∥(x_{1}, …, x_{n})∥_{∞} := max_{i=1,...,n} |x_{i}|. ◁

Satz 15.12 Sind a = (a_{n})_{n∈ℕ} ∈ ℓ^{1} und b = (b_{n})_{n∈ℕ} ∈ ℓ^{∞}, so gilt für die Folge ab := (a_{n}b_{n})_{n∈ℕ} der Produkte ∥ab∥_{1} ≤ ∥a∥_{1}∥b∥_{∞}. Insbesondere ist ab ∈ ℓ^{1}.

Beweis. Die Folge ab hat wegen |b_{n}| ≤ ∥b∥_{∞} die konvergente Majorante a∥b∥_{∞} ∈ ℓ^{1}. □

Mit ∥a∥_{1}, ∥a_{2}∥ und ∥a∥_{∞} haben wir auf dem unendlich-dimensionalen Vektorraum aller (nicht notwendig konvergenten) Folgen (a_{n})_{n∈ℕ} verschiedene Normen erklärt, so daß ℓ^{1}, ℓ^{2} und ℓ^{∞} verschiedene normierte Vektorräume werden. Die konstante Folge a_{n} = 1 liegt in ℓ^{∞}, nicht aber in ℓ^{1} und ℓ^{2}. Die harmonische Reihe a_{n} = \frac{1}{n+1} liegt in ℓ^{2}, nicht aber in ℓ^{1}. In endlich-dimensionalen Vektorräumen kann es diese Unterscheidung nicht geben:

Definition 15.13 Zwei Normen ∥ ∥_{a} und ∥ ∥_{b} auf einem Vektorraum V heißen äquivalent, wenn es positive Zahlen c, C > 0 gibt, so daß für beliebige x ∈ V gilt c∥x∥_{a} ≤ ∥x∥_{b} ≤ C∥x∥_{a}.

Satz 15.14 Je zwei Normen auf einem n-dimensionalen Vektorraum V über 𝕂 sind äquivalent.

Beweis. i) Zunächst zeigen wir für V = ℝ^{n}, daß eine beliebige Norm ∥ ∥ äquivalent ist zur Standardnorm ∥ ∥_{2} = \sqrt{⟨ , ⟩}. Es sei (e_{1}, …, e_{n}) die Standardbasis. Dann gilt für x = ∑_{i=1}^{n} x_{i}e_{i} nach Dreiecksungleichung und Cauchy-Schwarz

∥x∥ ≤ ∑_{i=1}^{n} |x_{i}|∥e_{i}∥ ≤ \sqrt{∑_{i=1}^{n} |x_{i}|^{2}} \underbrace{\sqrt{∑_{i=1}^{n} ∥e_{i}∥^{2}}}_{C} = C∥x∥_{2} .  (*)

Zur Umkehrung betrachten wir die Einheitssphäre S^{n−1} := {y ∈ ℝ^{n} : ∥y∥_{2} = 1} ⊆ ℝ^{n}. Sei c := inf_{y∈S^{n−1}} ∥y∥. Wir zeigen im folgenden Lemma: Das Infimum ist Minimum, d.h. es gibt ein a ∈ S^{n−1} mit ∥a∥ = c. Wegen 0 ∉ S^{n−1} ist dann c > 0, und es folgt c∥x∥_{2} ≤ ∥x∥ für alle x ∈ ℝ^{n} (klar für x = 0, ansonsten setze y := \frac{x}{∥x∥_{2}} ∈ S^{n−1}).

Damit ist der Beweis für V = ℝ^{n} abgeschlossen. Für V = ℂ^{n} entsteht für x = ∑_{i=1} x_{i}e_{i} mit x_{i} ∈ ℂ in (*) die Ungleichung ∥x∥ ≤ C\sqrt{∑_{i=1}^{n}((Re(x_{i}))^{2} + (Im(x_{i}))^{2})} = C∥(Re(x), Im(x))∥_{2}, so daß wir (Re(x), Im(x)) als Punkt im ℝ^{2n} auffassen können. Nach analoger Diskussion der Sphäre S^{2n−1} ist dann auch der Fall V = ℂ^{n} bewiesen.

ii) Sei nun V ein beliebiger n-dimensionaler Vektorraum und ∥ ∥_{a}, ∥ ∥_{b} zwei Normen auf V. Wir wählen eine Basis B = (v_{1}, …, v_{n}) von V und zerlegen einen beliebigen Vektor v = x_{1}v_{1} + ⋯ + x_{n}v_{n} ∈ V nach dieser Basis. Dann sind

∥(x_{1}, …, x_{n})∥_{a,B} := ∥x_{1}v_{1}+⋯+x_{n}v_{n}∥_{a} , ∥(x_{1}, …, x_{n})∥_{b,B} := ∥x_{1}v_{1}+⋯+x_{n}v_{n}∥_{b}

zwei Normen auf 𝕂^{n}. Somit gibt es c, C > 0, so daß für alle x_{1}, …, x_{n} ∈ 𝕂 gilt

c∥(x_{1}, …, x_{n})∥_{a,B} ≤ ∥(x_{1}, …, x_{n})∥_{b,B} ≤ C∥(x_{1}, …, x_{n})∥_{a,B} .

Folglich ist c∥v∥_{a} ≤ ∥v∥_{b} ≤ C∥v∥_{a} für beliebige v ∈ V. □

Lemma 15.15 Sei ∥ ∥ eine beliebige Norm auf ℝ^{n} und S^{n−1} := {y ∈ ℝ^{n} : ∥y∥_{2} = 1} die Einheitssphäre bezüglich der Standard-Norm ∥ ∥_{2}. Sei c := inf_{y∈S^{n−1}} ∥y∥. Dann gibt es ein a ∈ S^{n−1} mit ∥a∥ = c.

Beweis. Nach Cauchy-Schwarz gilt 0 < ∥x∥ ≤ C für alle x ∈ S^{n−1}. Damit ist die Menge T := {∥x∥ : x ∈ S^{n−1}} ⊆ ℝ beschränkt, besitzt also ein Infimum c. Angenommen, c ist nicht Minimum. Dann muß T eine unendliche Menge von Punkten sein, und da c+ \frac{1}{n+1} keine untere Schranke von T ist, gibt es eine gegen c konvergente Folge von Punkten aus T. Somit gibt es auch eine Folge (x_{k})_{k∈ℕ} von Punkten x_{k} ∈ S^{n−1}, für die die Folge (∥x_{k}∥)_{k∈ℕ} reeller Zahlen gegen c konvergiert.

Wir betrachten die Komponenten x_{ki} von x_{k} = (x_{k1}, …, x_{kn}). Wegen ∑_{i=1}^{n} |x_{ki}|^{2} = 1 ist die Folge (x_{k1})_{k∈ℕ} beschränkt. Damit enthält sie nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß eine gegen a_{1} konvergente Teilfolge (x_{k_{m}1})_{m∈ℕ}. Analog konstruiert man eine gegen a_{2} konvergente Teilfolge von (x_{k_{m}2})_{m∈ℕ}, usw., bis schließlich eine Teilfolge von (x_{k}) erhalten ist, die komponentenweise gegen a = (a_{1}, …, a_{n}) konvergiert. Diese konvergente Teilfolge sei wieder mit (x_{k})_{k∈ℕ} bezeichnet. Dann gilt a_{1}^{2} + ⋯ + a_{n}^{2} = lim_{k→∞}(x_{k1}^{2} + ⋯ + x_{kn}^{2}) = 1, d.h. a ∈ S^{n−1}. Andererseits gilt nach Dreiecksungleichung und Cauchy-Schwarz

c ≤ ∥a∥ ≤ ∥a − x_{k}∥ + ∥x_{k}∥ ≤ C∥a − x_{k}∥_{2} + ∥x_{k}∥ für alle k ∈ ℕ .

Nun ist lim_{k→∞} ∥a − x_{k}∥_{2} = lim_{k→∞} \sqrt{|a_{1} − x_{k1}|^{2} + … |a_{n} − x_{kn}|^{2}} = 0 und lim_{k→∞} ∥x_{k}∥ = c, also ∥a∥ = c und damit c Minimum. □

Abschließend sei bemerkt, daß die durch ein Skalarprodukt induzierte Norm die einzige ist, die die Parallelogrammgleichung erfüllt:

Satz 15.16 Es sei (V, ∥ ∥) ein normierter Vektorraum über 𝕂. Die Norm ∥ ∥ geht genau dann aus einem Skalarprodukt hervor, wenn die Parallelogrammgleichung gilt,

∥v + w∥^{2} + ∥v − w∥^{2} = 2∥v∥^{2} + 2∥w∥^{2} für alle v, w ∈ V .

Beweisidee. Die Richtung (⇒) ist einfaches Nachrechnen. Für die Umkehrung (⇐) definiert man über die Polarisationsformeln

⟨v, w⟩ = \frac{1}{4}(∥v + w∥^{2} − ∥v − w∥^{2} − i∥v + iw∥^{2} + i∥v − iw∥^{2}) für 𝕂 = ℂ ,
⟨v, w⟩ = \frac{1}{4}(∥v + w∥^{2} − ∥v − w∥^{2})  für 𝕂 = ℝ

zunächst Abbildungen ⟨ , ⟩ : V × V → 𝕂, für die man dann die Eigenschaften (S1)–(S3) zeigen muß, wobei die Parallelogrammgleichung eingeht. Für die Linearität ist das eine sehr mühsame Rechnung! □

16 Metrische Räume

Für reelle oder komplexe Zahlen hatten wir einen Abstand |z − w| eingeführt. Zentral war die Dreiecksungleichung, die in vielen Konvergenzbeweisen benötigt wurde. Dieser Abstandsbegriff wird nun umfassend verallgemeinert:

Definition 16.1 Ein metrischer Raum ist eine Menge X zusammen mit einer Abbildung d : X × X → ℝ_{+}, dem Abstand oder der Metrik, wenn gilt:

(D1) d(x, y) = 0 ⇔ x = y ,

(D2) d(x, y) = d(y, x) (Symmetrie),

(D3) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) (Dreiecksungleichung).

Jeder normierte Vektorraum ist auch metrischer Raum mit Abstand d(x, y) := ∥x − y∥. Für den 𝕂^{n} mit der aus dem Skalarprodukt erhaltenen Standardnorm gilt der Satz des Pythagoras d(x, y) = \sqrt{|x_{1} − y_{1}|^{2} + ⋯ + |x_{n} − y_{n}|^{2}}.

Beispiel 16.2 Auf der Sphäre S^{2} = {x = (x_{1}, x_{2}, x_{3}) ∈ ℝ^{3} : ∥x∥_{2}^{2} = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} = 1} läßt sich neben einem aus einer Norm auf dem umgebenen ℝ^{3} geerbten Abstand folgende Metrik einführen: zu zwei Punkten x, y ∈ S^{2}, x ≠ y gibt es einen eindeutigen Großkreis G durch diese Punkte. Dieser Großkreis ist der Schnitt von S^{2} mit der Ebene durch (0, x, y). Dann wird der Abstand erklärt als Winkel d(x, y) := |∡(x, 0, y)| zwischen x, y auf G. ◁

Beispiel 16.3 Riemannsche Mannigfaltigkeiten sind eine (auch für die Physik) wichtige Klasse von Räumen M, in denen für Tangentialvektoren an Kurven durch einen beliebigen Punkt x ∈ M ein Skalarprodukt erklärt ist (und dieses hängt in regulärer Weise vom Punkt x ∈ M ab). Unter Verwendung der Integralrechnung läßt sich dann die Länge L(c) einer (genügend regulären) Kurve zwischen Punkten x, y ∈ M definieren, und

d(x, y) = inf{L : es gibt eine Kurve c zwischen x, y mit L(c) = L}

definiert eine Metrik auf M. ◁

Über die Metrik führen wir den zentralen Begriff der offenen Teilmengen ein:

Definition 16.4 Es sei (X, d) ein metrischer Raum, a ∈ X und r > 0. Dann heißt die Teilmenge

K_{r}(a) := {x ∈ X : d(a, x) < r} ⊆ X

die offene Kugel in (X, d) mit Mittelpunkt a und Radius r.

Diese Kugeln können je nach Metrik verschiedene Formen haben:

Beispiel 16.5 Betrachtet werde X = ℝ^{2} mit den Metriken d_{p}(x, y) = ∥x − y∥_{p}, die aus den Normen ∥ ∥_{p}, 1 ≤ p ≤ ∞, aus Beispiel 15.9 induziert werden. Dann haben die Einheitskugeln mit r = 1 um a = 0 folgende Gestalt:

76 Definition 16.6 Es sei (X, d) ein metrischer Raum.

[figure: −1; 1; −1; 1; p = 1; p = ∞] Preliminary version – 31. Januar 2018

i) Eine Teilmenge U ⊆ X heißt Umgebung eines Punktes a ∈ X, wenn es eine offene Kugel K_{ϵ}(a) ⊆ U gibt. Speziell heißt K_{ϵ}(a) die ϵ-Umgebung von a.

ii) Eine Teilmenge U ⊆ X heißt offen, wenn jeder Punkt x ∈ U eine in U enthaltene ϵ-Umgebung besitzt, d.h. ∀x ∈ U ∃ϵ > 0 : K_{ϵ}(x) ⊆ U. Außerdem werden die gesamte Menge X ⊆ X und die leere Menge ∅ ⊆ X als offen erklärt.

iii) Die Gesamtheit aller offenen Teilmengen von (X, d) heißt die von d erzeugte Topologie auf X.

iv) Eine Teilmenge A ⊆ X heißt abgeschlossen, wenn X \ A offen ist.

v) Sei Y ⊆ X eine Teilmenge. Ein Punkt y ∈ X heißt Randpunkt von Y, wenn es in jeder Umgebung von y sowohl Punkte aus Y als auch aus X \ Y gibt. Die Menge aller Randpunkte von Y heißt der Rand von Y und wird mit ∂Y bezeichnet.

Damit sind X und ∅ sowohl offen als auch abgeschlossen in X. Verschiedene Metriken (und Normen) könnten verschiedene Topologien erzeugen. In unendlichdimensionalen Vektorräumen ist das in der Tat der Fall, im endlich-dimensionalen Fall nach Satz 15.14 aber nicht.

Satz 16.7 In einem metrischen Raum (X, d) gilt:

i) Der Durchschnitt endlich vieler offener Mengen ist offen.

ii) Die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen ist offen.

iii) Der Durchschnitt beliebig vieler abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen.

iv) Die Vereinigung endlich vieler abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen.

v) Hausdorffsches Trennungsaxiom: Zu je zwei Punkten x, y ∈ X mit x ≠ y gibt es disjunkte offene Umgebungen U von x und V von y, d.h. U ∩ V = ∅.

Beweis. i) Seien U_{1}, …, U_{n} ⊆ X offen und U := ⋂_{i=1}^{n} U_{i}. Entweder ist U = ∅ (und alles klar), oder es gibt ein x ∈ U. Damit ist x ∈ U_{i} für alle i, und da U_{i} offen ist, gibt es K_{ϵ_{i}}(x) ⊆ U_{i}. Sei ϵ := min_{i=1,...,n}(ϵ_{i}), so folgt K_{ϵ}(x) ⊆ U_{i} für alle i und damit K_{ϵ}(x) ⊆ U.

ii) klar.

iii) Für A_{i} ⊆ X folgt X\(⋂_{i} A_{i}) = ⋃_{i}(X\A_{i}). Nach ii) ist ⋂_{i} A_{i} abgeschlossen für A_{i} abgeschlossen.

iv) Für A_{i} ⊆ X folgt X \ (⋃_{i=1}^{n} A_{i}) = ⋂_{i=1}^{n}(X \ A_{i}). Nach i) ist ⋃_{i=1}^{n} A_{i} abgeschlossen für A_{i} abgeschlossen.

v) Sei ϵ = d(x, y). Dann sind K\frac{ϵ}{3} (x) und K\frac{ϵ}{3} (y) disjunkt nach Dreiecksungleichung. □

Beispiel 16.8 In ℝ versehen mit d(x, y) = |x − y| sind für a < b die Intervalle ]a, b[ offen und die Intervalle [a, b] abgeschlossen.

Ist (I_{n})_{n∈ℕ} eine Intervallschachtelung in ℝ mit x ∈ I_{n} für alle n, also {x} = ⋂_{n=0}^{∞} I_{n}, so ist jeder einzelne Punkt {x} abgeschlossen nach Satz 16.7.iii). Das Komplement ℝ \ {x} ist somit offen.

Auch offene Intervallschachtelungen können genau einen gemeinsamen Punkt haben, z.B. J_{n} = ]−\frac{1}{n+1}, \frac{1}{n+1}[ mit ⋂_{n=0}^{∞} J_{n} = \{0\}. Deshalb ist der Durchschnitt beliebig vieler offener Mengen im allgemeinen nicht offen. ◁

Satz 16.9 Sei (X, d) ein metrischer Raum und Y ⊆ X. Dann gilt:

i) Y^{∘} := {y ∈ Y : y ∉ ∂Y } ist offen in X.

ii) Ȳ := Y ∪ ∂Y ist abgeschlossen in X.

iii) ∂Y ist abgeschlossen in X.

Man nennt Ȳ den Abschluß von Y in X und Y^{∘} das Innere von Y.

Beweis. i) Für Y^{∘} = ∅ ist alles klar. Ansonsten sei x ∈ Y^{∘} beliebig. Da x kein Randpunkt von Y ist, gibt es eine Umgebung U von x mit entweder U ⊆ Y oder U ⊆ X \Y. Wegen x ∈ U und x ∉ X \Y ist der zweite Fall ausgeschlossen. Durch Einschränkung kann U ⊆ Y offen gewählt werden. Dann kann U kein a ∈ ∂Y enthalten, denn sonst wäre U auch Umgebung von a und enthielte damit Punkte aus X \ Y. Somit ist U ∩ ∂Y = ∅ und U ⊆ Y^{∘}.

ii) Für X = Ȳ := Y ∪ ∂Y ist alles klar. Ansonsten gibt es ein x ∈ X \ Ȳ. Da X offen ist und x ∉ ∂Y, gibt es eine offene Umgebung U von x, die Y nicht trifft, d.h. U ⊆ X \ Y. Wie in i) folgt dann U ∩ ∂Y = ∅, also U ⊆ X \ Ȳ. Damit ist Ȳ abgeschlossen.

iii) X \ ∂Y = Y^{∘} ∪ (X \ Y)^{∘} ist offen. □

Definition 16.10 Für eine Teilmenge Y ⊆ X eines metrischen Raumes (X, d) wird der Durchmesser definiert als diam(Y) := sup_{x,y∈Y} d(x, y). Eine Teilmenge Y ⊆ X heißt beschränkt, wenn diam(Y) < ∞.

Beispiel 16.11 Die n-dimensionale Einheitsvollkugel B^{n} := {x ∈ ℝ^{n} : ∥x∥_{2} ≤ 1} ist abgeschlossen im ℝ^{n}. Ihr Rand ist die Einheitssphäre S^{n−1} := ∂B^{n} = {x ∈ ℝ^{n} : ∥x∥_{2} = 1}, sie ist ebenfalls abgeschlossen im ℝ^{n}. Es ist dann sinnvoll, offene Teilmengen von S^{n−1} zu betrachten. Jeder Durchschnitt der S^{n−1} mit einer offenen Teilmenge des ℝ^{n} definiert eine offene Teilmenge von S^{n−1}. Im Sinne dieser Teilmengen ist S^{n−1} dann offen und abgeschlossen zugleich. Es gilt diam(B^{n}) = 2. ◁

17 Konvergenz und Vollständigkeit in metrischen Räumen

Definition 17.1 Sei (X, d) ein metrischer Raum und (x_{k})_{k∈ℕ} eine Folge von Punkten aus X. Die Folge (x_{k}) heißt konvergent, wenn es ein a ∈ X gibt mit folgenden äquivalenten Eigenschaften:

i) Zu jedem ϵ > 0 gibt es ein N ∈ ℕ mit d(a, x_{k}) < ϵ für alle k ≥ N.

ii) Zu jeder Umgebung U von a gibt es ein N ∈ ℕ mit x_{k} ∈ U für alle k ≥ N.

iii) Es gilt lim_{k→∞} d(x_{k}, a) = 0. Im Konvergenzfall heißt a ∈ X der Grenzwert der Folge (x_{k})_{k∈ℕ}, und man schreibt lim_{k→∞} x_{k} = a.

Definition 17.2 i) Eine Folge (x_{k})_{k∈ℕ} von Punkten aus X heißt Cauchy-Folge, wenn zu jedem ϵ > 0 ein N ∈ ℕ existiert, so daß d(x_{n}, x_{m}) < ϵ für alle m, n ≥ N.

ii) Ein metrischer Raum (X, d) heißt vollständig, wenn jede Cauchy-Folge in ihm konvergiert.

iii) Ein (bezüglich des Abstands d(x, y) = ∥x − y∥) vollständiger normierter Vektorraum heißt Banach-Raum.

iv) Ein (bezüglich des Abstands d(x, y) = \sqrt{⟨x − y, x − y⟩}) vollständiger euklidischer oder unitärer Vektorraum heißt Hilbert-Raum.

Aus der Dreiecksungleichung folgt:

i) Existiert der Grenzwert, so ist er eindeutig bestimmt.

ii) Jede konvergente Folge in einem beliebigen metrischen Raum (X, d) ist Cauchy-Folge. (Die Umkehrung gilt nur in vollständigen metrischen Räumen.)

Nach Satz 15.14 ist in endlich-dimensionalen normierten Vektorräumen der Konvergenzbegriff unabhängig von der Wahl der Norm. Insbesondere konvergiert im ℝ^{n} eine Punktfolge (x_{k})_{k∈ℕ} mit x_{k} = (x_{k1}, …, x_{kn}) genau dann gegen a = (a_{1}, …, a_{n}) ∈ ℝ^{n}, wenn für jede Koordinate 1 ≤ i ≤ n die Folge x_{ki} gegen a_{i} konvergiert.

Satz 17.3 Jeder endlich-dimensionale normierte Vektorraum ist vollständig.

Beweis. Nach Satz 15.14 genügt es in endlich-dimensionalen Vektorräumen, die Vollständigkeit bezüglich einer Norm nachzuweisen. Nach Wahl einer Basis können wir uns dann auf 𝕂^{n} beschränken. Sei also (x_{k})_{k∈ℕ} eine Cauchy-Folge bezüglich der ∥ ∥_{1}-Norm von Punkten x_{k} = (x_{k1}, …, x_{kn}) ∈ 𝕂^{n}. Dann gibt es zu jedem ϵ > 0 ein N ∈ ℕ, so daß für alle k, l ≥ N gilt

∥x_{k} − x_{l}∥_{1} = |x_{k1} − x_{l1}| + ⋯ + |x_{kn} − x_{ln}| < ϵ .

Also ist (x_{ki})_{k∈ℕ} eine Cauchy-Folge in 𝕂 für jedes i = 1, …, n. Wegen der Vollständigkeit von 𝕂 konvergiert (x_{ki})_{k∈ℕ} gegen ein a_{i} ∈ 𝕂. Damit konvergiert (x_{k}) gegen a = (a_{1}, …, a_{n}). □

Satz 17.4 Die normierten Vektorräume ℓ^{1} und ℓ^{2} sind vollständig. Insbesondere ist ℓ^{2} ein Hilbert-Raum.

Beweis. Sei p = 1 oder p = 2. Sei (x_{(k)})_{k∈ℕ} eine Cauchy-Folge von Zahlenfolgen x_{(k)} = (x_{(k)n})_{n∈ℕ} ∈ ℓ^{p}, d.h. ∥x_{(k)} − x_{(l)}∥_{p} < ϵ für alle k, l ≥ N. Wegen |y_{n}| ≤ ∥(y_{n})_{n∈ℕ}∥_{p} gilt |x_{(k)n} − x_{(l)n}| ≤ ∥x_{(k)} − x_{(l)}∥_{p} < ϵ, d.h. für jedes n ist (x_{(k)n})_{k∈ℕ} eine Cauchy-Folge in 𝕂, die somit gegen eine Grenzfolge x = (x_{n})_{n∈ℕ} konvergiert, x_{n} := lim_{k→∞} x_{(k)n}.

Wir zeigen: x = (x_{n}) ∈ ℓ^{p} mit ∥x − x_{(k)}∥_{p} → 0. Aus ∥x_{(k)} − x_{(l)}∥_{p} < ϵ für alle k, l ≥ N folgt insbesondere

∑_{n=0}^{K} |x_{(k)n} − x_{(l)n}|^{p} < ϵ^{p} für alle K ∈ ℕ , k, l ≥ N .

Da für festes n ∈ ℕ die Folge (x_{(l)n})_{l∈ℕ} konvergent ist, ergibt sich im Limes l → ∞

s_{K} := lim_{l→∞} ( ∑_{n=0}^{K} |x_{(k)n} − x_{(l)n}|^{p}) = ∑_{n=0}^{K} |x_{(k)n} − x_{n}|^{p} ≤ ϵ^{p} .

Für festes k ≥ N ist die Folge der Partialsummen (s_{K}) monoton und beschränkt, so daß im Limes K → ∞ folgt ∥x_{(k)} − x∥_{p} ≤ ϵ. Schließlich gilt ∥x∥_{p} ≤ ∥x − x_{(k)}∥_{p} + ∥x_{(k)}∥_{p} < ∞, also x ∈ ℓ^{p}. □

Es wird sich später zeigen, daß (unter einer technischen Annahme, der Separabilität) jeder unendlich-dimensionale Hilbert-Raum vermöge einer Orthonormalbasis mit ℓ^{2} identifiziert werden kann.

