Integrationstheorie

Inhalt

I Differenzierbare Abbildungen  1
1 Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 Die mehrdimensionale Taylorsche Formel . . . . . . . . . . . . . 9
3 Der Satz über implizite Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4 Untermannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5 Differenzierbare Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6 Variationsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
II Gewöhnliche Differentialgleichungen  40
7 Definition und Interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
8 Elementare Lösungsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
9 Existenz- und Eindeutigkeitssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
10 Lineare Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
11 Potenzreihenansatz und spezielle Funktionen . . . . . . . . . . . 55
12 Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten . . 59
III Grundlagen der Funktionentheorie  66
13 Differentialformen und Kurvenintegrale . . . . . . . . . . . . . . 66
14 Exakte 1-Formen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
15 Exakte Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
16 Holomorphe Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
17 Der Cauchysche Integralsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
18 Die Cauchysche Integralformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
19 Der Residuensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
IV Das Lebesgue-Integral  97
20 Borel-Maße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
21 Berechnung von Lebesgue-Integralen über Fubini . . . . . . . . 100
22 Der Transformationssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
23 Eigenschaften des Lebesgue-Integrals . . . . . . . . . . . . . . . 111
24 Konvergenzsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
25 Der Satz von Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
26 Beweis des Transformationssatzes . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
27 L^{p}-Räume und Fourier-Transformation . . . . . . . . . . . . . . 124
28 Integration über Untermannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . 129
29 Der Gaußsche Integralsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

i

Preliminary version – 31. Januar 2019

Literatur K. Königsberger, “Analysis 2,” Springer 2004. O. Forster, “Analysis 2,” Vieweg 2005. J. Elstrodt, “Maß- und Integrationstheorie,” Springer 2009.

ii

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Teil I

Differenzierbare Abbildungen

Im Gegensatz zur eindimensionalen Differentialrechnung gibt es im Höherdimensionalen verschiedene Differenzierbarkeitsbegriffe. Partielle Ableitungen hatten wir bereits gegen Ende des ersten Semesters eingeführt.

1 Differenzierbarkeit

Zentral bei differenzierbaren Abbildungen ist die lineare Approximierbarkeit in Analogie zur Steigung der Tangente an eine eindimensionale Funktion. Diese lineare Approximierbarkeit läßt sich koordinatenfrei formulieren und kann deshalb auch in unendlich-dimensionalen normierten Vektorräumen definiert werden. Für das totale Differential gibt es ein Analogon zur Kettenregel.

Definition 1.1 Sei U ⊆ ℝ^{n} eine offene Teilmenge. Eine Abbildung f : U → ℝ^{m} heißt total differenzierbar (oder einfach nur differenzierbar) im Punkt x ∈ U, falls es eine \underline{lineare Abbildung} A(x) : ℝ^{n} → ℝ^{m} und eine auf einer offenen Umgebung V von 0 ∈ ℝ^{n} definierte Abbildung ϕ : V → ℝ^{m} gibt, so daß

f(x + ξ) = f(x) + A(x) ∘ ξ + ϕ(ξ) mit lim_{{ξ→0∈ℝ^{n} \atop ξ≠0}} \frac{ϕ(ξ)}{∥ξ∥} = 0 für alle ξ ∈ V .

Dann heißt die lineare Abbildung (Df)(x) := A(x) das totale Differential (oder einfach nur das Differential) von f im Punkt x.

Eine differenzierbare Abbildung f : U → ℝ^{m} heißt stetig differenzierbar, wenn das Differential Df : U → Hom(ℝ^{n}, ℝ^{m}) stetig ist.

Einige Bemerkungen:

• Um den Restterm nicht ganz so mühsam zu charakterisieren, schreibt man einfach o(∥ξ∥) und meint eine Abbildung ϕ : V → ℝ^{m} mit obigen Eigenschaften.

• Da alle Normen auf endlich-dimensionalen Vektorräumen äquivalent sind, ist die Definition der Differenzierbarkeit unabhängig von der Wahl der Norm.

• Die lineare Abbildung A(x) : ℝ^{n} → ℝ^{m} ist bezüglich der Standardbasen durch eine (m×n)-Matrix gegeben, die wir mit dem gleichen Buchstaben bezeichnen, A(x) = (a_{ij}(x)) ∈ M(m × n, ℝ). Die Matrix A = Df heißt Jacobi-Matrix. Variiert man den Punkt x ∈ U, so ist Df also durch m · n Funktionen a_{ij} : U → ℝ bestimmt.

• Zur Definition der Stetigkeit von Df : U → Hom(ℝ^{n}, ℝ^{m}) ist Hom(ℝ^{n}, ℝ^{m}) als endlich-dimensionaler normierter Vektorraum aufzufassen. Eine mögliche Norm ist die Operatornorm.

• Manchmal wird auch df oder f′ für das totale Differential geschrieben. Wir reservieren d für das äußere Differential aus Definition 28.9 des 1. Semesters.

Die Definition läßt sich auf unendlich-dimensionale normierte Vektorräume verallgemeinern:

Definition 1.2 Es seien (X, ∥ ∥_{X}) und (Y, ∥ ∥_{Y}) normierte Vektorräume und U ⊆ X eine offene Teilmenge. Eine Abbildung f : U → Y heißt Fréchet-differenzierbar im Punkt x ∈ U, falls es einen linearen beschränkten Operator A(x) ∈ B(X, Y) und eine auf einer offenen Umgebung V von 0 ∈ X definierte Abbildung ϕ : V → Y gibt, so daß

f(x + ξ) = f(x) + A(x) ∘ ξ + ϕ(ξ) mit lim_{{ξ→0∈X \atop ξ≠0}} \frac{ϕ(ξ)}{∥ξ∥_{X}} = 0 für alle ξ ∈ V .

Dabei ist die Konvergenz in Y bezüglich ∥ ∥_{Y} erklärt. Der lineare beschränkte Operator (Df)(x) = A(x) heißt dann die Fréchet-Ableitung von f im Punkt x.

Wir erinnern an die partiellen Ableitungen aus dem 1. Semester:

Definition 1.3 Sei U ⊆ ℝ^{n} eine offene Teilmenge. Eine Funktion f : U → ℝ heißt im Punkt x ∈ U partiell differenzierbar in der j-ten Koordinatenrichtung, falls der Grenzwert

(∂_{j}f)(x) := lim_{{h→0 \atop h≠0}} \frac{1}{h}(f(x + he_{j}) − f(x))

(die j-te partielle Ableitung von f in x) existiert. Eine Funktion f : U → ℝ heißt partiell differenzierbar, falls (∂_{j}f)(x) für alle x ∈ U und alle 1 ≤ j ≤ n existiert, und stetig partiell differenzierbar, falls alle Funktionen ∂_{j}f : U → ℝ stetig sind.

Iterativ können höhere partielle Ableitungen eingeführt werden. Zentrales Ergebnis ist der Satz von Schwarz: Für zweimal stetig partiell differenzierbare Funktionen vertauschen die zweiten partiellen Ableitungen. Unter Verwendung der partiellen Ableitungen hatten wir den Gradienten grad f einer Funktion f : U → ℝ und die Divergenz div v eines Vektorfeldes v : U → ℝ^{n}erklärt. Diese lassen sich mit Hilfe der äußeren Ableitung d schreiben als grad f = df und div v = ∗d(∗v). Im ℝ^{3} definiert rot v = ∗(dv) die Rotation.

Eine Verallgemeinerung der partiellen Ableitung ist die Richtungsableitung:

Definition 1.4 Sei U ⊆ ℝ^{n} offen, x ∈ U und v ∈ ℝ^{n} ein Vektor. Dann heißt der Differentialquotient

(D_{v}f)(x) := lim_{{t→0 \atop t≠0}} \frac{f(x + tv) − f(x)}{t}

2 die Richtungsableitung der Funktion f : U → ℝ im Punkt x in Richtung v.

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Insbesondere sind die partiellen Ableitungen die Richtungsableitungen in Richtung der Standardbasisvektoren, (D_{e_{i}}f)(x) = (∂_{i}f)(x). Damit folgt aus der Existenz aller Richtungsableitungen die partielle Differenzierbarkeit. Die Umkehrung gilt nicht.

Wir zeigen einige Implikationen der totalen Differenzierbarkeit:

Satz 1.5 Sei U ⊆ ℝ^{n} offen und sei f : U → ℝ^{m} im Punkt x ∈ U differenzierbar mit f(x + ξ) = f(x) + A(x) · ξ + o(∥ξ∥) und Df(x) = A(x) = (a_{ij}(x)). Dann gilt:

i) f ist im Punkt x ∈ U stetig.

ii) Alle Komponenten f_{i} : U → ℝ von f = (f_{1}, …, f_{m}) sind im Punkt x partiell differenzierbar mit (∂_{j}f_{i})(x) = a_{ij}(x).

iii) f_{i} besitzt Richtungsableitungen in jede Richtung, und für v = ∑_{j=1}^{n} e_{j}v_{j} gilt (Df_{i})(x) ∘ v = (D_{v}f_{i})(x) = ∑_{j=1}^{n} v_{j}(∂_{j}f_{i})(x).

Beweis. i) Wegen lim_{ξ→0} A(x)·ξ = 0 und lim_{ξ→0} o(∥ξ∥) = 0 gilt lim_{ξ→0} f(x+ξ) = f(x). Damit ist f stetig.

ii) Ist e_{k} der k-te Basisvektor der Standardbasis, dann ist A(x) ∘ e_{j} = ∑_{i=1}^{m} a_{ij}(x)e_{i}, so daß für ξ = h · e_{j} und f = ∑_{i=1} f_{i}e_{i} gilt

f_{i}(x + h · e_{j}) = f_{i}(x) + a_{ij}(x) · h + o(h) ⇒ (∂_{j}f_{i})(x) = a_{ij}(x) .

iii) Die Richtungsableitung ist

(D_{v}f)(x) = lim_{t→0} \frac{1}{t}(f(x + tv) − f(x))

= lim_{t→0} \frac{1}{t}((Df)(x) ∘ (tv) + ϕ(tv)) = (Df)(x) ∘ v

wegen ϕ(tv) = o(∥tv∥) = o(t). In der Standardbasis ist (Df)(x) ∘ v = A(x) ∘ v = ∑_{i=1}^{m} ∑_{j=1}^{n} v_{j}a_{ij}(x)e_{i}. □

Nach Satz 1.5 bietet sich folgende Strategie zur Überprüfung der Differenzierbarkeit einer Abbildung f : U → ℝ^{m}, U ⊆ ℝ^{n}, an: Man bilde, falls existent, die Matrix A(x) = (a_{ij}(x)) der partiellen Ableitungen a_{ij}(x) = ∂_{j}f_{i}. Die Abbildung f ist genau dann differenzierbar, wenn f(x + ξ) − f(x) − A(x) · ξ = o(∥ξ∥) für alle ξ ∈ V.

Beispiel 1.6 Es sei f(x, y) = ( \begin{matrix}xy^{2} \\ ye^{x} \end{matrix} ). Es ergibt sich

(∂_{1}f_{1})(x, y) = y^{2} ,  (∂_{2}f_{1})(x, y) = 2xy ,
(∂_{1}f_{2})(x, y) = ye^{x} ,  (∂_{2}f_{2})(x, y) = e^{x} ,

also A(x, y) = ( \begin{matrix}y^{2} & 2xy \\ ye^{x} & e^{x} \end{matrix} ). Wir betrachten

f(x + ξ, y + η) − f(x, y) − A · ( \begin{matrix}ξ \\ η \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}(x + ξ)(y + η)^{2} − xy^{2} − ξy^{2} − 2xyη \\ (y + η)e^{x+ξ} − ye^{x} − ye^{x}ξ − ηe^{x} \end{matrix} )

= ( \begin{matrix}xη^{2} + 2yξη + ξη^{2} \\ ye^{x}(e^{ξ} − 1 − ξ) + ηe^{x}(e^{ξ} − 1) \end{matrix} ) = o(\sqrt{ξ^{2} + η^{2}}) ,

da sämtliche Einträge der Matrix für \sqrt{ξ^{2} + η^{2}} → 0 mindestens quadratisch gegen 0 gehen. Damit ist f differenzierbar mit (Df)(x) = A. ◁

Aus partieller Differenzierbarkeit folgt nicht die totale Differenzierbarkeit, da z.B. andere Richtungsableitungen nicht existieren müssen. Selbst die Existenz aller Richtungsableitungen genügt nicht immer:

Beispiel 1.7 Es sei

f(x, y) = \{ \begin{matrix}\frac{xy^{3}}{x^{2} + y^{4}} & für (x, y) ≠ (0, 0) \\ 0 & für (x, y) = (0, 0) \end{matrix}

Kritisch ist der Punkt (x, y) = (0, 0). Dort existieren alle Richtungsableitungen,

(D_{(cos θ,sin θ)}f)(0, 0) = lim_{t→0} \frac{1}{t} \frac{t^{4} cos θ sin^{3} θ}{t^{2} cos^{2} θ + t^{4} sin^{4} θ} = 0 .

Insbesondere ist f partiell differenzierbar in (0, 0) mit (∂_{x}f)(0, 0) = (∂_{y}f)(0, 0) = 0. Die aus den partiellen Ableitungen gebildete Matrix, die Nullmatrix, ist linear. Deshalb ist das Restglied ϕ(ξ, η) = f(ξ, η). Für die gegen (0, 0) konvergente Folge (ξ_{k}, η_{k}) = (\frac{1}{2^{k}} cos θ, \frac{1}{2^{k}} sin θ) ist

lim_{k→∞} \frac{ϕ(ξ_{k}, η_{k})}{\sqrt{ξ_{k}^{2} + η_{k}^{2}}} = 0 ,

aber für die ebenfalls gegen 0 konvergente Folge (ξ_{k}, η_{k}) = (\frac{1}{4^{k}} cos θ, \frac{1}{2^{k}} sin θ) haben wir

lim_{k→∞} \frac{ϕ(ξ_{k}, η_{k})}{\sqrt{ξ_{k}^{2} + η_{k}^{2}}} = lim_{k→∞} \frac{\frac{1}{2^{2k+3k}} cos θ sin^{3} θ}{\frac{1}{2^{4k}} (cos^{2} θ + sin^{4} θ)}·\frac{2^{k}}{\sqrt{\frac{1}{2^{k}} cos^{2} θ + sin^{2} θ}} = \frac{cos θ sin^{2} θ}{cos^{2} θ + sin^{4} θ} ≠ 0 .

Somit ist ϕ(0, 0) ≠ o(∥ξ∥), und f ist nicht differenzierbar in (0, 0). ◁

Ein hinreichendes Kriterium für (stetige) Differenzierbarkeit ist stetige partielle Differenzierbarkeit:

Satz 1.8 Sei U ⊆ ℝ^{n} offen und f : U → ℝ partiell differenzierbar auf U. Sind alle partiellen Ableitungen ∂_{j}f stetig im Punkt x ∈ U, dann ist f im Punkt x total differenzierbar, und das Differential Df ist stetig im Punkt x.

Beweis. Da U offen, gibt es ein δ > 0 mit K_{δ}(x) ⊆ U. Wir wählen ein ξ = (ξ_{1}, …, ξ_{n}) ∈ ℝ^{n} mit ∥ξ∥ < δ und betrachten die Punkte z^{(k)} := x + ∑_{j=1}^{k} ξ_{j}e_{j}. Es gilt z^{(0)} = x und z^{(n)} = x + ξ. Da sich benachbarte z^{(k−1)} und z^{(k)} nur in der k-ten Koordinate unterscheiden, können wir den Mittelwertsatz der Differentialrechnung anwenden: Es gibt also ein η^{(k)} ∈ ℝ mit |η^{(k)}| < ξ_{k}, so daß

f(z^{(k)}) − f(z^{(k−1)}) = ξ_{k} · (∂_{k}f)(y^{(k)}) , y^{(k)} := z^{(k−1)} + η^{(k)}e_{k} .

Das bedeutet

f(x + ξ) = f(x) + ∑_{k=1}^{n} ξ_{k} · (∂_{k}f)(y^{(k)})

= f(x) + ∑_{k=1}^{n}(∂_{k}f)(x) · ξ_{k} + \underbrace{∑_{k=1}^{n} ((∂_{k}f)(y^{(k)}) − (∂_{k}f)(x)) · ξ_{k}}_{ϕ(ξ)} .

Für ξ → 0 strebt y_{k} gegen x. Aus der Stetigkeit der partiellen Ableitungen folgt

lim_{ξ→0}(∂_{k}f)(y^{(k)}) = (∂_{k}f)(x) und damit lim_{{ξ→0∈ℝ^{n} \atop ξ≠0}} \frac{ϕ(ξ)}{∥ξ∥} = 0.

Somit ist f differenzierbar in x mit (Df)(x) = ((∂_{1}f)(x), …, (∂_{n}f)(x)). Insbesondere ist (Df) stetig in x. □

Durch Kombination der Sätze 1.5 und 1.8 folgt, daß jede stetig partiell differenzierbare Funktion f : U → ℝ auf U auch stetig ist. Außerdem gelten folgende Implikationen:

f : U → ℝ stetig partiell differenzierbar
⇒ f : U → ℝ total differenzierbar
⇒ f : U → ℝ besitzt Richtungsableitungen in jede Richtung
⇒ f : U → ℝ partiell differenzierbar

Die Umkehrungen gelten im allgemeinen nicht.