Mit ähnlichen Techniken zeigt man: ℓ^{∞}(M) ist Banach-Raum für eine beliebige Menge M.

Die folgende Eigenschaft ist eine sehr nützliche Charakterierung abgeschlossener Mengen:

Satz 17.5 Sei (X, d) ein metrischer Raum. Eine Teilmenge Y ⊆ X ist genau dann abgeschlossen in X, wenn für jede in X konvergente Folge (y_{k})_{k∈ℕ} mit y_{k} ∈ Y gilt lim_{k→∞} y_{k} = x ∈ Y.

Beweis. (⇒) Sei Y ⊆ X abgeschlossen und x = lim_{k→∞} y_{k} mit y_{k} ∈ Y. Angenommen, x ∉ Y, also x ∈ X \ Y. Da X \ Y offen ist, gibt es in X \ Y eine ϵ-Umgebung U_{ϵ} um x. Da x der Grenzwert der Folge (y_{k}) ist, gibt es ein n ∈ ℕ, so daß y_{k} ∈ U_{ϵ} ⊆ X \ Y für alle k ≥ n, Widerspruch.

(⇐) Die Grenzwerte aller konvergenten Folgen von Punkten aus Y liegen in Y. Wir zeigen: X \ Y ist offen. Angenommen, es gibt einen Punkt x̃ ∈ X \ Y, der keine ϵ-Umgebung in X \Y besitzt. Anders formuliert: Jede ϵ-Umgebung von x̃ enthält einen Punkt aus Y. Somit gibt es zu jedem k ∈ ℕ ein y_{k} ∈ Y mit d(x̃, y_{k}) < ϵ_{k} := \frac{1}{k+1}. Auf diese Weise wird eine Folge (y_{k})_{k∈ℕ} von Punkten aus Y konstruiert, die gegen x̃ konvergiert. Nach Voraussetzung ist x̃ ∈ Y, Widerspruch.

□

18 Stetigkeit

Definition 18.1 Es seien (X, d_{X}) und (Y, d_{Y}) metrische Räume und a ∈ X. Eine Abbildung f : X → Y heißt stetig im Punkt a ∈ X, wenn es zu jeder Umgebung V ⊆ Y von f(a) ∈ V eine Umgebung U ⊆ X von a ∈ U gibt mit f(U) ⊆ V. Die Abbildung f : X → Y heißt stetig auf X, wenn f in jedem Punkt a ∈ X stetig ist.

Stetigkeit bedeutet also, daß eine genügend kleine Umgebung von a unter f nicht auseinandergerissen wird. Insbesondere kann V als ϵ-Umgebung gewählt werden, und die zugehörige Umgebung U von a enthält zumindest eine offene Kugel um a:

Folgerung 18.2 Die Abbildung f : X → Y ist genau dann stetig in a, wenn für alle ϵ > 0 ein δ > 0 existiert, so daß

d_{Y} (f(x), f(a)) < ϵ für alle x ∈ X mit d_{X}(x, a) < δ .

Zu beachten ist, daß δ von ϵ und im allgemeinen auch von a abhängt: wird ϵ verkleinert, so muß im allgemeinen auch δ verkleinert werden, damit die Relationen richtig bleiben.

Definition 18.3 Sei (X, d) ein metrischer Raum und D ⊆ X. Dann nennen wir eine Abbildung f : D → 𝕂 eine (komplexwertige für 𝕂 = ℂ, reellwertige für 𝕂 = ℝ) Funktion. Die Teilmenge D ⊆ X heißt Definitionsbereich, das Bild f(D) ⊆ 𝕂 Wertebereich.

Entsprechend heißt eine Funktion f : D → 𝕂 stetig im Punkt a ∈ D, wenn es zu jedem ϵ > 0 ein δ > 0 gibt, so daß gilt:

|f(x) − f(a)| < ϵ für alle x ∈ D mit d(x, a) < δ .

Die üblichen Rechenregeln für reelle oder komplexe Zahlen übertragen sich punktweise auf Funktionen f, g : X → 𝕂 (mit c ∈ 𝕂):

(f + g)(x) := f(x) + g(x) , (f · g)(x) := f(x) · g(x) , (cf)(x) := c · f(x) ,
\frac{f}{g} (x) := \frac{f(x)}{g(x)}  falls g(x) ≠ 0 für alle x ∈ X ,
f̄(x) := \overline{f(x)} ,  (Re f)(x) := Re(f(x)) , (Im f)(x) := Im(f(x)) .

Beispiel 18.4 Die Funktion f(z) = z^{n}, mit n ∈ ℕ, ist stetig auf ganz ℂ.

Beweis. Sei z_{0} ∈ ℂ fest gewählt und ϵ > 0 beliebig. Es gilt

|f(z) − f(z_{0})| = |z^{n} − z_{0}^{n}| = |z − z_{0}| |z^{n−1} + z^{n−2}z_{0} + ⋯ + zz_{0}^{n−2} + z_{0}^{n−1}|
≤ |z − z_{0}| · n max(|z|^{n−1}, |z_{0}|^{n−1}) .

Für n = 0 ist alles offensichtlich, ansonsten wähle |z_{0} − z| < δ := min(1, \frac{ϵ}{n(1+|z_{0}|)^{n−1}} ). Dann ist |z| ≤ |z − z_{0}| + |z_{0}| < (1 + |z_{0}|), und daraus folgt |f(z) − f(z_{0})| < ϵ. ◁

Beispiel 18.5 Die Funktion f(z) = exp(z) ist stetig in ganz ℂ.

Beweis. Sei z_{0} ∈ ℂ fest gewählt und ϵ > 0 beliebig. Es gilt

| exp(z) − exp(z_{0})| = | exp(z_{0}) · (exp(z − z_{0}) − 1)| ≤ exp(|z_{0}|)| exp(z − z_{0}) − 1| .

Nach der Abschätzung in Satz 14.7.iii) für N = 0 gilt für |z −z_{0}| < 1 die Relation | exp(z − z_{0}) − 1| < 2|z − z_{0}|. Somit genügt es, δ := min(1, \frac{ϵ}{2 exp(|z_{0}|)} zu wählen. ◁

Beispiel 18.6 Für k ∈ ℕ^{×} ist die Wurzelfunktion f : ℝ_{+} → ℝ_{+}, f(x) := \sqrt[k]{x} stetig. Beweis. Sei x_{0} > 0. Für y ≥ 0 gilt y^{k} ≤ (1+y)^{k} −1, also (\sqrt[k]{\frac{x}{x_{0}}} −1)^{k} ≤ \frac{x}{x_{0}} −1 und

\sqrt[k]{x}− \sqrt[k]{x_{0}} ≤ \sqrt[k]{x − x_{0}} für x ≥ x_{0} bzw. (Tausch x_{0} ↔ x) |\sqrt[k]{x}− \sqrt[k]{x_{0}}| ≤ \sqrt[k]{|x − x_{0}|} für alle x, x_{0} ∈ ℝ_{+}. Dann genügt es, δ = ϵ^{k} zu wählen. ◁

Beispiel 18.7 Unter Verwendung der demnächst einzuführenden Funktion sin

sei f : ℝ → ℝ definiert durch f(x) = \{ \begin{matrix}0 & für x = 0 , \\ sin \frac{1}{x} & für x ≠ 0 . \end{matrix}

Dann gilt f(U) = [−1, 1] für jede Umgebung U von 0, so daß f in 0 nicht stetig ist (wähle z.B. V = ]−\frac{1}{2}, \frac{1}{2}[). ◁

Ein historisch bedeutsames Beispiel ist die nirgends stetige Funktion f : ℝ → ℝ

mit f(x) = \{ \begin{matrix}1 für & x ∈ ℚ \\ 0 für & x ∉ ℚ \end{matrix}

Eine wichtige Klasse stetiger Abbildungen ist:

Definition 18.8 Eine Abbildung f : X → Y zwischen metrischen Räumen heißt Lipschitz-stetig, wenn es eine Konstante L ≥ 0 gibt, so daß für alle x, x′ ∈ X gilt

d_{Y} (f(x), f(x′)) ≤ L · d_{X}(x, x′) .

Jede Lipschitz-stetige Abbildung ist stetig: Man wähle δ := \frac{ϵ}{L} für L ≠ 0 und δ = 1 für L = 0.

Satz 18.9 Es sei (V, ∥ ∥) ein normierter Vektorraum. Dann ist die Norm, aufgefaßt als Abbildung ∥ ∥ : V → ℝ zwischen metrischen Räumen, Lipschitz-stetig mit Lipschitz-Konstante 1.

Beweis. Zu zeigen ist |∥x∥ − ∥y∥| = d(∥x∥, ∥y∥) ≤ d(x, y) = ∥x − y∥. Das folgt aus den Dreiecksungleichungen ∥x∥ = ∥x − y + y∥ ≤ ∥x − y∥ + ∥y∥ und ∥y∥ = ∥y − x + x∥ ≤ ∥x − y∥ + ∥x∥. □

Beispiel 18.10 Folgende Funktionen sind Lipschitz-stetig:

i) die konstante Funktion f(x) = c (mit L = 0),

ii) lineare Funktionen f(x) = ax + b (mit L = |a|),

iii) f(x) = |x|, f(x) = Re(x), f(x) = Im(x), f(x) = \overline{x} jeweils mit L = 1. ◁

Satz 18.11 (Folgenkriterium der Stetigkeit) Eine Abbildung f : X → Y zwischen metrischen Räumen X, Y ist genau dann stetig im Punkt a ∈ X, wenn für \underline{jede} Folge (x_{k})_{k∈ℕ} von Punkten aus X mit lim_{k→∞} x_{k} = a gilt

lim_{k→∞} f(x_{k}) = f(a) .

Beweis. (⇒) Sei f : X → Y stetig in a. Dann gibt es zu jedem ϵ > 0 ein δ > 0, so daß d(f(x), f(a)) < ϵ für alle x ∈ X mit d(x, a) < δ. Ist (x_{n})_{n∈ℕ} eine beliebige gegen a konvergente Folge in X, dann gibt es nach Definition des Grenzwertes ein N ∈ ℕ, so daß d(x_{n}, a) < δ für alle n ≥ N. Also ist d(f(x_{n}), f(a)) < ϵ für alle n ≥ N wegen der Stetigkeit von f in a, und f(a) ist Grenzwert der Folge (f(x_{n}))_{n∈ℕ} in Y.

(⇐) Die Folgenbedingung sei für alle gegen a konvergenten Folgen erfüllt. Angenommen, f wäre nicht stetig in a. Das bedeutet: Es gibt ein ϵ > 0, so daß für alle δ > 0 gilt: Aus d(x, a) < δ folgt d(f(x), f(a)) ≥ ϵ. Wähle δ = \frac{1}{n+1} und für jedes n ∈ ℕ einen Punkt x_{n} ∈ X mit d(x_{n}, a) < \frac{1}{n+1}. Damit gibt es eine gegen a konvergente Folge (x_{n})_{n∈ℕ}, für die gilt d(f(x_{n}), f(a)) ≥ ϵ für alle n ∈ ℕ, im Widerspruch zu lim_{n→∞} f(x_{n}) = f(a). □

Beispiel 18.12 Eine Abbildung f : ℝ^{2} → ℝ sei definiert durch

f(x, y) = \{ \begin{matrix}\frac{2xy}{x^{2}+y^{2}} & für (x, y) ≠ (0, 0) \\ 0 & für (x, y) = (0, 0) \end{matrix}

Dann ist f nicht stetig in a = (0, 0), denn für die gegen (0, 0) konvergente Folge z_{k} = (\frac{1}{k+1}, \frac{1}{k+1}) gilt f(z_{k}) = 1 ≠ 0. Für die Folge z_{k} = (\frac{1}{k+1}, 0) gilt dagegen f(z_{k}) = 0. Es reicht also nicht, das Folgenkriterium für genügend viele Beispiel-Folgen zu überprüfen! ◁ Satz 18.13 Sei X metrischer Raum. Eine Abbildung f : X → 𝕂^{n} mit f(x) = (f_{1}(x), …, f_{n}(x)) ist genau dann stetig im Punkt a ∈ X, wenn jede Komponentenfunktion f_{i} : X → 𝕂 stetig in a ist.

Beweis. Die Folge (f(x_{k}))_{k∈ℕ} ist genau dann in 𝕂^{n} konvergent gegen f(a), wenn jede Komponente (f_{i}(x_{k}))_{k∈ℕ} gegen f_{i}(a) konvergiert. (Siehe die Bemerkung im Anschluß an Definition 17.2.) □

Die Rechenregeln für Grenzwerte aus Satz 10.3 übertragen sich auf stetige Funktionen:

Satz 18.14 Die Funktionen f, g : X → ℂ seien stetig in a ∈ X. Dann gilt:

i) Die Funktionen f + g, f · g sind stetig in a.

ii) Ist g(a) ≠ 0, so ist auch g(x) ≠ 0 in einer Umgebung U ⊆ X von a, und die Funktion \frac{f}{g} : U → ℂ ist stetig in a ∈ U.

Beweis. i) Ist (x_{n})_{n∈ℕ} eine beliebige Folge in X mit lim_{n→∞} x_{n} = a, so gilt lim_{n→∞} f(x_{n}) = f(a) und lim_{n→∞} g(x_{n}) = g(a). Satz 10.3 liefert lim_{n→∞}(f + g)(x_{n}) = (f +g)(a) und lim_{n→∞}(f ·g)(x_{n}) = (f ·g)(a). Nach dem Folgenkriterium sind dann f + g und f · g stetig.

ii) Wir zeigen: Ist g stetig in a ∈ X, dann enthält U := {x ∈ X : |g(x)| ≥ \frac{1}{2}|g(a)|\} ⊆ X eine offene Kugel um a. Für g(a) = 0 ist U = X, ansonsten gibt es zu ϵ = \frac{1}{2}g(a) ein δ > 0, so daß für alle x ∈ X mit d(x, a) < δ gilt |g(x)−g(a)| < ϵ. Dann gilt (Lemma 3.8)

|g(x)| ≥ | |g(a)| − |g(x) − g(a)|| ≥ \frac{1}{2}|g(a)| für d(x, a) < δ .

Somit ist X ∩ K_{δ}(a) ⊆ U, und X ∩ K_{δ}(a) enthält als offene Teilmenge eine offene Kugel. Damit ist U Umgebung von a.

Sei nun (x_{n})_{n∈ℕ} eine gegen a konvergente Folge von Punkten x_{k} ∈ U, dann konvergiert (\frac{f}{g} (x_{n}))_{n∈ℕ} gegen \frac{f}{g} (a). □

Folgerung 18.15 Die Menge der stetigen Funktionen auf einem metrischen Raum X bildet einen Vektorraum C(X). Die Menge C_{b}(X) = {f ∈ C(X) : sup_{x∈X} |f(x)| < ∞} der stetigen beschränkten Funktionen bildet einen Untervektorraum, der mit der durch ∥f∥_{∞} := sup_{x∈X} |f(x)| definierten Supremums-Norm zu einem normierten Vektorraum wird.

Wir werden später zeigen, daß (C_{b}(X), ∥ ∥) vollständig ist und daß für kompakte metrische Räume K gilt C(K) = C_{b}(K).

Beispiel 18.16 i) Die reellwertige Funktion f(x) = x^{s} für x ∈ ℝ_{+}^{∗} und s ∈ ℚ ist stetig, aber nicht beschränkt ii) Jedes Polynom ist auf ganz ℂ stetig, aber nur die konstanten Polynome

sind beschränkt.

iii) Jedes Polynom in mehreren Variablen

f(x_{1}, …, x_{m}) = ∑_{k_{1}=0}^{n_{1}} ⋯ ∑_{k_{m}=0}^{n_{n}} a_{k_{1}...,k_{m}}x_{1}^{k_{1}} ⋯ x_{m}^{k_{m}}

ist stetig auf ℂ^{m} bzw. 𝕂^{m}, aber nicht beschränkt.

iv) Jede rationale Funktion ist stetig auf ihrem Definitionsbereich, aber nicht notwendig beschränkt.

v) Die Projektion

p : ℝ^{n+1} \ \{0\} → S^{n} , p(x) = \frac{x}{∥x∥_{2}}

ist stetig und beschränkt. ◁

Sind f : X → Y und g : Y → Z Abbildungen zwischen metrischen Räumen, dann hatten wir die zusammengesetzte Abbildung g ∘ f : X → ℂ erklärt durch (g ∘ f)(x) := g(f(x)).

Satz 18.17 Seien f : X → Y stetig in a und g : Y → Z stetig in f(a), dann ist f ∘ g : X → Z stetig in a.

Beweis. Konvergiert (x_{n})_{n∈ℕ} gegen a, dann konvergiert (f(x_{n}))_{n∈ℕ} gegen f(a) und schließlich (g(f(x_{n})))_{n∈ℕ} gegen g(f(a)). □

Beispiel 18.18 i) Mit f : X → ℂ sind auch |f|, \overline{f}, Re f und Im f stetig als Komposition mit den stetigen Funktionen g(y) = |y| usw.

ii) Für stetige Funktionen f, g : X → ℝ sind auch max(f, g) = \frac{1}{2}(f + g + |f − g|) und min(f, g) = \frac{1}{2}(f + g − |f − g|) stetig. ◁

Satz 18.19 Jede Potenzreihe f(z) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}z^{n} ist im Inneren ihres Konvergenz-

kreises stetig.

Beweis. Es sei R(f) der Konvergenzradius von f(z) und |z_{0}| < r < R(f). Wegen

der absoluten Konvergenz der Reihe gibt es zu ϵ > 0 ein N ∈ ℕ mit ∑_{n=N}^{∞} |a_{n}|r^{n} <

\frac{ϵ}{3}. Da das Polynom ∑_{n=0}^{N−1} a_{n}z^{n} stetig ist, gibt es ein r − |z_{0}| > δ > 0, so daß

| ∑_{n=0}^{N−1} a_{n}z^{n} − ∑_{n=0}^{N−1} a_{n}z_{0}^{n}| < \frac{ϵ}{3} für alle z ∈ ℂ mit |z − z_{0}| < δ. Dann ist |z| ≤

|z − z_{0}| + |z_{0}| < δ + |z_{0}| < r, so daß

|f(z) − f(z_{0})| ≤ | ∑_{n=0}^{N−1} a_{n}z^{n} − ∑_{n=0}^{N−1} a_{n}z_{0}^{n}| + ∑_{n=N}^{∞} |a_{n}z| + ∑_{n=N}^{∞} |a_{n}z_{0}| < ϵ . □

19 Der Zwischenwertsatz

Wir geben zunächst eine äquivalente Charakterisierung der globalen Stetigkeit:

Satz 19.1 Eine Abbildung f : X → Y ist genau dann stetig auf ganz X (d.h. in jedem Punkt a ∈ X), wenn das Urbild f^{−1}(V) jeder offenen Menge V ⊆ Y offen in X ist.

Beweis. (⇒) Ist f^{−1}(V) = ∅, so ist diese Menge offen. Ansonsten gibt es zu jedem Punkt a ∈ f^{−1}(V), also f(a) ∈ V, wegen der Offenheit von V eine ϵ-Umgebung K_{ϵ}(f(a)) ⊆ V. Wegen der Stetigkeit von f existiert eine δ-Umgebung K_{δ}(a) ⊆ X mit f(K_{δ}(a)) ⊆ K_{ϵ}(f(a)) ⊆ V. Also ist K_{δ}(a) ⊆ f^{−1}(V) ⊆ X, d.h. f^{−1}(V) ist offen.

(⇐) In Umgebung V von f(a), a ∈ X, wähle K_{ϵ}(f(a)) ⊆ V und setze U := f^{−1}(K_{ϵ}(f(a)). Wegen a ∈ U und U offen ist U Umgebung von a mit f(U) ⊆ V. Damit ist f stetig. □

Durch Bildung der Komplemente folgt: Eine Abbildung f : X → Y ist genau dann stetig auf ganz X, wenn das Urbild f^{−1}(A) jeder abgeschlossenen Menge A ⊆ Y abgeschlossen in X ist.

Insbesondere gilt:

Satz 19.2 Für eine stetige Funktion f : X → ℝ gilt:

i) U := {x ∈ X : f(x) < c} ist offen, ebenso U′ := {x ∈ X : f(x) > c}.

ii) A := {x ∈ X : f(x) ≤ c} ist abgeschlossen, ebenso A′ := {x ∈

X : f(x) ≥ c}.

iii) N := {x ∈ X : f(x) = c} ist abgeschlossen. □

Beispiel 19.3 In einem beliebigen normierten Vektorraum (V, ∥ ∥) sind der Einheitsball B_{V} = {v ∈ V : ∥v∥ ≤ 1} und die Einheitsphäre S_{V} = {v ∈ V : ∥v∥ = 1} abgeschlossen als Urbild von [0, 1] bzw. {1} unter der (nach Satz 18.9) stetigen Abbildung ∥ ∥ : V → ℝ. ◁

Unser Ziel ist zu zeigen, daß stetige Funktionen (weg)zusammenhängende Mengen in (weg)zusammenhängende Mengen abbilden.

Definition 19.4 Eine Teilmenge X eines metrischen Raumes heißt wegzusammenhängend, wenn es zu je zwei Punkten a, b ∈ X eine stetige Abbildung c : [0, 1] → X (eine sogenannte Kurve) gibt mit c(0) = a und c(1) = b.

Die Vererbung des Wegzusammenhangs unter stetigen Abbildungen ist völlig klar, denn f ∘ c : [0, 1] → f(X) ist ein stetiger Weg zwischen f(a) und f(b).

Definition 19.5 Eine Teilmenge X eines metrischen Raumes heißt nicht zusammenhängend, wenn es offene nichtleere Teilmengen U, V gibt mit U ∪ V = X und U ∩ V = ∅.

Jede wegzusammenhängende Menge ist auch zusammenhängend; die Umkehrung gilt z.B. für offene Mengen, nicht jedoch allgemein.

Theorem 19.6 Es sei f : X → Y eine stetige Abbildung zwischen metrischen Räumen X, Y. Ist X zusammenhängend, so ist auch f(X) zusammenhängend.

Beweis. Wäre f(X) nicht zusammenhängend, so gäbe es disjunkte nichtleere offene Mengen U, V mit f(X) = U ∪ V. Wegen der Stetigkeit von f sind f^{−1}(U) und f^{−1}(V) offen, nichtleer und disjunkt, denn f(x) liegt entweder in U oder in V. Somit wäre X = f^{−1}(U) ∪ f^{−1}(V), Widerspruch. □

Satz 19.7 Eine Teilmenge X ⊆ ℝ mit mindestens zwei verschiedenen Punkten ist genau dann zusammenhängend, wenn X ein Intervall ist.

Beweis. (⇒) Sei X = I ein Intervall. Angenommen, I = U ∪V mit U, V offen und U, V ≠ ∅ und U ∩ V = ∅. Dann gibt es Punkte u ∈ U ⊆ I und v ∈ V ⊆ I mit u < v oder u > v. Sei u < v, dann ist [u, v] ⊆ I. Sei s := sup{[u, v] ∩ U}. Dann gibt es eine gegen s konvergente Folge von Punkten aus [u, v] ∩ U. Da U = I \ V in I abgeschlossen ist, ist s ∈ U, also ist ]s, v] ⊆ V. Andererseits ist U offen in I, enthält also auch eine Kugel K_{ϵ}(s), Widerspruch.

Sei umgekehrt X kein Intervall. Dann gibt es x < s < y ∈ ℝ mit x, y ∈ X und s ∉ X. Also sind U = X ∩] − ∞, s[ und V = X ∩]s, ∞[ offen, disjunkt und nichtleer, außerdem ist X = U ∪ V. Somit ist X nicht zusammenhängend. □

Satz 19.8 (Zwischenwertsatz) Sei X ein zusammenhängender metrischer Raum, a, b ∈ X und f : X → ℝ stetig. Dann nimmt f jeden Wert zwischen f(a) und f(b) an.

Beweis. Nach Satz 19.6 ist f(X) zusammenhängend. Ist f(a) ≠ f(b), dann ist f(X) nach Satz 19.7 ein Intervall. Für f(a) = f(b) ist nichts zu zeigen. □

Für Funktionen auf Intervallen gilt insbesondere:

Folgerung 19.9 (Zwischenwertsatz für Intervalle) Es seien a < b reelle Zahlen und f : [a, b] → ℝ stetig. Dann existiert zu jedem γ ∈ [f(a), f(b)] bzw. γ ∈ [f(b), f(a)] ein c ∈ [a, b] mit γ = f(c). □

Der Zwischenwertsatz beschreibt die anschauliche Tatsache, daß man stetige Funktionen lückenlos durchzeichnen kann. Das ist eine weitere Version der Vollständigkeit von ℝ. Der Zwischenwertsatz ist nützlich in vielen Existenzbeweisen:

Satz 19.10 (Existenz n-ter Wurzeln) Jedes reelle Polynom P (x) = x^{n} − α mit α > 0 hat eine positive Nullstelle.

Beweis. Es ist P (0) = −α < 0 und P (1 + α) = (1 + α)^{n} − 1 > 0 (binomische Formel). Da Polynome stetig sind, hat P in [0, 1 + α] mindestens eine Nullstelle y mit y^{n} = α. □

Manche Aufgaben, die intuitiv schwer zugänglich sind, finden ihre Lösung im Zwischenwertsatz:

Beispiel 19.11 Zwei Punkte der Erdoberfläche (die Meeresoberfläche eingeschlossen) heißen antipodal, wenn Ihre Verbindungsgerade den Erdmittelpunkt enthält. Es gilt: Zu jedem Zeitpunkt gibt es unendlich viele Paare antipodaler Punkte der Erdoberfläche, die die gleiche Lufttemperatur haben. (Die Lufttemperatur wird dabei als stetige Funktion T : Erdoberfläche → ℝ aufgefaßt, und die Erdoberfläche als metrischer Raum.)

Beweis: Angenommen, es gibt zumindest zwei antipodale Punkte mit verschiedener Lufttemperatur (sonst ist nichts zu zeigen). Diese seien z.B. Nordpol N und Südpol S. Wir laufen entlang eines beliebigen Längenkreises von N nach S und registrieren die Differenz f(x) := T (x)−T (x′), wobei x auf dem Längenkreis liegt und x′ sein antipodaler Punkt auf dem gleichen Längenkreis ist. Wegen N′ = S und S′ = N gilt f(N) = −f(S) ≠ 0. Somit hat f eine Nullstelle. ▷

Definition 19.12 Sei X ⊆ ℝ. Eine Funktion f : X → ℝ heißt

i) monoton wachsend bzw. streng monoton wachsend, wenn für alle x, y ∈ X mit x < y gilt f(x) ≤ f(y) bzw. f(x) < f(y);

ii) monoton fallend bzw. streng monoton fallend, wenn für alle x, y ∈ X mit x < y gilt f(x) ≥ f(y) bzw. f(x) > f(y);

iii) (streng) monoton, wenn sie (streng) monoton wachsend oder (streng) monoton fallend ist.

Jede streng monotone (reellwertige) Funktion auf X ⊆ ℝ ist injektiv und besitzt damit eine Umkehrfunktion g : f(X) → ℝ, die im gleichen Sinn streng monoton ist. In diesem Fall gehen die Graphen von f und g durch Spiegelung an der Diagonalen y = x auseinander hervor:

G(f) = {(x, y) : y = f(x) , x ∈ X} ⇔ G(g) = {(y, x) : y = f(x) , x ∈ X} .

Satz 19.13 Es sei I ⊆ ℝ ein Intervall und f : I → ℝ eine stetige streng monotone Funktion. Dann bildet f das Intervall I bijektiv auf das Intervall J := f(I) ab, und die Umkehrfunktion f^{−1} : J → I ist ebenfalls streng monoton (im gleichen Sinn) und stetig.

Beweis. Nach Satz 19.6 ist J := f(I) zusammenhängend, nach Satz 19.7 ein Intervall. Damit bildet f als streng monotone Funktion I bijektiv auf J ab. Entsprechend wird jedes Teilintervall von I bijektiv auf ein Teilintervall abgebildet, und zwar (wegen der strengen Monotonie) offene Intervalle auf offene und abgeschlossene Intervalle auf abgeschlossene. Insbesondere ist das Urbild in J unter f^{−1} jeder offenen Umgebung in I wieder offen. Damit ist f^{−1} stetig. □

Die Voraussetzung, daß I ⊆ ℝ ein Intervall ist, ist wesentlich. Es gibt bijektive stetige Abbildungen zwischen metrischen Räumen, deren Umkehrung nicht stetig ist. Wir werden später sehen, daß x ↦ exp(ix) eine bijektive stetige Abbildung f : [0, 2π[ → S^{1} definiert, deren Umkehrabbildung nicht stetig ist.

Definition 19.14 Eine Abbildung f : X → Y zwischen metrischen Räumen X, Y heißt Homöomorphismus, falls f bijektiv ist und sowohl f : X → Y als auch f^{−1} : Y → X stetig ist. Die metrischen Räume X, Y heißen homöomorph, falls es einen Homöomorphismus f : X → Y gibt.

Beispiel 19.15 X = ℝ_{+} ist homöomorph zum Intervall I = [0, 1[ vermöge der Abbildung f(x) = \frac{x}{1+x} =: y. Die Umkehrung ist f^{−1}(y) = \frac{y}{1−y}. Als rationale Funktionen sind f, f^{−1} stetig. ◁

20 Grenzwerte von Funktionen

Stetigkeit ist eng verbunden mit dem Begriff des Grenzwertes für Funktionen.

Definition 20.1 Es sei (X, d) ein metrischer Raum. Ein Punkt a ∈ X heißt Häufungspunkt einer Teilmenge D ⊆ X, wenn jede ϵ-Umgebung K_{ϵ}(a) von a unendlich viele Punkte aus D enthält.

Ein Häufungspunkt von D ist nicht notwendigerweise in D enthalten. Für die offene Kreisscheibe D = K_{r}(a) := {z ∈ ℂ : |a − z| < r} sind alle Punkte des abgeschlossenen Kreises \overline{K_{r}(a)} := \{z ∈ ℂ : |a − z| ≤ r\} Häufungspunkte, aber die Randpunkte |z − a| = r gehören nicht zu D.

Definition 20.2 Es sei a ∈ X ein Häufungspunkt von D ⊆ X. Eine Funktion f : D → ℂ hat in a den Grenzwert λ, wenn die fortgesetzte Funktion F : D ∪{a} →

ℂ mit F (x) = \{ \begin{matrix}f(x) & für x ≠ a \\ λ & für x = a \end{matrix} in a stetig ist. In diesem Fall schreibt man

λ = lim_{x→a} f(x).

Die Stetigkeit von F in a kann wieder über ϵ-δ-Techniken oder Folgen überprüft werden. Gehört a zum Definitionsbereich von f, dann ist f nach Satz 18.11 in a genau dann stetig, wenn lim_{x→a} f(x) = f(a). Damit gibt es folgende Möglichkeiten für Unstetigkeiten einer Funktion f im Punkt a:

i) f hat in a keinen Grenzwert,

ii) f hat in a einen Grenzwert ungleich f(a).

Die Bedeutung des Grenzwertes von Funktionen besteht darin, daß man Funktionen unter Umständen stetig über den Definitionsbereich hinaus fortsetzen kann.

Beispiel 20.3 Für z ∈ D := ℂ \ \{0\} sei f(z) = \frac{exp(cz)−1}{z} für c ∈ ℂ. Wir zeigen: lim_{z→0} f(z) = c. Auf D gilt

\frac{exp(cz) − 1}{z} = ∑_{n=1}^{∞} \frac{(cz)^{n}}{zn!} = c + ∑_{k=1}^{∞} \frac{c(cz)^{k}}{(k + 1)!} .

Nach Satz 14.8 gibt es zu r = 1 ein c_{1} ∈ ℝ mit

|\frac{exp(cz) − 1}{z} − c| ≤ | ∑_{k=1}^{∞} \frac{c(cz)^{k}}{(k + 1)!}| < c_{1}|z| .

für alle |z| < 1. Wähle δ = min(1, \frac{ϵ}{c_{1}} ). Damit ist die Funktion F (z) =

\{ \begin{matrix}\frac{exp(cz) − 1}{z} für & z ≠ 0 \\ c für & z = 0 \end{matrix} stetig auf ganz ℂ.

Man kann übrigens beweisen, daß f(z) = exp(cz) die einzige Lösung der beiden Bedingungen f(w)f(z) = f(w + z) für alle z, w ∈ ℂ und lim_{z→0} \frac{f(z)−1}{z} = c ist (siehe Königsberger, Analysis 1, §8.1). ◁

Für des Rechnen mit Grenzwerten gelten die üblichen Regeln (der Beweis ist ähnlich wie in Satz 10.3 und Satz 18.14.

Satz 20.4 Gilt lim_{x→a} f(x) = λ und lim_{x→a} g(x) = μ, so folgt lim_{x→a}(f +g)(x) = λ + μ, lim_{x→a}(f · g)(x) = λ · μ und, falls μ ≠ 0, lim_{x→a} \frac{f}{g} (x) = \frac{λ}{μ}.

Ist die Komposition g ∘ f definiert und ist lim_{x→a} f(x) = y und g stetig in y, dann folgt lim_{x→a}(g ∘ f)(x) = g(y).

Im Reellen kann man zusätzlich einseitige Grenzwerte definieren:

Definition 20.5 Es sei a ein Häufungspunkt von D ⊆ ℝ und D_{−} := D∩ ]−∞, a[ und D_{+} := D∩ ]a, ∞[ . Eine Funktion f : D → ℂ hat in a linksseitig bzw. rechtsseitig den Grenzwert λ, falls die Einschränkung von f auf D_{−} bzw. D_{+} den Grenzwert λ hat. In diesem Fall schreibt man

λ = lim_{x↗a} f(x) = f(a−) bzw. λ = lim_{x↘a} f(x) = f(a+) .

Ist a ∈ D und f(a) = f(a−) bzw. f(a) = f(a+), dann heißt f in a linksseitig bzw. rechtsseitig stetig.

Beispiel 20.6 Es sei f(x) = [x] ∈ ℤ der ganze Teil einer reellen Zahl x, d.h.

[x] = sup{g ∈ ℤ : g ≤ x}. Dann hat f in g ∈ ℤ linksseitig den Grenzwert g − 1 und rechtsseitig den Grenzwert g und ist rechtsseitig stetig. ◁

Über die einseitigen Grenzwerte kann man den Grenzwert einer im Reellen definierten Funktion in ±∞ definieren:

Definition 20.7 Der Definitionsbereich D ⊆ ℝ einer Funktion f : D → ℂ sei nach oben unbeschränkt. Eine Zahl λ ∈ ℂ heißt Grenzwert von f in ∞, wenn es zu jedem ϵ > 0 ein N gibt mit |f(x)−λ| < ϵ für alle x ∈ D mit x > N. In diesem Fall schreibt man lim_{x→∞} f(x) = λ. Analog ist ein Grenzwert in −∞ definiert.

Beispiel 20.8 lim_{x→∞}(\sqrt{x^{2} + x} − x) = \frac{1}{2} für x ≥ 0. Beweis. Für x > 1 gilt unter Verwendung der Binomialreihe

\sqrt{x^{2} + x} − x = x(\sqrt{1 + \frac{1}{x}} − 1) = x ∑_{n=1}^{∞} \binom{\frac{1}{2}}{n}\frac{1}{x^{n}} = \frac{1}{2} + ∑_{k=1}^{∞} \binom{\frac{1}{2}}{k + 1}\frac{1}{x^{k}} .

Da der Konvergenzradius gleich 1 ist, gibt es nach Satz 14.8 ein c_{1} ∈ ℝ mit

| ∑_{k=1}^{∞} \binom{\frac{1}{2}}{k + 1}\frac{1}{x^{k}} | < c_{1} \frac{1}{x} für alle x > 1. ◁

Dieses Beispiel demonstriert bereits das allgemeine Prinzip der Zurückführung von Grenzwerten in ∞ auf Grenzwerte in 0:

Lemma 20.9 Setzt man g(ξ) = f(\frac{1}{ξ}) für \frac{1}{ξ} ∈ D, dann gilt: f besitzt genau dann in ∞ einen Grenzwert, wenn g rechtsseitig in 0 einen Grenzwert besitzt, und dann

gilt lim_{x→∞} f(x) = g(0+).

Analog gilt gegebenenfalls lim_{x→−∞} f(x) = g(0−).

Schließlich führen wir ±∞ als uneigentliche Grenzwerte reellwertiger Funktionen ein:

Definition 20.10 Eine Funktion f : D → ℝ hat in x_{0} ∈ ℝ ∪ {−∞, ∞} den uneigentlichen Grenzwert ∞ bzw. −∞, wenn es zu jedem M ∈ ℝ eine Umgebung V ⊆ D \ {x_{0}} gibt, so daß für alle x ∈ V gilt f(x) > M bzw. f(x) < M.

Beispiel 20.11 Für Polynome f(x) = ∑_{i=0}^{n} a_{i}x^{i} mit n ≥ 1 gilt

lim_{x→∞} f(x) = \{ \begin{matrix}∞ falls & a_{n} > 0 \\ −∞ falls & a_{n} < 0 \end{matrix}

Ist a_{n} > 0, so gilt

lim_{x→−∞} f(x) = \{ \begin{matrix}∞ falls & n gerade \\ −∞ falls & n ungerade \end{matrix}

Für a_{n} < 0 tauschen sich die Vorzeichen. ◁

Satz 20.12 Jedes reelle Polynom P (x) = ∑_{i=0}^{2n+1} a_{i}x^{i} ungeraden Grades (a_{2n+1} ≠ 0) besitzt in ℝ mindestens eine Nullstelle.

Beweis. (für a_{2n+1} > 0) Wegen lim_{x→∞} P (x) = ∞ und lim_{x→−∞} P (x) = −∞ gibt es reelle Zahlen a < b mit P (a) < 0 und P (b) > 0. Nach dem Zwischenwertsatz gibt es mindestens eine Punkt c ∈ [a, b] mit P (c) = 0. □

21 Die Exponentialfunktion

21.1 Logarithmus und komplexe Potenzen

Die Exponentialfunktion exp(z) := ∑_{n=0}^{∞} \frac{z^{n}}{n!} ist nach Beispiel 18.5 in jedem Punkt

z ∈ ℂ stetig. Insbesondere ist auch die reelle Exponentialfunktion exp : ℝ → ℝ stetig und nach Bemerkung iv) im Anschluß an Satz 14.7 streng monoton wachsend. Wegen exp(0) = 1 und lim_{x→∞} exp(x) = ∞ nimmt exp auf ℝ_{+} jeden Wert y ≥ 1 genau einmal an. Dann folgt aus exp(−x) = \frac{1}{exp(x)}, daß exp auf ℝ_{−} jeden Wert 0 < y ≤ 1 genau einmal annimmt, d.h. exp : ℝ → ℝ_{+}^{×} ist bijektiv. Somit existiert die Umkehrfunktion, der (natürliche) Logarithmus:

ln : ℝ_{+}^{×} → ℝ mit ln(x) := {y ∈ ℝ : exp(y) = x} ,

und nach Satz 19.13 ist ln : ℝ_{+}^{×} → ℝ stetig und streng monoton wachsend. Speziell ist ln(1) = 0 und ln(e) = 1.

Satz 21.1 Es gilt die Funktionalgleichung ln(xy) = ln(x) + ln(y) für alle x, y ∈

ℝ_{+}^{×} sowie lim_{x→0} \frac{ln(1 + x)}{x} = 1.

Beweis. i) Setze ξ := ln(x) und η := ln y, dann ist exp(ξ + η) = exp(ξ) · exp(η) = x · y. Einsetzen in ln liefert die Behauptung.

ii) Sei (x_{n})_{n∈ℕ} eine Nullfolge mit x_{n} ≠ 0 für alle n und y_{n} := ln(1+x_{n}). Wegen ln(1) = 0 ist auch (y_{n})_{n∈ℕ} eine Nullfolge. Dann gilt \frac{ln(1+x_{n})}{x_{n}} = \frac{y_{n}}{exp(y_{n})−1}, und nach Beispiel 20.3 konvergiert (\frac{y_{n}}{exp(y_{n})−1})_{n∈ℕ} gegen 1. □

Die Funktionalgleichung des Logarithmus führt auf folgende Definition allgemeiner komplexer Potenzen:

x^{z} := exp(z ln x) , x ∈ ℝ_{+}^{×} , z ∈ ℂ .

Insbesondere gilt e^{z} = exp(z) für alle z ∈ ℂ und x^{0} = 1 für alle x ∈ ℝ_{+}^{×}. Die so definierten komplexen Potenzen haben folgende Eigenschaften:

i) Als Komposition stetiger Funktionen ist x ↦ x^{z} stetig in jedem Punkt x ∈ ℝ_{+}^{×} (dabei ist z festgehalten), und z ↦ x^{z} ist stetig in jedem Punkt z ∈ ℂ (dabei ist x festgehalten).

ii) Für reelle Exponenten a ∈ ℝ ist x ↦ x^{a} streng monoton wachsend falls a > 0 und streng monoton fallend falls a < 0 (für a = −b mit b > 0 gilt x^{−b} = exp(−b ln x) = \frac{1}{exp(b ln x)} = \frac{1}{x^{b}}). Folglich bildet die Funktion x ↦ x^{a} den Definitionsbereich ℝ_{+}^{×} bijektiv auf ℝ_{+}^{×} ab.

iii) Für x, y ∈ ℝ_{+}^{×}, a, b ∈ ℝ und z, w ∈ ℂ gelten die Identitäten

(x^{a})^{b} = x^{a·b} , x^{z} · y^{z} = (xy)^{z} .

1) (x^{a})^{b} := exp(b ln(x^{a})) = exp(b ln(exp(a ln x))) = exp(ba ln x) = x^{ab}, dabei ist x^{a} ∈ ℝ_{+}^{×} entscheidend.

2) x^{z} · y^{z} = exp(z ln x) · exp(z ln y) = exp(z(ln x + ln x)) = exp(z ln(xy)) = (xy)^{z}.

iv) Es gelten folgende Grenzwerte:

lim_{x→∞} x^{a} = \{ \begin{matrix}∞ für & a > 0 \\ 0 für & a < 0 \end{matrix}  lim_{x→0} x^{a} = \{ \begin{matrix}0 für & a > 0 \\ ∞ für & a < 0 \end{matrix}
lim_{x→∞} \frac{ln x}{x^{a}} = 0 für a > 0 ,  lim_{x→0} x^{a} ln x = 0 für a > 0 .

Die erste Zeile folgt aus der Tatsache, daß x ↦ x^{a} streng monoton ist und ℝ_{+}^{×} bijektiv auf ℝ_{+}^{×} abbildet. In der ersten Gleichung der zweiten Zeile verwende lim_{y→∞} \frac{y}{exp(ay)} = 0 für a > 0 und setze y = ln x.

v) Als Konsequenz aus lim_{x→0} x^{a} = 0 für a > 0 kann x ↦ x^{a} stetig nach

x = 0 fortgesetzt werden, so daß f_{a}(x) = \{ \begin{matrix}x^{a} für & x > 0 \\ 0 für & x = 0 \end{matrix} eine stetige

Funktion f_{a} : ℝ_{+} → ℝ_{+} ist (für a > 0).

Satz 21.2 Für alle s ∈ ℂ und x ∈ ] − 1, 1[ gilt

(1 + x)^{s} = B_{s}(x) = ∑_{n=0}^{∞} \binom{s}{n}x^{n} ,  ln(1 + x) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n−1}}{n} x^{n} .

Beweis. Für s ∈ ℚ hatten wir (1 + x)^{s} = B_{s}(x) bereits in Satz 14.6.ii) gezeigt. Für z ∈ ℂ mit |z| < 1 und s ∈ ℂ^{×} schreiben wir

\frac{B_{s}(z) − 1}{s} = ∑_{n=1}^{∞} f_{n}(s, z) , f_{n}(s, z) := \frac{1}{s}\binom{s}{n}z^{n} = \frac{(s − 1) ⋯ (s − n + 1)}{n!}z^{n} .

93

Preliminary version – 31. Januar 2018

Es gilt |\frac{f_{n+1}(s, z)}{f_{n}(s, z)}| = \frac{|s − n|}{n + 1}|z|, so daß für |z| < 1 und |s| < M die Reihe

∑_{n=1}^{∞} f_{n}(s, z) nach dem Quotientenkriterium absolut konvergent ist. Sie definiert

deshalb für festes s eine stetige Funktion in z, andererseits kann sie für festes z umgeordnet werden in eine Potenzreihe in s, die in jedem Punkt s ∈ ℂ mit |s| < M, insbesondere in s = 0, stetig ist. Wegen f_{n}(0, z) = \frac{(−1)^{n−1}}{n} z^{n} gilt somit

L(z) := lim_{s→0} \frac{B_{s}(z) − 1}{s} = ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n−1}}{n} z^{n} , |z| < 1 .

Wir beweisen später folgende Umkehrung:

Lemma 21.3 B_{s}(z) = exp(sL(z)).

Für s = 1 ergibt sich B_{1}(z) = (1 + z) = exp(L(z)) für alle z ∈ ℂ mit |z| < 1. Für z = x ∈ ] − 1, 1[ wird durch Logarithmieren ln(1 + x) = L(x) und dann B_{s}(x) = exp(sL(x)) = (1 + x)^{s} erhalten. □

Die Logarithmus-Reihe ln(1+x) = ∑_{k=1}^{∞} \frac{(−1)^{k−1}}{k} x^{k} ist zunächst nur für |x| < 1

erklärt. Nach dem Leibniz-Kriterium konvergiert sie auch für x = 1 (alternierende harmonische Reihe). Da die Logarithmus-Funktion ln(1+x) für x > −1 erklärt ist, ist zu vermuten, daß die alternierende harmonische Reihe gegen ln 2 konvergiert. Nach dem Leibniz-Kriterium gilt für 0 ≤ x < 1

| ln(1 + x) − ∑_{k=1}^{n} \frac{(−1)^{k−1}}{k} x^{k}| ≤ \frac{x^{n+1}}{n + 1} .

Alle Funktionen in dieser Ungleichung sind stetig in x = 1, so daß wir im Limes x ↗ 1 erhalten

| ln(2) − ∑_{k=1}^{n} \frac{(−1)^{k−1}}{k} | ≤ \frac{1}{n + 1}  ⇒  ∑_{k=1}^{∞} \frac{(−1)^{k−1}}{k} = ln 2 .

21.2 Trigonometrische Funktionen

Für die Exponentialfunktion gilt \overline{exp(z)} = exp(z̄), deshalb für rein imaginäre Zahlen z = ix mit x ∈ ℝ zunächst \overline{exp(ix)} = exp(−ix) = \frac{1}{exp(ix)}, also

|e^{ix}|^{2} = exp(ix) exp(−ix) = 1 .

Damit liegt jeder Punkt e^{ix} auf dem Einheitskreis S^{1} = {z ∈ ℂ ; |z| = 1}. Wir definieren

cos x := Re(e^{ix}) = \frac{1}{2}(e^{ix} + e^{−ix}) , sin x := Im(e^{ix}) = \frac{1}{2i}(e^{ix} − e^{−ix}) .

Damit gilt für alle x ∈ ℝ

e^{ix} = cos x + i sin x , cos^{2} x + sin^{2} x = 1 .

Insbesondere sind sin, cos : ℝ → [−1, 1] stetige Funktionen.

Satz 21.4 Es gelten die Additionstheoreme

cos(x + y) = cos x cos y − sin x sin y , sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y ,

die Potenzreihendarstellungen

cos x = ∑_{k=0}^{∞}(−1)^{k} \frac{x^{2k}}{(2k)!} , sin x = ∑_{k=0}^{∞}(−1)^{k} \frac{x^{2k+1}}{(2k + 1)!}

sowie der Grenzwert lim_{x→0} \frac{sin x}{x} = 1.

Beweis. Zum Beweis der Additionstheoreme zerlegt man e^{i(x+y)} = e^{ix} · e^{iy} nach Real- und Imaginärteil. Die Potenzreihen ergeben sich aus der Exponentialfunktion unter Beachtung, daß i^{n} reell ist für n gerade und rein imaginär für n ungerade. Der Grenzwert lim_{x→0} \frac{sin x}{x} = 1 folgt aus der Reihendarstellung des Sinus und Satz 14.8. □

Wir kommen nun zur Definition der Zahl π:

Satz 21.5 Der Cosinus hat im Intervall [0, 2] genau eine Nullstelle, die mit \frac{π}{2} bezeichnet wird. Es gilt cos \frac{π}{2} = 0 und sin \frac{π}{2} = 1.

Beweis. Wir zeigen, daß cos : [0, 2] → [−1, 1] streng monoton fallend ist mit cos 0 = 1 > 0 und cos 2 < 0. Der Zwischenwertsatz liefert dann die Existenz einer Nullstelle, aus der Monotonie folgt ihre Eindeutigkeit. Insbesondere is 0 < π < 4.

Die Reihen für cos und sin sind alternierend. Für x ∈ ]0, 2] bilden die Beträge der Summanden a_{k} in der Cosinusreihe bzw. der Sinusreihe eine streng monoton fallende Nullfolge ab k = 1 bzw. k = 0. Nach der Fehlerabschätzung im Leibniz-Kriterium (Satz 12.11) gilt damit für x ∈ ]0, 2]

\underbrace{1 − \frac{x^{2}}{2}}_{s_{1}} < cos x < \underbrace{1 − \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{24}}_{s_{3}} ,  \underbrace{x − \frac{x^{3}}{6}}_{s_{1}} < sin x < \underbrace{x}_{s_{0}} ,

insbesondere ist cos 2 < −\frac{1}{3} und sin x > 0 für x ∈ ]0, 2]. Die Monotonie des Cosinus folgt aus der Differenzengleichung

cos x − cos y = cos(\frac{x+y}{2} + \frac{x−y}{2}) − cos(\frac{x+y}{2} − \frac{x−y}{2}) = −2 sin \frac{x−y}{2} sin \frac{x+y}{2} .

Ist 0 ≤ y < x ≤ 2, so ist die rechte Seite negativ. □

Somit gelten e^{\frac{iπ}{2}} = i und damit e^{iπ} = −1, e^{\frac{3iπ}{2}} = −i und e^{2πi} = 1 und damit

e^{i(x+ \frac{π}{2} )} = ie^{ix} , e^{i(x+π)} = −e^{ix} , e^{i(x+ \frac{3π}{2} )} = −ie^{ix} , e^{i(x+2π)} = e^{ix} .