Es gelten die üblichen Linearitäts- und Produktregeln:

Satz 1.9 Es sei U ⊆ ℝ^{n} offen und f_{1}, f_{2} : U → ℝ^{m} sowie f, g : U → ℝ differenzierbar in x ∈ U. Dann gilt:

i) f_{1} + f_{2} ist differenzierbar in x mit (D(f_{1} + f_{2}))(x) = Df_{1}(x) + Df_{2}(x) ,

ii) f · g ist differenzierbar in x mit (D(f · g))(x) = (Df)(x) · g(x) + f(x) ·

Dg(x) ,

iii) Ist f(x) ≠ 0, dann ist \frac{1}{f} differenzierbar in x mit (D\frac{1}{f})(x) = −\frac{Df(x)}{(f(x))^{2}} . Beweis. Ähnlich zu Satz 23.6 aus dem ersten Semester. i) ist klar. Zu ii):

(f · g)(x + ξ) − (f · g)(x)
= (f(x + ξ) − f(x)) · g(x + ξ) + f(x) · (g(x + ξ) − g(x))

= ((Df)(x) · ξ + o(∥ξ)) · g(x + ξ) + f(x) · (Dg(x) · ξ + o(∥ξ∥))

= (Df)(x) · g(x) + f(x) · Dg(x) + o(∥ξ∥) .

Analog ergibt sich iii). □ Satz 1.10 (Kettenregel) Seien U ⊆ ℝ^{n} und V ⊆ ℝ^{m} offen, f : U → ℝ^{m} und g : V → ℝ^{k} Abbildungen mit f(U) ⊆ V. Die Abbildung f sei im Punkt x ∈ U differenzierbar, und g sei im Punkt f(x) ∈ V differenzierbar. Dann ist die Abbildung g ∘ f : U → ℝ^{k} im Punkt x ∈ U differenzierbar, und es gilt

(D(g ∘ f))(x) = (Dg)(f(x)) ∘ (Df)(x) .

Beweis. Nach Voraussetzung gilt f(x+ξ) = f(x)+(Df)(x)∘ξ+o(∥ξ∥) , g(y+η) = g(y)+(Dg)(y)∘η+o(∥η∥) . Wir berechnen

(g ∘ f)(x + ξ) = g(f(x + ξ)) = g( \underbrace{f(x)}_{y} + \underbrace{(Df)(x) ∘ ξ + o(∥ξ∥)}_{η} )
= g(f(x)) + (Dg)(f(x)) ∘ ((Df)(x) ∘ ξ + o(∥ξ∥))
+ o(∥(Df)(x) ∘ ξ + o(∥ξ∥)∥)
Linearität ⇒ = (g ∘ f)(x) + ((Dg)(f(x)) ∘ (Df)(x)) ∘ ξ
+ (Dg)(f(x)) ∘ o(∥ξ∥) + o(∥(Df)(x) ∘ ξ + o(∥ξ∥)∥) .

Da die letzte Zeile wieder o(∥ξ∥) ist, folgt die Behauptung. □

Zu beachten ist, daß (Dg)(f(x)) ∘ (Df)(x) die Komposition linearer Abbildungen bzw. die Multiplikation der entspechenden Jacobi-Matrizen ist. Die Reihenfolge von (Dg)(f(x)) und (Df)(x) darf nicht geändert werden! Beispiel 1.11 Es sei

f : ℝ → ℝ^{3}  gegeben durch  f(t) := (t + 1, t^{2}, sin t) ,
g : ℝ^{3} → ℝ  gegeben durch  g(x, y, z) := e^{x} + yz .

Zu bestimmen sei D(g ∘ f)(π).

6

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Da f, g stetig partiell differenzierbar sind, gilt

(Dg)(x, y, z) = (∂_{x}g, ∂_{y}g, ∂_{z}g) (x, y, z) = (e^{x}, z, y)

und

(Df)(t) = ( \begin{matrix}∂_{t}f_{1} \\ ∂_{t}f_{2} \\ ∂_{t}f_{3} \end{matrix} )(t) = ( \begin{matrix}1 \\ 2t \\ cos t \end{matrix} )

Somit nach Kettenregel

D(g ∘ f)(π) = (Dg)(f(π)) ∘ (Df)(π) = (e^{f_{1}(π)}, f_{3}(π), f_{2}(π)) · (Df)(π)
= (e^{π+1}, 0, π^{2}) · ( \begin{matrix}1 \\ 2π \\ −1 \end{matrix} ) = e^{π+1} − π^{2} .  ◁

Ein wichtiger Spezialfall ist die Ableitung einer Funktion längs einer Kurve:

Definition 1.12 Unter einer (stetigen) Kurve im ℝ^{n} versteht man eine (stetige) Abbildung c : I → ℝ^{n} (wobei I ⊆ ℝ aus mehr als einem Punkt besteht). Die Menge Γ(c) := {(t, c(t)) ∈ I × ℝ^{n} : t ∈ I} ⊆ ℝ^{n+1} heißt Graph der Kurve c.

Definition 1.13 Eine Kurve c = (c_{1}, …, c_{n}) : I → ℝ^{n} heißt (stetig) differenzierbar in t ∈ I, wenn jede Komponentenfunktion c_{i} : I → ℝ (stetig) differenzierbar in t ∈ I ist. In diesem Fall heißt

(Dc)(t) = c′(t) := (c′_{1}(t), …, c′_{n}(t))^{t} ∈ ℝ^{n}

der Tangentialvektor an c im Punkt c(t).

Satz 1.14 (Ableitung entlang einer Kurve) Es sei c = (c_{1}, …, c_{n}) : I → U ⊆ ℝ^{n} eine in t ∈ I differenzierbare Kurve und f : U → ℝ^{m} eine in x = c(t) differenzierbare Abbildung. Dann ist f ∘ c : I → ℝ^{m} differenzierbar in t mit

D(f ∘ c)(t) = (Df)(c(t)) ∘ c′(t) = (D_{c′(t)}f)(c(t))  □

Folglich ist die Ableitung einer stetig partiell differenzierbaren Funktion längs einer Kurve gegeben als die Richtungsableitung der Funktion in Richtung des Tangentialvektors der Kurve.

Beispiel 1.15 Die Ableitung der Funktion f(x; y; z) := xyz entlang der Schraubenline c(t) = (cos t; sin t; ht) ist

(f ∘ c)′(t) = ⟨( \begin{matrix}ht sin t \\ ht cos t \\ sin t cos t \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}− sin t \\ cos t \\ h \end{matrix} )⟩ = ht cos(2t) + \frac{1}{2}h sin(2t) . ◁

Über die Ableitung entlang einer Kurve können wir den Mittelwertsatz verallgemeinern:

Satz 1.16 (Mittelwertsatz) Es seien U ⊆ ℝ^{n} offen, f : U → ℝ^{m} eine differenzierbare Abbildung und c : [α, β] → U eine differenzierbare Kurve mit Randpunkten c(α) = a und c(β) = b. Dann gilt

f(b) − f(a) = ∫_{α}^{β} dt (Df)(c(t)) ∘ c′(t) .

Dabei ist das Integral komponentenweise (vektoriell) zu verstehen. Sind f und c sogar stetig differenzierbar, so gibt es ein τ ∈ [α, β] mit

f(b) − f(a) = (β − α)(Df)(c(τ)) ∘ c′(τ) .

Für die Kurve c(t) := a + (b − a)t ∈ U gilt unter gleichen Voraussetzungen

f(b) − f(a) = ∫_{0}^{1} dt (Df)(a + (b − a)t) ∘ (b − a)
= (Df)(a + (b − a)τ) ∘ (b − a) .

Beweis. Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ist F_{i}(β) − F_{i}(α) = ∫_{α}^{β} dt F′_{i}(t). Setzt man F = f ∘ c, also F_{i} = f_{i} ∘ c, so folgt die Behauptung aus der Kettenregel (DF)(t) = (Df)(c(t)) ∘ c′(t). Die Formel für stetig differenzierbare Funktionen und Kurven folgt aus dem Mittelwertsatz der Integralrechnung. □

Für den folgenden Schrankensatz benötigen wir die Abschätzung

∥ ∫_{a}^{b} dt f(t)∥ ≤ ∫_{a}^{b} dt ∥f(t)∥

für eine vektorwertige Funktion f : [a, b] → ℝ^{m}. Dabei ist ∥ ∥ die aus dem Skalarprodukt erhaltene Norm. Sei v = ∫_{a}^{b} dt f(t) ∈ ℝ^{m}, dann gilt

∥v∥^{2} = ⟨v, v⟩ = ⟨ ∫_{a}^{b} dt f(t), v⟩ = ∫_{a}^{b} dt ⟨f(t), v⟩
(Cauchy-Schwarz) ≤ ∫_{a}^{b} dt ∥f(t)∥ ∥v∥ = ∥v∥ ∫_{a}^{b} dt ∥f(t)∥ .

Satz 1.17 (Schrankensatz) Es seien U ⊆ ℝ^{n} offen und f : U → ℝ^{m} eine stetig differenzierbare Abbildung. Mit ∥ ∥ werden die aus dem Standardskalarprodukt erhaltenen 2-Normen auf ℝ^{n} bzw. ℝ^{m} bezeichnet und mit ∥ ∥_{op} die Operator-Norm einer linearen Abbildung. Sei c(t) := a + (b − a)t ∈ U für alle t ∈ [0, 1]. Dann gilt ∥f(b) − f(a)∥ ≤ M∥b − a∥ mit M = sup_{t∈[0,1]} ∥(Df)(a + (b − a)t)∥_{op}.

Beweis. Nach Mittelwertsatz 1.16, obiger Abschätzung und Definition der Operatornorm (Satz 52.2 im 2. Semester, in offensichtlicher Weise verallgemeinert von B(V, 𝕂) auf B(V, 𝕂^{n})) gilt

∥f(b) − f(a)∥ = ∥ ∫_{0}^{1} dt (Df)(a + (b − a)t) ∘ (b − a)∥
≤ ∫_{0}^{1} dt ∥(Df)(a + (b − a)t) ∘ (b − a)∥
≤ ∫_{0}^{1} dt ∥(Df)(a + (b − a)t)∥_{op}∥b − a∥ ≤ M∥b − a∥ ∫_{0}^{1} dt 1 . □

Aus dem Schrankensatz bzw. Mittelwertsatz folgt in Analogie zu Satz 24.9 aus dem 1. Semester folgender Identitätssatz für differenzierbare Abbildungen, den wir zur Wiederholung der Begriffe der offenen und zusammenhängenden Mengen angeben:

Satz 1.18 Es sei G ⊆ ℝ^{n} offen und zusammenhängend, und für eine stetig differenzierbare Funktion f : G → ℝ gelte Df = 0. Dann ist f konstant auf G.

Beweis. Wir müssen eine stückweise stetig differenzierbare Kurve zwischen x, y ∈ G konstruieren. Dazu sei

U_{x} := {y ∈ G : ∃ stückweise stetig differenzierbare Kurve von x nach y} .

Die Menge U_{x} ist offen: Sei y ∈ U_{x} ⊆ G, dann gibt es ein ϵ > 0 mit K_{ϵ}(y) ⊆ G. Andererseits läßt sich die Kurve von x nach y fortsetzen zu einer Kurve von x in jeden Punkt von K_{ϵ}(y).

Angenommen, V_{x} = G \ U_{x} ≠ ∅. Sei v ∈ V_{x} ⊆ G und ϵ > 0 mit K_{ϵ}(v) ⊆ G. Dann ist auch K_{ϵ}(v) ⊆ V_{x}, denn gäbe es einen Punkt w ∈ K_{ϵ}(v), der durch eine stückweise differenzierbare Kurve mit x verbunden wäre, so wäre auch v mit x verbunden, Widerspruch. Also sind U_{x}, V_{x} offen, nichtleer und disjunkt mit G = U_{x} ∪ V_{x}. Damit wäre G nicht zusammenhängend, Widerspruch.

Somit gibt es eine stückweise stetig differenzierbare Kurve zwischen zwei beliebigen Punkten aus G. Ist Df = 0 auf G, so ist nach Mittel- bzw. Schrankensatz f(x) = f(y) = const. □

2 Die mehrdimensionale Taylorsche Formel

Um die im folgenden auftretenden vielen Indizes übersichtlicher zu gestalten, hat sich eine abkürzende Schreibweise eingebürgert. Sei α = (α_{1}, …, α_{n}) ∈ ℕ^{n} ein Multiindex, d.h. ein n-Tupel von Indizes α_{i} ∈ ℕ. Dann setzt man

|α| := α_{1} + α_{2} + ⋯ + α_{n} , α! := α_{1}! α_{2}! ⋯ α_{n}! .

Für eine |α|-mal stetig partiell differenzierare Funktion f : U → ℝ schreibt sich eine mehrfache partielle Ableitung wie folgt:

(∂^{α}f)(x) := (∂_{1}^{α_{1}} … ∂_{n}^{α_{n}}f)(x) = \frac{∂^{|α|}f}{∂x_{1}^{α_{1}} … ∂x_{n}^{α_{n}}} (x) .

Dabei ist ∂_{i}^{α_{i}}f = \underbrace{∂_{i} … ∂_{i}}_{α_{i}mal} f. Ebenso setzt man x^{α} := x_{1}^{α_{1}} ⋯ x_{n}^{α_{n}}.

Lemma 2.1 Sei U ⊆ ℝ offen und sei f : U → ℝ eine k-mal stetig partiell differenzierbare Funktion. Zu x ∈ U sei ein Vektor ξ ∈ ℝ^{n} so gewählt, daß x+tξ ∈ U für alle t ∈ [0, 1]. Dann ist die Funktion einer Veränderlichen

g : [0, 1] ↦ ℝ , g(t) := f(x + tξ)

k-mal stetig differenzierbar auf [0, 1], und es gilt

g^{(k)}(t) = ∑_{|α|=k} \frac{k!}{α!}ξ^{α} (∂^{α}f)(x + tξ) .

Dabei läuft die Summe über alle Multiindizes α mit |α| = k.

Beweis. Es gilt g = f ∘ c mit c(t) = x + tξ. Nach Satz 1.14 ist

g′(t) = ∑_{i=1}^{n} ξ_{i}(∂_{i}f)(x + tξ) .

Durch wiederholte Ableitung längs c jeder Funktion (∂_{i}f)(x + tξ) = (g_{i} ∘ c)(t), u.s.w., berechnen wir die höheren Ableitungen, wobei wir zunächst \underline{nicht} den Satz von Schwarz verwenden, d.h. wir betrachten ∂_{i}∂_{j} und ∂_{j}∂_{i} als verschieden. Es ergibt sich

g^{(k)}(t) = ∑_{i_{1},i_{2},...,i_{k}=1}^{n} ξ_{i_{k}} ⋯ ξ_{i_{2}}ξ_{i_{1}}(∂_{i_{k}} … ∂_{i_{2}}∂_{i_{1}}f)(x + tξ) .

Nach dem Satz von Schwarz können wir die partiellen Ableitungen ordnen und zu ∂^{α} zusammenfassen mit |α| = k. Ebenso fassen sich die Produkte der ξ_{i} zu ξ^{α} zusammen. Es gibt \frac{k!}{α_{1}!···α_{n}!} verschiedene ∂_{i_{k}} … ∂_{i_{2}}∂_{i_{1}}, die nach Umordnung das gleiche ∂^{α} ergeben. □

Satz 2.2 (Taylor) Sei U ⊆ ℝ offen und sei f : U → ℝ eine (k + 1)-mal stetig partiell differenzierbare Funktion. Zu x ∈ U sei ein Vektor ξ ∈ ℝ^{n} so gewählt, daß x + tξ ∈ U für alle t ∈ [0, 1]. Dann gibt es ein θ ∈ [0, 1], so daß

f(x + ξ) = ∑_{|α|≤k} \frac{ξ^{α}}{α!} (∂^{α}f)(x) + ∑_{|α|=k+1} \frac{ξ^{α}}{α!} (∂^{α}f)(x + θξ) .

Beweis. Wir betrachten die Funktion einer Veränderlichen g : [0, 1] → ℝ, die durch g[t] := f(x + tξ) gegeben ist. Nach Lemma 2.1 ist g eine (k + 1) mal stetig differenzierbare Funktion, auf die wir die eindimensionale Taylorsche Formel (Satz 26.1 aus dem 1. Semester) anwenden können: Es gibt also ein θ ∈ [0, 1] mit

g(1) = ∑_{j=0}^{k} \frac{g^{(j)}(0)}{j!} + \frac{g^{(k+1)}(θ)}{(k + 1)!} .

Einsetzen von g(t) = f(x + tξ) und Verwenden von Lemma 2.1 liefert die Behauptung. □

Der Satz von Taylor ist wichtig bei Abschätzungen der folgenden Art:

Satz 2.3 Sei U ⊆ ℝ^{n} offen und f : U → ℝ eine k-mal stetig partiell differenzierbare Funktion. Dann gilt für jedes x ∈ U

f(x + ξ) = ∑_{|α|≤k} \frac{ξ^{α}}{α!} (∂^{α}f)(x) + o(∥ξ∥^{k}) für ξ → 0 .