Zerlegung nach Real- und Imaginärteil liefert die folgenden Periodizitäten für Cosinus und Sinus:

cos(x+\frac{π}{2}) = − sin x , cos(x+π) = − cos x , cos(x+\frac{3π}{2}) = sin x , cos(x+2π) = cos x ,
sin(x+\frac{π}{2}) = cos x , sin(x+π) = − sin x , sin(x+\frac{3π}{2}) = − cos x , sin(x+2π) = sin x .

Wegen cos x = cos(−x) sind ±\frac{π}{2} die einzigen Nullstellen des Cosinus im Intervall [−\frac{π}{2}, \frac{π}{2}] Aus cos(x+π) = − cos x folgt dann, daß x_{k} = \frac{(2k+1)π}{2} mit k ∈ ℤ die einzigen Nullstellen des Cosinus sind, und entsprechend sind x_{k} = kπ die einzigen Nullstellen des Sinus.

Satz 21.6 e^{z} = 1  ⇔  z = 2iπk für k ∈ ℤ.

Beweis. (⇐) ist klar. Umgekehrt sei z = x + iy mit x, y ∈ ℝ, dann gilt |e^{z}| = e^{x}|e^{iy}| = e^{x}, also x = 0 und dann 1 = e^{iy} = cos y + i sin y. Folglich ist cos y = 1 und sin y = 0, der Sinus liefert zunächst y = kπ mit k ∈ ℤ, wegen cos(0 + π) = − cos(0) = −1 und der 2π-Periodizität sind aber nur y = 2πk Lösungen. □

Folglich besitzt jede komplexe Zahl z ≠ 0 die Darstellung z = re^{iϕ} mit r = |z| ∈ ℝ_{+}^{×} und ϕ ∈ ℝ, wobei ϕ nur bis auf Addition eines Vielfachen von 2π bestimmt ist.

21.3 Weitere trigonometrische und hyperbolische Funktionen

Außerhalb der Nullstellen von cos bzw. sin werden Tangens und Cotangens definiert als

tan x := \frac{sin x}{cos x} ,  x ∈ ℝ \ \{(k + \frac{1}{2})π , k ∈ ℤ\}
cot x := \frac{cos x}{sin x} ,  x ∈ ℝ \ \{kπ , k ∈ ℤ\}

Diese sind stetig und π-periodisch, und als Hauptzweig wählt man das Intervall ] − \frac{π}{2}, \frac{π}{2}[ für den Tangens und das Intervall ]0, π[ für den Cotangens.

Satz 21.7 i) cos ist im Intervall [0, π] streng monoton fallend und bildet somit [0, π] bijektiv auf [−1, 1] ab. Die damit existierende stetige Umkehrfunktion ist arccos : [−1, 1] → [0, π].

ii) sin ist im Intervall [−\frac{π}{2}, \frac{π}{2}] streng monoton wachsend und bildet somit [−\frac{π}{2}, \frac{π}{2}] bijektiv auf [−1, 1] ab. Die damit existierende stetige Umkehrfunktion ist arcsin : [−1, 1] → [−\frac{π}{2}, \frac{π}{2}]. iii) tan ist im Intervall ] − \frac{π}{2}, \frac{π}{2}[ streng monoton wachsend und bildet ] − \frac{π}{2}, \frac{π}{2}[ bijektiv auf ℝ ab. Die damit existierende stetige Umkehrfunktion ist arctan : ℝ → ] − \frac{π}{2}, \frac{π}{2}[.

Beweis. i) cos ist nach dem Beweis von Satz 21.5 streng monoton fallend in [0, \frac{π}{2}], und wegen cos(π−x) = − cos(−x) = − cos x ist cos auch in [\frac{π}{2}, π] streng monoton fallend.

ii) folgt aus i) mit sin x = cos(\frac{π}{2} − x).

iii) Da sin in [0, \frac{π}{2}[ streng monoton wächst und cos dort streng monoton fällt und beide nichtnegativ sind, ist tan streng monoton wachsend in [0, \frac{π}{2}[. Wegen tan(−x) = − tan x ist tan streng monoton wachsend in [−\frac{π}{2}, \frac{π}{2}[. Wegen sin \frac{π}{2} = 1 und cos \frac{π}{2} = 0 ist tan nach oben unbeschränkt in [0, \frac{π}{2}[, so daß tan das Intervall ] − \frac{π}{2}, \frac{π}{2}[ bijektiv auf ℝ abbildet. □

Satz 21.8 Es gilt arctan x = ∑_{n=0}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{2n + 1}x^{2n+1} für x ∈ ] − 1, 1[.

Beweis. Zunächst ist tan x = \frac{1}{i} \frac{e^{ix}−e^{−ix}}{e^{ix}+e^{−ix}} = \frac{1}{i} \frac{e^{2ix}−1}{e^{2ix}+1}. Auflösen nach e^{2ix} ergibt

e^{2ix} = \frac{1 + i tan x}{1 − i tan x}  ⇒^{x=arctan y} e^{2i arctan y} = \frac{1 + iy}{1 − iy} .

Nach Lemma 21.3 (noch zu beweisen!) gilt (1 + z) = exp(L(z)) für z ∈ ℂ mit

|z| < 1, wobei L(z) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n−1}}{n} z^{n}. Somit folgt \frac{1 + iy}{1 − iy} = exp(L(iy) − L(−iy)).

Für gerades n = 2k ist (iy)^{2k} = (−iy)^{2k}, deshalb heben sich in L(iy) − L(−iy) die geraden Potenzen von y auf und die ungeraden verdoppeln sich:

L(iy) − L(−iy) = 2 ∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{2n + 1}(iy)^{2n+1} = 2i ∑_{n=0}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{2n + 1}y^{2n+1} .

Aus exp(2i arctan y) = exp(L(iy) − L(−iy)) und Satz 21.6 folgt

arctan y + 2kπ = ∑_{n=0}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{2n + 1}y^{2n+1} , k ∈ ℤ

für alle y ∈ ℝ. Einsetzen von y = 0 liefert k = 0. □

Interessant ist der Punkt x = 1, denn tan \frac{π}{4} = \frac{sin( \frac{π}{2} − \frac{π}{4} )}{cos \frac{π}{4}} = \begin{matrix}cos & \frac{π}{4} \\ cos & \frac{π}{4} \end{matrix} = 1, also \frac{π}{4} = arctan 1. Die Arcustangensreihe ist für x = 1 nicht mehr absolut konvergent,

jedoch konvergent nach dem Leibniz-Kriterium. Da | tan x − ∑_{n=0}^{N} \frac{(−1)^{n}}{2n+1} x^{2n+1}|

stetig ist und durch den nachfolgenden Term \frac{|x|^{2N+3}}{2N+3} abgeschätzt werden kann, konvergiert die Reihe für x = 1 gegen arctan 1, also \frac{π}{4} = ∑_{n=0}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{2n + 1}. Über das

Additionstheorem des Tangens kann \frac{π}{4} = 4 arctan \frac{1}{5} − arctan \frac{1}{239} gezeigt werden, was eine sehr viel schneller konvergierende Reihendarstellung liefert.

Aus der Exponentialfunktion werden auch die folgenden hyperbolischen Funktionen Cosinus hyperbolicus, Sinus hyperbolicus, Tangens hyperbolicus, Cotangens hyperbolicus erhalten:

cosh x := \frac{1}{2}(e^{x} + e^{−x}) ,  sinh x = \frac{1}{2}(e^{x} − e^{−x}) ,  tanh x := \frac{sinh x}{cosh x} .

Alle diese Funktionen sind stetig in ℝ, und coth x := \frac{cosh x}{sinh x} ist stetig in ℝ^{×}. Es gelten cosh^{2} x − sinh^{2} x = 1, die Additionstheoreme

cosh(x + y) = cosh x cosh y + sinh x sinh y ,
sinh(x + y) = sinh x cosh y + cosh x sinh y ,

die Potenzreihendarstellungen

cosh x = ∑_{k=0}^{∞} \frac{x^{2k}}{(2k)!} , sinh x = ∑_{k=0}^{∞} \frac{x^{2k+1}}{(2k + 1)!}

sowie der Grenzwert lim_{x→0} \frac{sinh x}{x} = 1. Weiter gilt:

i) cosh wächst streng monoton auf ℝ_{+} mit Bild cosh(ℝ) = {y ∈ ℝ : y ≥ 1}, die Umkehrfunktion ist arcosh : {y ∈ ℝ : y ≥ 1} → ℝ_{+}

ii) sinh wächst streng monoton auf ℝ mit Bild sinh(ℝ) = ℝ, die Umkehrfunktion ist arsinh : ℝ → ℝ,

iii) tanh wächst streng monoton auf ℝ mit Bild tanh(ℝ) = ] − 1, 1[, die Umkehrfunktion ist artanh : ] − 1, 1[ → ℝ.

Diese Umkehrfunktionen lassen sich durch den Logarithmus darstellen:

arcosh(x) = ln(x + \sqrt{x^{2} − 1}) ,  arsinh(x) = ln(x + \sqrt{x^{2} + 1}) ,
artanh(x) = \frac{1}{2} ln \frac{1 + x}{1 − x} .

22 Kompakte Mengen

Definition 22.1 Sei A Teilmenge eines metrischen Raumes X. Unter einer offenen Überdeckung von A versteht man eine Familie (U_{i})_{i∈I} von offenen Teilmengen U_{i} ⊆ X mit A ⊆ ⋃_{i∈I} U_{i}, d.h. zu jedem Punkt x ∈ A gibt es ein i ∈ I mit x ∈ U_{i}. i) Eine Teilmenge A eines metrischen Raumes X heißt überdeckungskompakt oder kurz kompakt, wenn es zu \underline{jeder} offenen Überdeckung (U_{i})_{i∈I} von A endlich viele Indizes i_{1}, …, i_{n} ∈ I gibt, so daß A ⊆ U_{i_{1}} ∪ ⋯ ∪ U_{i_{n}}. (Heine-Borelsche Überdeckungseigenschaft)

ii) Eine Teilmenge K eines metrischen Raums X heißt folgenkompakt, wenn jede Folge von Punkten aus K eine konvergente Teilfolge besitzt, deren Grenzwert in K liegt. (Bolzano-Weierstraß-Eigenschaft)

Es wird in i) also nicht gefordert, daß man A durch endlich viele offene Teilmengen von X überdecken kann. Das geht immer, denn A läßt sich durch X selbst überdecken, und X ist offen. Die Forderung ist, daß man jede exotische unendliche Überdeckung von A auf eine endliche Überdeckung reduzieren kann. Insbesondere wird durch Definition 22.1 für A = X die Kompaktheit und Folgenkompaktheit metrischer Räume erklärt.

Satz 22.2 Es sei X ein metrischer Raum.

i) Jede kompakte Teilmenge A ⊆ X ist auch folgenkompakt. Somit gilt der Satz von Bolzano-Weierstraß: Zu jeder Folge {y_{k}}_{k∈ℕ} von Punkten einer kompakten Teilmenge A ⊆ X gibt es ein a ∈ A sowie eine gegen a konvergente Teilfolge {y_{k_{l}}}_{l∈ℕ}.

ii) Jede folgenkompakte Teilmenge K ⊆ X ist beschränkt und abgeschlossen.

Beweis. i) Sei (a_{k})_{k∈ℕ} eine Folge von Punkten aus A und K = {a_{k} : k ∈ ℕ}. Ist K endlich, so hat (a_{k}) eine konstante Teilfolge. Sei K also unendlich. Angenommen, K hat keinen Häufungspunkt in A. Dann besitzt jeder Punkt x ∈ A eine offene Umgebung U(x) ⊆ X, die nur endlich viele Punkte aus K enthält. Die offenen Umgebungen U(x) bilden eine offene Überdeckung von A. Da A kompakt ist, genügen bereits endlich viele U(x_{1}), …, U(x_{n}) zur Überdeckung, und A enthielte nur endlich viele Punkte aus K, Widerspruch. Sei a ∈ A Häufungspunkt von K. Dann enthält jede offene Kugel um a mit Radius \frac{1}{l+1} unendlich viele Punkte aus K. Setze k_{l} := min(k : d(a_{k}, a) < \frac{1}{l+1}). Dann ist (a_{k_{l}})_{l∈ℕ} eine Teilfolge von (a_{k}), die gegen a konvergiert.

ii) Angenommen, K wäre unbeschränkt. Dann gäbe es zu beliebigem y ∈ K eine Folge (x_{k})_{k∈ℕ} mit d(x_{k}, y) > k, welche keine konvergente Teilfolge besitzt, Widerspruch.

Wäre K nicht abgeschlossen, dann gäbe es eine konvergente Folge von Punkten aus K mit Grenzwert außerhalb K. Damit konvergieren auch alle Teilfolgen gegen diesen Grenzwert außerhalb K, im Widerspruch zur Folgenkompaktheit.

□

Es läßt sich (mit erheblichem Aufwand) zeigen, daß in beliebigen metrischen Räumen kompakt und folgenkompakt äquivalent sind. In allgemeinen topologischen Räumen fallen beide Arten der Kompaktheit jedoch auseinander. Wir beschränken uns hier auf den Beweis, daß in endlich-dimensionalen normierten Vektorräumen die Umkehrung gilt, indem wir zeigen:

Satz 22.3 Für eine Teilmenge K eines endlich-dimensionalen normierten Vektorraums V sind folgende Aussagen äquivalent:

i) K ist beschränkt und abgeschlossen.

ii) K ist kompakt (Heine-Borel).

iii) K ist folgenkompakt (Bolzano-Weierstraß).

Wegen Satz 22.2 ist nur i)⇒ii) zu zeigen. Wir formulieren zunächst einen Zwischenschritt als eigenen Satz:

Satz 22.4 Sei X ein metrischer Raum, Y ⊆ X eine kompakte Teilmenge und A ⊆ Y eine abgeschlossene Teilmenge. Dann ist A kompakt.

Beweis. X \ A ist offen. Ist (U_{i})_{i∈I} eine offene Überdeckung von A, dann ist Y ⊆ X = (X \ A) ∪ ⋃_{i∈I} U_{i}. Da Y kompakt, genügen endlich viele U_{i} mit X \ A zur Überdeckung von Y und damit auch von A. □

Beweis von Satz 22.2. Sei zunächst V = ℝ^{n}. Wegen Satz 22.4 genügt es zu zeigen, daß der abgeschlossene Quader

Q = [a_{1}, b_{1}] × ⋯ × [a_{n}, b_{n}] = {(x_{1}, …, x_{n}) ∈ ℝ^{n} : a_{ν} ≤ x_{ν} ≤ b_{ν}} ⊆ ℝ^{n}

kompakt ist, denn jede beschränkte abgeschlossene Teilmenge von ℝ^{n} liegt in einem abgeschlossenen Quader.

Sei (U_{i})_{i∈I} eine unendliche offene Überdeckung von Q_{0} = Q, die nicht auf eine endliche reduziert werden kann. Durch Halbierung aller Kanten zerlegen wir Q in 2^{n} gleich große Teilquader der halben Größe. Es gibt dann mindestens einen abgeschlossenen Teilquader, den wir mit Q_{1} bezeichnen, der nicht durch endlich viele U_{i} überdeckt werden kann. Durch Wiederholung des Verfahrens finden wir eine Folge

Q = Q_{0} ⊃ Q_{1} ⊃ Q_{2} ⊃ …

von abgeschlossenen Quadern mit diam(Q_{k}) = \frac{1}{2^{k}} diam(Q), so daß jeder von ihnen nicht durch endlich viele U_{i} überdeckt werden kann.

Nach dem Intervallschachtelungsprinzip gibt es einen Punkt x ∈ Q_{k} für alle k. Dieser Punkt x liegt in irgendeiner Umgebung U_{j} mit j ∈ I. Da U_{j} offen, gibt es ein ϵ > 0, so daß K_{ϵ}(x) ⊆ U_{i}. Dann finden wir aber auch ein p ∈ ℕ mit diam(Q_{p}) = \frac{1}{2^{p}} diam(Q) < ϵ. Somit gilt Q_{p} ⊆ U_{j}, d.h. die Quader lassen sich im Widerspruch zur Annahme durch endlich viele U_{i} überdecken. Also ist Q kompakt.

Sei nun V beliebiger n-dimensionaler reeller normierter Vektorraum^{3}. Wähle eine Basis B = (v_{1}, …, v_{n}) von Vektoren v_{j} ∈ V und setze

K′ = {(λ_{1}, …, λ_{n}) : ∑_{j=1}^{n} λ_{j}v_{j} ∈ K} ⊆ ℝ^{n} .

Ist K beschränkt und abgeschlossen, so auch K′, und K′ ist kompakt. Sei (U_{i})_{i∈I} eine Überdeckung von K ⊆ V. Jede Teilmenge U_{i} ⊆ V definiert eine Teilmenge

U′_{i} = {(λ_{i1}, …, λ_{in}) : ∑_{j=1}^{n} λ_{ij}v_{j} ∈ U_{i}} ⊆ ℝ^{n} .

Dann ist (U′_{i})_{i∈I} eine Überdeckung von K′, und es gibt endlich viele Indizes i_{1}, …, i_{p} mit K′ ⊆ U′_{i_{1}} ∪ ⋯ ∪ U′_{i_{p}}. Dann ist auch K ⊆ U_{i_{1}} ∪ ⋯ ∪ U_{i_{p}}, d.h. K ist kompakt. □

Daraus ergibt sich folgende Formulierung des Satzes von Bolzano-Weierstraß:

Folgerung 22.5 Jede beschränkte Folge in einem endlich-dimensionalen normierten Vektorraum V besitzt eine konvergente Teilfolge. □

Satz 22.6 Es sei (V^{n}, ∥ ∥) ein n-dimensionaler normierter Vektorraum. Dann gilt: Die Vollkugel B^{n} := {x ∈ V^{n} : ∥x − a∥ ≤ r} ⊆ V^{n} um a ∈ V^{n} mit Radius r und die Sphäre S^{n−1} := {x ∈ V^{n} : ∥x − a∥ = r} ⊆ V^{n} sind kompakt.

Beweis. Die Norm ist nach Satz 18.9 Lipschitz-stetig mit Lipschitz-Konstante 1, also sind B^{n} und S^{n−1} abgeschlossen nach Satz 19.2, außerdem beschränkt (klar) und damit kompakt nach Satz 22.3. □

Die Umkehrung von Satz 22.2.ii) gilt nicht in beliebigen metrischen Räumen. Es läßt sich z.B. zeigen, daß die Einheitsvollkugel in einem normierten Vektorraum V genau dann kompakt ist, wenn V endlich-dimensional ist.

Nach diesen Vorbereitungen können wir eine wichtige Eigenschaft stetiger Abbildungen beweisen:

Theorem 22.7 Sei f : X → Y eine stetige Abbildung zwischen metrischen Räumen X, Y. Ist A ⊆ X kompakt, dann ist auch f(A) ⊆ Y kompakt.

Beweis. Sei (U_{i})_{i∈ℕ} eine offene Überdeckung von f(A). Aus der Stetigkeit von f folgt, daß V_{i} := f^{−1}(U_{i}) offen ist. Dann ist A ⊆ ⋃_{i∈I} V_{i}, aber tatsächlich genügen endlich viele V_{i} zur Überdeckung: A ⊆ V_{i_{1}} ∪ ⋯ ∪ V_{i_{n}}, also f(A) ⊆ U_{i_{1}} ∪ ⋯ ∪ U_{i_{n}}.

□

101 Beispiel 22.8 Die Abbildung [0, 2π[ ∋ t ↦ e^{it} ∈ S^{1} kann kein Hömöomorphismus sein, da ansonsten f^{−1}(S^{1}) nach Theorem 22.7 kompakt wäre. ◁

3Für komplexe Vektorräume identifiziere ℂ^{n} mit ℝ^{2n}.

Preliminary version – 31. Januar 2018

Aus Theorem 22.7 ergibt sich der Extremwertsatz, den wir an vielen Stellen brauchen werden:

Satz 22.9 (Extremwertsatz) Sei A ⊆ X eine kompakte Teilmenge eines metrischen Raumes X und f : X → ℝ eine stetige Funktion. Dann ist die Einschränkung f|_{A} auf A beschränkt (d.h. |f(y)| < ∞ für alle y ∈ A) und nimmt ihr Supremum und Infimum auf A an, d.h. es gibt p, q ∈ A mit

f(p) = sup{f(y) : y ∈ A}  und  f(q) = inf{f(y) : y ∈ A} .

Anders gesagt: Das Supremum ist sogar das globale Maximum, das Infimum sogar das globale Minimum der stetigen Funktion f auf A.

Beweis. Nach Satz 22.7 ist f(A) ⊆ ℝ kompakt und nach Satz 22.2 beschränkt (und abgeschlossen), besitzt also ein Supremum M und Infimum m. Nach Definition von Supremum und Infimum gibt es gegen m bzw. M konvergente Folge von Punkten aus f(A). Wegen der Abgeschlossenheit von f(A) liegen die Grenzwerte in f(A) selbst, d.h. m, M ∈ f(A). □

Der Extremwertsatz ist ein mächtiges Hilfsmittel in Beweisen. Wir können hier einen Beweis angeben für den

Theorem 22.10 (Fundamentalsatz der Algebra) Jedes Polynom vom Grad ≥ 1 mit komplexen Koeffizienten besitzt in ℂ mindestens eine Nullstelle.

Beweis. Es genügt, das Polynom f(z) = z^{n}+a_{n−1}z^{n−1}+… a_{1}z+a_{0} zu betrachten. i) Wir zeigen: |f| nimmt auf ℂ ein Minimum an. Für |z| ≥ 1 gilt:

f(z) = z^{n}(1 + r(z)) ,  r(z) := \frac{a_{n−1}}{z} + ⋯ + \frac{a_{0}}{z^{n}} ,
|r(z)| ≤ \frac{A}{|z|} mit A := |a_{n−1}| + ⋯ + |a_{0}| .

Wir erreichen |r(z)| ≤ \frac{1}{2} für |z| ≥ R := max(1, 2A) und dann |f(z)| ≥ \frac{|z|}{2} ≥ A für alle z ∈ ℂ mit |z| ≥ R. Auf der kompakten Kreisscheibe \overline{K_{0}(R)} um 0 mit Radius R nimmt die stetige Funktion |f(z)| ein Minimum an, wegen |P (0)| = |a_{0}| ≤ A ist dieses dann das Minimum in ganz ℂ.

ii) Wir zeigen: In jedem Punkt z ∈ \overline{K_{0}(R)} mit f(z) ≠ 0 hat |f(z)| kein Minimum. (Also wird das Minimum in einem Punkt z_{0} ∈ \overline{K_{0}(R)} angenommen mit |f(z_{0})| = 0.) Sei also f(z) ≠ 0. Wir betrachten das Polynom g(w) := \frac{f(w+z)}{f(z)} in w. Wegen w(0) = 1 gilt g(w) = 1 + b_{1}w^{1} + ⋯ + b_{n}w^{n}. Da f und somit g nicht konstant ist, verschwinden nicht alle b_{i}. Sei 1 ≤ k ≤ n der kleinste Index mit b_{k} ≠ 0. Durch Skalieren w ↦ βw mit einer in ℂ stets existierenden Wurzel β = (−\frac{1}{b_{k}})^{\frac{1}{k}} erreicht man g(βw) = 1−w^{k}+w^{k+1}h(w). Das so konstruierte Polynom h(w) ist auf \overline{K_{0}(R)} beschränkt, |h(w)| ≤ c mit c > 0. Somit gilt |w^{k+1}h(w)| < |w|^{k} für alle w ∈ ℂ mit 0 < |w| < min(1, \frac{1}{c}, R). Wählt man w_{0} ∈ ℝ mit 0 < w_{0} < min(1, \frac{1}{c}, R), so ergibt sich

|g(βw_{0})| ≤ 1 − w_{0}^{k} + |w_{0}^{k+1}h(w_{0})| < 1 ,

also |f(z + βw_{0})| < |f(z)|. □

Beispiel 22.11 Für reelle Zahlen a, b, c ∈ ℝ mit a, b, ab − c^{2} > 0 sei

E := {(x, y) ∈ ℝ^{2} : ax^{2} + by^{2} + 2cxy = 1} (Ellipse) .

Wir zeigen: E ist beschränkt und abgeschlossen, damit kompakt. Denn a(x + \frac{cy}{a})^{2} + \frac{ba−c^{2}}{a} y^{2} = 1 und b(y + \frac{cy}{b})^{2} + \frac{ba−c^{2}}{b} x^{2} = 1, somit sind |y| < \sqrt{\frac{a}{ba−c^{2}}} und

|x| < \sqrt{\frac{b}{ba−c^{2}}} beschränkt. Weiter ist E = f^{−1}(1) abgeschlossen als Urbild der abgeschlossen Menge {1} unter der stetigen Abbildung f : ℝ^{2} → ℝ mit f(x, y) = ax^{2} + by^{2} + 2cxy.

Folglich besitzt jede stetige Funktion f : E → ℝ auf E ein (globales) Minimum und ein (globales) Maximum. Ein Beispiel ist die Abstandsfunktion d_{(u,v)}(x, y) = \sqrt{(x − u)^{2} + (y − v)^{2}} eines festen Punkt (u, v) ∈ ℝ^{2} zu (x, y) ∈ E. Somit gilt: Es gibt einen Punkt (x_{0}, y_{0}) ∈ E, in dem der Abstand d(E, (u, v)) := inf_{(x,y)∈E} \sqrt{(x − u)^{2} + (y − v)^{2}} von (u, v) zu E minimal wird, d(E, (u, v)) = d_{(u,v)}(x_{0}, y_{0}). ◁

Definition 22.12 Seien (X, d_{X}) und (Y, d_{Y}) metrische Räume. Eine Abbildung f : X → Y heißt gleichmäßig stetig, wenn zu jedem ϵ > 0 ein δ > 0 existiert, so daß

d_{Y} (f(x_{1}), f(x_{2})) < ϵ für alle x_{1}, x_{2} ∈ X mit d_{X}(x_{1}, x_{2}) < δ .