Beweis. Da U offen, gibt es ein δ > 0, so daß K_{δ}(x) ⊆ U. Dann gibt es zu jedem ξ ∈ ℝ^{n} mit ∥ξ∥ < δ ein θ ∈ [0, 1] mit

f(x + ξ) = ∑_{|α|≤k−1} \frac{ξ^{α}}{α!} (∂^{α}f)(x) + ∑_{|α|=k} \frac{ξ^{α}}{α!} (∂^{α}f)(x + θξ)

= ∑_{|α|≤k} \frac{ξ^{α}}{α!} (∂^{α}f)(x) + ∑_{|α|=k} \frac{ξ^{α}}{α!} ((∂^{α}f)(x + θξ) − (∂^{α}f)(x)) .

Es gilt |ξ^{α}| = |ξ_{1}|^{α_{1}} ⋯ |ξ_{n}|^{α_{n}} ≤ ∥ξ∥^{α_{1}} ⋯ ∥ξ∥^{α_{n}} = ∥ξ∥^{|α|}. Da ∂^{α}f stetig ist, gilt

lim_{ξ→0} \frac{1}{∥ξ∥^{k}} ∑_{|α|=k} \frac{ξ^{α}}{α!} ((∂^{α}f)(x + θξ) − (∂^{α}f)(x)) = 0 .

Das ist genau die Behauptung. □

Für k = 1 ist die Menge aller Multiindizes α mit |α| = 1 gerade die Menge der Standardbasisvektoren (e_{i}). Somit erhalten wir die Formel aus Satz 1.8

f(x + ξ) = f(x) + ⟨ξ, (gradf)(x)⟩ + o(∥ξ∥) .

Für k = 2 ergibt sich

f(x + ξ) = f(x) + ⟨ξ, (gradf)(x)⟩ + \frac{1}{2} ∑_{i,j=1}^{n} ξ_{i}ξ_{j}(∂_{i}∂_{j}f)(x) + o(∥ξ∥^{2}) .

Dabei gibt es die Möglichkeiten α = (0, …, 0, 2, 0, …, 0) mit α! = 2 und α = (0, …, 0, 1, 0, …, 0, 1, 0, …, 0) mit α! = 1, wobei die Einsen an der i-ten und j-ten Stelle stehen mit i < j. Da eine in i, j symmetrische Funktion summiert wird, kann die Summe mit i < j durch die halbe Summe mit i ≠ j ersetzt werden. Zusammen mit der Summe über i = j von α = (0, …, 0, 2, 0, …, 0) ergibt sich die Beziehung.

Definition 2.4 Sei U ⊆ ℝ^{n} offen und f : U → ℝ eine zweifach stetig differenzierbare Funktion. Dann heißt die symmetrische n × n-Matrix

(Hess f)(x) := ((∂_{i}∂_{j}f)(x))_{1≤i,j≤n}

die Hessesche Matrix von f im Punkt x.

Dabei heißt eine quadratische Matrix A = (a_{ij}) symmetrisch, wenn a_{ij} = a_{ji} ist. Somit gilt

f(x + ξ) = f(x) + ⟨a, ξ⟩ + \frac{1}{2}⟨ξ, Aξ⟩ + o(∥ξ∥^{2})
mit a = (grad f)(x) , A = (Hess f)(x) .

Die Hessesche Matrix ist wichtig bei der Untersuchung von lokalen Extrema einer Funktion. Zunächst gilt in Verallgemeinerung von Satz 24.2

Satz 2.5 Sei U ⊆ ℝ^{n} offen und f : U → ℝ partiell differenzierbar. Besitzt f in x ∈ U ein lokales Extremum, so gilt (grad f)(x) = 0.

Beweis. Es genügt, die n Funktionen einer Veränderlichen g_{i}(t) := f(x + te_{i}) zu betrachten, wobei e_{i} der i-te Standardbasisvektor ist und t ∈ [−ϵ, ϵ]. Hat f ein lokales Extremum in x, so hat g_{i} ein lokales Extremum in 0. Dann gilt 0 = g′_{i}(0) = (∂_{i}f)(x). Da das für jedes 1 ≤ i ≤ n gilt, folgt die Behauptung. □

Wir beweisen eine hinreichende Bedingung für lokale Extrema unter Verwendung der Hesseschen Matrix. Dazu benötigen wir:

Definition 2.6 Eine symmetrische Matrix A ∈ M(n, ℝ) heißt • positiv definit, falls ⟨ξ, Aξ⟩ > 0 ∀ξ ∈ ℝ^{n} \ {0},

• positiv semidefinit, falls ⟨ξ, Aξ⟩ ≥ 0 ∀ξ ∈ ℝ^{n} \ {0},

• negativ (semi)definit, falls −A positiv (semi)definit ist,

• indefinit, falls es ξ, η ∈ ℝ^{n} gibt mit ⟨ξ, Aξ⟩ > 0 und ⟨η, Aη⟩ < 0.

Ist eine symmetrische Matrix A ∈ M(n, ℝ) positiv definit, dann definiert ⟨x, y⟩_{A} := ⟨x, Ay⟩ ein neues Skalarprodukt ⟨ , ⟩_{A} auf ℝ^{n}. Nach Satz 51.14 aus dem 2. Semester folgt positive Definitheit aus der Positivität aller Eigenwerte. Ein besseres Kriterium ist das Determinantenkriterium aus Satz 51.15 des 2. Semesters.

Satz 2.7 Sei U ⊆ ℝ^{n} offen und f : U → ℝ zweimal stetig partiell differenzierbar. In einem Punkt x ∈ U gelte (grad f)(x) = 0.

i) Ist (Hess f)(x) positiv definit, so besitzt f in x ein striktes lokales Minimum.

ii) Ist (Hess f)(x) negativ definit, so besitzt f in x ein striktes lokales Maximum.

iii) Ist (Hess f)(x) indefinit, so besitzt f in x kein lokales Extremum.

Beweis. Zur Vereinfachung der Schreibweise sei A := (Hess f)(x). In einer Umgebung V von x gilt

f(x + ξ) = f(x) + \frac{1}{2}⟨ξ, Aξ⟩ + ϕ(ξ) mit ϕ(ξ) = o(∥ξ∥^{2}) .

Es gibt also zu jedem ϵ > 0 ein δ > 0, so daß |ϕ(ξ)| < ϵ∥ξ∥^{2} für alle ξ ∈ ℝ^{n} mit ∥ξ∥ < δ.

i) Die (n − 1)-Sphäre S^{n−1} := {η ∈ ℝ^{n} : ∥η∥ = 1} ist kompakt. Nach Extremwertsatz nimmt die stetige Funktion g : S^{n−1} → ℝ mit g(η) := ⟨η, Aη⟩ auf S^{n−1} ihr Supremum und ihr Infimum an. Es gibt also ein μ > 0 (wegen der positiven Definitheit) mit

μ := min_{η∈S^{n−1}}{⟨η, Aη⟩} .

Da für beliebiges ξ ∈ ℝ^{n} \ \{0\} gilt \frac{1}{∥ξ∥}ξ ∈ S^{n−1}, folgt ⟨ξ, Aξ⟩ ≥ μ∥ξ∥^{2} für alle ξ ∈ ℝ^{n} (für ξ = 0 trivialerweise). Wählen wir δ so klein, daß |ϕ(ξ)| ≤ \frac{μ}{4}∥ξ∥^{2}, so gilt \frac{1}{2}⟨ξ, Aξ⟩ + ϕ(ξ) ≥ \frac{μ}{4}∥ξ∥^{2}. Folglich haben wir

f(x + ξ) ≥ f(x) + \frac{μ}{4}∥ξ∥^{2} für alle ξ ∈ ℝ^{n} mit ∥ξ∥ < δ .

Also hat f in x ein striktes lokales Minimum. Analog beweist man ii).

iii) Wir zeigen, daß es y_{1}, y_{2} ∈ U gibt mit f(y_{1}) < f(x) < f(y_{2}). Nach Voraussetzung gibt es ein ξ ∈ ℝ^{n} mit ⟨ξ, Aξ⟩ := μ > 0. Dann gilt für hinreichend kleine t > 0

f(x + tξ) = f(x) + \frac{μ}{2}t^{2} + ϕ(tξ) .

Wie zuvor finden wir ein δ > 0, so daß |ϕ(tξ)| ≤ \frac{μ}{4}t^{2} gilt für alle 0 < t < δ. Dann ist f(x+tξ) > f(x) für alle 0 < t < δ. Ebenso folgt aus der Existenz eines η ∈ ℝ^{n} mit ⟨η, Aη⟩ := −μ′ < 0, daß f(x + t′η) < f(x) für alle 0 < t′ < δ′. □

Ist die Hessesche Matrix im Punkt x positiv oder negativ semidefinit, so muß man höhere Ordnungen in der Taylorsche Formel betrachten, um Aussagen über Extrema von f mit (grad f)(x) = 0 zu gewinnen.

Beispiel 2.8 i) f : ℝ^{2} → ℝ gegeben durch f(x, y) = 1 + x^{2} + xy + y^{2}. Es gilt (grad f)(x, y) = (2x+y, 2y+x) =^{!} (0, 0), also x = y (Differenz) und dann (0, 0) als einziger Kandidat für ein lokales Extremum. Wir testen

(Hess f)(x, y) = ( \begin{matrix}2 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix} ). Nach Determinantenkriterium (Satz 51.15,

2. Semester) ist (Hess f)(0, 0) positiv definit, und f hat im Punkt (0, 0) ein lokales Minimum.

ii) f : ℝ^{2} → ℝ gegeben durch f(x, y) = 1 + x^{2} + 4xy + y^{2}. Es gilt (grad f)(x, y) = (2x + 4y, 2y + 4x) =^{!} (0, 0), also x = y (Differenz) und dann (0, 0) als einziger Kandidat für ein lokales Extre-

mum. Es folgt A := (Hess f)(0, 0) = ( \begin{matrix}2 & 4 \\ 4 & 2 \end{matrix} ) mit det A < 0 aber

a_{11} > 0. Somit ist (Hess f)(0, 0) indefinit: ⟨(1, 1), A(1, 1)⟩ = 12 > 0 und ⟨(1, −1), A(1, −1)⟩ = −4 < 0. Insgesamt hat f im Punkt (0, 0) kein Extremum. ◁

3 Der Satz über implizite Funktionen

Es geht nun um Funktionen, die implizit definiert sind, z.B. durch Gleichungen der Form 0 = F (x, f(x)) = (f(x))^{2} + x^{2} − 1. Wir werden untersuchen, unter welchen Bedingungen sich derartige Gleichungen zumindest im Prinzip nach f(x) auflösen lassen und welche Differenzierbarkeitseigenschaften die Lösungen haben. Im obigen Beispiel ist offenbar f(x) = ±\sqrt{1 − x^{2}}. Differentiation von F (x, f(x)) nach der Kettenregel liefert

0 = F′(x, f(x)) = (∂_{1}F)(x, f(x)) + (∂_{2}F)(x, f(x))f′(x)

⇒ f′(x) = −\frac{(∂_{1}F)(x, f(x))}{(∂_{2}F)(x, f(x))} = −\frac{x}{f(x)} ,

falls (∂_{2}F)(x, f(x)) invertierbar ist. Die Verallgemeinerung dieser Invertierbarkeitsbedingung ist zentral für die lokale Auflösbarkeit.

Wir werden die Lösung des impliziten Problems iterativ konstruieren. Dazu benötigen wir:

Satz 3.1 (Banachscher Fixpunktsatz) Sei (X, d) ein vollständiger metrischer Raum und ∅ ≠ A ⊆ X eine abgeschlossene Teilmenge. Eine Abbildung T : A → A sei eine Kontraktion, d.h. es gibt eine Konstante 0 ≤ θ < 1, so daß

d(T (x), T (y)) ≤ θd(x, y) für alle x, y ∈ A .

Dann gilt:

i) T besitzt genau einen Fixpunkt x_{∗}, d.h. es gibt ein eindeutig bestimmtes x_{∗} ∈ A mit T (x_{∗}) = x_{∗}. ii) Für einen beliebigen Anfangspunkt y ∈ A konvergiert die durch

x_{0} := y , x_{k+1} = T (x_{k}) für k ∈ ℕ

rekursiv definierte Folge (x_{k})_{k∈ℕ} gegen x_{∗}, d.h. lim_{k→∞} x_{k} = x_{∗}.

iii) Für die Konvergenzrate gilt d(x_{n}, x_{∗}) ≤ \frac{θ^{n}}{1−θ}d(x_{1}, x_{0})

Beweis. i) Nach Dreiecksungleichung gilt für beliebige x, y ∈ A

d(x, y) ≤ d(x, T (x))+d(T (x), T (y))+d(T (y), y) ≤ d(x, T (x))+θd(x, y)+d(T (y), y)

und dann (hier geht 0 ≤ θ < 1 für alle x, y ∈ A ein!)

d(x, y) ≤ \frac{d(T (x), x) + d(T (y), y)}{1 − θ} .  (*)

Hieraus folgt die Eindeutigkeit: Gäbe es zwei Fixpunkte x_{∗} = T (x_{∗}) und y_{∗} = T (y_{∗}), dann folgt d(x_{∗}, y_{∗}) = 0 und damit x_{∗} = y_{∗}.

i) Sei (x_{k})_{k∈ℕ} wie oben definiert. Dann ist

d(x_{k+1}, x_{k}) = d(T (x_{k}), T (x_{k−1})) ≤ θd(x_{k}, x_{k−1}) ≤ ⋯ ≤ θ^{k}d(x_{1}, x_{0}) .

In Kombination mit (*) folgt für beliebige m, n ∈ ℕ

d(x_{m}, x_{n}) ≤ \frac{d(x_{m+1}, x_{m}) + d(x_{n+1}, x_{n})}{1 − θ} ≤ \frac{θ^{m} + θ^{n}}{1 − θ} d(x_{1}, x_{0}) .  (**)

Damit ist (x_{k})_{k∈ℕ} eine Cauchy-Folge von Punkten aus A, die wegen der Vollständigkeit von X gegen einen Punkt x_{∗} ∈ X konvergiert. Da A abgeschlossen, liegt der Grenzwert x_{∗} sogar in A. Da T Lipschitz-stetig, insbesondere stetig ist, gilt T (x_{∗}) = T (lim_{k→∞} x_{k}) = lim_{k→∞} T (x_{k}) = lim_{k→∞} x_{k+1} = x_{∗}.

iii) Der Limes m → ∞ in (**) liefert die Formel für die Konvergenzrate. □

Im Beweis des Satzes über implizite Funktionen werden wir den Banachschen Fixpunktsatz auf den Banach-Raum der stetigen und beschränkten Funktionen anwenden. Wir zitieren Satz 34.4 aus dem 2. Semester:

Satz 34.4 [2. Semester]. Es sei X ein metrischer Raum und

C_{b}(X) := {f : X → ℂ stetig , ∥f∥ := sup_{x∈X} |f(x)| < ∞}

der Vektorraum der stetigen und beschränkten komplexwertigen Funktionen auf X. Dann ist (C_{b}(X), ∥ ∥) vollständig (d.h. Banach-Raum) bezüglich der Supremums-Norm ∥ ∥. Insbesondere ist (C(X), ∥ ∥) Banach-Raum, falls X kompakt ist.

Satz 3.2 (über implizite Funktionen) Seien U_{1} ⊆ ℝ^{n} und U_{2} ⊆ ℝ^{m} offene Teilmengen und F = (F_{1}, …, F_{m}) : U_{1} × U_{2} → ℝ^{m} eine stetig differenzierbare Abbildung. In einem Punkt (a, b) ∈ U_{1} × U_{2} gelte F (a, b) = 0, und die Jacobi-Matrix in (a, b) bezüglich der 2. Komponente

(\frac{∂F}{∂y} )(a, b) := ( \begin{matrix}\frac{∂F_{1}}{∂y_{1}} & … & \frac{∂F_{1}}{∂y_{m}} \\ ⋮ & ... & ⋮ \\ \frac{∂F_{m}}{∂y_{1}} & … & \frac{∂F_{m}}{∂y_{m}} \end{matrix} ) (a, b) ∈ GL(m, ℝ)

sei invertierbar. Dann gibt es eine offene Umgebung V_{1} ⊆ U_{1} von a und eine Umgebung V_{2} ⊆ U_{2} von b sowie eine stetig differenzierbare Abbildung g : V_{1} → V_{2} ⊆ ℝ^{m}, so daß

F (x, g(x)) = 0 für alle x ∈ V_{1} .

Mit anderen Worten: Ist eine implizit gegebene Gleichung F (x, g(x)) = 0 in einem Punkt a lösbar mit g(a) = b und F (a, b) = 0, dann ist sie (unter den gegebenen Voraussetzungen) auch in einer Umgebung V_{1} von a lösbar, und diese Lösung ist sogar differenzierbar.

Beweis. Wir setzen B := (\frac{∂F}{∂y} )(a, b) ∈ GL(m, ℝ). Damit werde eine Abbildung G : U_{1} × U_{2} → ℝ^{m} definiert durch

G(x, y) := y − B^{−1} · F (x, y) , x ∈ U_{1} , y ∈ U_{2} ⊆ ℝ^{m} .

Die Jacobi-Matrix von G im Punkt (x, y) ∈ U_{1} × U_{2} ist

(\frac{∂G}{∂y})(x, y) = E_{m}−B^{−1}·(\frac{∂F}{∂y} )(x, y)  ⇒  (\frac{∂G}{∂y})(a, b) = 0 ∈ M(m×m, ℝ) .

Somit ist ∥(\frac{∂G}{∂y})(a, b)∥_{op} = 0. Wegen der Stetigkeit von \frac{∂G}{∂y} gibt es Umgebungen W_{1} ⊆ U_{1} von a und W_{2} ⊆ U_{2} von b, so daß

∥(\frac{∂G}{∂y})(x, y)∥_{op} ≤ \frac{1}{2}  für alle (x, y) ∈ W_{1} × W_{2} .  (1)

Entscheidend ist die Beobachtung

F (x, y) = 0  ⇔  y = G(x, y)  (2)

und insbesondere b = G(a, b). Damit führen wir die Lösung von F (x, y) = 0 nach y auf ein Fixpunktproblem zurück.

Wir konstruieren zunächst g als stetige Funktion. Die Gebiete können dann etwas größer gewählt werden. Wegen Differenzierbarkeit gilt

G(x, y)−G(x, η) = (DG)(x, η)∘\binom{0}{y − η}+ϕ(y−η) = (\frac{∂G}{∂y})(x, η)·(y−η)+ϕ(y−η)

für alle (x, y), (x, η) ∈ W_{1} × W_{2}. Dabei ist ϕ(y − η) = o(∥y − η∥), d.h. es gibt ein r > 0 mit

∥ϕ(y − η)∥ ≤ \frac{1}{4}∥y − η∥ für alle y ∈ W_{2} mit ∥y − η∥ < \frac{5}{2}r .  (3)

Da G(a, b) = b, gibt es wegen der Stetigkeit von F eine offene Umgebung V_{1} ⊆ W_{1} von a, so daß

sup_{x∈V_{1}} ∥G(x, b) − b∥ ≤ \frac{r}{4} .  (4)

Wir betrachten den Banachraum C_{b}(V_{1}, ℝ^{m}). Zu gegebenem γ ∈ C_{b}(V_{1}, ℝ^{m}), mit ∥γ∥ = sup_{x∈V_{1}} ∥γ(x)∥, werde eine Abbildung ψ : V_{1} → ℝ^{m} definiert durch

ψ(x) := G(x, γ(x)) = γ(x) − B^{−1} · F (x, γ(x)) .

Wegen der Stetigkeit von F ist ψ ebenfalls stetig. Wir zeigen nun: die Zuordnung γ ↦ ψ = T (γ) definiert eine Abbildung T, welche die abgeschlossene Teilmenge

A := {γ ∈ C_{b}(V_{1}, ℝ^{m}) : ∥γ − b∥ ≤ r} ⊆ C_{b}(V_{1}, ℝ^{m})

des Banachraums C_{b}(V_{1}, ℝ^{m}) auf sich selbst abbildet. Es gilt

∥ψ − b∥ = sup_{x∈V_{1}} |ψ(x) − b| = sup_{x∈V_{1}} |G(x, γ(x)) − G(x, b) + G(x, b) − b|

≤ sup_{x∈V_{1}} \underbrace{|G(x, γ(x)) − G(x, b)∥}_{Differenzierbarkeit} + \underbrace{sup_{x∈V_{1}} ∥G(x, b) − b∥}_{≤ \frac{r}{4} nach (4)}

≤ \frac{r}{4} + sup_{x∈V_{1}} ∥(\frac{∂G}{∂y})(x, b) · (γ(x) − b) + ϕ(γ(x) − b)∥ .

Nach (3) gilt ∥ϕ(γ(x)−b)∥ ≤ \frac{1}{4}∥γ(x)−b∥ ≤ \frac{r}{4} unter der Voraussetzung ∥γ−b∥ ≤ r. Nach (1) und Definition der Operatornorm folgt

∥(\frac{∂G}{∂y})(x, b) · (γ(x) − b)∥ ≤ ∥(\frac{∂G}{∂y})(x, b)∥_{op}∥γ(x) − b∥ ≤ \frac{r}{2}

für alle x ∈ V_{1} ⊆ W_{1} und |γ(x) − b| ≤ r. Damit ist ∥ψ − b∥ ≤ r falls |γ − b∥ ≤ r, und T : A → A bewiesen. Schließlich gilt wieder nach Differenzierbarkeit

∥T (γ_{1}) − T (γ_{2})∥ = sup_{x∈V_{1}} ∥G(x, γ_{1}(x)) − G(x, γ_{2}(x))∥

= sup_{x∈V_{1}} ∥(\frac{∂G}{∂y})(x, γ_{2}(x)) · (γ_{1}(x) − γ_{2}(x)) + ϕ(γ_{1}(x) − γ_{2}(x))∥

Wegen ∥γ_{1}(x) − γ_{2}(x)∥ ≤ ∥γ_{1}(x) − b∥ + ∥b − γ_{2}(x)∥ ≤ 2r < \frac{5}{2}r gilt ∥ϕ(γ_{1}(x) − γ_{2}(x)∥ < \frac{1}{4}∥γ_{1} − γ_{2}∥ nach (3), und nach Definition der Operatornorm und (1) ist

∥(\frac{∂G}{∂y})(x, γ_{2}(x)) · (γ_{1}(x) − γ_{2}(x))∥ ≤ \frac{1}{2}∥γ_{1} − γ_{2}∥

Damit ist ∥T (γ_{1}) − T (γ_{2})∥ ≤ \frac{3}{4}∥γ_{1} − γ_{2}∥ für alle γ_{1}, γ_{2} ∈ A bewiesen, somit T eine Kontraktion in A. Nach dem Banachschen Fixpunktsatz gibt es genau einen Fixpunkt γ_{∗} ∈ C_{b}(V_{1}, ℝ^{m}), und die eindeutige stetige Abbildung g = γ_{∗} : V_{1} → V_{2} ⊆ ℝ^{n} löst die Gleichung F (x, g(x)) = 0 für alle x ∈ V_{1}. (Dabei ist V_{2} = {y ∈ ℝ^{m} : ∥y − b∥ ≤ r} die Kugel um b mit Radius r).

Nun zur partiellen Differenzierbarkeit der Lösung. Die Jacobi-Matrix (\frac{∂F}{∂y})(x, y) ∈ M(m, ℝ) ist genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante ungleich Null ist. Da die Determinante als Polynom der Matrixelemente eine stetige Funktion der Matrixelemente ist und det B = det((\frac{∂F}{∂y})(a, b)) ≠ 0 ist, gibt es eine Umgebung V′_{1} ⊆ V_{1} von a, so daß (\frac{∂F}{∂y})(x, g(x)) invertierbar ist für alle x ∈ V′_{1}.

Sei F̃ : V′_{1} → ℝ^{m} definiert durch F̃(x) := F (x, g(x)), wobei g = (g_{1}, …, g_{m}) : V′_{1} → ℝ^{m} obige Lösung des Fixpunktproblems ist. Da F̃(x) = 0 für alle x = (x_{1}, …, x_{n}) ∈ V′_{1}, verschwinden auch alle partiellen Ableitungen von F̃:

0 = (\frac{∂F̃}{∂x_{j}} )(x) = (\frac{∂F}{∂x_{j}} )(x, y)|_{y=g(x)} + ∑_{i=1}^{m} (\frac{∂F}{∂y_{i}} )(x, y)|_{y=g(x)} · (\frac{∂g_{i}}{∂x_{j}} )(x) .

Sind K_{il}(x, y) die Matrixelemente der inversen Matrix J^{−1} = (K_{il}(x, y)) der Jacobi-Matrix

J = (J_{li}(x, y)) ∈ M(m, ℝ) , J_{li}(x, y) = (\frac{∂F_{l}}{∂y_{i}} )(x, y) ,

von F im Punkt (x, y), dann erhalten wir

(\frac{∂g_{i}}{∂x_{j}} )(x) = − ∑_{l=1}^{m} K_{il}(x, y)(\frac{∂F_{l}}{∂x_{j}} )(x, y)|_{y=g(x)} .

Insbesondere ist g : V′_{1} → ℝ^{m} partiell differenzierbar. Aus der stetigen Differenzierbarkeit von F und der Stetigkeit der Bildung der inversen Matrix folgt, daß die \frac{∂g_{i}}{∂x_{j}} stetig sind. Nach Satz 1.8 ist g dann total differenzierbar. □

Wichtig an diesem Beweis ist, daß er nicht nur Existenz und Eindeutigkeit der Lösung von F (x, y(x)) = 0 beweist, sondern auch ein konstruktives Verfahren angibt, mit der die Lösung beliebig genau approximiert werden kann. Dieses Verfahren kann insbesondere auf dem Computer implementiert werden.

Beispiel 3.3 Es sei F (x, y) = x^{2}+y^{2}−1 mit einer Lösung F (0, 1) = 0. Natürlich sind diese Gleichung auch exakt zu lösen, soll aber zur Veranschaulichung über das Fixpunktverfahren approximiert werden. Es ist B = (∂_{y}F)(0, 1) = 2, also G(x, y) = y − \frac{1}{2}(x^{2} + y^{2} − 1). Ohne nähere Diskussion der Gebiete versuchen wir die Fixpunkt-Konstruktion

y_{n+1} = y_{n} − \frac{1}{2}(x^{2} + y_{n}^{2} − 1) , y_{0} = 1 .

Die Konvergenz solcher rekursiv definierter Folgen hatten wir bereits im 1. Semester untersucht. Man zeigt, daß für |x| ≤ 1 die Folge (y_{n}) monoton fallend und nach unten durch 1 − x^{2} beschränkt ist. Für x = \frac{1}{2} sind die ersten Folgeglieder

y_{0} = 1 , y_{1} = \frac{7}{8} , y_{2} = \frac{111}{128} , y_{3} = \frac{28383}{32768} = 0.866180 ….

Zum Vergleich: \sqrt{\frac{3}{4}} = 0.866025 . . .. ◁

Weitere Informationen über die Lösung einer implizit definierten Funktion kann man aus dem Taylor-Polynom gewinnen.

Beispiel 3.4 Durch F (x, y) = x cos x + sin y − y^{2} werde implizit eine Funktion y(x) mit y(0) = 0 erklärt. Dann ist (∂_{y}F)(0, 0) = 1, das Fixpunkt-Verfahren also anwendbar. Für die Lösung gilt

y′(x) = −\frac{(∂_{x}F)(x, y(x))}{(∂_{y}F)(x, y(x))} = \frac{x sin x − cos x}{cos(y(x)) − 2y(x)}

und dann weiter nach Quotienten- und Kettenregel

y′′(x) = \frac{2 sin x + x cos x}{cos(y(x)) − 2y(x)} − \frac{x sin x − cos x}{( cos(y(x)) − 2y(x))^{2}} · ( − sin(y(x)) − 2) · y′(x)

= \frac{2 sin x + x cos x}{cos(y(x)) − 2y(x)} + \frac{(x sin x − cos x)^{2}}{( cos(y(x)) − 2y(x))^{3}} · ( sin(y(x)) + 2) .

Damit ist das Taylor-Polynom 2. Ordnung von y(x) im Punkt x = 0 gegeben durch

(T_{2}y)(x; 0) = y(0) + y′(0) · x + \frac{1}{2}y′′(0) · x^{2} = −x + x^{2} .  ◁

Eine weitere wichtige Anwendung des Satzes über implizite Funktionen ist das lokale Invertieren einer Abbildung f : V → U mit U, V ⊆ ℝ^{n}.

Satz 3.5 Sei V ⊆ ℝ^{n} offen und f : V → ℝ^{n} eine stetig differenzierbare Abbildung in einem Punkt b ∈ V. Das Differential von f sei invertierbar in b ∈ V, d.h. (Df)(b) ∈ GL(n, ℝ). Dann gibt es eine offene Umgebung V_{0} ⊆ V von b und eine offene Umgebung U_{0} ⊆ ℝ^{n} von a := f(b) so daß f : V_{0} → U_{0} bijektiv ist und die Umkehrabbildung g = f^{−1} : U_{0} → V_{0} stetig differenzierbar ist. Außerdem gilt (Dg)(a) = ((Df)(b))^{−1}.

Beweis. Wir verwenden den Satz über implizite Funktionen mit F : ℝ^{n} ×V → ℝ^{n} gegeben durch F (x, y) := x − f(y). Ziel ist lokale Auflösung nach y = g(x) = f^{−1}(x).

Es gilt F (a, b) = 0 und (\frac{∂F}{∂y})(a, b) = −(Df)(b) ∈ GL(n, ℝ). Nach dem Satz über implizite Funktionen existiert eine offene Umgebung U′ von a, eine Umgebung V′ ⊆ V von b und eine eindeutig bestimmte stetig differenzierbare Abbildung g : U′ → V′, so daß

F (x, g(x)) = x − f(g(x)) = 0 für alle x ∈ U′ .

Wegen der Stetigkeit von f gibt es eine offene Umgebung V_{0} ⊆ V′ von b mit f(V_{0}) := U_{0} ⊆ U′. Aus der Stetigkeit von g folgt, daß U_{0} offen ist. Also ist f : V_{0} → U_{0} bijektiv mit f^{−1} = g : U_{0} → V_{0}.

Aus y = g(f(y)) und der Kettenregel folgt

(D(g ∘ f))(y) = E_{n} = (Dg)(f(y)) · (Df)(y) für alle y ∈ V_{0}

und insbesondere (Dg)(a) = ((Df)(b))^{−1}. □

Definition 3.6 Unter einem Diffeomorphismus zwischen offenen Teilmengen U, V ⊆ ℝ^{n} versteht man eine bijektive stetig differenzierbare Abbildung f : V → U, so daß f^{−1} ebenfalls stetig differenzierbar ist.

Der Satz 3.5 über die lokale Invertierbarkeit besagt also, daß sich jede stetig differenzierbare Abbildung f : V → U, deren Differential in einem Punkt b ∈ V invertierbar ist, zu einem lokalen Diffeomorphismus fortsetzen läßt. Wir werden das an vielen Stellen benötigen, z.B. in der Theorie der Untermannigfaltigkeiten, die man lokal “geradebiegen” kann, oder bei der höherdimensionalen Verallgemeinerung der Substitutionsregel in Integralen.

Beispiel 3.7 (Kartesischen Koordinaten und Polarkoordinaten) Sei f : ℝ_{+}^{×} × ℝ → ℝ^{2} gegeben durch f(r, ϕ) := (r cos ϕ, r sin ϕ). Das totale Differential (Jacobi-Matrix) ist

(Df)(r, ϕ) = ( \begin{matrix}\frac{∂f_{1}}{∂r} & \frac{∂f_{1}}{∂ϕ} \\ \frac{∂f_{2}}{∂r} & \frac{∂f_{2}}{∂ϕ} \end{matrix} ) (r, ϕ) = ( \begin{matrix}cos ϕ & −r sin ϕ \\ sin ϕ & r cos ϕ \end{matrix} )

Damit gilt det((Df)(r, ϕ)) = r > 0, die Jacobi-Matrix ist also in jedem Punkt (r, ϕ) ∈ ℝ_{+}^{∗} × ℝ invertierbar. Folglich ist f in jedem Punkt von ℝ^{2} \ {0} lokal invertierbar. Das ist in diesem Fall auch direkt zu erhalten: Ist f(r, ϕ) = (x, y), dann ist r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} und cos ϕ = \frac{x}{r}, sin ϕ = \frac{y}{r}. Damit erhalten wir die Jacobi-Matrix für eine lokale Umkehrung g : U → V mit f(g(x, y)) = (x, y) zu

(Dg)(x, y) = ((Df)(r, ϕ))^{−1} = ( \begin{matrix}cos ϕ & sin ϕ \\ −\frac{sin ϕ}{r} & \frac{cos ϕ}{r} \end{matrix} ) = ( −\frac{y}{x^{2}+y^{2}}  \frac{x}{x^{2}+y^{2}}^{\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}  \frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}} ) .

Eine Bijektion läßt sich z.B. finden zwischen

f : ℝ_{+}^{∗}× ]−\frac{π}{2}, \frac{π}{2}[ → ℝ_{+}^{∗} × ℝ .

Für (x, y) ∈ ℝ_{+}^{∗} × ℝ setzen wir dann g(x, y) = (\sqrt{x^{2} + y^{2}}, arctan \frac{y}{x}). Es existiert aber keine globale Bijektion f : ℝ_{+}^{∗} × ℝ → ℝ^{2}, da f periodisch im Winkel ϕ ist. ◁

4 Untermannigfaltigkeiten

Definition 4.1 Eine Teilmenge M ⊆ ℝ^{n+k} heißt n-dimensionale Untermannigfaltigkeit, wenn zu jedem Punkt a ∈ M eine offene Umgebung U ⊆ ℝ^{n+k} von a und eine stetig differenzierbare Abbildung f : U → ℝ^{k} existieren, so daß

i) U ∩ M = f^{−1}(0),

ii) für alle x ∈ U mit f(x) = 0 ∈ ℝ^{k} hat das Differential (Df)(x) ∈ M(k ×

(n + k), ℝ) den maximalen Rang k. Mit diesen Bezeichnungen heißt k die Kodimension von M.