Der Unterschied zur bisher betrachteten Stetigkeit (Definition 18.2) ist, daß δ nur von ϵ, nicht aber von einem Punkt aus X abhängt. In den Beispielen 18.4 und 18.5 hatten wir jeweils eine z_{0}-Abhängigkeit von δ erhalten. Die Beispiele 18.10 und 18.6 sind gleichmäßig stetig.

Satz 22.13 Seien X, Y metrische Räume und sei X kompakt. Dann ist jede stetige Abbildung f : X → Y auch gleichmäßig stetig.

Beweis. Sei ϵ > 0 global vorgegeben. Wegen der Stetigkeit von f gibt es zu jedem Punkt a ∈ X ein δ(a) > 0, so daß d_{Y} (f(x), f(a)) < \frac{ϵ}{2} für alle x ∈ K_{2δ(a)}(a). Zunächst ist X = ⋃_{a∈X} K_{δ(a)}(a). Da X aber kompakt ist, gibt es endlich viele Punkte a_{1}, …, a_{k} mit X = K_{δ(a_{1})}(a_{1}) ∪ ⋯ ∪ K_{δ(a_{k})}(a_{k}). Wir setzen δ := min(δ(a_{1}), …, δ(a_{k})).

Seien nun zwei Punkte x_{1}, x_{2} ∈ X mit d_{X}(x_{1}, x_{2}) < δ gegeben. Der Punkt x_{1} liege in der j-ten Umgebung, d.h. x_{1} ∈ K_{δ(a_{j})}(a_{j}). Dann ist d_{X}(x_{1}, a_{j}) < δ(a_{j}) und d_{X}(x_{2}, a_{j}) ≤ d_{X}(x_{2}, x_{1}) + d_{X}(x_{1}, a_{j}) < δ + δ(a_{j}) < 2δ(a_{j}). Aus der Stetigkeit im Punkt a_{j} folgt:

d_{Y} (f(x_{1}), f(x_{2})) ≤ d_{Y} (f(x_{1}), f(a_{j})) + d_{Y} (f(x_{2}), f(a_{j})) < ϵ

für alle x_{1}, x_{2} mit d_{X}(x_{1}, x_{2}) < δ. □

Beispiel 22.14 Die Funktion f(x) = \frac{1}{x} ist stetig in jedem Punkt x ∈ ]0, 1], aber nicht gleichmäßig stetig: Zu ϵ = 1 und δ_{n} = \frac{1}{n+1} gilt für x_{n} = \frac{δ}{2} und x′_{n} = δ einerseits |x − x′| < \frac{1}{n+1} und andererseits |f(x_{n}) − f(x′_{n})| = n + 1 ≥ 1. ◁

Zusammenfassung Teil IV

• Skalarprodukt, Ungleichung von Cauchy-Schwarz, Beispiel ℓ^{2}; Norm

• Metrik, metrische Räume, offene und abgeschlossene Teilmengen, Umgebungen

• Konvergenz von Folgen, Cauchy-Folgen, Vollständigkeit, Banach-Räume, Hilbert-Räume

• Definition 18.1 stetiger Abbildungen, äquivalente Charakterisierungen: ϵ-δ und Folgenkriterium.

• Eigenschaften stetiger Abbildungen:

– Bild zusammenhängender Mengen ist zusammenhängend: Zwischenwertsatz

– Urbild offener Mengen ist offen (äquivalent zur Stetigkeit)

– Urbild abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen (äquivalent zur Stetigkeit)

– Bild kompakter Mengen ist kompakt

– stetige Abbildungen auf kompakten Mengen sind gleichmäßig stetig

• Grenzwerte von Funktionen

• Exponentialfunktion, Logarithmus, komplexe Potenzen, trigonometrische Funktionen, hyperbolische Funktionen

• endlich-dimensionale normierte Vektorräume:

– alle Normen sind äquivalent

– sind vollständig

– beschränkte und abgeschlossene Teilmengen sind kompakt

Teil V

Differentialrechnung

23 Die Ableitung

Wir behandeln hier die Differentiation von Funktionen, die auf Intervallen I ⊆ ℝ definiert sind. Die Funktionen dürfen aber komplexwertig sein, z.B. f(x) = x^{s} für s ∈ ℂ und f(x) = e^{ix}, jeweils mit x ∈ I ⊆ ℝ.

Definition 23.1 Eine Funktion f : I → ℂ heißt differenzierbar im Punkt x_{0} ∈ I,

wenn der Grenzwert f′(x_{0}) = lim_{{x→x_{0} \atop x≠x_{0}}} \frac{f(x) − f(x_{0})}{x − x_{0}} existiert, d.h. wenn die Funkti-

on ϕ(x) = \{ \begin{matrix}\frac{f(x)−f(x_{0})}{x−x_{0}} & für x ≠ x_{0} \\ f′(x_{0}) & für x = x_{0} \end{matrix} in einer Umgebung von x_{0} stetig ist. Dieser

Grenzwert f′(x_{0}) heißt Ableitung oder Differentialquotient von f in x_{0}, manchmal auch bezeichnet mit (Df)(x_{0}) oder \frac{df}{dx}(x_{0}). Die Funktion f heißt differenzierbar in I, wenn sie in jedem Punkt x_{0} ∈ I differenzierar ist.

Äquivalent dazu ist f′(x_{0}) = lim_{{h→0 \atop h≠0}} \frac{1}{h}(f(x_{0} + h) − f(x_{0})). Dabei ist h so zu wählen,

daß x_{0} + h ∈ I gilt. Zur Vereinfachung der Schreibweise werde vereinbart, daß lim_{h→0} und lim_{x→x_{0}} stets h ≠ 0 und x ≠ x_{0} bedeuten. Für reellwertige Funktionen ist \frac{f(x)−f(x_{0})}{x−x_{0}} die Steigung der Sekante des Graphen von f durch die beiden Punkte (x, f(x)) und (x_{0}, f(x_{0})). Im Grenzübergang x → x_{0} geht die Sekante in die Tangente an den Graphen im Punkt x_{0} über.

Beispiel 23.2 Es sei a < 0 und b > 0. Die Funktion f(x) = |x| ist nicht diffe-

renzierbar in x_{0} = 0 ∈ [a, b]. Denn \frac{f(x)−f(x_{0})}{x−x_{0}} = \frac{|x|}{x} = \{ \begin{matrix}1 für & x > 0 \\ −1 für & x < 0 \end{matrix}

Zu jedem c ∈ ℂ und ϵ = \frac{1}{2} gibt es für alle δ > 0 ein x ∈ [a, b] mit |x − 0| < δ und |\frac{|x|}{x} − c| ≥ \frac{1}{2}. Dagegen wäre f(x) = |x| differenzierbar in [a, 0] und in [0, b] mit Ableitung f′(x) = −1 bzw. f′(x) = 1. ◁

Satz 23.3 i) f(x) = x^{n} für x ∈ ℝ und n ∈ ℕ ⇒ f′(x) = nx^{n−1} (und f′(x) = 0 für n = 0)

ii) f(x) = e^{cx} für x ∈ ℝ und c ∈ ℂ ⇒ f′(x) = ce^{cx}
(insbesondere f(x) = a^{x} ⇒ f′(x) = a^{x} ln a)
iii) f(x) = ln x für x ∈ ℝ_{+}^{×} ⇒ f′(x) = \frac{1}{x}

Beweis. i) \frac{ξ^{n}−x^{n}}{ξ−x} = ∑_{k=0}^{n−1} x^{k}ξ^{n−1−k}. Die rechte Seite konvergiert für ξ → x gegen nx^{n−1}.

ii) \frac{e^{c(x+h)}−e^{cx}}{h} = e^{cx} \frac{e^{ch}−1}{h}. Nach Beispiel 20.3 ist lim_{h→0} \frac{e^{ch}−1}{h} = c.

iii) \frac{ln(x+h)−ln x}{h} = \frac{1}{x} \frac{ln(1+ \frac{h}{x})}{\frac{h}{x}}. Nach Satz 21.1 ist lim_{y→0} \frac{ln(1+y)}{y} = 1. □

Satz 23.4 (Lineare Approximierbarkeit) Eine Funktion f : I → ℂ ist genau dann differenzierbar in x_{0} ∈ I, wenn es eine Konstante c ∈ ℂ gibt, so daß für die Funktion ψ : I → ℂ mit f(x) = f(x_{0})+c(x−x_{0})+ψ(x) gilt lim_{x→x_{0}} \frac{ψ(x)}{x−x_{0}} = 0. In diesem Fall ist f′(x_{0}) = c.

Beweis. (⇒) Sei f differenzierbar in x_{0} mit f′(x_{0}) = c. Für x ≠ x_{0} gilt \frac{ψ(x)}{x−x_{0}} = \frac{f(x)−f(x_{0})}{x−x_{0}} − f′(x_{0}). Der Grenzwert der rechten Seite für x → x_{0} ist 0.

(⇐) Es gelte f(x) = f(x_{0}) + c(x − x_{0}) + ψ(x) mit lim_{x→x_{0}} \frac{ψ(x)}{x−x_{0}} = 0. Dann ist 0 = lim_{x→x_{0}} (\frac{f(x)−f(x_{0})}{x−x_{0}} − c), d.h. der Grenzwert c = lim_{x→x_{0}} \frac{f(x)−f(x_{0})}{x−x_{0}} existiert. □

Für reellwertige Funktionen f : I → ℝ ist der Graph der Funktion g(x) = f(x_{0}) + f′(x_{0})(x − x_{0}) die Tangente an den Graphen von f im Punkt x_{0}.

Satz 23.5 Ist f : I → ℂ differenzierbar in x_{0} ∈ I, dann ist f in x_{0} auch stetig.

Beweis. Nach Satz 23.4 gilt insbesondere lim_{x→x_{0}} ψ(x) = 0, also lim_{x→x_{0}} f(x) = lim_{x→x_{0}} (f(x_{0}) + c(x − x_{0}) + ψ(x)) = f(x_{0}). □

Satz 23.6 Die Funktionen f, g : I → ℂ seien in x ∈ I differenzierbar. Dann sind auch f + g, f · g und für g(x) ≠ 0 auch \frac{f}{g} differenzierbar in x, und es gilt

(f + g)′(x) = f′(x) + g′(x)
(f · g)′(x) = f′(x)g(x) + f(x)g′(x)  (Produktregel bzw. Leibniz-Regel)
(\frac{f}{g})′(x) = \frac{f′(x)g(x) − f(x)g′(x)}{(g(x))^{2}}  (Quotientenregel)

Beweis. Man schreibt die Differenzenquotienten wie folgt:

\frac{(f + g)(x+h) − (f + g)(x)}{h} = \frac{f(x+h) − f(x)}{h} + \frac{g(x+h) − g(x)}{h} ,

\frac{(f · g)(x + h) − (f · g)(x)}{h} = \frac{f(x+h) − f(x)}{h}g(x+h) + f(x)\frac{g(x+h) − g(x)}{h} ,

\frac{(\frac{f}{g})(x+h) − (\frac{f}{g})(x)}{h} = \frac{1}{g(x)g(x+h)}(\frac{f(x+h) − f(x)}{h}g(x) − f(x)\frac{g(x+h) − g(x)}{h}).

Da g nach Satz 23.5 in x stetig ist, ist in der letzten Gleichung nach Satz 18.14.ii) g(x + h) ≠ 0 für δ > h > 0. Nach Satz 20.4 haben die Grenzwerte für h → 0 die behaupteten Eigenschaften. □

Beispiel 23.7 i) Polynome f(x) = ∑_{k=0}^{n} a_{k}x^{k} sind differenzierbar in jedem

Punkt x ∈ ℝ, und es gilt f′(x) = ∑_{k=1}^{n} ka_{k}x^{k−1}.

ii) Rationale Funktionen f(x) = \frac{∑_{k=0}^{n} a_{k}x^{k}}{∑_{l=0}^{m} b_{l}x^{l}} sind differenzierbar außerhalb der Nullstellen des Nennerpolynoms, und es gilt f′(x) = \frac{∑_{k=0}^{n} ∑_{l=0}^{m}(k−l)a_{k}b_{l}x^{k+l−1}}{( ∑_{l=0}^{m} b_{l}x^{l})^{2}} . Insbesondere gilt für die in der Partialbruchzer-

legung (Satz 9.10) entstehenden elementaren Funktionen g(x) = \frac{1}{(x−a)^{k}}, daß g′(x) = \frac{−k}{(x−a)^{k+1}} .

iii) cos, sin sind als Summen von Exponentialfunktionen differenzierbar in jedem Punkt x ∈ ℝ, und es gilt cos′(x) = − sin(x) und sin′(x) = cos(x). (Verwende \frac{1}{2}(e^{ix} + e^{−ix})′ = \frac{1}{2}(ie^{ix} − ie^{−ix}) und analog für sin).

iv) tan und cot sind als Quotienten der differenzierbaren Funktionen sin und cos differenzierbar in jedem Punkt des Definitionsbereiches, und es gilt tan′(x) = \frac{sin′(x) cos(x)−sin(x) cos′(x)}{cos^{2}(x)} = \frac{1}{cos^{2}(x)} und cot′(x) =

\frac{cos′(x) sin(x)−cos(x) sin′(x)}{sin^{2}(x)} = −\frac{1}{sin^{2}(x)}. ◁

Satz 23.8 (Kettenregel) Die Funktion f : I → J ⊆ ℝ sei differenzierbar in x_{0} ∈ I, und die Funktion g : J → ℂ sei differenzierbar in f(x_{0}) ∈ J. Dann ist auch die zusammengesetzte Funktion g ∘ f : I → ℂ differenzierbar in x_{0}, und es gilt (g ∘ f)′(x_{0}) = g′(f(x_{0})) · f′(x_{0}).

Beweis. Sei y_{0} := f(x_{0}) und γ(y) := \{ \begin{matrix}\frac{g(y)−g(y_{0})}{y−y_{0}} für & y ≠ y_{0} \\ g′(y_{0}) für & y = y_{0} \end{matrix} . Nach Vorausset-

zung ist γ : J → ℂ stetig in y_{0}, und es gilt g(y) − g(y_{0}) = (y − y_{0})γ(y) für alle y ∈ J. Dann erhalten wir

(g ∘ f)′(x_{0}) = lim_{x→x_{0}} \frac{g(f(x)) − g(f(x_{0}))}{x − x_{0}} = lim_{x→x_{0}} \frac{γ(f(x)) · (f(x) − f(x_{0}))}{x − x_{0}}

= lim_{x→x_{0}} γ(f(x)) · lim_{x→x_{0}} \frac{f(x) − f(x_{0})}{x − x_{0}}

= γ(f(x_{0})) · f′(x_{0}) = g′(f(x_{0}) · f′(x_{0}) .  □

Beispiel 23.9 i) Für f(x) = x^{z} mit z ∈ ℂ und x ∈ ℝ_{+}^{×} gilt f′(x) = zx^{z−1}: Setze g(y) = e^{zy} und g̃(x) = ln x, dann ist f(x) = (g ∘ g̃)(x) = e^{z ln x} und

f′(x) = ze^{z ln x} · \frac{1}{x}.

ii) Für f(x) = \sqrt{1 + x} mit x > −1 gilt f′(x) = \frac{1}{2\sqrt{1+x}}: Setze g(y) = y^{\frac{1}{2}} mit g′(y) = \frac{1}{2}y^{\frac{1}{2} −1} und g̃(x) = 1 + x. ◁

Satz 23.10 (Differentiation der Umkehrfunktion) Es sei g = f^{−1} die Umkehrfunktion einer streng monotonen Funktion f : I → ℝ. Ist f differenzierbar in y_{0} ∈ I mit f′(y_{0}) ≠ 0, dann ist g differenzierbar in x_{0} := f(y_{0}), und es gilt

g′(x_{0}) = \frac{1}{f′(y_{0})} = \frac{1}{f′(g(x_{0}))}.

Beweis. Wie im Beweis von Satz 23.8 ist ϕ(y) := \{ \begin{matrix}\frac{f(y)−f(y_{0})}{y−y_{0}} für & y ≠ y_{0} \\ f′(y_{0}) für & y = y_{0} \end{matrix} eine in

y_{0} stetige Funktion ϕ : I → ℝ mit f(y) − f(y_{0}) = (y − y_{0})ϕ(y) für alle y ∈ I und f′(y_{0}) = ϕ(y_{0}). Wegen der strengen Monotonie von f und ϕ(y_{0}) ≠ 0 ist ϕ(y) ≠ 0 für alle y ∈ I. Dann folgt mit y := g(x) und x = f(y)

\frac{y − y_{0}}{f(y) − f(y_{0})} = \frac{g(x) − g(x_{0})}{x − x_{0}} = \frac{1}{ϕ(g(x))} .

Für x → x_{0} folgt aus der Stetigkeit von g in x_{0} und der Stetigkeit von ϕ in y_{0} = g(x_{0}) die Behauptung. □

Beispiel 23.11 i) arctan′(x) = \frac{1}{1+x^{2}} . Sei y := arctan x, so gilt arctan′(x) = \frac{1}{tan′(y)} = cos^{2} y = \frac{cos^{2} y}{cos^{2} y+sin^{2} y} = \frac{1}{1+tan^{2} y} = \frac{1}{1+x^{2}} .

ii) arcsin′(x) = \frac{1}{\sqrt{1−x^{2}}} für x ∈ ] − 1, 1[. Mit y = arcsin x und y ∈ ] − \frac{π}{2}, \frac{π}{2}[ gilt arcsin′(x) = \frac{1}{sin′(y)} = \frac{1}{cos y} = \frac{1}{\sqrt{1−sin^{2} y}} = \frac{1}{\sqrt{1−x^{2}}} . ◁

Satz 23.12 Es seien f_{n} : I → ℂ differenzierbare und Lipschitz-stetige Funktionen mit 0 ≤ \frac{|f_{n}(x)−f_{n}(y)|}{|x−y|} ≤ L_{n} < ∞ für alle n ∈ ℕ und alle x, y ∈ I. Wenn

i) ∑_{n=0}^{∞} f_{n}(x) konvergent ist in jedem Punkt x ∈ I und

ii) ∑_{n=0}^{∞} f′_{n}(x_{0}) und ∑_{n=0}^{∞} L_{n} konvergent sind,

dann ist die Funktion f = ∑_{n=0}^{∞} f_{n} in x_{0} differenzierbar, und es gilt f′(x) = ∑_{n=0}^{∞} f′_{n}(x).

Insbesondere ist jede Potenzreihe f(x) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n} mit Konvergenzradius R > 0 in jedem Punkt x ∈ ] − R, R[ differenzierbar, und es gilt f′(x) = ∑_{n=1}^{∞} na_{n}x^{n−1}.

Beweis. Zu ϵ > 0 gibt es ein N ∈ ℕ, so daß gleichzeitig gilt ∑_{n=N+1}^{∞} L_{n} < \frac{ϵ}{3} und | ∑_{n=N+1}^{∞} f′(x_{0})| < \frac{ϵ}{3}. Dann gilt für beliebige x ∈ I \ \{x_{0}\}

|\frac{f(x) − f(x_{0})}{x − x_{0}} − ∑_{n=0}^{∞} f′_{n}(x_{0})| = | ∑_{n=0}^{∞} (\frac{f_{n}(x) − f_{n}(x_{0})}{x − x_{0}} − f′_{n}(x_{0}))|

≤ ∑_{n=0}^{N} |\frac{f_{n}(x) − f_{n}(x_{0})}{x − x_{0}} − f′_{n}(x_{0})| + ∑_{n=N+1}^{∞} L_{n} + | ∑_{n=N+1}^{∞} f′(x_{0})| .

Wegen der Differenzierbarkeit der f_{n} mit 0 ≤ n ≤ N gibt es ein gemeinsames δ > 0, so daß ∑_{n=0}^{N} |\frac{f_{n}(x)−f_{n}(x_{0})}{x−x_{0}} −f′_{n}(x_{0})| < \frac{ϵ}{3} für alle x ∈ I \\{x_{0}\} mit |x−x_{0}| < δ.

Somit ist |\frac{f(x)−f(x_{0})}{x−x_{0}} − ∑_{n=0}^{∞} f′_{n}(x_{0})| < ϵ für alle x ∈ I mit |x − x_{0}| < δ.

Für Potenzreihen ist f_{n} = a_{n}x^{n}, und für x, y ∈ ] − r, r[ mit 0 < r < R gilt |\frac{a_{n}x^{n}−a_{n}y^{n}}{x−y} | = | ∑_{k=0}^{n−1} a_{n}x^{k}y^{n−1−k}| ≤ n|a_{n}|r^{n−1} =: L_{n}. Nach dem Wurzelkriterium und lim_{n→∞} \sqrt[n]{n} = 1 besitzt die Reihe ∑_{n=1}^{∞} na_{n}x^{n−1} den gleichen Konvergenzradius R, so daß die Reihen ∑_{n=1}^{∞} f′_{n}(x_{0}) = ∑_{n=1}^{∞} na_{n}x_{0}^{n−1} mit |x_{0}| < r und ∑_{n=1}^{∞} L_{n} = ∑_{n=1}^{∞} na_{n}r^{n−1} konvergieren. Dann folgt die Behauptung aus dem allgemeinen Teil mit I = ] − r, r[, denn jeder Punkt −R < x_{0} < R liegt in I für r = \frac{|x_{0}|+R}{2} < R. □

Beispiel 23.13 Die Funktionen f(x) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{cos(nx)}{n^{s}} und g(x) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{sin(nx)}{n^{s}} sind für alle s > 2 differenzierbar in ℝ mit f′(x) = − ∑_{n=1}^{∞} \frac{sin(nx)}{n^{s−1}} und g′(x) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{cos(nx)}{n^{s−1}}.

Zum Beweis der Lipschitz-Bedingung verwende man |\frac{cos(nx)−cos(ny)}{x−y} | = \frac{2}{|x−y|}| sin \frac{n(x+y)}{2}|| sin \frac{n(x−y)}{2}| ≤ n sup_{r∈ℝ_{+}^{×}} |\frac{sin r}{r} | ≤ n sup_{r∈]0, \frac{π}{2} ]} |\frac{sin r}{r} | = n. Der letzte

Schritt folgt aus lim_{r→0} \frac{sin r}{r} = 1 und 1 > \frac{sin r}{r} > 1 − \frac{r^{2}}{6} für r ∈ ]0, \frac{π}{2}] nach dem Leibniz-Kriterium. Analog für g. ◁

24 Lokale Extrema, Mittelwertsatz

Extrema von Funktionen lassen sich zunächst für beliebige Definitionsbereiche definieren; für Intervalle liefert dann die Differenzierbarkeit ein wichtiges Kriterium.

Definition 24.1 Sei X metrischer Raum. Eine Funktion f : X → ℝ hat in x_{0} ∈ X

i) ein globales Maximum bzw. globales Minimum, wenn f(x) ≤ f(x_{0}) bzw. f(x) ≥ f(x_{0}) für alle x ∈ X,

ii) ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum, wenn es eine Umgebung U von

x_{0} gibt mit f(x) ≤ f(x_{0}) bzw. f(x) ≥ f(x_{0}) für alle x ∈ U ∩ X. Ein lokales/globales Extremum ist ein lokales/globales Minimum oder Maximum. Gilt in i) und ii) das Gleichheitszeichen nur für den Punkt x = x_{0}, so hat f in x_{0} ein strenges Extremum.

Satz 24.2 Eine Funktion f : ]a, b[ → ℝ besitze in x_{0} ∈ ]a, b[ ein lokales Extremum und sei differenzierbar in x_{0}. Dann gilt f′(x_{0}) = 0.

Beweis. (für lokales Maximum) Es gibt eine Umgebung U von x mit f(x) − f(x_{0}) ≤ 0 für alle x ∈ U, und U enthält Punkte x > x_{0} und Punkte y < x_{0}. Somit gilt

\frac{f(x) − f(x_{0})}{x − x_{0}} ≤ 0 für alle x ∈ U mit x > x_{0}
\frac{f(y) − f(x_{0})}{y − x_{0}} ≥ 0 für alle y ∈ U mit y < x_{0}

109 Da f in x_{0} differenzierbar ist, folgt aus beiden Ungleichungen f′(x_{0}) = 0. □

Preliminary version – 31. Januar 2018

Bemerkungen:

i) Stetige Funktionen f : [a, b] → ℝ nehmen ihr globales Maximum und Minimum an. Als Kandidaten dieser Extremalpunkte kommen die Randpunkte a, b und, falls f differenzierbar ist, die Lösungen von f′(x) = 0 in Frage. Für ein globales Extremum an Randpunkten a oder b muß f′(a) = 0 bzw. f′(b) = 0 nicht gelten.

ii) f′(x) = 0 ist notwendig, aber nicht hinreichend für das Vorliegen eines lokalen Extremums im Punkt x. Z.B. gilt für f(x) = x^{3} zwar f′(0) = 0, aber f besitzt als streng monoton wachsende Funktion kein lokales Extremum.

Beispiel 24.3 (Fermatsches Prinzip und Brechungsgesetz) Gesucht ist der schnellste Weg zwischen einem Punkt (0, h_{1}) und einem Punkt (a, −h_{2}), wenn der Betrag der Geschwindigkeit v_{1} ist in M_{1} := ℝ × ℝ_{+}^{×} und v_{2} in M_{2} := ℝ × ℝ_{−}^{×}, und die Bewegung in M_{1} und M_{2} geradlinig verläuft.

Die Zeit für einen Weg durch (x, 0) ist t(x) = \frac{1}{v_{1}} \sqrt{h_{1}^{2} + x^{2}}+ \frac{1}{v_{2}} \sqrt{h_{2}^{2} + (a − x)^{2}}. Diese Funktion ist in ]0, a[ differenzierbar. Liegt ein lokales Extremum in x ∈ ]0, a[ vor, so gilt dort

0 = t′(x) = \frac{1}{v_{1}} \frac{x}{\sqrt{h_{1}^{2} + x^{2}}} − \frac{1}{v_{2}} \frac{a − x}{\sqrt{h_{2}^{2} + (a − x)^{2}}} ,

also die geometrische Bedingung \frac{v_{1}}{v_{2}} = \frac{sin α_{1}}{sin α_{2}} .

[figure: α_{1}; α_{2}; h_{1}; −h_{2}; x; 0; a] ◁

Satz 24.4 (Mittelwertsatz der Differentialrechnung) Die Funktion f : [a, b] → ℝ sei stetig auf dem kompakten Intervall [a, b] und differenzierbar auf

dem offenen Intervall ]a, b[. Dann gibt es ein ξ ∈ ]a, b[ mit \frac{f(b) − f(a)}{b − a} = f′(ξ).

Ein wichtiger Spezialfall ist der Satz von Rolle: Gilt zusätzlich f(a) = f(b), so gibt es ein ξ ∈ ]a, b[ mit f′(ξ) = 0.

Beweis. i) für den Satz von Rolle. Ist f konstant auf [a, b], so ist f′(ξ) = 0 für alle ξ ∈ ]a, b[. Ansonsten nimmt f als stetige Funktion nach dem Extremwertsatz ein Maximum und ein Minimum an, und zumindest eines ist von f(a) = f(b) verschieden. Damit wird dieses Extremum in einem Punkt ξ ∈ ]a, b[ angenommen, und wegen der Differenzierbarkeit von f in ξ gilt f′(ξ) = 0.

ii) Man betrachte die Funktion F (x) = f(x) − \frac{f(b)−f(a)}{b−a}(x − a). Diese ist wie f stetig auf [a, b] und differenzierbar auf ]a, b[, außerdem gilt F (a) = F (b) = f(a). Nach dem Satz von Rolle gibt es ξ ∈ ]a, b[ mit 0 = F′(ξ) = f′(ξ) − \frac{f(b)−f(a)}{b−a}. □

Wir geben später einige Folgerungen. Eine nützliche Methode zur Berechnung von Grenzwerten erfordert eine leichte Verallgemeinerung:

Satz 24.5 (Verallgemeinerter Mittelwertsatz) Die Funktionen f, g : [a, b] → ℝ seien stetig auf [a, b] und differenzierbar auf ]a, b[, und es gelte g′(x) ≠ 0 für alle x ∈ ]a, b[. Dann ist g(a) ≠ g(b), und es gibt ein ξ ∈ ]a, b[

mit \frac{f(b) − f(a)}{g(b) − g(a)} = \frac{f′(ξ)}{g′(ξ)}.

Beweis. Wäre g(b) = g(a), so gäbe es nach dem Satz von Rolle ein ξ ∈ ]a, b[ mit g′(ξ) = 0, Widerspruch. Wir können deshalb den Satz von Rolle auf die Funktion

F (x) = f(x) − \frac{f(b) − f(a)}{g(b) − g(a)}(g(x) − g(a)) anwenden. Es gilt F (a) = F (b) = f(a),

also gibt es ein ξ ∈ ]a, b[ mit 0 = F′(ξ) = f′(ξ) − \frac{f(b) − f(a)}{g(b) − g(a)}g′(ξ). □

Die folgende Rechenregel erlaubt in vielen Fällen eine einfache Berechnung von Grenzwerten:

Satz 24.6 (Regel von de l’Hospital) Die Funktionen f, g : ]a, b[ → ℝ seien differenzierbar, und es gelte g′(x) ≠ 0 für alle x ∈ ]a, b[. In beiden Fällen

i) lim_{x↘a} f(x) = 0 und lim_{x↘a} g(x) = 0
ii) lim_{x↘a} f(x) = ∞ und lim_{x↘a} g(x) = ∞

gilt: Existiert der Grenzwert lim_{x↘a} \frac{f′(x)}{g′(x)}, so existiert auch lim_{x↘a} \frac{f(x)}{g(x)}, und es gilt

lim_{x↘a} \frac{f(x)}{g(x)} = lim_{x↘a} \frac{f′(x)}{g′(x)}. Analog für x ↗ b sowie x → ∞ und x → −∞.

Beweis. i) Definieren wir f(a) := 0 und g(a) := 0, so sind die Funktionen f, g stetig in a. Damit sind zu jedem x ∈ ]a, b[ die Voraussetzungen des verallgemeinerten Mittelwertsatzes für f, g : [a, x] → ℝ erfüllt, und es existiert ein ξ ∈ ]a, x[ mit \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f′(ξ)}{g′(ξ)}. Nach Voraussetzung existiert der Limes x ↘ a und hat die behauptete Eigenschaft.

ii) Nach Existenz des rechtsseitigen Grenzwertes A := lim_{x↘a} \frac{f′(x)}{g′(x)} gibt es

zu ϵ > 0 ein δ > 0, so daß für alle x ∈ ]a, a + δ[ gilt |\frac{f′(x)}{g′(x)} − A| < ϵ. Nach dem verallgemeinerten Mittelwertsatz gilt dann auch |\frac{f(x)−f(y)}{g(x)−g(y)} − A| < ϵ für alle x, y ∈ ]a, a + δ[ mit x ≠ y. Wir betrachten

\frac{f(x)}{g(x)} − \frac{f(x) − f(y)}{g(x) − g(y)} = \frac{f(x) − f(y)}{g(x) − g(y)}(\frac{1 − \frac{g(y)}{g(x)}}{1 − \frac{f(y)}{f(x)}} − 1) .

Wir halten y fest und lassen x gegen a gehen. Wegen lim_{x↘a} f(x) = ∞ und

lim_{x↘a} g(x) = ∞ gibt es ein δ′ mit 0 < δ′ < y − a < δ, so daß |\frac{1− \frac{g(y)}{g(x)}}{1− \frac{f(y)}{f(x)}} − 1| < \frac{ϵ}{|A|+ϵ}

für alle x ∈ ]a, a + δ′[. Damit ergibt sich

|\frac{f(x)}{g(x)} − A| ≤ |\frac{f(x)}{g(x)} − \frac{f(x) − f(y)}{g(x) − g(y)}| + |\frac{f(x) − f(y)}{g(x) − g(y)} − A|

< |\frac{f(x) − f(y)}{g(x) − g(y)}||\frac{1 − \frac{g(y)}{g(x)}}{1 − \frac{f(y)}{f(x)}} − 1| + ϵ < 2ϵ

für alle x ∈ ]a, a + δ′[. □

Beispiel 24.7 Gesucht sei lim_{x→2} \frac{\sqrt{x^{2}+x+3}−3}{sin( \frac{πx}{2} )}. Zähler und Nenner sind differenzierbar in offenen Intervallen ]2−ϵ, 2[ und ]2, 2+ϵ[ oberhalb und unterhalb des Häufungspunkts 2, und (sin(\frac{πx}{2}))′ = \frac{π}{2} cos(\frac{πx}{2}) ≠ 0 für alle x ∈ ]2−ϵ, 2[ oder x ∈ ]2, 2+ϵ[. Wir betrachten

\frac{(\sqrt{x^{2} + x + 3} − 3)′}{(sin(\frac{πx}{2}))′} = \frac{\frac{2x+1}{2\sqrt{x^{2}+x+3}}}{\frac{π}{2} cos(\frac{πx}{2})} =: q(x) .

Die Funktion q(x) ist stetig in ]2−ϵ, 2+ϵ[ mit q(2) = \frac{5}{2\sqrt{9}· \frac{π}{2} ·cos π} = −\frac{5}{3π}, somit

lim_{x↘2} q(x) = lim_{x↗2} q(x) = −\frac{5}{3π}. Insgesamt sind alle Voraussetzungen der Regel von de l’Hospital erfüllt, so daß

q(2) = lim_{x↘2} \frac{\sqrt{x^{2} + x + 3} − 3}{sin(\frac{πx}{2})} = lim_{x↗2} \frac{\sqrt{x^{2} + x + 3} − 3}{sin(\frac{πx}{2})} = lim_{x→2} \frac{\sqrt{x^{2} + x + 3} − 3}{sin(\frac{πx}{2})}
= −\frac{5}{3π} .  ◁

Nun zu Folgerungen des Mittelwertsatzes.

Satz 24.8 (Schrankensatz) Es sei f : [a, b] → ℂ stetig und differenzierbar auf ]a, b[ mit beschränkter Ableitung |f′(x)| ≤ L für alle x ∈ ]a, b[. Dann ist f Lipschitz-stetig mit Lipschitz-Konstanten L, d.h. |f(x)−f(y)| ≤ L|x−y| für alle x, y ∈ [a, b].

Für reellwertige differenzierbare Funktionen f : [a, b] → ℝ gilt unter sonst gleichen Voraussetzungen: Ist m ≤ f′(x) ≤ M für alle x ∈ ]a, b[, so gilt m(x_{2} − x_{1}) ≤ f(x_{2}) − f(x_{1}) ≤ M(x_{2} − x_{1}) für alle x_{1}, x_{2} ∈ [a, b] mit x_{1} ≤ x_{2}.

Beweis. ii) Die Aussage für reelle Funktionen ist eine Umformulierung des Mittelwertsatzes, insbesondere werden für m, M nur innere Punkte ξ ∈ ]a, b[ benötigt.

i) Sei f(x) ≠ f(y), insbesondere x ≠ y, sonst ist nichts zu zeigen. Setze c := \frac{|f(x)−f(y)|}{f(x)−f(y)} ∈ ℂ mit |c| = 1 und ϕ := Re(cf). Nach dem Mittelwertsatz gibt es zu x, y ∈ [a, b] ein ξ ∈ ]x, y[ mit ϕ(x) − ϕ(y) = (x − y)ϕ′(ξ). Somit gilt

|f(x) − f(y)| = cf(x) − cf(y) = ϕ(x) − ϕ(y) = (x − y)ϕ′(ξ)

≤ |x − y| sup_{ξ∈]x,y[} |ϕ′(x)| ≤ L|x − y|

wegen |Re(cf′)(x)| ≤ |f′(x)| ≤ L. □

Satz 24.9 Sei f : [a, b] → ℂ stetig und differenzierbar in ]a, b[ mit f′(x) = 0 für alle x ∈ ]a, b[. Dann ist f konstant.

Insbesondere gilt: Zwei differenzierbare Funktionen f, g : [a, b] → ℂ mit f′(x) = g′(x) für alle x ∈ ]a, b[ unterscheiden sich nur um eine Konstante, f − g = const.

Beweis. Nach dem Schrankensatz ist f(x) = f(y) für alle x, y ∈ [a, b]. Der zweite Teil folgt aus dem ersten für die Funktion f − g. □

Als Anwendung geben wir eine weitere Charakterisierung der Exponentialfunktion als eindeutige Lösung einer Differentialgleichung zu gegebener Anfangsbedingung:

Satz 24.10 Es sei f : ℝ → ℂ eine differenzierbare Funktion, und es gelte f′(x) = cf(x) für alle x ∈ ℝ und ein c ∈ ℂ. Ist f(0) =: A ∈ ℂ, so gilt f(x) = A e^{cx}.

Beweis. Für F (x) := f(x)e^{−cx} gilt nach Produktregel F′(x) = f′(x)e^{−cx} − cf(x)e^{−cx} = 0 für alle x ∈ ℝ. Dann ist F nach Satz 24.9 eine konstante Funktion, also F (x) = F (0) = f(0) = A für alle x ∈ ℝ. Also gilt f(x) = A e^{cx} für alle x ∈ ℝ. □

Wir können nun eine Lücke im Beweis von Satz 21.2 schließen:

Beweis von Lemma 21.3. Für x ∈ ℝ sei f(x) = B_{sx}(z) für s, z ∈ ℂ mit |z| < 1 und s ≠ 0. Dann gilt nach Multiplikationssatz (14.6)

f′(x) = lim_{h→0} \frac{B_{s(x+h)}(z) − B_{sx}(z)}{h} = sB_{sx}(z) lim_{h→0} \frac{B_{sh}(z) − 1}{sh} .

Die in Satz 21.2 eingeführten Definition lim_{s→0} \frac{B_{s}(z)−1}{s} = L(z) führt ebenso auf lim_{h→0} \frac{B_{sh}(z)−1}{sh} = L(z), also f′(x) = sL(z)f(x) und damit B_{sx}(z) = exp(sxL(z)) für alle x ∈ ℝ. □

Satz 24.11 Für alle x ∈ ] − 1, 1[ gilt

arcsin x = ∑_{k=0}^{∞} \binom{−\frac{1}{2}}{k}(−1)^{k} \frac{x^{2k+1}}{2k + 1} .

Beweis: Die Funktionen f(x) = arcsin x und g(x) = ∑_{k=0}^{∞} \binom{−\frac{1}{2}}{k}(−1)^{k} \frac{x^{2k+1}}{2k + 1} sind

auf ] − 1, 1[ differenzierbar, und es gilt

f′(x) = \frac{1}{\sqrt{1 − x^{2}}} = (1 − x^{2})^{− \frac{1}{2}} = ∑_{k=0}^{∞} \binom{−\frac{1}{2}}{k}(−x^{2})^{k} = g′(x) .

Damit ist f(x) − g(x) = f(0) − g(0) = 0 eine Konstante. □

Fortsetzung mit §22: Kompakte Mengen

25 Monotonie, höhere Ableitungen, Konvexität

Satz 25.1 (Monotoniekriterium) Es sei f : [a, b] → ℝ stetig und in ]a, b[ differenzierbar. Dann gilt:

f′ > 0 in ]a, b[ ⇒ f wächst in ]a, b[ streng monoton,
f′ < 0 in ]a, b[ ⇒ f fällt in ]a, b[ streng monoton,
f′ ≥ 0 in ]a, b[ ⇔ f wächst in ]a, b[ monoton,
f′ ≤ 0 in ]a, b[ ⇔ f fällt in ]a, b[ monoton.

Beweis. (⇒) folgt jeweils aus dem Mittelwertsatz bzw. Schrankensatz. (⇐) folgt aus Definition des Grenzwertes. □

Das Beispiel der streng monoton wachsenden Funktion f(x) = x^{3} mit f′(0) = 0 zeigt, daß in den ersten beiden Implikationen in Satz 25.1 die Umkehrungen (⇐) nicht gelten.

Die Ableitung f′ : I → ℂ einer auf I ⊆ ℝ differenzierbaren Funktion f : I → ℂ kann erneut auf Differenzierbarkeit in x_{0} ∈ I untersucht werden, und gegebenenfalls heißt die Ableitung von f′ in x_{0} die zweite Ableitung von f in x_{0}. Man schreibt f′′(x_{0}) = (f′)′(x_{0}) oder auch (DDf)(x_{0}) oder \frac{d^{2}f}{dx} (x_{0}). Die n-te Ableitung f^{(n)} von f wird dann rekursiv definiert als f^{(n)}(x_{0}) := (f^{(n−1)})′(x_{0}), falls f^{(n−1)} in x_{0} differenzierbar ist. Dabei ist f^{(0)}(x_{0}) := f(x_{0}) und f^{(1)}(x_{0}) := f′(x_{0}). Ist die n-te Ableitung f^{(n)} stetig, so heißt f n-mal stetig differenzierbar.

Existiert f^{(n)} für alle n ∈ ℕ, so heißt f beliebig oft differenzierbar (Stetigkeit ist automatisch). Nach Satz 23.12 ist jede Potenzreihe f(x) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n} beliebig oft differenzierbar im Inneren ihres Konvergenzkreises, und dort gilt f^{(k)}(x) = ∑_{n=k}^{∞} \frac{n!}{(n − k)!}a_{n}x^{n−k}. Die Menge der beliebig oft differenzierbaren Funktionen ist

“größer” als die Menge der durch Potenzreihen darstellbaren Funktionen. Eine nützliche beliebig oft auf ℝ differenzierbare Funktion ist die Einschaltfunktion

f(x) := \{ \begin{matrix}e^{− \frac{1}{x}} für & x > 0 \\ 0 für & x ≤ 0 \end{matrix}

Satz 25.2 Eine in ]a, b[ differenzierbare Funktion f : ]a, b[ → ℝ sei in x_{0} ∈ ]a, b[ zweimal differenzierbar, und es gelte f′(x_{0}) = 0 sowie f′′(x_{0}) ≠ 0. Dann besitzt f in x_{0} ein strenges lokales Extremum, und zwar ein strenges lokales Minimum für f′′(x_{0}) > 0 bzw. ein strenges lokales Maximum für f′′(x_{0}) < 0.

Beweis. (für f′′(x_{0}) > 0). Wegen f′′(x_{0}) = lim_{x→x_{0}} \frac{f′(x) − f′(x_{0})}{x − x_{0}} > 0 gibt es ein

ϵ > 0, so daß unter Verwendung von f′(x_{0}) = 0 gilt \frac{f′(x)}{x − x_{0}} > 0 für alle x ∈ ]a, b[

mit 0 < |x − x_{0}| < ϵ. Nach Satz 25.1 ist f′ in ]x_{0} − ϵ, x_{0}[ streng monoton fallend und in ]x_{0}, x_{0} + ϵ[ streng monoton wachsend, besitzt also in x_{0} ein strenges lokales Minimum. □

Definition 25.3 Eine Funktion f : I → ℝ heißt konvex auf dem Intervall I ⊆ ℝ, wenn für alle x_{1} < x_{2} ∈ I und alle λ ∈ ]0, 1[ gilt

f(λx_{1} + (1 − λ)x_{2}) ≤ λf(x_{1}) + (1 − λ)f(x_{2}) .

Gilt sogar die Relation ‘<’, so heißt f streng konvex. Eine Funktion f : I → ℝ heißt (streng) konkav, wenn −f (streng) konvex ist.

Setzen wir x = λx_{1} + (1 − λ)x_{2}, dann ist x_{1} < x < x_{2} und λ = \frac{x−x_{2}}{x_{1}−x_{2}} . Somit ist x ↦ λf(x_{1}) + (1 − λ)f(x_{2}) = f(x_{2}) + \frac{f(x_{1})−f(x_{2})}{x_{1}−x_{2}}(x − x_{2}) die Sekante durch (x_{1}, f(x_{1})) und (x_{2}, f(x_{2})). Folglich bedeutet Konvexität, daß (x, f(x)) unterhalb der Sekante durch (x_{1}, f(x_{1})) und (x_{2}, f(x_{2})) liegt, und zwar für beliebige x_{1}, x_{2} ∈ I mit x_{1} < x < x_{2}.

[figure: f(x_{1}); f(x_{2}); x_{1}; x; x_{2}; 0]

Die Definition von Konvexität erfordert keine Differenzierbarkeit: Z.B: ist f(x) = |x| in jedem Punkt x ∈ ℝ konvex. Für differenzierbare Funktionen haben wir Satz 25.4 (Konvexitätskriterium) Eine in [a, b] stetige und in ]a, b[ differenzierbare Funktion f ist genau dann konvex in [a, b], wenn f′ in ]a, b[ monoton wächst.

Beweis. (⇒) Sei f konvex und x_{1} < x_{2} Punkte aus ]a, b[. Dann gilt f(x) ≤ f(x_{2}) + \frac{f(x_{1})−f(x_{2})}{x_{1}−x_{2}}(x − x_{2}) = f(x_{1}) + \frac{f(x_{1})−f(x_{2})}{x_{1}−x_{2}}(x − x_{1}) für alle x ∈ ]x_{1}, x_{2}[, also

\frac{f(x) − f(x_{1})}{x − x_{1}} ≤ \frac{f(x_{2}) − f(x_{1})}{x_{2} − x_{1}} ≤ \frac{f(x_{2}) − f(x)}{x_{2} − x} .

Für x ↘ x_{1} einerseits und x ↗ x_{2} andererseits folgt aus der Differenzierbarkeit

in x_{1}, x_{2} die Relation f′(x_{1}) ≤ \frac{f(x_{2}) − f(x_{1})}{x_{2} − x_{1}} ≤ f′(x_{2}). Da x_{1} < x_{2} beliebig sind,

wächst f′ monoton.

(⇐) Sei f′ monoton wachsend und x_{1} < x < x_{2} Punkte aus [a, b]. Nach dem Mittelwertsatz gibt es Punkte ξ_{1} ∈ ]x_{1}, x[ und ξ_{2} ∈ ]x, x_{2}[ mit

\frac{f(x) − f(x_{1})}{x − x_{1}} = f′(ξ_{1}) und \frac{f(x_{2}) − f(x)}{x_{2} − x} = f′(ξ_{2}) .

Es ist ξ_{1} < ξ_{2} und damit f′(ξ_{1}) ≤ f′(ξ_{2}), also \frac{f(x)−f(x_{1})}{x−x_{1}} ≤ \frac{f(x_{2})−f(x)}{x_{2}−x} für alle x ∈ ]x_{1}, x_{2}[. Dann ist x−x_{1} = (1−λ)(x_{2}−x_{1}) und x_{2}−x = λ(x_{2}−x_{1}) für λ ∈ ]0, 1[, also λ(f(x) − f(x_{1})) ≤ (1 − λ)(f(x_{2}) − f(x)) und dann f(λx_{1} + (1 − λ)x_{2}) ≤ λf(x_{1}) + (1 − λ)f(x_{2}). □

Satz 25.5 Es sei f : [a, b] → ℝ stetig und zweimal differenzierbar in ]a, b[. Dann gilt:

i) f′′ ≥ 0 in ]a, b[ ⇔ f ist konvex in [a, b].
ii) f′′ > 0 in ]a, b[ ⇒ f ist streng konvex in [a, b].

Beweis. i) ist Satz 25.1 für f′ zusammen mit Satz 25.4.

ii) f ist zumindest konvex. Wäre f nicht streng konvex, so gibt es x_{1} < x < x_{2} ∈ [a, b] mit \frac{f(x)−f(x_{1})}{x−x_{1}} = \frac{f(x_{2})−f(x_{1})}{x_{2}−x_{1}} = \frac{f(x_{2})−f(x)}{x_{2}−x}. Nach dem Mittelwertsatz gibt es dann Punkte ξ_{1} ∈ ]x_{1}, x[ und ξ_{2} ∈ ]x, x_{2}[ mit

f′(ξ_{1}) = \frac{f(x) − f(x_{1})}{x − x_{1}} = \frac{f(x_{2}) − f(x)}{x_{2} − x} = f′(ξ_{2}) ,

im Widerspruch zur strengen Monotonie von f′ nach Satz 25.1 für f′. □

Beispiel 25.6 Die Funktionen f(x) = x^{2n} mit n ∈ ℕ^{×} sind streng konvex auf ℝ wegen f′′(x) = 2n(2n − 1)x^{2n−2} > 0. Ebenso ist f(x) = e^{x} streng konvex auf ℝ wegen f′′(x) = e^{x} > 0. Schließlich ist f(x) = ln x streng konkav auf ℝ_{+}^{×}, da (− ln x)′′ = \frac{1}{x^{2}} > 0. ◁ Satz 25.7 (Höldersche Ungleichung) Für reelle Zahlen p, q > 1 mit \frac{1}{p}+\frac{1}{q} = 1 seien Folgen x = (x_{k})_{k∈ℕ} und y = (y_{k})_{k∈ℕ} reeller oder komplexer Zahlen gegeben mit

∥x∥_{p} := ( ∑_{k=0}^{∞} |x_{k}|^{p})^{\frac{1}{p}} < ∞ , ∥y∥_{q} := ( ∑_{k=0}^{∞} |y_{k}|^{q})^{\frac{1}{q}} < ∞ .

Dann konvergiert die Reihe ∑_{k=0}^{∞} x_{k}y_{k} absolut, und es gilt die Höldersche Ungleichung

| ∑_{k=0}^{∞} x_{k}y_{k}| ≤ ∑_{k=0}^{∞} |x_{k}y_{k}| ≤ ∥x∥_{p} ∥y∥_{q} .

Speziell gilt für endliche Folgen

| ∑_{k=1}^{n} x_{k}y_{k}| ≤ ∑_{k=1}^{n} |x_{k}y_{k}| ≤ ( ∑_{k=1}^{n} |x_{k}|^{p})^{\frac{1}{p}} ( ∑_{k=1}^{n} |y_{k}|^{q})^{\frac{1}{q}} für \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 .