Beispiel 4.2 (Sphäre S^{n}) Dazu sei U := ℝ^{n+1} \ {0} und f : U → ℝ^{1} gegeben durch f(x) = x_{1}^{2} + ⋯ + x_{n+1}^{2} − 1. Dann ist rang((Df)(x)) = rang(2(x_{1}, …, x_{n+1})) = 1 für alle x ∈ U. Somit ist

U ∩ S^{n} = S^{n} = f^{−1}(0) = {(x_{1}, …, x_{n+1}) ∈ ℝ^{n+1} : x_{1}^{2} + ⋯ + x_{n+1}^{2} = 1}

eine n-dimensionale Untermannigfaltigkeit. Die Kodimension ist 1. ◁

Definition 4.3 Sei M ⊆ ℝ^{n+k} Untermannigfaltigkeit, a ∈ M und f : U → ℝ^{k} die die Untermannigfaltigkeit M definierende differenzierbare Abbildung mit a ∈ U ⊆ ℝ^{n+k}. Dann heißt der Untervektorraum

T_{a}(M) := ker((Df)(a)) = {v ∈ ℝ^{n+k} : (Df)(a) · v = 0} ⊆ ℝ^{n+k}

der Tangentialraum von M im Punkt a ∈ M. Sei orthogonales Komplement bezüglich des kanonischen Skalarprodukts ⟨ , ⟩ im ℝ^{n+k},

N_{a}(M) := T_{a}(M)^{⊥} := {w ∈ ℝ^{n+k} : ⟨v, w⟩ = 0 für alle v ∈ T_{a}(M)}

heißt der Normalenvektorraum von M im Punkt a. Elemente v ∈ T_{a}(M) bzw. w ∈ N_{a}(M) heißen Tangentialvektoren bzw. Normalenvektoren an M im Punkt a.

Als Kern einer linearen Abbildung ist T_{a}(M) ⊆ ℝ^{n+k} ein Untervektorraum. Wegen dim(ℝ^{n+k}) = dim(ker(Df)) + rang(Df) ist dim(T_{a}(M)) = n für alle a ∈ M. Nach dem Schmidtschen Orthonormalisierungsverfahren ist N_{a}(M) ein k-dimensionaler Vektorraum.

Beispiel 4.4 Es sei M = S^{2} ⊆ ℝ^{3} die Untermannigfaltigkeit aus Beispiel 4.2 zu f(x) = x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}−1 und a = (cos α sin β, sin α sin β, cos β) ∈ S^{2}, mit α ∈ [0, 2π] und β ∈ [0, π]. Dann ist (Df)(a) = 2a ∈ M(1 × 3, ℝ). Auflösung des linearen Gleichungssystems ergibt nach sinnvoller Wahl der Skalierung

T_{a}S^{2} = span (( \begin{matrix}sin α \\ − cos α \\ 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}cos α cos β \\ sin α cos β \\ − sin β \end{matrix} )) .

Sinnvollerweise haben wir die aufspannenden Vektoren als Orthonormalsystem gewählt. Schließlich wird der Normalenvektorraum durch den Radiusvektor aufgespannt, N_{a}S^{2} = ℝa^{t}. ◁

Definition 4.5 Sei T ⊆ ℝ^{n} offen. Eine stetig differenzierbare Abbildung ϕ : T → ℝ^{n+k} heißt Immersion, wenn rang((Dϕ)(t)) = n für alle t ∈ T.

Satz 4.6 (lokales Koordinatensystem) Sei M ⊆ ℝ^{n+k} eine n-dimensionale Untermannigfaltigkeit. Dann gibt es zu jedem Punkt a ∈ M eine offene Umgebung V ⊆ M, eine offene Teilmenge T ⊆ ℝ^{n} und eine Immersion ϕ : T → ℝ^{n+k}, die T homöomorph auf V abbildet.

Ein Homöomorphismus war eine bijektive stetige Abbildung ϕ mit stetigem Inversen ϕ^{−1}.

Lemma 4.7 (angepaßte Koordinaten) Sei M ⊆ ℝ^{n+k} eine n-dimensionale Untermannigfaltigkeit. Dann gibt es zu jedem a ∈ M eine Zerlegung ℝ^{n+k} = T_{a}(M) ⊕ N_{a}(M) ≃ ℝ^{n} × ℝ^{k} mit offenen Mengen U_{1} ⊆ T_{a}(M) ≃ ℝ^{n} und U_{2} ⊆ N_{a}(M) ≃ ℝ^{k} sowie eine differenzierbare Abbildung g : U_{1} → U_{2}, so daß M ∩ (U_{1} × U_{2}) = {(y, g(y)) : y ∈ U_{1}}.

[figure: a; U_{1} × U_{2}; M; z_{0}; y_{0}; g(y); y]

Beweis: Im ℝ^{n+k} werde ein Koordinatensystem so gewählt, daß die ersten n Koordinatenrichtungen den Tangentialraum T_{a}(M) aufspannen und die letzten k Koordinatenrichtungen den Normalenvektorraum N_{a}(M). In diesen Koordinaten habe x ∈ M die Darstellung x = (y, z) mit y ∈ ℝ^{n} und z ∈ ℝ^{k}. Speziell ist a = (y_{0}, z_{0}). Seien V_{1} ⊆ ℝ^{n} eine offene Umgebung von y_{0} und V_{2} ⊆ ℝ^{k} eine offene Umgebung von z_{0}, so daß rang((Df)((y, z))) = k für alle (y, z) ∈ M ∩ (V_{1} × V_{2}). Sei (Df)(y, z) =: (a_{ij}(y, z)) mit a_{ij}(y, z) = \frac{∂f_{i}}{∂y_{j}} (y, z) für 1 ≤ j ≤ n und a_{i,n+j}(y, z) = \frac{∂f_{i}}{∂z_{j}} (y, z) für 1 ≤ j ≤ k. Die Jacobi-Matrix bezüglich der 2. Kompenente ist invertierbar in (y_{0}, z_{0}), d.h. \frac{∂f}{∂z} (y_{0}, z_{0}) ∈ GL(k, ℝ): Für w ≠ 0 ist \binom{0}{w} ∈ ( ker((Df)(y_{0}, z_{0})))^{⊥}, also 0 ≠ (Df(y_{0}, z_{0})) · \binom{0}{w} = \frac{∂f}{∂z} (y_{0}, z_{0}) · w, d.h. \frac{∂f}{∂z} (y_{0}, z_{0}) ist injektiv, wegen der Gleichheit der Dimensionen dann bijektiv. Nach dem Satz über implizite Funktionen existiert eine offene Umgebung U_{1} ⊆ V_{1} von y_{0} und eine offene Umgebung U_{2} ⊆ V_{2} von z_{0} sowie eine eindeutig bestimmte stetig differenzierbare Abbildung g : U_{1} → U_{2} mit f(y, g(y)) = 0 für alle y ∈ U_{1}.

□

Beispiel 4.8 Wir sehen uns diese Konstruktion für die S^{2} aus Beispiel 4.4 an. Für a, x ∈ S^{2} war T_{a}S^{2} = span(u, v) und N_{a}S^{2} = span(a) mit

a = (\begin{matrix}cos α sin β \\ sin α sin β \\ cos β \end{matrix}) , x = (\begin{matrix}cos σ sin τ \\ sin σ sin τ \\ cos τ \end{matrix}) , u = (\begin{matrix}sin α \\ − cos α \\ 0 \end{matrix}) , v = (\begin{matrix}cos α cos β \\ sin α cos β \\ − sin β \end{matrix}) .

Die Vektoren (a, u, v) bilden ein Orthonormalsystem. Deshalb ist die Zerlegung x = (y, z) entsprechend ℝ^{n+k} = T_{a}S^{2} ⊕ N_{a}S^{2} die orthogonale Projektion

y = P_{T_{a}S^{2}}(x) = ⟨u, x⟩u + ⟨v, x⟩v

= sin(α − σ) sin τ · u + ( sin τ cos β cos(α − σ) − cos τ sin β)v =: y_{1}u + y_{2}v

und

z = P_{N_{a}S^{2}}(x) = ⟨a, x⟩a = ( sin τ sin β cos(α − σ) − cos τ cos β)a =: z_{1}a .

Die Aussage des Lemmas ist nun, daß es eine stetig differenzierbare Abbildung g : U_{1} → U_{2}, mit U_{1} ⊆ T_{a}S^{2} und U_{2} ⊆ N_{a}S^{2} gibt mit f(y, g(y)) = 0. Diese Abbildung ist g(y) = z_{1}(y_{1}, y_{2}) = \sqrt{1 − y_{1}^{2} − y_{2}^{2}}. ◁

Beweis von Satz 4.6. Nach Lemma 4.7 existieren offene Teilmengen U_{1} ⊆ ℝ^{n} und U_{2} ⊆ ℝ^{k} sowie eine stetig differenzierbare Abbildung g : U_{1} → U_{2}, so daß M ∩(U_{1} ×U_{2}) = {(y, g(y)) : y ∈ U_{1}}. Wir setzen V = M ∩(U_{1} ×U_{2}) und T = U_{1} sowie ϕ(y) = (y, g(y)). Surjektivität von ϕ : T → V folgt aus der Konstruktion und Injektivität aus der Eindeutigkeit von g. Dann ist ϕ^{−1} : (y, g(y)) ↦ y die Projektion auf die erste Komponente, und damit stetig.

Schließlich gilt (Dϕ)(y) = ( \begin{matrix}E_{n} \\ (Dg)(y) \end{matrix} ). Da g differenzierbar auf T ist, ist

auch ϕ differenzierbar in y, und es gilt rang((Dϕ)(y)) = n. Damit ist ϕ : T → V eine Immersion. □

Beispiel 4.9 Wir diskutieren die Immersion ϕ : T → V für das Beispiel 4.8. Aus dem geometrischen Bild der Orthogonalprojektion der Sphäre auf ihren Tangentialraum ist klar, daß wir T = K_{r}(0) = {(y_{1}, y_{2}) ∈ ℝ^{2} : y_{1}^{2} + y_{2}^{2} < r^{2}} für beliebiges 0 < r < 1 wählen können. Die Aussage des Satzes ist nun, daß es eine differenzierbare bijektive Umrechnung ϕ mit differenzierbarem Inversen zwischen Punkten (y_{1}, y_{2}) ∈ T und Punkten x = (α, β) ∈ V ⊆ S^{2} einer Teilmenge der Sphäre gibt. Diese Umkehrabbildung ϕ^{−1} : V → T ist gegeben durch

ϕ^{−1} ( \begin{matrix}α \\ β \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}sin(α − σ) sin τ \\ sin τ cos β cos(α − σ) − cos τ sin β \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}y_{1} \\ y_{2} \end{matrix} ) .

Sie ist nach Konstruktion umkehrbar. ◁

Es sei bemerkt, daß auch die Umkehrung von Satz 4.6 gilt: Ist eine Immersion ϕ mit diesen Eigenschaften gegeben, dann kann man zeigen, daß M Untermannigfaltigkeit ist. Die Immersion ϕ ist nicht eindeutig. Man kann die Konstruktion im Beweisen von Satz 4.6 mit beliebigen Diffeomorphismen von T deformieren, ohne daß sich an der Aussage etwas ändert.

Satz 4.10 Sei M ⊆ ℝ^{n+k} eine n-dimensionale Untermannigfaltigkeit, lokal definiert durch die Abbildung f = (f_{1}, …, f_{k}) : U → ℝ^{k}, mit U ⊆ ℝ^{n+k} offen. Sei a ∈ M ∩ U ein Punkt und ϕ = (ϕ_{1}, …, ϕ_{n+k}) : T → ℝ^{n+k} die nach Satz 4.6 existierende Immersion (z.B. konstruiert aus f), die T ⊆ ℝ^{n} homöomorph auf eine Umgebung V ⊆ M von ϕ(t_{a}) = a ∈ M abbildet. Dann gilt (unabhängig von der konkreten Wahl von ϕ):

i) Zu jedem Tangentialvektor v ∈ T_{a}(M) im Sinne von Definition 4.5 gibt es eine Kurve c : ]−ϵ, ϵ[ → M durch a = c(0), so daß v Tangentialvektor an c im Punkt a ist.

ii) Ist umgekehrt v ein Tangentialvektor an eine Kurve c : I → M durch a ∈ M, dann gilt v ∈ ker(Df)(a) = T_{a}(M).

iii) Die Familie ((∂_{j}ϕ)(t_{a}))_{j=1,...,n} der Vektoren (∂_{j}ϕ)(t_{a}) ∈ ℝ^{n+k} ist eine Basis von T_{a}(M).

iv) Die Familie ((grad f_{i})(a))_{i=1,...,k} der Vektoren (grad f_{i})(a) ∈ ℝ^{n+k} ist eine Basis von N_{a}(M).

Beweis. Sei c : I → M eine Kurve auf M durch c(0) = a, wobei das Intervall I = ]−ϵ, ϵ[ so gewählt sei, daß die Kurve γ = ϕ^{−1} ∘ c : I → T durch t_{a} = γ(0) = ϕ^{−1}(a) vollständig in T liegt. Wegen f(ϕ(t)) = 0 für alle t ∈ T gilt

0 = (D(f ∘ ϕ))(t_{a}) = (Df)(a) · (Dϕ)(t_{a}) ∈ M(k × n, ℝ) .  (*)

Schreiben wir (Dϕ)(t_{a}) = (v_{1}, …, v_{n}) ∈ M((n + k) × n, ℝ), mit Spaltenvektoren v_{j} = (∂_{j}ϕ)(t_{a}) ∈ ℝ^{n+k}, so folgt v_{j} ∈ ker((Df)(a)) = T_{a}(M) für alle 1 ≤ j ≤ n.

iii) Wegen rang((Dϕ)(t)) = rang((∂_{j}ϕ_{i})(t)) = n ist die Familie (v_{j})_{j=1,...,n} linear unabhängig und spannt somit einen n-dimensionalen Untervektorraum von ℝ^{n+k} auf, der wegen der Gleichheit der Dimensionen identisch mit T_{a}(M) ist. Also ist ((∂_{j}ϕ)(t_{a}))_{j=1,...,n} eine Basis von T_{a}(M).

i) Damit läßt sich jeder Vektor v ∈ T_{a}(M) schreiben als v = ∑_{i=1}^{n} α_{i}v_{i}. Zum entsprechenden Vektor α = (α_{1}, …, α_{n}) ∈ ℝ^{n} wählen wir die Kurven γ : ] − ϵ, ϵ[ → T mit γ(τ) = t_{a} + τα und c(τ) = ϕ(γ(τ)). Dann ist

c′(0) = (D(ϕ ∘ γ))(0) = (Dϕ)(γ(0)) · γ′(0) = ∑_{i=1}^{n}(∂_{i}ϕ)(t_{a})\frac{dγ_{i}}{dτ} |_{τ=0}

= ∑_{i=1}^{n}(∂_{i}ϕ)(t_{a})α_{i} = v .

ii) Sei c : I → M mit c(τ_{a}) = a. Dann ist (f ∘ c)(τ) = 0 für alle τ ∈ I, so daß das Differential verschwindet:

(D(f ∘ c))(τ_{a}) = (Df)(a) · c′(τ_{a}) = 0  ⇒  c′(τ_{a}) ∈ T_{a}(M) .

iv) Wegen (Df)(a) = (a_{ij}) ∈ M(k × (n + k), ℝ), a_{ij} = (∂_{j}f_{i})(a) sind die Zeilen von (Df)(a) gegeben durch die Vektoren (grad f_{i})(a), i = 1, …, k. Nach (*) gilt (Df)(a) · v = 0 für alle v ∈ T_{a}(M) und somit (grad f_{i})(a) ∈ N_{a}(M). Wegen rang((Df)(a)) = k ist die Familie ((grad f_{i})(a))_{i=1,...,n} linear unabhängig und damit wegen der Gleichheit der Dimensionen eine Basis von N_{a}(M). □

Satz 4.11 (Extrema mit Nebenbedingungen) Sei M ⊆ ℝ^{n+k} eine ndimensionale Untermannigfaltigkeit, lokal definiert durch die Abbildung f = (f_{1}, …, f_{k}) : U → ℝ^{k}, für U ⊆ ℝ^{n+k} offen, mit M ∩ U = f^{−1}(0) und (rang(Df)(x)) = k für alle x ∈ M ∩ U.

Gegeben sei eine stetig differenzierbare Funktion F : U → ℝ, so daß die Einschränkung F |_{M} : M ∩ U → ℝ im Punkt a ∈ M ein lokales Maximum (bzw. Minimum) besitzt, d.h. es gibt eine Umgebung V ⊆ M ∩ U von a, so daß

F (b) ≤ F (a)  bzw. F (b) ≥ F (a)  für alle b ∈ V .

Dann gilt (grad F)(a) ∈ N_{a}(M), es gibt also Konstanten λ_{1}, …, λ_{k}, so daß

(grad F)(a) = ∑_{i=1}^{k} λ_{i}(grad f_{i})(a) .

Diese Konstanten λ_{1}, …, λ_{k} heißen Lagrange-Multiplikatoren.

Beweis. Da F |_{M} in a ∈ M ein lokales Extremum hat, hat die nochmalige Einschränkung auf eine beliebige Kurve c : ]−ϵ, ϵ[ → M durch c(0) = a ein lokales Extremum in t = 0:

0 = (\frac{d}{dτ} (F ∘ c))(0) = (DF)(a) · c′(0) .

Da c′(0) ∈ T_{a}(M) als beliebiger Tangentialvektor gewählt werden kann, ist (DF)(a) = (grad F)(a) ∈ (T_{a}(M))^{⊥} = N_{a}(M). □

Wir geben einige Anwendungen. Der folgende Satz liefert ein numerisch umsetzbares Verfahren, um den größten und kleinsten Eigenwert einer symmetrischen Matrix zu bestimmen:

Satz 4.12 Für eine symmetrische Matrix A = A^{t} ∈ M(n, ℝ) nimmt die Einschränkung der durch F (x) = ⟨x, Ax⟩ definierten Funktion F : ℝ^{n} → ℝ auf die Einheitssphäre S^{n−1} ihr Maximum und Minimum in einem Eigenvektor an, und der Lagrange-Multiplikator ist der Eigenwert.