Beweis. i) Wir zeigen zunächst: Für beliebige a, b ∈ ℝ_{+}^{×} und p, q wie oben gilt

a^{\frac{1}{p}} · b^{\frac{1}{q}} ≤ \frac{a}{p} + \frac{b}{q} .  (*)

Die Funktion f(x) = − ln x ist konvex auf ℝ_{+}^{×}, also gilt mit λ = \frac{1}{p} und (1−λ) = \frac{1}{q}

− ln (\frac{a}{p} + \frac{b}{q}) ≤ −\frac{1}{p} ln a − \frac{1}{q} ln b = − ln (a^{\frac{1}{p}} · b^{\frac{1}{q}} ) .

Durch Exponentieren folgt die Behauptung.

ii) Für x_{k} = 0 für alle k oder y_{k} = 0 für alle k ist im Satz nichts zu zeigen.

Ansonsten sei ξ_{k} := \frac{|x_{k}|^{p}}{∥x∥_{p}^{p}} und η_{k} := \frac{|y_{k}|^{q}}{∥y∥_{q}^{q}}. Es gilt

ξk^{\frac{1}{p}} · ηk^{\frac{1}{q}} ≤ \frac{ξ_{k}}{p} + \frac{η_{k}}{q}

nach (*) für ξ_{k}, η_{k} ≠ 0 bzw. trivialerweise für ξ_{k} = 0 oder η_{k} = 0. Wegen ∑_{k=0}^{∞} ξ_{k} = 1 und ∑_{k=0}^{∞} η_{k} = 1 hat die Reihe ∑_{k=0}^{∞} \frac{|x_{k}|·|y_{k}|}{∥x∥_{p}·∥y∥_{q}} die konvergente Majorante ∑_{k=0}^{∞} (\frac{ξ_{k}}{p} + \frac{η_{k}}{q} ), und es gilt

∑_{k=0}^{∞} \frac{|x_{k}| · |y_{k}|}{∥x∥_{p} · ∥y∥_{q}} = ∑_{k=0}^{∞} ξk^{\frac{1}{p}} · ηk^{\frac{1}{q}} ≤ ∑_{k=0}^{∞} (\frac{ξ_{k}}{p} + \frac{η_{k}}{q} ) = \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 ,

also ∑_{k=0}^{∞} |x_{k}y_{k}| ≤ ∥x∥_{p}·∥y∥_{q}. Schließlich hat die Reihe ∑_{k=0}^{∞} x_{k}y_{k} die konvergente Majorante ∑_{k=0}^{∞} |x_{k}y_{k}|, ist damit selbst konvergent und erfüllt die Höldersche Ungleichung. □

Für p = q = 2 ist das die Ungleichung von Cauchy-Schwarz. Allgemein ergibt sich Satz 25.8 (Minkowskische Ungleichung) Sei p > 1. Dann gilt für beliebige Folgen x = (x_{k})_{k∈ℕ} und y = (y_{k})_{k∈ℕ} mit ∥x∥_{p} < ∞ und ∥y∥_{p} < ∞ die Minkowskische Ungleichung

∥x + y∥_{p} ≤ ∥x∥_{p} + ∥y∥_{p} .

Damit ist ℓ^{p} := {x = (x_{k})_{k∈ℕ} : ∥x∥_{p} < ∞} für jedes p ≥ 1 ein normierter Vektorraum bezüglich ∥ ∥_{p}, und insbesondere definiert ∥(x_{1}, …, x_{n})∥_{p} := ( ∑_{k=1}^{n} |x_{k}|^{p})^{\frac{1}{p}} eine Norm auf ℝ^{n} oder ℂ^{n}.

Beweis. Setze z_{k} := |x_{k} + y_{k}|^{p−1}, dann gilt |z_{k}|^{q} = |x_{k} + y_{k}|^{pq−q} = |x_{k} + y_{k}|^{p}. Nach Dreiecksungleichung und Hölderscher Ungleichung gilt für jedes N ∈ ℕ

∑_{k=0}^{N} |x_{k} + y_{k}|^{p} = ∑_{k=0}^{N} |x_{k} + y_{k}||z_{k}| ≤ ∑_{k=0}^{N} |x_{k}z_{k}| + ∑_{k=0}^{N} |y_{k}z_{k}|

≤ (( ∑_{k=0}^{N} |x_{k}|^{p})^{\frac{1}{p}} + ( ∑_{k=0}^{N} |y_{k}|^{p})^{\frac{1}{p}} )( ∑_{k=0}^{N} |z_{k}|^{q})^{\frac{1}{q}}

≤ (∥x∥_{p} + ∥y∥_{p})( ∑_{k=0}^{N} |x_{k} + y_{k}|^{p})^{\frac{1}{q}} .

Für x_{k} + y_{k} = 0 für alle k ist nichts zu zeigen, ansonsten folgt mit 1 − \frac{1}{q} = \frac{1}{p}

( ∑_{k=0}^{N} |x_{k} + y_{k}|^{p})^{\frac{1}{p}} ≤ ∥x∥_{p} + ∥y∥_{p} .

Somit ist die monoton wachsende Folge \{( ∑_{k=0}^{N} |x_{k} + y_{k}|^{p})^{\frac{1}{p}} \}_{N∈ℕ} durch ∥x∥_{p} + ∥y∥_{p} beschränkt, so daß der Limes N → ∞ existiert und die Minkowskische Ungleichung erfüllt. □

Eine weitere wichtige Anwendung der Konvexität ist das Newtonsche Iterationsverfahren zur numerischen Berechnung von Nullstellen.

Satz 25.9 (Newtonsches Iterationsverfahren) Eine stetige und konvexe Funktion f : [a, b] → ℝ mit f(a) < 0 und f(b) > 0 sei zweimal differenzierbar in ]a, b[. Dann gilt:

i) Es gibt genau ein ξ ∈ ]a, b[ mit f(ξ) = 0.

ii) Ist x_{0} ∈ ]a, b[ ein beliebiger Punkt mit f(x_{0}) ≥ 0, dann ist die durch

x_{n+1} := x_{n} − \frac{f(x_{n})}{f′(x_{n})}

rekursiv definierte Folge (x_{n})_{n∈ℕ} wohldefiniert und konvergiert monoton fallend gegen ξ.

Bemerkung: Analoge Aussagen gelten für konkave Funktionen und/oder für f(a) > 0 und f(b) < 0. Man kann zeigen, daß das Verfahren quadratisch konvergiert, d.h. x_{n} approximiert ξ für große n auf 2n Dezimalstellen genau.

Beweis. i) Nach dem Zwischenwertsatz gibt es zumindest eine Nullstelle ξ von f in ]a, b[. Außerdem gibt es nach dem Extremwertsatz in q ∈ [a, b] ein globales Minimum mit f(q) ≤ f(x) für alle x ∈ [a, b]. Damit ist f(q) < 0. Ist q ≠ a, so hat f in q ein lokales Minimum, d.h. es gilt f′(q) = 0. Nach Satz 25.4 und Satz 25.5 ist f′ monoton wachsend in ]a, b[, also gilt f′(x) ≤ 0 für alle x ∈ [a, q]. Somit liegen alle Nullstellen von f in ]q, b[.

Angenommen, es gäbe zwei Nullstellen ξ_{1} < ξ_{2}. Nach dem Mittelwertsatz gibt es ein t ∈ ]q, ξ_{1}[ mit f′(t) = \frac{f(ξ_{1})−f(q)}{ξ_{1}−q} = \frac{−f(q)}{ξ_{1}−q} > 0. Daraus folgt f′(x) > 0 für alle x ∈ [t, b[, insbesondere ist f in [ξ_{1}, b] streng monoton wachsend und kann keine zweite Nullstelle besitzen.

ii) Für den Anfangspunkt der Folge gilt x_{0} ≥ ξ. Wir zeigen durch vollständige Induktion f(x_{n}) ≥ 0 und ξ ≤ x_{n} ≤ x_{n−1} für alle n ≥ 1.

a) Aus x_{n} ≥ ξ folgt f′(x_{n}) ≥ f′(ξ) > 0, also \frac{f(x_{n})}{f′(x_{n})} ≥ 0 und somit x_{n+1} =

x_{n} − \frac{f(x_{n})}{f′(x_{n})} ≤ x_{n}.

b) Die Funktion ϕ_{n}(x) := f(x)−f(x_{n})−f′(x_{n})(x−x_{n}) beschreibt die Differenz von f(x) zur ihrer Tangenten in x_{n}. Es gilt ϕ′_{n}(x) = f′(x)−f′(x_{n}), also ϕ′_{n}(x) ≤ 0 für x ≤ x_{n}. Aus ϕ_{n}(x_{n}) = 0 folgt dann ϕ_{n}(x) ≥ 0 für x ≤ x_{n}, insbesondere

0 ≤ ϕ_{n}(x_{n+1}) = f(x_{n+1}) − f(x_{n}) − f′(x_{n})(x_{n+1} − x_{n}) = f(x_{n+1}) .

Damit ist x_{n+1} ≥ ξ, so daß (x_{n})_{n∈ℕ} eine monoton fallende und durch ξ nach unten beschränkte Folge ist. Sei x^{∗} := lim_{n→∞} x_{n} ihr Grenzwert, dann folgt aus der Stetigkeit von f und f′ (wegen Existenz von f′′) in ]a, b[ die Gleichung x^{∗} =

x^{∗} − \frac{f(x^{∗})}{f′(x^{∗})}, also f(x^{∗}) = 0 und damit x^{∗} = ξ. □

Beispiel 25.10 Für k ∈ ℕ mit k ≥ 2 und a ∈ ℝ_{+}^{×} betrachten wir die durch f(x) = x^{k} − a definierte Funktion f : ℝ_{+} → ℝ. Diese ist konvex auf ℝ_{+} mit f(0) = −a < 0 und f(1 + a) > 0. Das Newtonsche Iterationsverfahren zur Berechnung der Nullstellen ist damit anwendbar und liefert die Folge

x_{n+1} := x_{n} − \frac{x_{n}^{k} − a}{kx_{n}^{k−1}} = \frac{1}{k}((k − 1)x_{n} + \frac{a}{x_{n}^{k−1}} ) ,

die für einen beliebigen Startwert x_{0} mit x_{0}^{k} ≥ a monoton fallend gegen \sqrt[k]{a} konvergiert. (Wählt man 0 < x_{0}^{k} < a, dann ist x_{1}^{k} > a, und das Verfahren konvergiert ebenfalls. Siehe Satz 10.14.) ◁

26 Taylor-Polynome und Taylor-Reihen

Nach Satz 23.4 liefern Funktionswert f(x_{0}) und Ableitung f′(x_{0}) einer differenzierbaren Funktion f : I → ℂ eine lineare Approximation der Funktion in der Nähe des Punktes x_{0} mit Kontrolle des Fehlers. Die Taylorsche Formel beschreibt eine polynomiale Approximation der Funktion:

Satz 26.1 (Taylorsche Formel) Es sei f : I → ℂ eine (n + 1)-mal stetig differenzierbare Funktion und a ∈ I. Dann gibt es zu jedem x ∈ I ein ξ ∈ ]a, x[ bzw. ξ ∈ ]x, a[, so daß

f(x) = f(a) + \frac{f′(a)}{1!}(x−a) + \frac{f′′(a)}{2!}(x−a)^{2} + ⋯ + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x−a)^{n} + R_{n+1}(x) ,
R_{n+1}(x) = \frac{f^{(n+1)}(ξ)}{(n + 1)!}(x − a)^{n+1} .

Beweis. Nach Zerlegung in Real- und Imaginärteil können wir uns auf reellwertige Funktionen beschränken. Für n = 0 handelt es sich um den Mittelwertsatz der Differentialrechnung. Sei also n ≥ 1 und z.B. x > a fest gewählt. Wir definieren eine Funktion g : I → ℝ durch

g(t) = f(t) − f(a) − ∑_{k=1}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(t − a)^{k} − M(t − a)^{n+1} .

Wählen wir

M = \frac{1}{(x − a)^{n+1}} (f(x) − f(a) − ∑_{k=1}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x − a)^{k}) ,

dann gilt g(x) = 0. Nach Voraussetzung ist g eine (n + 1)-mal stetig differenzierbare Funktion auf I, und es gilt g(a) = 0 und g^{(k)}(a) = 0 für alle k = 1, …, n.

Nach dem Satz von Rolle gibt es ein ξ_{1} ∈ ]x, a[ mit g′(ξ_{1}) = 0. Im nächsten Schritt gibt es wieder nach Rolle wegen g′(a) = 0 ein ξ_{2} ∈ ]ξ_{1}, a[ mit g′′(ξ_{2}) = 0. Schließlich gibt es ein ξ = ξ_{n+1} ∈ ]ξ_{n}, a[ ⊆ ]x, a[ mit

0 = g^{(n+1)}(ξ) = f^{(n+1)}(ξ) − (n + 1)!M

Also ist M = \frac{f^{(n+1)}(ξ)}{(n+1)!} für ein ξ ∈ ]x, a[. □

Für eine mindestens (n + 1)-mal stetig differenzierbare Funktion f heißt

(T_{n}f)(x; a) := f(a) + \frac{f′(a)}{1!}(x−a) + \frac{f′′(a)}{2!}(x−a)^{2} + ⋯ + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x−a)^{n}

das Taylor-Polynom n-ter Ordnung von f mit Entwicklungspunkt a, und R_{n+1}(x)

heißt das Restglied (n + 1)-ter Ordnung. Für Potenzreihen f(x) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n} mit Konvergenzradius R > 0 stimmt wegen f^{(k)}(0) = k!a_{k} das Taylor-Polynom N-ter Ordnung von f mit der bei N abgebrochenen Potenzreihe überein, d.h.

(T_{N}f)(x; 0) = ∑_{n=0}^{N} a_{n}x^{n} für |x| < R.

Damit liefert die Taylorsche Formel Fehlerabschätzungen der folgenden Art:

Beispiel 26.2 Für f(x) = sin x gilt f^{(2k)}(x) = (−1)^{k} sin x und f^{(2k+1)}(x) = (−1)^{k} cos x, d.h. |f^{(n)}(ξ)| ≤ 1 für alle ξ ∈ ℝ und alle n ∈ ℕ. Unter Verwendung der Sinus-Reihe gilt somit für alle x ∈ ℝ und n ∈ ℕ

| sin x − ∑_{k=0}^{n} \frac{(−1)^{k}x^{2k+1}}{(2k + 1)!} | ≤ \frac{|x|^{2n+3}}{(2n + 3)!} .  ◁

Satz 26.3 (hinreichendes Kriterium für lokale Extrema) Es sei f : I → ℝ eine (n+1)-mal stetig differenzierbare Funktion. In einem inneren Punkt a ∈ I gelte f′(a) = ⋯ = f^{(n)}(a) = 0, aber f^{(n+1)}(a) ≠ 0. Dann hat f im Punkt a

i) ein strenges lokales Minimum, falls n ungerade ist und f^{(n+1)}(a) > 0;

ii) ein strenges lokales Maximum, falls n ungerade ist und f^{(n+1)}(a) < 0;

iii) kein lokales Extremum, falls n gerade ist.

Beweis. Einsetzen der Voraussetzungen in die Taylorsche Formel mit ergibt f(x) = f(a) + \frac{f^{(n+1)}(ξ)}{(n+1)!}(x − a)^{n+1} für ein ξ zwischen x und a. Wegen der Stetigkeit von f^{(n+1)} gibt es nach Satz 18.14.ii) eine Umgebung U ⊆ I von a, in der f^{(n+1)}(ξ) das gleiche Vorzeichen wie f^{(n+1)}(a) hat. Ist n + 1 gerade und f^{(n+1)}(a) > 0, so folgt f(x) > f(a) für alle x ∈ U \ {a}, d.h. f hat in a ein strenges lokales Minimum. Analog für ii). Ist dagegen n + 1 ungerade und z.B. f^{(n+1)}(a) > 0, so folgt f(x) < f(a) für x < a und f(x) > f(a) für x > a, d.h. f hat in a kein lokales Extremum. □

Satz 26.4 Es sei f : I → ℂ eine n-mal stetig differenzierbare Funktion und a ∈ I. Dann gibt es eine stetige Funktion r : I → ℂ mit r(a) = 0 und f(x) = (T_{n}f)(x; a) + (x − a)^{n}r(x).

Beweis. Stetigkeit von r in x ≠ a folgt aus der Definition, so daß nur lim_{x→a} r(x) = 0 zu zeigen ist. Nach Zerlegung in Real- und Imaginärteil genügt der Beweis für reellwertige Funktionen. Mit der Taylorschen Formel gilt

(f(x) − (T_{n−1}f)(x; a)) − \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x − a)^{n} = \frac{f^{(n)}(ξ)}{n!}(x − a)^{n} − \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x − a)^{n}

für ein ξ zwischen x und a, d.h. r(x) = \frac{f^{(n)}(ξ(x)) − f^{n}(a)}{n!} für x ≠ a. Mit x → a

geht auch ξ(x) → a, so daß aus der Stetigkeit von f^{(n)} folgt lim_{x→a} r(x) = 0. □

Für diese Eigenschaft ist das Landau-Symbol “o” gebräuchlich, f(x) = (T_{n}f)(x; a) + o((x − a)^{n}). Darunter versteht man

f(x) = o(g(x)) für x → a  ⇔  lim_{x→a} \frac{f(x)}{g(x)} = 0 .

Definition 26.5 Es sei f : I → ℂ eine beliebig oft differenzierbare Funktion. Die

Potenzreihe (T f)(x; a) := ∑_{k=0}^{∞} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x−a)^{k} heißt die Taylor-Reihe von f im Punkt

a ∈ I. Konvergiert (T f)(x; a) gegen f(x) für alle x aus einer Umgebung U ⊆ I von a, so sagt man: f besitzt in U eine Taylor-Entwicklung um a.

Warnung: Die Taylor-Reihe ist ein formaler Ausdruck! Während die Taylorsche Formel mit Restglied exakt gilt, muß die Taylor-Reihe für x ≠ a nicht konvergieren (der Konvergenzradius ist dann 0), und selbst wenn die Taylor-Reihe konvergiert, muß (T f)(x; a) nicht gleich f(x) sein!

Beispiel 26.6 Wir erinnern an die schon in Abschnitt 25 eingeführte Einschaltfunktion

f(x) := \{ \begin{matrix}e^{− \frac{1}{x}} für & x > 0 \\ 0 für & x ≤ 0 \end{matrix}

Die Ableitungen in x > 0 sind von der Form f^{(n)}(x) = P_{n}(\frac{1}{x})e^{− \frac{1}{x}}) für ein Polynom P_{n} vom Grad 2n in \frac{1}{x}, denn nach Produkt- und Kettenregel ist

f^{(n+1)}(x) = (P_{n}(\frac{1}{x})e^{− \frac{1}{x}} )′ = ( − P′_{n}(\frac{1}{x})\frac{1}{x^{2}} + P_{n}(\frac{1}{x})\frac{1}{x^{2}} )e^{− \frac{1}{x}} .

Dabei ist die Ableitung P′ des Polynoms ein Polynom (2n − 1)-ter Ordnung. Somit ist lim_{x↘0} f^{(n+1)}(x) = 0 für alle n ∈ ℕ und folglich (T f)(x; 0) = 0 ≠ f(x).

◁

Ist eine Funktion f durch eine Potenzreihe darstellbar, so stimmt die Taylor-Reihe (innerhalb des Konvergenzkreises) mit f überein. Insbesondere lassen sich die im Laufe des Semesters hergeleiteten Potenzreihen reproduzieren:

e^{x} = ∑_{k=0}^{∞} \frac{x^{k}}{k!} ,  x ∈ ℝ ,

cos x = ∑_{k=0}^{∞} \frac{(−1)^{k}x^{2k}}{(2k)!} ,  x ∈ ℝ ,

sin x = ∑_{k=0}^{∞} \frac{(−1)^{k}x^{2k+1}}{(2k + 1)!} ,  x ∈ ℝ ,

cosh x = ∑_{k=0}^{∞} \frac{x^{2k}}{(2k)!} ,  x ∈ ℝ ,

sinh x = ∑_{k=0}^{∞} \frac{x^{2k+1}}{(2k + 1)!} ,  x ∈ ℝ ,

(1 + x)^{α} = ∑_{k=0}^{∞} \binom{α}{k}x^{k} ,  x ∈ ℝ für α ∈ ℕ , x ∈ ] − 1, 1[ für α ∈ ℂ ,

ln(1 + x) = ∑_{k=1}^{∞} \frac{(−1)^{k−1}x^{k}}{k} ,  x ∈ ] − 1, 1] ,

arctan x = ∑_{k=0}^{∞} \frac{(−1)^{k−1}x^{2k+1}}{2k + 1} ,  x ∈ [−1, 1] ,

arcsin x = ∑_{k=0}^{∞} \binom{−\frac{1}{2}}{k}(−1)^{k} \frac{x^{2k+1}}{2k + 1} ,  x ∈ ] − 1, 1[ .

Zu beachten ist, daß einige dieser Potenzreihen sogar für komplexe Zahlen x ∈ ℂ \ ℝ gelten, während wir die Differentiation nur im Reellen eingeführt hatten.

Beispiel 26.7 Man kann zeigen, daß die Funktion \frac{z}{e^{z}−1} in einer Umgebung von 0 in eine Potenzreihe entwickelbar ist,

\frac{z}{e^{z} − 1} = \frac{1}{1 + ∑_{n=1}^{∞} \frac{z^{n}}{(n+1)!}} = ∑_{k=0}^{∞} \frac{B_{k}}{k!} z^{k} .

Die Entwicklungskoeffizienten B_{k} heißen Bernoulli-Zahlen. Offenbar ist B_{0} = 1 und B_{1} = −\frac{1}{2}. Ferner gilt

\frac{z}{e^{z} − 1} − B_{1}z = \frac{z}{2} \frac{e^{z} + 1}{e^{z} − 1} = \frac{z}{2} coth \frac{z}{2} ,

d.h. \frac{z}{e^{z}−1} − B_{1}z ist eine gerade Funktion, so daß alle ungeraden Koefizienten B_{2k+1} = 0 mit k ≥ 1 verschwinden. Ersetzt man z ↦ 2ix, so folgt die Cotangens-Reihe

cot x = \frac{1}{x} + ∑_{k=1}^{∞}(−1)^{k} \frac{4^{k}}{(2k)!}B_{2k}x^{2k−1} .

Mittels tan x − cot x = \frac{sin^{2} x−cos^{2} x}{sin x cos x} = −2 cot(2x) folgt daraus die Tangens-Reihe

tan x = ∑_{k=1}^{∞}(−1)^{k−1} \frac{4^{k}(4^{k} − 1)}{(2k)!}B_{2k}x^{2k−1} .  ◁

27 Partielle Ableitungen

Wir betrachten Funktionen mehrerer Veränderlicher, also Abbildungen f : U → ℂ oder f : U → ℝ mit U ⊆ ℝ^{n}. Partielle Ableitungen von f sind gewöhnliche Ableitungen, die man erhält, wenn alle Komponenten von x = (x_{1}, …, x_{n}) ∈ U bis auf eine festgehalten werden.

Definition 27.1 Sei U ⊆ ℝ^{n} offen. Eine Funktion f : U → ℂ heißt im Punkt x ∈ U partiell differenzierbar in der j-ten Koordinatenrichtung, falls der Grenzwert

(∂_{j}f)(x) := lim_{{h→0 \atop h≠0}} \frac{1}{h}(f(x + he_{j}) − f(x))

existiert. Dabei ist e_{j} ∈ ℝ^{n} der j-te Einheitsvektor und h ist so zu wählen, daß x + he_{j} ∈ U. Der Grenzwert (∂_{j}f)(x) heißt die j-te partielle Ableitung von f in x.

Eine Funktion f : U → ℂ heißt partiell differenzierbar, falls (∂_{j}f)(x) für alle x ∈ U und alle 1 ≤ j ≤ n existiert, und stetig partiell differenzierbar, falls alle Funktionen ∂_{j}f : U → ℂ stetig sind.

Oft schreibt man auch \frac{∂f}{∂x_{j}} an Stelle von ∂_{j}f. Zur Existenz des Grenzwertes muß U nicht notwendig offen sein.

Die partielle Ableitung erfüllt die Leibniz-Regel: Seien f, g : U → ℂ partiell differenzierbare Funktionen auf U, dann gilt

(∂_{j}(f · g))(x) = (∂_{j}f)(x) · g(x) + f(x) · (∂_{j}g)(x) , x ∈ U .

Beispiel 27.2 Es sei f : ℝ^{2} → ℝ gegeben durch f(x_{1}, x_{2}) = e^{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}} sin x_{1}. Dann ist (∂_{1}f)(x_{1}, x_{2}) = (2x_{1} sin x_{1} + cos x_{1})e^{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}} und (∂_{2}f)(x_{1}, x_{2}) = 2x_{2} sin x_{1}e^{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}.

◁

Beispiel 27.3 Die partielle Ableitung des Radius r(x) := ∥x∥ = \sqrt{x_{1}^{2} + ⋯ + x_{n}^{2}} in der j-ten Koordinatenrichtung ist nach der Kettenregel

\frac{∂r}{∂x_{j}} (x_{1}, …, x_{n}) = \frac{1}{2\sqrt{x_{1}^{2} + ⋯ + x_{n}^{2}}} · 2x_{j} = \frac{x_{j}}{r} .

Damit ist r : ℝ^{n} \ \{0\} → ℝ partiell differenzierbar mit (∂_{j}r)(x) = \frac{x_{j}}{r}.