Beweis. Die S^{n−1} ist Untermannigfaltigkeit im ℝ^{n} definiert durch die Nebenbedingung f(x) = ⟨x, x⟩−1. Als stetige Abbildung auf dem kompakten Raum S^{n−1} nimmt F : S^{n−1} → ℝ das Supremum in einem Punkt v ∈ S^{n−1} an. In diesem Punkt gilt nach Satz 4.11

(grad F)(v) = 2Av = λ(gradf)(v) = 2λv ,

also Av = λv und dann ⟨v, Av⟩ = λ⟨v, v⟩ = λ. Analog für das Infimum. □

Die Methode läßt sich fortsetzen, um iterativ sämtliche Eigenwerte und Eigenvektoren einer symmetrischen Matrix zu bestimmen. Sind v_{1}, …, v_{k} Eigenvektoren zu λ_{1} ≥ λ_{2} ≥ ⋯ ≥ λ_{k}, dann betrachtet man iterativ die Einschränkung von F auf M_{k} := S^{n−1} ∩ (span(v_{1}, …, v_{k}))^{⊥}, gegeben durch die Nebenbedingungen F_{k+1}(x) = ⟨x, x⟩ − 1 und F_{j} = 2⟨v_{j}, x⟩ für 1 ≤ j ≤ k. Die Differentiale (DF_{k+1})(x) = 2x^{t} und (DF_{j})(x) = 2v_{j}^{t} sind linear unabhängig. Der Durchschnitt abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen, damit ist M_{k} kompakt, und F nimmt wieder ihr Supremum in einem Punkt v_{k+1} ∈ M_{k} an. Somit gibt es μ_{1}, …, μ_{k}, λ_{k+1} mit

(grad F)(v_{k+1}) = 2Av_{k+1} = 2λ_{k+1}v_{k+1} + 2 ∑_{j=1}^{k} μ_{j}v_{j} .

Skalarprodukt mit v_{k+1} liefert unter Verwendung von ⟨v_{j}, v_{k+1}⟩ = δ_{j,k+1} wie zuvor λ_{k+1} = F (v_{k+1}). Insbesondere ist so bewiesen, daß jede symmetrische Matrix A = A^{t} ∈ M(n, ℝ) diagonalisierbar ist und daß es im ℝ^{n} eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von A gibt.

Satz 4.13 (Arithmetisches ≥ geometrisches Mittel) Für beliebige a_{1}, …, a_{n} ≥ 0 gilt

\frac{a_{1} + a_{2} + ⋯ + a_{n}}{n} ≥ \sqrt[n]{a_{1} · a_{2} ⋯ a_{n}}

mit Gleichheit genau für a_{1} = ⋯ = a_{n}.

Beweis. i) Es sei M die n − 1-dimensionale Untermannigfaltigkeit

M = {x = (x_{1}, …, x_{n}) ∈ ℝ^{n} : x_{i} > 0 , f(x) := x_{1} + ⋯ + x_{n} − 1 = 0} ,

betrachtet als Durchschnitt von (ℝ_{+}^{×})^{n} mit f^{−1}(0). Dann hat (Df)(x) = (1, …, 1) maximalen Rang. Wir betrachten die Einschränkung der Funktion F (x) = x_{1}x_{2} ⋯ x_{n} auf den kompakten Abschluß \overline{M} von M. Nach Extremwertsatz nimmt F das Supremum in einem Punkt y ∈ \overline{M} an, und da F (x) = 0 für x ∈ \overline{M} \ M, gilt sogar y ∈ M. Somit gibt es \underline{ein} λ mit

(∂_{i}F)(y) = \frac{y_{1} ⋯ y_{n}}{y_{i}} = λ(∂_{i}f)(y) = λ \underline{für alle} i = 1, … n ,

also y_{1} = y_{2} = ⋯ = y_{n} = \frac{1}{n} und damit x_{1} · x_{2} ⋯ x_{n} ≤ \frac{1}{n^{n}} für alle x ∈ M mit Gleichheit genau für x = y.

ii) Seien nun a_{1}, …, a_{n} > 0 und a := a_{1} + ⋯ + a_{n}. Wir setzen x_{i} = \frac{a_{i}}{a}, dann gilt nach i)

x_{1} · x_{2} ⋯ x_{n} = \frac{a_{1} · a_{2} ⋯ a_{n}}{a^{n}} ≤ \frac{1}{n^{n}} .

Elementare Umformungen liefern die Behauptung. Für Randpunkte mit a_{i} = 0 ist die Ungleichung offensichtlich erfüllt. □

Durch ähnliche Techniken erhält man einen weiteren Beweis der Hölderschen

Ungleichung | ∑_{i=1}^{n} x_{i}y_{i}| ≤ ( ∑_{i=1}^{n} |x_{i}|^{p})^{\frac{1}{p}} ( ∑_{i=1}^{n} |y_{i}|^{q})^{\frac{1}{q}} für x_{i}, y_{i} ∈ ℝ und \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1.

Untermannigfaltigkeiten spielen eine wichtige Rolle in der Mechanik. Gegeben sei ein mechanisches System aus N Teilchen (gleicher Masse m). Eine Konfiguration des Systems wird beschrieben durch einen Punkt x = (x_{1}, …, x_{3N}) ∈ ℝ^{3N} (Angabe aller Koordinaten zu gegebenem Zeitpunkt). Dem System werden k holonome Zwangsbedingungen auferlegt, beschrieben durch k Gleichungen f_{1}(x) = 0, …, f_{k}(x) = 0. Wir setzen voraus, daß die aus den partiellen Ableitungen a_{ij}(x) := (\frac{∂f_{i}}{∂x_{j}})(x) gebildete Matrix der partiellen Ableitungen maximalen Rang hat, rang(a_{ij}(x)) = k für alle x ∈ M. Dann definieren die Gleichungen eine n = (3N − k)-dimensionale Untermannigfaltigkeit M ⊆ ℝ^{n+k}. Konfigurationen des Systems mit Zwangsbedingungen sind dann durch Punkte aus M zu beschreiben. Die Dimension von M entspricht der Zahl der Freiheitsgrade.

Nach Satz 4.6 gibt es zu jedem Punkt a ∈ M eine offene Umgebung V ⊆ M sowie eine Umgebung T ⊆ ℝ^{n} und eine Immersion ϕ : T → M, die T homöomorph auf V abbildet. Die Koordinaten (q_{1}, …, q_{n}) eines Punktes q ∈ T heißen verallgemeinerte Koordinaten.

Sei (K(a)) ∈ ℝ^{3N} eine Familie von Kräften, die auf die Teilchen wirken. Dann wird die Beschleunigung der Teilchen beschrieben durch das d’Alembertsche Prinzip

⟨mẍ(a) − K(a), v⟩ = 0 für beliebige v ∈ T_{a}M .

Die Forderung besagt, daß die durch Z(a) := mẍ(a) − K definierte Zwangskraft keine virtuelle Arbeit verrichtet bzw. ein Normalenvektor ist. Somit gibt es Lagrange-Multiplikatoren λ_{l}, l = 1, …, k mit Z(a) = ∑_{l=1}^{k} λ_{l}(a) (grad f_{l})(a). Es liegt dann nahe, die Zwangskraft mit dem Gradienten einer Funktion W : U → ℝ in Verbindung zu setzen, deren Einschränkung auf M im Punkt a ein lokales Extremum hat. Diese Funktion ist die Wirkung und die Extremalitätsforderung heißt Hamiltonsches Prinzip.

Beispiel 4.14 Eine eindimensionale Untermannigfaltigkeit M ⊆ ℝ^{2} werde durch f(x_{1}, x_{2}) = \frac{1}{2}(l^{2} − x_{1}^{2} − x_{2}^{2}) = 0 definiert. Das ist relevant für die Dynamik eines ebenen Pendels, bestehend aus einem Massenpunkt aufgehängt an einem masselosen Seil der Länge l. Es gilt

(Df)(x) = (−x_{1}, −x_{2}) , rang((Df)(x)) = 1 für x_{1}^{2} + x_{2}^{2} ≠ 0 .

Damit bildet n(x) := (grad f)(x) = (−x_{1}, −x_{2}) eine Basis von N_{(x_{1},x_{2})}(M) und v(x) = (−x_{2}, x_{1}) eine Basis von T_{(x_{1},x_{2})}(M). Auf den Massepunkt wirke die Kraft (K_{1}, K_{2}) = (0, −mg). Das d’Alembertsche Prinzip liefert

(mẍ_{1}, mẍ_{2} + mg) = λ(x)( − x_{1}, −x_{2}) .  (*)

Zusammen mit der Gleichung f = 0 haben wir 3 Gleichungen zur Bestimmung der 3 Funktionen x_{1}, x_{2}, λ(x). Skalarprodukt von (*) mit (ẋ_{1}, ẋ_{2}) und Verwendung von x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = l^{2}, also x_{1}ẋ_{1} + x_{2}ẋ_{2} = 0, liefert den Energieerhaltungssatz

E = \frac{m}{2}((ẋ_{1})^{2} + (ẋ_{2})^{2}) + mgx_{2} = const .

Skalarprodukt von (*) mit (x_{1}, x_{2}) und Verwendung von x_{1}ẍ_{1} + x_{2}ẍ_{2} + (ẋ_{1})^{2} + (ẋ_{2})^{2} = 0 liefert

λ(x) = \frac{m}{l^{2}}((ẋ_{1})^{2} + (ẋ_{2})^{2} − gx_{2}) = \frac{1}{l^{2}} (2E − 3mgx_{2}) .

Die Zwangskraft Z = (−λx_{1}, −λx_{2}) ist dann die Seilspannung. Die Gleichungen lassen sich in Polarkoordinaten x_{1} = l sin ϕ und x_{2} = −l cos ϕ entkoppeln (ϕ = 0 ist die Ruhelage). Der Betrag der Seilspannung ist dann ∥Z∥ = mlϕ̇^{2}+mg cos ϕ = \frac{mv^{2}}{l} + mg cos ϕ, mit v^{2} := ∥ẋ∥^{2} = l^{2}ϕ̇^{2}. ◁

In der Statistischen Physik spielt die Boltzmann-Verteilung eine wichtige Rolle, die sich ebenfalls aus einem Extremalproblem mit Nebenbedingung ergibt:

Beispiel 4.15 (Boltzmann-Verteilung) Ein System besitze N Energieniveaus E_{1}, …, E_{N}, wobei das Niveau E_{i} mit Wahrscheinlichkeit p_{i} angenommen wird. Die Gesamtenergie ist dann U = ∑_{i=1}^{N} E_{i}p_{i} unter der Nebenbedingung f(p_{i}) = ∑_{i=1}^{N} p_{i} − 1 = 0. Der Wahrscheinlichkeitsverteilung wird eine Entropie S = −k_{B} ∑_{i=1}^{N} p_{i} ln p_{i} zugeordnet, wobei k_{B} die Boltzmann-Konstante ist. Es wird nun jene Verteilung realisiert, die die freie Energie F = U − T S minimiert, wobei T die Temperatur ist. Somit gilt

\frac{∂F}{∂p_{i}} = E_{i} + k_{B}T (1 + ln p_{i}) = λ\frac{∂f}{∂p_{i}} = λ1 ,

oder p_{i} = exp (\frac{λ}{k_{B}T} − 1 − \frac{E_{i}}{k_{B}T} ). Die Nebenbedingung ∑_{i=1}^{N} p_{i} = 1 erzwingt

exp (\frac{λ}{k_{B}T} − 1) = \frac{1}{Z} mit Z = ∑_{i=1}^{N} e^{− \frac{E_{i}}{k_{B} T}}

Dabei heißt Z die Zustandssumme, und insgesamt folgt p_{i} = \frac{1}{Z} e^{− \frac{E_{i}}{k_{B} T}}. ◁

5 Differenzierbare Kurven

Eine eindimensionale Untermannigfaltigkeit im ℝ^{n} ist eine differenzierbare Kurve mit nicht verschwindendem Tangentialvektor, denn die zugehörige Immersion ϕ = c : I → ℝ^{n} bildet ein offenes Intervall I ⊆ ℝ homöomorph auf die Teilmenge M = c(I) ⊆ ℝ^{n} ab. Diese Teilmenge heißt die Spur der Kurve c. Die Umkehrung gilt nicht immer: Wenn die Spur der Kurve sich selbst schneidet, ist c nicht bijektiv. Die Rangbedingung ist verletzt für c′(t) = 0.

Definition 5.1 Eine differenzierbare Kurve c : I → ℝ^{n} heißt regulär, falls c′(t) ≠ 0.

Im folgenden beschränken wir uns auf reguläre Kurven. Selbstschnittpunkte der Spur sind zugelassen.

Satz 5.2 Es sei I ⊆ ℝ ein offenes Intervall und c : I → ℝ^{n} eine reguläre stetig differenzierbare Kurve mit c(t) = (c_{1}(t), …, c_{n}(t)) und c′_{1} ≠ 0 auf I. Dann gilt:

i) c_{1} : I → J ist eine Diffeomorphismus zwischen offenen Intervallen.

ii) Es sei M = c(I) die Spur der Kurve. Auf der Teilmenge U = J × ℝ^{n−1} ⊆ ℝ^{n} existiert eine differenzierbare Abbildung f : U → ℝ^{n−1} mit rang((Df)(x)) = n − 1 und M ∩ U = f^{−1}(0). Insbesondere ist M eine Untermannigfaltigkeit.

Beweis. Nach Voraussetzung ist c_{1} : I → J ein Diffeomorphismus mit Umkehrung c_{1}^{−1} : J → I. Setze f = (f_{2}, …, f_{n}) mit f_{j} = x_{j} − c_{j}(c_{1}^{−1}(x_{1})). Dann ist das Differential nach Kettenregel gegeben in Blockdarstellung durch (Df)(x) = (v(x_{1}), E_{n−1}) ∈ M((n − 1) × n, ℝ) mit v_{i}(x_{1}) = c′_{i+1}(c_{1}^{−1}(x_{1})) · (c′_{1}(c_{1}^{−1}(x_{1})))^{−1}, hat somit maximalen Rang. Zusammen mit t = c_{1}^{−1}(x_{1}) definieren die Nullstellen x_{j} = c_{j}(t) die Spur. □

Offenbar verhindert die Bedingung c′_{1} ≠ 0 Selbstschnittpunkte, denn c_{1} bleibt monoton wachsend bzw. fallend.

Es sei c : I → ℝ^{n} eine stetige Kurve und T = {t_{0}, …, t_{m}} eine endliche Teilmenge von I mit t_{0} < t_{1} < …, t_{m}. Dann definieren die zugehörigen Kurvenpunkte c(t_{1}), …, c(t_{m}) ein der Kurve einbeschriebendes Sehnenpolygon der Länge

L(c(t_{1}), …, c(t_{m})) = ∑_{i=1}^{m} ∥c(t_{i}) − c(t_{i−1})∥ .

Nach Dreiecksungleichung wächst die Länge des Sehnenpolygons, wenn weitere Kurvenpunkte hinzugefügt werden.

Definition 5.3 Es sei c : I → ℝ^{n} eine stetige Kurve. Falls die Menge der Längen von einbeschriebenen Sehnenpolynomen beschränkt ist, dann heißt das Supremum dieser Menge die Bogenlänge der Kurve c.

Satz 5.4 Eine Kurve c : [α, β] → ℝ, die auf ]α, β[ stetig differenzierbar ist, hat die Bogenlänge

L(c) = ∫_{α}^{β} dt ∥c′(t)∥ = ∫_{α}^{β} dt \sqrt{⟨c′(t), c′(t)⟩} .

Beweis. i) Nach dem Mittelwertsatz 1.16 gilt mit f = id : ℝ^{n} → ℝ^{n}

c(t_{i}) − c(t_{i−1}) = ∫_{t_{i−1}}^{t_{i}} dt c′(t)

und dann mit der an diesen Satz dort anschließenden Abschätzung

∥c(t_{i}) − c(t_{i−1})∥ ≤ ∫_{t_{i−1}}^{t_{i}} dt ∥c′(t)∥ .

Somit gilt für jede Unterteilung des Intervalls [α, β] die Abschätzung L(c(t_{0}), …, c(t_{m})) ≤ L(c).

ii) Wir zeigen: Zu jedem ϵ > 0 gibt es eine Unterteilung mit L(c) − L(c(t_{0}), …, c(t_{m})) < ϵ. In der Standardbasis (e_{j}) des ℝ^{n} sei c(t) = ∑_{j=1}^{n} c_{j}(t)e_{j}. Da die c′_{j}(t) als stetige Funktionen Riemann-integrierbar sind, gibt es Treppenfunktionen ϕ_{j} : [α, β] → ℝ mit |c′_{j}(t) − ϕ_{j}(t)| < \frac{ϵ}{2n|β−α|} für alle t ∈ [α, β]. Mit ϕ(t) = ∑_{j=1}^{n} ϕ_{j}(t)e_{j} folgt nach Dreiecksungleichung ∥c′(t) − ϕ(t)∥ ≤ \frac{ϵ}{2|β−α|} für alle t ∈ [α, β]. Wir wählen eine Unterteilung α = t_{0} < t_{1} < ⋯ < t_{m} = β, so daß ϕ auf jedem offenen Teilintervall ]t_{i−1}, t_{i}[ konstant ist. Nach Dreiecksungleichung gilt

∥ ∫_{t_{i−1}}^{t_{i}} dt ϕ(t)∥ ≤ ∥ ∫_{t_{i−1}}^{t_{i}} dt (ϕ(t) − c′(t))∥ + ∥ ∫_{t_{i−1}}^{t_{i}} dt c′(t)∥

≤ ∫_{t_{i−1}}^{t_{i}} dt ∥ϕ(t) − c′(t)∥ + ∥ ∫_{t_{i−1}}^{t_{i}} dt c′(t)∥

≤ \frac{ϵ}{2|β − α|}(t_{i} − t_{i−1}) + ∥c(t_{i}) − c(t_{i−1})∥ .