Entsprechend ist nach der Kettenregel jede differenzierbare Funktion f(r) des Radius, aufgefaßt als Funktion f : ℝ^{n} \ {0} → ℝ, partiell differenzierbar mit (∂_{i}f)(x) = x_{j} \frac{f′(r)}{r}. Zum Beispiel sind für f(r) = e^{−ar^{2}} die partiellen Ableitungen gegeben durch (∂_{j}f)(x) = −2ax_{j}f(r). ◁

Das folgende Beispiel zeigt, daß aus der partiellen Differenzierbarkeit einer Funktion nicht die Stetigkeit folgt.

Beispiel 27.4 Es sei f : ℝ^{2} → ℝ gegeben durch

f(x_{1}, x_{2}) = \{ \begin{matrix}\frac{x_{1}x_{2}}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}} & für (x_{1}, x_{2}) ≠ (0, 0) \\ 0 & für (x_{1}, x_{2}) = (0, 0) \end{matrix}

Dann ist f auf ℝ^{2} \ {(0, 0)} partiell differenzierbar mit

(∂_{1}f)(x_{1}, x_{2}) = \frac{x_{2}}{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}} − \frac{2x_{1}^{2}x_{2}}{(x_{1}^{2} + x_{2}^{2})^{2}} = \frac{x_{2}(x_{2}^{2} − x_{1}^{2})}{(x_{1}^{2} + x_{2}^{2})^{2}}

und analog

(∂_{2}f)(x_{1}, x_{2}) = \frac{x_{1}(x_{1}^{2} − x_{2}^{2})}{(x_{1}^{2} + x_{2}^{2})^{2}} .

Im Nullpunkt haben wir

(∂_{1}f)(0, 0) = lim_{h→0} \frac{f(h, 0)−f(0, 0)}{h} = 0 , (∂_{2}f)(0, 0) = lim_{h→0} \frac{f(0, h)−f(0, 0)}{h} = 0 ,

so daß f auf dem gesamten ℝ^{2} partiell differenzierbar ist. Jedoch ist f nicht stetig in (0, 0). Die Folge (y_{k})_{k∈ℕ} mit y_{k} = (\frac{1}{k+1}, \frac{1}{k+1}) konvergiert gegen (0, 0), aber

f(y_{k}) = \frac{\frac{1}{k+1} · \frac{1}{k+1}}{(\frac{1}{k+1})^{2} + (\frac{1}{k+1})^{2}} = \frac{1}{2}

konvergiert nicht gegen f(0) = 0. ◁

Wir werden im 3. Semester sehen, daß stetig partiell differenzierbare Funktionen gute Eigenschaften haben.

Die partielle Ableitung einer partiell differenzierbaren Funktion kann nochmals partiell differenziert werden, usw. Induktiv definieren wir:

Definition 27.5 Sei U ⊆ ℝ^{n} offen und k ∈ ℕ^{×}. Eine Funktion f : U → ℂ heißt (k+1)-mal partiell differenzierbar, wenn sie k-mal partiell differenzierbar ist und alle partiellen Ableitungen ∂_{i_{k}} … ∂_{i_{1}}f partiell differenzierbar sind. Sind die partiellen Ableitungen ∂_{i_{k+1}}∂_{i_{k}} … ∂_{i_{1}}f stetig, so heißt f eine (k+1)-mal stetig partiell differenzierbare Funktion.

Satz 27.6 (Schwarz) Sei U ⊆ ℝ^{n} offen und f : U → ℂ eine zweimal stetig partiell differenzierbare Funktion. Dann vertauschen die zweiten partiellen Ableitungen, d.h. für alle a ∈ U und alle i, j = 1, …, n gilt

(∂_{i}∂_{j}f)(a) = (∂_{j}∂_{i}f)(a) .

Beweis. Nach Zerlegung in Real- und Imaginärteil kann f : U → ℝ angenommen werden. Der Übersichtlichkeit wegen sei i = 1, j = 2 (kann durch Umnumerieren der Koordinaten immer erreicht werden) und dann n = 2 (die weiteren Komponenten sind festgehalten und spielen keine Rolle).

Für gegebenes δ > 0 sei W_{δ}(a) ⊆ U ⊆ ℝ^{2} der offene Würfel mit Kantenlänge 2δ und Mittelpunkt a = (x_{0}, y_{0}). Es sei (x, y) ein beliebiger Punkt von W_{δ}, d.h. |x − x_{0}| < δ und |y − y_{0}| < δ. Für festgehaltenes y sei F_{y}(x) = f(x, y) − f(x, y_{0}). Nach dem Mittelwersatz der Differentialrechnung gibt es einen Punkt ξ ∈]x_{0} − δ, x_{0} + δ[, so daß

F_{y}(x) − F_{y}(x_{0}) = F′_{y}(ξ) · (x − x_{0})
⇒ f(x, y)−f(x, y_{0})−f(x_{0}, y)+f(x_{0}, y_{0}) = (∂_{1}f)(ξ, y) − (∂_{1}f)(ξ, y_{0})) · (x−x_{0}) .

Wir nutzen den Mittelwertsatz nochmals für die Funktion G_{ξ}(y) := (∂_{1}f)(ξ, y). Es gibt also ein η ∈]y_{0} − δ, y_{0} + δ[, so daß

G_{ξ}(y) − G_{ξ}(y_{0}) = G′_{ξ}(η) · (y − y_{0})
⇒ (∂_{1}f)(ξ, y) − (∂_{1}f)(ξ, y_{0}) = (∂_{2}∂_{1}f)(ξ, η) · (y − y_{0}) .

Insgesamt gibt es somit ein (ξ, η) ∈ W_{δ} mit

f(x, y)−f(x, y_{0})−f(x_{0}, y)+f(x_{0}, y_{0}) = (∂_{2}∂_{1}f)(ξ, η) · (x − x_{0})(y − y_{0}) .

Wir können aber auch erst x festhalten und den Mittelwertsatz in y anwenden, und als letztes den Mittelwertwsatz in x. Im Ergebnis gibt es einen neuen Punkt (ξ̃, η̃) ∈ W_{δ} mit

f(x, y)−f(x, y_{0})−f(x_{0}, y)+f(x_{0}, y_{0}) = (∂_{1}∂_{2}f)(ξ̃, η̃) · (x − x_{0})(y − y_{0}) .

Somit gilt (∂_{2}∂_{1}f)(ξ, η) = (∂_{1}∂_{2}f)(ξ̃, η̃). Lassen wir δ gegen 0 streben, so konvergieren (ξ, η) und (ξ̃, η̃) gegen (x, y), und aus der vorausgesetzten Stetigkeit der zweiten partiellen Ableitungen folgt (∂_{2}∂_{1}f)(x, y) = (∂_{1}∂_{2}f)(x, y). □

Entsprechend können bei k-mal stetig partiell differenzierbaren Funktionen die partiellen Ableitungen in beliebiger Reihenfolge geschrieben werden:

∂_{i_{1}} … ∂_{i_{k}}f = ∂_{π(i_{1})} … ∂_{π(i_{k})}f

für eine beliebige Permutation π der Indizes i_{1}, …, i_{k}, denn jede Permutation läßt sich durch Vertauschen benachbarter Elemente darstellen. Es ist deshalb auch üblich, die mehrfachen partiellen Ableitungen zu schreiben als

∂_{i_{1}} … ∂_{i_{k}}f = \frac{∂^{k}f}{∂x_{i_{1}} … ∂x_{i_{k}}} .

Eine Verallgemeinerung der partiellen Ableitung ist die Richtungsableitung:

Definition 27.7 Sei U ⊆ ℝ^{n} offen, x ∈ U und v ∈ ℝ^{n} ein Vektor. Dann heißt der Differentialquotient

(D_{v}f)(x) := lim_{{t→0 \atop t≠0}} \frac{f(x + tv) − f(x)}{t}

die Richtungsableitung der Funktion f : U → ℝ im Punkt x in Richtung v.

Insbesondere sind die partiellen Ableitungen die Richtungsableitungen in Richtung der Standardbasisvektoren, (D_{e_{i}}f)(x) = (∂_{i}f)(x). Damit folgt aus der Existenz aller Richtungsableitungen die partielle Differenzierbarkeit. Die Umkehrung gilt nicht. Nach Zerlegung v = ∑_{i=1}^{n} v_{i}e_{i} und Aufteilen der Diagonalen von x nach x + tv in eine Summe über die Kanten des entsprechenden Quaders kann man (D_{v}f)(x) = ∑_{i=1}^{n} v_{i}(∂_{i}f)(x) zeigen.

28 Vektorfelder, Gradient, Divergenz, Rotation, Laplace

Definition 28.1 Sei U ⊆ ℝ^{n} offen und f : U → ℝ eine partiell differenzierbare Funktion. Dann heißt der Vektor

(grad f)(x) = (\frac{∂f}{∂x_{1}} , …, \frac{∂f}{∂x_{n}} ) ∈ ℝ^{n}

der Gradient von f im Punkt x ∈ U.

Wir können die Beziehung zwischen Richtungsableitung und partiellen Ableitungen am Ende des vorigen Abschnitts dann formulieren als

(D_{v}f)(x) = ⟨v, (grad f)(x)⟩

für jeden Punkt x ∈ U und jeden Vektor v ∈ ℝ^{n}. Wählen wir v als Einheitsvektor, ∥v∥ = 1, dann ist nach der Ungleichung von Cauchy-Schwarz |D_{v}f| ≤ ∥grad f∥, mit Gleichheit genau dann, wenn v und grad f linear abhängig sind. Damit ist der Gradient in Richtung des steilsten Anstiegs der Funktion gerichtet, und die Norm ∥(gradf)(x)∥ ist ein Maß für die Stärke des Anstiegs.

Beispiel 28.2 Für f(x) = r gilt grad r = \frac{x}{r}, der steilste Anstieg ist also radial nach außen gerichtet und vom Betrag her überall (außer im Nullpunkt) konstant.

Für f(x) = \frac{1}{r} ist grad \frac{1}{r} = −\frac{x}{r^{3}} . Der steilste Anstieg ist radial nach innen gerichtet und wächst zum Nullpunkt quadratisch. ◁

Der Gradient ist linear und erfüllt die Leibniz-Regel: Sind f, g : U → ℝ differenzierbar, so gilt

(grad(f + g))(x) = (grad f)(x) + (grad g)(x) ,
(grad(f · g))(x) = (grad f)(x) · g(x) + f(x) · (grad g)(x) .

Der Gradient (grad f)(x) ordnet jedem Punkt x ∈ U einen Vektor zu. So etwas nennt man ein Vektorfeld:

Definition 28.3 Unter einem Vektorfeld auf einer offenen Teilmenge U ⊆ ℝ^{n} versteht man eine Abbildung v : U → ℝ^{n}. Das Vektorfeld heißt stetig/partiell differenzierbar/…, wenn alle Komponenten von v stetig/partiell differenzierbar/… sind.

Die Vorstellung ist, daß an jedem Punkt x = (x_{1}, …, x_{n}) ∈ U ein Vektor v(x) = (v_{1}(x), …, v_{n}(x)) angeheftet ist. Eine nützliche Konstruktion besteht darin, diese Vektoren als Tangentialvektoren an Kurven c : I → ℝ^{n} durch x = c(t_{0}) zu betrachten. Ist c(t) = (c_{1}(t), …, c_{n}(t)), dann ist also

c′_{i}(t) = v_{i}(c(t)) , c_{i}(t_{0}) = x_{i} für i = 1, …, n und t, t_{0} ∈ I .

Die Kurve selbst ist dann durch Lösen (Integration) dieser 2n Gleichungen zu erhalten und heißt Integralkurve des Vektorfeldes durch x. In der Physik werden die Bilder der Integralkurven auch Feldlinien bzw. Stromlinien des Vektorfelds genannt. Unter recht schwachen Voraussetzungen an das Vektorfeld (Lipschitzstetig) kann man in einer genügend kleinen Umgebung von x die Integralkurven immer finden, aber nicht unbedingt auf ganz U, weil das an Singularitäten des Vektorfeldes scheitern kann. Eine Art von Singularität ist die Divergenz:

Definition 28.4 Sei v = (v_{1}, …, v_{n}) : U → ℝ^{n} ein partiell differenzierbares Vektorfeld auf einer offenen Teilmenge U ⊆ ℝ^{n}. Dann heißt die Funktion

div(v) := \frac{∂v_{1}}{∂x_{1}} + ⋯ + \frac{∂v_{n}}{∂x_{n}}

die Divergenz des Vektorfeldes v.

Die Divergenz ist linear, div(v + w) = div(v) + div(w), und erfüllt folgendes Analogon zur Leibniz-Regel: Sei v ein differenzierbares Vektorfeld und f eine differenzierbare Funktion auf U ⊆ ℝ^{n}, dann gilt

div(f · v) = ⟨grad(f), v⟩ + f · div(v) .

Die Divergenz eines Vektorfeldes ist ein Maß für die Gesamtbeschleunigung der Integralkurven. Das kann einerseits dadurch erreicht werden, daß die Feldlinien von der Parallelität abweichen (was wahrscheinlich den Namen motiviert hat), oder durch Geschwindigkeitszunahme entlang der Feldlinien.

Beispiel 28.5 Für v(x) = x ∈ ℝ^{n} gilt div x = n. Hier sind die Feldlinien radial vom Nullpunkt nach außen gerichtet und gerade durch den Radius parametrisiert.

Für v(x) = \frac{x}{∥x∥} gilt mit ∥x∥ = r

div\frac{x}{r} = ⟨grad\frac{1}{r}, x⟩ + \frac{1}{r} · div x = −\frac{1}{r^{3}} ⟨x, x⟩ + \frac{n}{r} = \frac{n − 1}{r} für x ≠ 0 .

Die Vektoren v(x) = \frac{x}{∥x∥} haben in jedem Punkt x ∈ ℝ^{n} \ \{0\} die Länge 1, aber die Feldlinien sind wieder radial nach außen gerichtet und damit nicht parallel. ◁

Gradient und Divergenz sind wichtige Hilfsmittel der Theoretischen Physik. In der Mechanik läßt sich ein konservatives Kraftfeld als (negativer) Gradient eines Potentials schreiben, F = −grad V. In der Elektrodynamik wird die Divergenz von Vektorfeldern zur Formulierung der Maxwellschen Gleichungen gebraucht. Dort gibt es noch eine weitere Konstruktion mit partiellen Ableitungen, die Rotation. Die Rotation und das Vektorprodukt beruhen auf einer nur im ℝ^{3} möglichen Identifikation von sogenannten Differentialformen, die hier kurz skizziert werden sollen.

Definition 28.6 Der Vektorraum der k-fach antisymmetrischen Tensoren über ℝ^{n} wird erzeugt durch formale Produkte der Standard-Basisvektoren

Λ^{k}(ℝ^{n}) := \{ \begin{matrix}ℝ & für k = 0 \\ span(e_{i_{1}} ∧ ⋯ ∧ e_{i_{k}} : 1 ≤ i_{1} < i_{2} < ⋯ < i_{k} ≤ n) & für 1 ≤ k ≤ n \\ 0 & für k > n \end{matrix}

Sei U ⊆ ℝ^{n} offen. Eine stetige/partiell differenzierbare/… Abbildung ω^{(k)} : U → Λ^{k}(ℝ^{n}) heißt stetige/partiell differenzierbare/… k-Form auf U. Der Raum der k-Formen auf U wird mit Ω^{k}(U) bezeichnet.

Eine k-Form ist also die Zuordnung eines k-fach antisymmetrischen Tensors zu jedem Punkt von U. Insbesondere sind 0-Formen auf U sind nichts anderes als Funktionen auf U, und 1-Formen entsprechen Vektorfeldern ω = ∑_{i=1}^{n} ω_{i}e_{i}.

Definition 28.7 Die durch die Vereinbarung e_{i}∧e_{j} = −e_{j}∧e_{i} für alle i, j = 1, …, n und lineare Fortsetzung entstehende assoziative Multiplikation

∧ : Λ^{k}(ℝ^{n}) × Λ^{l}(ℝ^{n}) → Λ^{k+l}(ℝ^{n})

heißt das äußere Tensorprodukt (auch wedge-Produkt wegen der englischen Bezeichnung “wedge” (Keil) für ∧). Entsprechend heißt

∧ : Ω^{k}(U) × Ω^{l}(U) → Ω^{k+l}(U)

(wie oben erklärt, jedoch mit C(U)-linearer Fortsetzung) das äußere Formenprodukt.

Es gilt stets e_{i} ∧ e_{i} = 0. Sei z.B. n ≥ 3 und ω^{(1)} = f e_{2} und ω^{(2)} = g e_{1} ∧ e_{3} für Funktionen f, g : U → ℝ, dann ist

ω^{(1)} ∧ ω^{(2)} = (fg) · (e_{2} ∧ e_{1} ∧ e_{3}) = −(fg) · (e_{1} ∧ e_{2} ∧ e_{3}) .

Allgemein gilt für ω^{(k)} ∈ Ω^{k}(U) und ω̃^{(l)} ∈ Ω^{l}(U) die graduierte Kommutativität

ω^{(k)} ∧ ω̃^{(l)} = (−1)^{kl}ω̃^{(l)} ∧ ω^{(k)}k .

Offenbar gilt dim(Λ^{k}(ℝ^{n})) = \binom{n}{k} = \binom{n}{n−k}. Nach Wahl einer Zuodnung der Basisvektoren kann man Λ^{k}(ℝ^{n}) mit Λ^{n−k}(ℝ^{n}) identifizieren, ∗ : Λ^{k}(ℝ^{n}) → Λ^{n−k}(ℝ^{n}) mit ∗∗ = ±1. Speziell wählt man für k = 0 und k = 1:

∗f = fe_{1} ∧ e_{2} ∧ ⋯ ∧ e_{n} ,
∗(v_{1}, …, v_{n}) = v_{1}e_{2} ∧ ⋯ ∧ e_{n} − e_{1} ∧ v_{2}e_{3} ∧ ⋯ ∧ e_{n} + …
+ (−1)^{n−1}e_{1} ∧ ⋯ ∧ e_{n−1}v_{n} .

Definition 28.8 Seien v, w Vektorfelder im ℝ^{3}. Dann heißt das Vektorfeld v×w := ∗(v ∧ w) das Vektorprodukt von v, w.

Definition 28.9 Die durch

dω := ∑_{i=1}^{n} e_{i} ∧ ∂_{i}(ω)

für eine partiell differenzierbare k-Form ω ∈ Ω^{k}(U) definierte Abbildung d : Ω^{k}(U) → Ω^{k+1}(U) heißt äußere Ableitung oder äußeres Differential. Die Abbildung δ := ∗d∗ : Ω^{k}(U) → Ω^{k−1}(U) heißt Kodifferential.

Nun können Gradient einer Funktion und Divergenz eines Vektorfeldes in dieser Sprache definiert werden:

grad f := df , div v := δv = ∗d(∗v) .

Gegenatz zu grad, div sind d, δ auf beliebigen k-Formen erklärt. Im ℝ^{3} kann man das Differential einer 1-Form mittels ∗ in ein Vektorfeld überführen, und dieses heißt die Rotation:

rot v := ∗(dv) .

Satz 28.10 i) Sind ω^{(k)} ∈ Ω^{k}(U) und ω̃^{(l)} ∈ Ω^{l}(U) partiell differenzierbare Formen, dann gilt die graduierte Leibniz-Regel

d(ω^{(k)} ∧ ω̃^{(l)}) = (dω^{(k)}) ∧ ω̃^{(l)} + (−1)^{k}ω^{(k)} ∧ (dω̃^{(l)}) .

ii) Ist ω^{(k)} ∈ Ω^{k}(U) zweimal stetig partiell differenzierbar, dann gilt d(dω^{(k)}) = 0.

Beweis. i) folgt aus der Leibniz-Regel für die partielle Ableitung und der graduierte Kommutativität des ∧-Produkts. ii) folgt aus dem Satz von Schwarz über die Vertauschbarkeit der zweiten partiellen Ableitungen zusammen mit der Antisymmetrie e_{i} ∧ e_{j} = −e_{j} ∧ e_{i}. □

Folgerung 28.11 Sei U ⊆ ℝ^{3} offen, f : U → ℝ eine zweifach stetig partiell differenzierbare Funktion und v : U → ℝ^{3} ein zweifach stetig partiell differenzierbares Vektorfeld. Dann gilt

rot(grad f) = ∗(d(df)) = 0 , div(rot v) = ∗(d(∗(∗(dv)))) = 0 .

Ein wichtige Rolle innerhalb der Mathematik spielen Fragestellungen der folgenden Art (übersetzt in physikalische Begriffe):

i) Gegeben sei ein rotationsfreies Vektorfeld v : U → ℝ^{3} mit U ⊆ ℝ^{3} und rot(v) = 0. Unter welchen Voraussetzungen an U existiert eine Funktion f : U → ℝ, so daß v = grad(f) gilt?

ii) Gegeben sei ein divergenzfreies Vektorfeld v : U → ℝ^{3} mit U ⊆ ℝ^{3} und div(v) = 0. Unter welchen Voraussetzungen an U existiert ein Vektorfeld w : U → ℝ^{n}, so daß v = rot(w) gilt?

In der Formensprache scheiben sich die Maxwellschen Gleichungen wie folgt:

dB = 0  δB + Ė = −j
dE + Ḃ = 0  δE = ρ

Dabei bezeichnet der Punkt über einer Form die Zeitableitung, und die folgenden Formen treten auf:

• E(t) ∈ Ω^{1}(U) ist das elektromagnetische Feld

• B(t) ∈ Ω^{2}(U) ist das Magnetfeld (die Physik arbeitet mit B_{Physik} = ∗B ∈ Ω^{1}(U))

• j(t) ∈ Ω^{1}(U) ist die Stromdichte

• ρ(t) ∈ Ω^{0}(U) ist die Ladungsdichte

Wegen δδ = ± ∗ d ∗ ∗d∗ = 0 gilt die Kontinuitätsgleichung δj + ρ̇ = 0.

Die links stehenden Gleichungen kann man unter geeigneten Voraussetzungen an U durch B = dA und E = −dϕ − Ȧ lösen mit A ∈ Ω^{1}(U) und ϕ ∈ Ω^{0}(U). Unter der Voraussetzung δA = −ϕ̇ ergibt sich für die rechten Gleichungen

Ä − (δd + dδ)A = j  ϕ̈ − δdϕ = ρ .

Definition 28.12 Der durch Δω := δ(dω) + d(δω) für ω ∈ Ω^{k}(U) definierte Operator Δ = δd+dδ : Ω^{k}(U) → Ω^{k}(U) heißt Laplace-Beltrami-Operator. Im Spezialfall k = 0 heißt Δf = δ(df) = div(gradf) der Laplace-Operator für eine zweifach partiell differenzierbare Funktion f : U → ℝ.

Für den Laplace-(Beltrami-)Operator gibt es die Darstellung

Δω = \frac{∂^{2}ω}{∂x_{1}^{2}} + ⋯ + \frac{∂^{2}ω}{∂x_{n}^{2}} , ω ∈ Ω^{k}(U) , U ⊆ ℝ^{n} ,

was zumindest für Funktionen ω = f ∈ Ω^{0}(U) leicht zu überprüfen ist. Folgende Differentialgleichungen enthalten den Lapace-Operator:

f̈− Δf = ρ  inhomogene Wellengleichung
f̈− Δf = 0  homogene Wellengleichung
Δf = −ρ  Poisson-Gleichung
Δf = 0  Potentialgleichung
cḟ − Δf = 0  Wärmeleitungsgleichung

Die Maxwellschen Gleichungen im Vakuum (j = 0 und ρ = 0) führen also auf insgesamt vier skalare Wellengleichungen (elektromagnetische Wellen). Zeitunabhängige elektrische Felder werden durch die Poisson-Gleichung beschrieben. Gibt es zusätzlich keine Ladungsdichte, dann ist die Potentialgleichung zu lösen.

Wichtig ist noch zu zeigen, daß man die Bedingung δA + ϕ̇ = 0, die uns die Differentialgleichungen für A und ϕ entkoppelt hat, wirklich lösen kann. Dabei ist entscheidend, daß A und ϕ durch E und B nicht eindeutig festgelegt sind; es gibt eine sogenannte Eichfreiheit: Setzt man A ↦ A + df und ϕ ↦ −ḟ für f ∈ Ω^{0}(U), so bleiben E, B unverändert. Die Separierungsgleichung geht aber über in

δA + ϕ̇ ↦ δA + ϕ̇ − (f̈− Δf) .

Man bestimmt also zunächst A, ϕ als Lösung der inhomogenen Wellengleichungen und berechnet daraus E und B. Die Eichbedingung δA + ϕ̇ = 0 wird zunächst verletzt sein, wir müssen aber nur wissen, daß die Eichung f so gewählt werden kann, daß δA + ϕ̇ = 0 zu erfüllen ist. Dann ist die Herleitung der Wellengleichungen für die eichtransformierten Potentiale A, ϕ korrekt. Da aber E und B durch f nicht geändert werden, bestimmen sich die Feldstärken E, B aus Lösungen A, ϕ der Wellengleichungen auch ohne Berücksichtigung der Eichbedingung.

Zusammenfassung Teil V

• Produkt- und Kettenregel, Differentiation der Umkehrfunktion, Differentiation von Potenzreihen

• Mittelwertsatz der Differentialrechnung, Schrankensatz

• Regel von de l’Hospital

• Konvexität: Höldersche Ungleichung

• Taylorsche Formel: Approximation mit Fehlerabschätzung

• Kurvendiskussion: lokale Extrema, notwendige und hinreichende Kriterien dafür; Newton-Verfahren zur Bestimmung der Nullstellen

• Überblick über wichtige Potenzreihen