Da ϕ auf ]t_{i−1}, t_{i}[ konstant ist, gilt ∥ ∫_{t_{i−1}}^{t_{i}} dt ϕ(t)∥ = ∫_{t_{i−1}}^{t_{i}} dt ∥ϕ(t)∥ und somit

nach Summieren über i

∑_{i=1}^{m} ∥c(t_{i}) − c(t_{i−1})∥ ≥ ∫_{α}^{β} dt ∥ϕ(t)∥ − \frac{ϵ}{2} .

Andererseits ist ∥c′(t)∥ ≤ ∥c′(t) − ϕ(t)∥ + ∥ϕ(t)∥, also ∥ϕ(t)∥ ≥ ∥c′(t)∥ − \frac{ϵ}{2|β−α|}.

Integrieren über [α, β] liefert dann die Behauptung ∑_{i=1}^{m} ∥c(t_{i}) − c(t_{i−1})∥ ≥

∫_{α}^{β} dt ∥c′(t)∥ − ϵ. □

Beispiel 5.5 Der ebene Kreisbogen c : [ϕ_{1}, ϕ_{2}] → ℝ^{2} mit c(t) = (r cos t, r sin t) hat die Bogenlänge

L(c) = ∫_{ϕ_{1}}^{ϕ_{2}} dt \sqrt{r^{2} sin^{2} t + r^{2} cos^{2} t} = r(ϕ_{2} − ϕ_{1}) .

Insbesondere hat der Kreis vom Radius r, realisiert durch die Kurve c : [0, 2π[ → ℝ^{2} mit c(t) = (r cos t, r sin t) den Umfang L(c) = 2πr. ◁

Beispiel 5.6 Für 0 < b < a werde die Ellipsenkurve c : [0, 2π[ → ℝ^{2} definiert durch c(t) = (a cos t, b sin t). Ausgedrückt durch ϵ^{2} := \frac{a^{2}−b^{2}}{a^{2}} hat sie die Bogenlänge

L(c) = ∫_{0}^{2π} dt \sqrt{a^{2} cos^{2} t + b^{2} sin^{2} t} = a ∫_{0}^{2π} dt \sqrt{1 − ϵ^{2} sin^{2} t} = a · E(2π; ϵ) .

Das verbleibende sogenannte elliptische Integral kann nicht mehr elementar gelöst werden. Für den Viertelbogen findet man durch Potenzreihenentwicklung und Beispiel 32.3 aus dem 2. Semester

E(2π; ϵ) = 4 ∑_{k=0}^{∞} \binom{\frac{1}{2}}{k}(−ϵ^{2})^{k} ∫0^{\frac{π}{2}} dt sin^{2k} t

= 2π(1 + ∑_{k=1}^{∞} ϵ^{2k} \frac{(−1) · 1 · 3 ⋯ (2k − 3)}{2^{k}k!} · \frac{1 · 3 ⋯ (2k − 3)(2k − 1)}{2^{k}k!})

= 2π(1 − ∑_{k=1}^{∞} \frac{ϵ^{2k}}{2k − 1}(\frac{∏_{j=1}^{k}(2j − 1)}{2^{k}k!})^{2}) .  ◁

Für ebene Kurven c : ]α, β[ → ℝ^{2} ist es oft zweckmäßig, sie in Polarkoordinaten c(t) = (r(t) cos ϕ(t), r(t) sin ϕ(t)) darzustellen. Dann ist

c′(t) = (r′(t) cos ϕ(t) − r(t)ϕ′(t) sin ϕ(t), r′(t) sin ϕ(t) + r(t)ϕ′(t) cos ϕ(t))

und folglich

L(c) = ∫_{α}^{β} dt \sqrt{(r′(t))^{2} + (r(t))^{2}(ϕ′(t))^{2}} .

Entscheidend bei der Interpretation der Bogenlänge ist die Invarianz unter Reparametrisierung:

Satz 5.7 Es sei I ⊆ ℝ ein offenes Intervall, c : I → ℝ^{n} eine reguläre differenzierbare Kurve und ϕ^{−1} : I → J ein Diffeomorphismus. Dann ist auch c̃:= c ∘ ϕ : J → ℝ eine reguläre differenzierbare Kurve, und es gilt L(c) = L(c̃).

Beweis. Sei I = ]α, β[. Der Diffeomorphismus ϕ ist insbesondere monoton. Sei zunächst (ϕ^{−1})′(t) > 0 für alle t ∈ I, dann ist J = ]ϕ^{−1}(α), ϕ^{−1}(β)[. Differenzierbarkeit von c ∘ ϕ(τ) folgt aus der Kettenregel, mit c̃′(τ) = c′(ϕ(τ)) · ϕ′(τ). Damit gilt für die Bogenlänge unter Verwendung der Substitutionsregel für das Riemann-Integral

L(c̃) = ∫_{ϕ^{−1}(α)}^{ϕ^{−1}(β)} dτ ∥c̃′(τ)∥ = ∫_{ϕ^{−1}(α)}^{ϕ^{−1}(β)} dτ ∥c′(ϕ(τ))∥ · |ϕ′(τ)|

= ∫_{ϕ(ϕ^{−1}(α))}^{ϕ(ϕ^{−1}(β))} dϕ ∥c′(ϕ)∥ = ∫_{α}^{β} dϕ ∥c′(ϕ)∥ .

Ist (ϕ^{−1})′ < 0 auf I, dann ist J = ]ϕ^{−1}(β), ϕ^{−1}(α)[. Das dann entstehende Vorzeichen beim Vertauschen der Integrationsgrenzen wird kompensiert durch das Vorzeichen in |ϕ′(τ)| = −ϕ′(τ), so daß die Bogenlänge unabhängig vom Vorzeichen von ϕ′ ist. □

Folglich ist die Bogenlänge einer Kurve allein eine Eigenschaft der Spur der Kurve. Die konkrete Parametrisierung ist unerheblich und kann möglichst sinnvoll gewählt werden. Oft bringt die Parametrisierung nach Bogenlänge Vorteile:

Definition 5.8 Eine reguläre differenzierbare Kurve c : I → ℝ^{n} heißt nach Bogenlänge parametrisiert, wenn ∥c′(t)∥ = 1 für alle t ∈ I.

Satz 5.9 Zu jeder regulären stetig differenzierbaren Kurve c : I → ℝ^{n} gibt es eine diffeomorphe Reparametrisierung ϕ^{−1} : I → J, so daß c̃:= c ∘ ϕ : J → ℝ^{n} nach Bogenlänge parametrisiert ist.

Beweis. Es sei I = ]α, β[. Wir definieren

ϕ^{−1}(τ) := ∫_{α}^{τ} dt ∥c′(t)∥ .

Dann ist ϕ^{−1} Stammfunktion zu ∥c′(t)∥, d.h. (ϕ^{−1})′(τ) = ∥c′(t)∥ und somit

c̃′(ϕ^{−1}(τ)) = (D(c ∘ ϕ))(ϕ^{−1}(τ)) = c′(τ) · ϕ′(ϕ^{−1}(τ)) = c′(τ) · \frac{1}{(ϕ^{−1})′(τ)} = \frac{c′(τ)}{∥c′(τ)∥} .

Folglich ist ∥c̃′(ϕ^{−1}(τ))∥ = 1. □

6 Variationsrechnung

In der Variationsrechnung sucht man Extremwerte (genauer: stationäre Werte) von Funktionen (genauer: Funktionalen) auf unendlich-dimensionalen normierten Vektorräumen. Es ist die wichtigste Methode zur Gewinnung von Bewegungsgleichungen in Mechanik und Feldtheorie. Wir nehmen vereinfachend Fréchet-Differenzierbarkeit an, tatsächlich genügt das unendlich-dimensionale Analogon der Richtungsableitung.

Abkürzend bezeichnen wir mit X^{k} = C^{k}([α, β], ℝ^{n}) den (unendlichdimensionalen) Vektorraum der k-mal stetig differenzierbaren Kurven c : [α, β] → ℝ^{n}. Man kann zeigen, daß X^{k} zusammen mit der Norm

∥c∥_{(k)} = ∑_{l=0}^{k} sup_{t∈[α,β]} ∥c^{(l)}(t)∥

ein Banach-Raum ist. Das Wirkungsfunktional ist eine Abbildung S : X^{2} → ℝ. Wir interessieren uns für stationäre Punkte von S, d.h. Kurven c ∈ X^{2} mit (DS)(c) = 0, wobei wir die Randpunkten der Kurve a = c(α) und c = c(β) festgehalten.

In wichtigen Fällen läßt sich die Wirkung S schreiben als Riemann-Integral über die Lagrange-Funktion L der Kurve,

S(c) = ∫_{α}^{β} dt L(t, c(t), c′(t)) .

Dabei wird L : [α, β] × X^{2} × X^{1} → ℝ als zweimal stetig differenzierbar vorausgesetzt. Betrachten wir (t, q, v) ∈ [α, β] × X^{2} × X^{1} → ℝ als Variablen, dann ist

L(t + τ, q + r, v + w)

= L(t, q, v) + (\frac{∂L}{∂t})(t, q, v) ∘ τ + (\frac{∂L}{∂q})(t, q, v) ∘ r + (\frac{∂L}{∂v})(t, q, v) ∘ w

+ o(∥(t, r, w)∥)

mit τ ∈ ℝ, r ∈ X^{2} und w ∈ X^{1} derart, daß (t + τ, q + r, v + w) in der gewählten Umgebung von (t, q, v) bleibt. Zweimalige Differenzierbarkeit von L bedeutet, daß die Abbildungen

(\frac{∂L}{∂t}) : ℝ × X^{2} × X^{1} → Hom(ℝ, ℝ) ,

(\frac{∂L}{∂q}) : ℝ × X^{2} × X^{1} → Hom(X^{2}, ℝ) ,

(\frac{∂L}{∂v}) : ℝ × X^{2} × X^{1} → Hom(X^{1}, ℝ)

selbst wieder differenzierbar sind in (t, q, v) .

Es sei U ⊆ X^{2} die Teilmenge der zweimal stetig differenzierbaren Kurven c : [α, β] → ℝ^{n} mit festgehaltenen Randpunkten a = c(α) und b = c(β). Um das Differential zu berechnen, ist S(c + ξ) mit S(c) zu vergleichen. Dabei ist ξ ∈ X^{2} so zu wählen, daß c + ξ ∈ U liegt, d.h. ξ verschwindet an den Randpunkten. Wir bezeichnen mit

X_{0}^{2} := {ξ ∈ C^{2}([α, β], ℝ^{n}) , ξ(α) = ξ(β) = 0}

den Untervektorraum der zweimal stetig differenzierbarten Kurven, die am Rand verschwinden. Dann gilt für ξ ∈ X_{0}^{2} für eine zweimal stetig differenzierbare Lagrange-Funktion

S(c + ξ) = ∫_{α}^{β} dt L(t, c(t) + ξ(t), c′(t) + ξ′(t))

= ∫_{α}^{β} dt \{L(t, c(t), c′(t)) + (\frac{∂L}{∂q})(t, c(t), c′(t)) ∘ ξ(t)

+ (\frac{∂L}{∂v})(t, c(t), c′(t)) ∘ ξ′(t) + o(∥ξ∥) + o(∥ξ′∥)\} .

Es gilt ∫_{a}^{b} dt (o(∥ξ∥) + o(∥ξ′∥)) = o(∥ξ∥_{(2)}). Für die festgehaltene Kurve c ∈ X^{2} können wir das Differential (\frac{∂L}{∂v})(t, c(t), c′(t)) auffassen als Abbildung

ℝ ∋ t ↦ (\frac{∂L}{∂v})(t, c(t), c′(t)) ∈ Hom(X^{1}, ℝ)

Nach Kettenregel und allen Voraussetzungen ist diese Funktion stetig differenzierbar auf ]α, β[ mit stetiger Fortsetzung auf [α, β], so daß wir partiell integrieren dürfen:

(DS)(c) ∘ ξ = ∫_{α}^{β} dt \{(\frac{∂L}{∂q})(t, c(t), c′(t)) ∘ ξ(t) + (\frac{∂L}{∂v})(t, c(t), c′(t)) ∘ ξ′(t)\}

= ∫_{α}^{β} dt \{(\frac{∂L}{∂q})(t, c(t), c′(t)) − ((\frac{∂L}{∂v})(t, c(t), c′(t)))′\} ∘ ξ(t)

+ (\frac{∂L}{∂v})(t, c(t), c′(t)) ∘ ξ(t)|_{α}^{β} .

Der Randbeitrag in der letzten Zeile verschwindet wegen ξ(α) = ξ(β) = 0. Unter Verwendung des weiter unten angegebenen Fundamentallemmas der Variationsrechnung haben wir somit bewiesen:

Satz 6.1 (Euler-Lagrange-Gleichungen) Über eine Lagrange-Funktion L : [α, β] × X^{2} × X^{1} → ℝ werde durch

S(c) := ∫_{α}^{β} dt L(t, c(t), c′(t))

ein Wirkungsfunktional S : X^{2} → ℝ auf dem Banach-Raum X^{2} der zweimal stetig differenzierbaren Kurven c : [a, b] → ℝ^{n} definiert. Dann gilt: Das Wirkungsfunktional ist auf der Teilmenge U ⊆ X^{2} der zweimal stetig differenzierbaren Kurven mit festgehaltenen Randpunkten genau dann stationär in einem Punkt c ∈ U, d.h. (DS)(c) = 0, wenn für die Kurve c die Euler-Lagrange-Gleichungen

\frac{d}{dt}((\frac{∂L}{∂v})(t, c(t), c′(t))) − (\frac{∂L}{∂q})(t, c(t), c′(t)) = 0

in jedem Punkt t ∈ [α, β] gelten.

Nach obiger Diskussion ist nur die Richtung (DS)(c) = 0 ⇒ Euler-Lagrange zu zeigen. Sie ergibt sich aus

Lemma 6.2 (Fundamentallemma der Variationsrechnung) Für eine ste-

tige Funktion f ∈ C([α, β]) gelte ∫_{α}^{β} f(t)g(t) = 0 für alle zweimal stetig differen-

zierbaren Funktionen g ∈ C_{0}^{2}([α, β], ℝ), welche am Rand verschwinden. Dann ist f(t) = 0 für alle t ∈ [α, β].

Beweis. Wegen der Stetigkeit von f genügt es, f(t) = 0 für alle t ∈]α, β[ zu zeigen. Angenommen, es gibt ein t_{0} ∈]α, β[ mit f(t_{0}) = ϵ > 0. (Der Beweis für f(t_{0}) = −ϵ < 0 ist analog.) Wegen der Stetigkeit von f gibt es dann ein δ > 0, so daß f(t) > \frac{ϵ}{2} für alle t ∈ K_{δ}(t_{0}) ⊆ ]α, β[. Dann gibt es (sogar beliebig oft) differenzierbare nichtnegative Funktionen g, die außerhalb K_{δ}(t_{0}) identisch verschwinden. Eine Wahl ist z.B.

g(t) = \{ \begin{matrix}0 & für t ≤ t_{0} − δ oder t ≥ t_{0} + δ \\ e^{− \frac{1}{t−(t_{0}−δ)} − \frac{1}{(t_{0}+δ)−t}} & für t_{0} − δ < t < t_{0} + δ \end{matrix}

Damit ist

∫_{α}^{β} dt f(t)g(t) = ∫_{t_{0}−δ}^{t_{0}+δ} dt f(t)g(t) > \frac{ϵ}{2} ∫_{t_{0}−δ}^{t_{0}+δ} dt g(t) > 0 ,

im Widerspruch zur Annahme. Daraus folgt f(t) = 0 für alle t und schließlich die Gültigkeit der Euler-Lagrange-Gleichungen. □

In den Euler-Lagrange-Gleichungen ist zunächst

\frac{d}{dt}((\frac{∂L}{∂v})(t, c(t), c′(t))) − (\frac{∂L}{∂q})(t, c(t), c′(t)) ∈ Hom(X^{2}, ℝ)

eine lineare Abbildung. Evaluiert im Punkt t ∈ ]α, β[ geht aber nur der Vektor ξ(t) ∈ ℝ^{n} ein, so daß es genügt, die Gleichungen in den Vektoren der Standardbasis des ℝ^{n} auszuwerten. Somit sind die Euler-Lagrange-Gleichungen äquivalent zum System

\frac{d}{dt}((\frac{∂L}{∂v})(t, c(t), c′(t)) ∘ e_{k}) − (\frac{∂L}{∂q})(t, c(t), c′(t)) ∘ e_{k} = 0

für alle k = 1, …, n und t ∈ ]α, β[ .

Beispiel 6.3 Wir betrachten noch einmal das Pendel der Fadenlänge l aus Beispiel 4.14. Die Nebenbedingung definiert eine Untermannigfaltigkeit M = S^{1} ⊆ ℝ^{2}, auf der die Bewegung stattfindet. Die Lagrange-Funktion ist dann auf einer lokalen Karte (T, ϕ) dieser Untermannigfaltigkeit definiert. Sinnvollerweise wählt man T ⊆ ℝ als abgerollten Kreisbogen und dann die Kurve [α, β] ∋ t ↦ c(t) ∈ T ⊆ ℝ als Zuodnung des Auslenkungswinkels zum Zeitpunkt t. Dann sei die Lagrange-Funktion gegeben als

L(t, c(t), c′(t)) = \frac{ml^{2}}{2} (c′(t))^{2} + mgl cos (c(t)) .

Nach Definition der Einschränkungen der Jacobi-Matrix ist

L(t, c(t) + r, c′(t)) = L(t, c(t), c′(t)) + mgl( cos(c(t) + r) − cos(c(t)))

= L((t, c(t), c′(t)) + mgl( cos(c(t))(cos r − 1) − sin(c(t)) sin r)

= L(t, c(t), c′(t)) + (\frac{∂L}{∂q})(t, c(t), c′(t)) ∘ r + o(∥r∥)

mit (\frac{∂L}{∂q})(t, c(t), c′(t)) = −mgl sin(c(t)) und

L(t, c(t), c′(t) + w) = \frac{ml^{2}}{2} (c′(t) + w)^{2} + mgl cos(c(t))

= L(t, c(t), c′(t)) + ml^{2}c′(t)w + \frac{m}{2}w^{2}

= L(t, c(t), c′(t)) + (\frac{∂L}{∂v})(t, c(t), c′(t)) ∘ w + o(∥w∥)

mit (\frac{∂L}{∂v})(t, c(t), c′(t)) = mc′(t). Somit lautet die Euler-Lagrange-Gleichung

(ml^{2}c′(t))′ − (−mgl sin(c(t))) = 0 ⇒ c′′(t) + ω^{2} sin(c(t)) = 0

mit ω = \sqrt{\frac{g}{l}}. Das ist eine Differentialgleichung 2. Ordnung zur Lösung der Integralkurve c(t). Wir werden im nächsten Kapitel sehen, daß zu ihrer eindeutigen Lösung Anfangsbedingungen c(t_{0}) und c′(t_{0}) vorzugeben sind. ◁

Diese Methode, sich die Bahnkurven eines mechanischen Systems zu verschaffen, heißt Hamiltonsches Prinzip: Von allen möglichen Bahnkurven eines mechanischen Systems zwischen festgehaltenen Anfangs- und Endpunkten ist jene Kurve realisiert, für die die Wirkung stationär ist. In vielen Fällen sind die stationären Punkte Minima der Wirkung.

Symmetrien der Lagrange-Funktion führen auf Erhaltungsgrößen (Noether-Theorem). Wenn L nicht explizit vom Kurvenparameter abhängt, sondern nur in der Form L(c(t), c′(t)), dann führt diese Translationssymmetrie auf den Energieerhaltungssatz

\frac{d}{dt}E(t) = 0 ; E(t) = (\frac{∂L}{∂v}(c(t), c′(t))) ∘ c′(t) − L(c(t), c′(t))

für die Kurve, in der die Wirkung stationär ist:

\frac{d}{dt}\{(\frac{∂L}{∂v}(c(t), c′(t))) ∘ c′(t)\}

= (\frac{∂L}{∂q}(c(t), c′(t))) ∘ c′(t) + (\frac{∂L}{∂v}(c(t), c′(t))) ∘ c′′(t) = \frac{d}{dt}L(c(t), c′(t)) .

Beispiel 6.4 (Brachistochrone, Johann Bernoulli 1696) Die Brachistochrone ist jene Kurve c(t) = (x(t), z(t)) in der x-z-Ebene zwischen den festgehaltenen Punkten (0, h) und (a, 0), mit h, a > 0, die ein darauf reibungsfrei unter dem Einfluß der Gravitationskraft gleitender Massepunkt in kürzester Zeit durchläuft, wobei der Massepunkt in (0, h) ruht. Die zeitunabhängige Lagrange-Funktion (e_{z} ist der Einheitsvektor in z-Richtung)

L(c(t), c′(t)) = \frac{m}{2}⟨c′(t), c′(t)⟩ − mg⟨c(t), e_{z}⟩

führt auf den Energieerhaltungssatz

\frac{m}{2}⟨c′(t), c′(t)⟩ + mg⟨c(t), e_{z}⟩ = mgh = const.

Wir können x′ > 0 annehmen, so daß wir die Spur der Kurve nach dem Kurvenparameter auflösen können: z(t) = z(x(t)). Dann gilt nach Kettenregel

mgh = \frac{m}{2}(x′(t))^{2}(1 + (\frac{dz(x)}{dx})^{2}) + mgz(x)

⇒  \frac{dt(x)}{dx} = \sqrt{\frac{1 + (\frac{d(h−z(x))}{dx})^{2}}{2g(h − z(x))}} .

Somit gilt für die Gesamtzeit T, in der der Massepunkt die Kurve durchläuft,

T = ∫_{0}^{a} dx (\frac{dt(x)}{dx}) = ∫_{0}^{a} dx \sqrt{\frac{1 + (\frac{dy(x)}{dx})^{2}}{2gy(x)}} , y(x) = h − z(x) .

Damit ist nach Identifikation von x mit einem neuen Kurvenparameter die Bestimmung der schnellsten Kurve y(x) äquivalent zur Lösung der Euler-Lagrange-Gleichung für die Lagrange-Funktion

L(y(x), y′(x)) = \sqrt{\frac{1 + ⟨y′(x), y′(x)⟩}{y(x)}} , y : [0, a] → ℝ .

Da die neue Lagrange-Funktion zeitunabhängig ist, gilt wieder der Energieerhaltungssatz

E = \frac{⟨y′(x), y′(x)⟩}{\sqrt{y(x)}\sqrt{1 + ⟨y′(x), y′(x)⟩}} − \sqrt{\frac{1 + ⟨y′(x), y′(x)⟩}{y(x)}}

= −\frac{1}{\sqrt{y(x)}\sqrt{1 + ⟨y′(x), y′(x)⟩}} ,

⇒ (y′)^{2} − \frac{1}{E^{2}y} = −1

für die Kurve, für die die Wirkung stationär wird. Solche Differentialgleichungen betrachten wir im nächsten Kapitel. Wir beschränken uns hier auf Angabe der Lösung in Parameterform:

y(τ) = \frac{1}{2E^{2}} (1 − cos τ) , x(τ) = \frac{1}{2E^{2}} (τ − sin τ) .

Dann ist nach Kettenregel

y′(x) = \frac{\frac{dy}{dτ}}{\frac{dx}{dτ}} = \frac{sin τ}{1 − cos τ}  ⇒  (y′)^{2} − \frac{1}{E^{2}y} = \frac{sin^{2} τ − 2(1 − cos τ)}{(1 − cos τ)^{2}} = −1 .

38 Somit ist die Brachistochrone in Parameterform gegeben durch

Preliminary version – 31. Januar 2019

( \begin{matrix}x(τ) \\ z(τ) \end{matrix} ) = \frac{1}{2E^{2}} ( \begin{matrix}τ \\ 2E^{2}h − 1 \end{matrix} ) + ( \begin{matrix}cos τ & − sin τ \\ sin τ & cos τ \end{matrix} ) ( 0_{\frac{1}{2E^{2}}} )

Es handelt sich um die Spiegelung der Kurve des Randpunktes eines rollendes Rades vom Radius R = \frac{1}{2E^{2}} . ◁

Zusammenfassung

• Differenzierbarkeit, Differential, Jacobi-Matrix. Beziehungen zu partieller Ableitung, Richtungsableitung, Stetigkeit

• Kettenregel

• differenzierbare Kurve, reguläre Kurve, Ableitung entlang Kurve, Bogenlänge

• Definition von Vektorfeldern, Gradient, Divergenz, Rotation (1. Semester)

• mehrdimensioanle Taylorsche Formel, Extremwertdiskussion über Gradient und Hessesche Matrix

• Banachscher Fixpunktsatz, Satz über implizite Funktionen

• Untermannigfaltigkeiten definiert über Nebenbedingungen sowie über Kartenabbildungen (d.h. lokales Koordinatensystem)

• Tangentialraum und Normalenvektorraum. Extrema mit Nebenbedingungen

• Euler-Lagrange-Gleichungen, Energieerhaltungssatz

Teil II

Gewöhnliche Differentialgleichungen

7 Definition und Interpretation

Unter einer gewönlichen Differentialgleichung versteht man eine Gleichung zwischen einer Funktion x(t), ihren Ableitungen x′, x′′, … x^{(n)} und der Variablen t, genauer:

Definition 7.1 Es sei I ⊆ ℝ ein Intervall, G ⊆ ℝ^{n+2} eine Teilmenge mit n ≥ 1 und x : I → ℝ eine n-mal differenzierbare Funktion, so daß für t ∈ I gilt (t, x(t), x′(t), …, x^{(n)}(t)) ∈ G. Die Funktion x erfüllt eine gewöhnliche Differentialgleichung n-ter Ordnung, wenn es eine Funktion F : G → ℝ gibt, so daß

F (t, x(t), x′(t), …, x^{(n)}(t)) = 0 ∀t ∈ I .

Läßt sich diese Gleichung nach x^{(n)}(t) auflösen zu

x^{(n)}(t) = f(t, x(t), x′(t), …, x^{(n−1)}(t)) ,  (*)

dann heißt die Differentialgleichung explizit.

Eine explizite Differentialgleichung n-ter Ordnung (*) läßt sich identifizieren mit einer Differentialgleichung erster Ordnung für eine Bahnkurve c : I → ℝ^{n}. Setzt man

c(t) = ( c_{1}(t) ; c_{2}(t) ; ⋮ ; c_{n}(t) ) = ( x(t) ; x′(t) ; ⋮ ; x^{(n−1)}(t) ) ,

so ergibt die Ableitung unter Verwendung von (*) das äquivalente System von Differentialgleichungen 1. Ordnung

c′(t) = ( x′(t) ; x′′(t) ; ⋮ ; f(t, x(t), x′(t), …, x^{(n−1)}(t)) ) =: v(t, c(t)) .

Dieses können wir als Differentialgleichung c′(t) = v(t, c(t)) einer Bahnkurve interpretieren. Solche Bewegungsgleichungen entstehen z.B. aus den Euler-Lagrange-Gleichungen nach Übergang in die Hamiltonsche Formulierung (Legendre-Transformation).

Ist allgemeiner U ⊆ ℝ^{n} eine offene Teilmenge und v : I × U → ℝ^{n} ein zeitabhängiges Vektorfeld, dann definiert die Differentialgleichung c′(t) = v(t, c(t)) zu jedem Zeitpunkt t ∈ I eine Schar von Kurven durch jeden Punkt y ∈ U derart, daß der Tangentialvektor c′(t) im Punkt y = c(t) gegeben ist durch den Vektor v(t, y). Diese Kurvenschar heißt die Integralkurve des Vektorfeldes. Anschaulich interpretiert man die Integralkurven als Stromlinien des Feldes v. Zur Bestimmung einer konkreten Integralkurven ist der Startpunkt y_{0} = y(t_{0}) vorzugeben. Wir werden sehen, daß dann unter geeigneten Stetigkeitsbedingungen an das Vektorfeld die Integralkurve in einer offenen Umgebung des Startpunktes eindeutig bestimmt ist. Andere Startpunkte liefern entweder verschiedene Kurven oder setzen eine bisherige Kurve fort, so daß U schließlich durch eine Schar von Kurven überdeckt wird.

8 Elementare Lösungsmethoden

Wir beginnen mit einigen einfachen Klassen gewöhnlicher Differentialgleichungen 1. Ordnung.

Definition 8.1 (DGL 1. Ordnung mit getrennten Variablen) Seien I, J ⊆ ℝ offene Intervalle und f : I → ℝ und g : J → ℝ stetige Funktionen, wobei g(x) ≠ 0 für alle x ∈ J. Dann heißt

x′(t) = f(t) g(x(t))

Differentialgleichung mit getrennten Variablen.

Satz 8.2 Zu gegebenem Anfangspunkt (t_{0}, x_{0}) ∈ I × J definieren wir Funktionen F : I → ℝ und G : J → ℝ durch

F (t) := ∫_{t_{0}}^{t} ds f(s) , G(x) := ∫_{x_{0}}^{x} \frac{dy}{g(y)} .

Ist I′ ⊆ I ein offenes Intervall mit F (I′) ⊆ G(J), dann gibt es genau eine Lösung x : I′ → ℝ der Differentialgleichung x′(t) = f(t) g(x(t)) mit der Anfangsbedingung x(t_{0}) = x_{0}. Diese Lösung erfüllt die Gleichung

G(x(t)) = F (t) für alle t ∈ I′ .

Beweis. i) Wir nehmen die Gültigkeit von G(x(t)) = F (t) an. Wegen G′(x) = \frac{1}{g(x)} ≠ 0 für alle x ∈ J ist G streng monoton (und stetig differenzierbar), so daß nach dem Satz über implizite Funktionen eine eindeutige stetig differenzierbare Umkehrfunktion G^{−1} : G(J) → ℝ auf dem offenen Intervall G(J) existiert.

ii) Nach dem Satz über implizite Funktionen ist H := G^{−1} ∘ F : I′ → ℝ stetig differenzierbar mit

H′(t) = (G^{−1})′(F (t)) · F′(t) = \frac{1}{G′(G^{−1}(F (t)))} · F′(t) = g(H(t)) · f(t) ,

41 d.h. H erfüllt die Differentialgleichung mit der Anfangsbedingung H(t_{0}) = G^{−1}(F (t_{0})) = G^{−1}(0) = x_{0}. Also existiert eine Lösung.

Preliminary version – 31. Januar 2019

iii) Sei x(t) eine beliebige Lösung der Differentialgleichung x′(t) = f(t) g(x(t)) mit x(t_{0}) = x_{0}. Wir setzen t ↦ s und integrieren über s von t_{0} nach t:

∫_{t_{0}}^{t} ds \frac{x′(s)}{g(x(s))} = ∫_{t_{0}}^{t} ds f(s) .

Nach Substitution y = x(s) ergibt sich

∫_{x_{0}}^{x(t)} \frac{dy}{g(y)} = ∫_{t_{0}}^{t} ds f(s) .

Damit erfüllt jede Lösung von x′(t) = f(t) g(x(t)) mit Anfangsbedingung x(t_{0}) = x_{0} die Gleichung G(x(t)) = F (t). Nach dem Satz über implizite Funktionen besitzt G(x(t)) = F (t) in einer Umgebung von t_{0} genau eine Lösung x(t). □

Zu beachten ist, daß die Umkehrfunktion G^{−1} im allgemeinen nicht durch elementare Funktionen auszudrücken ist.

Beispiel 8.3 Wir betrachten die Differentialgleichung x′(t) = e^{x(t)} sin t zu beliebigem Anfangspunkt (t_{0}, x_{0}) ∈ ℝ^{2}. Damit ist F (t) = cos t_{0} − cos t und G(x) = e^{−x_{0}} − e^{−x}, also

e^{−x(t)} = cos t − cos t_{0} + e^{−x_{0}} .

Wegen e^{−x_{0}} > 0 gibt es ein offenes Intervall I′ ⊆ ℝ mit t_{0} ∈ I′, so daß cos t − cos t_{0} + e^{−x_{0}} > 0 für alle t ∈ I′. Dann ergibt sich die Lösung zu

x(t) = − ln ( cos t − cos t_{0} + e^{−x_{0}})

für alle t ∈ I′. ◁

Definition 8.4 (lineare Differentialgleichung 1. Ordnung) Es seien I ⊆ ℝ und a, b : I → ℝ stetige Funktionen. Dann heißt

x′(t) = a(t) x(t) + b(t)

eine lineare Differentialgleichung 1. Ordnung. Diese heißt für b = 0 homogen, sonst inhomogen.

Satz 8.5 Es sei t_{0} ∈ I und x_{0} ∈ ℝ. Dann gibt es genau eine Lösung x : I → ℝ der Differentialgleichung x′(t) = a(t)x(t) mit der Anfangsbedingung x(t_{0}) = x_{0}, nämlich

x(t) = x_{0} exp ( ∫_{t_{0}}^{t} ds a(s)) .

Beweis. Es handelts sich um einen Spezialfall einer Differentialgleichung mit getrennten Variablen. □

Der inhomogene Fall wird durch Variation der Konstanten gelöst. Darunter versteht man den Ansatz x(t) = x̃(t)u(t), wobei x̃(t) die homogene Gleichung x̃′(t) = a(t)x̃(t) mit x̃(t_{0}) = 1 löst. Damit ergibt sich

x′(t) = x̃′(t) u(t) + x̃(t) u′(t) = (a(t) u(t) + u′(t))x̃(t)
= a(t) u(t) x̃(t) + b(t) ,

also u′(t)x̃(t) = b(t) mit Anfangsbedingung u(t_{0}) = x_{0}. Das ist wieder eine spezielle Differentialgleichung mit getrennten Variablen mit der eindeutigen Lösung

u(t) = x_{0} + ∫_{t_{0}}^{t} ds \frac{b(s)}{x̃(s)} .

Somit ist bewiesen:

Satz 8.6 (Variation der Konstanten) Es seien I ⊆ ℝ ein Intervall, a, b : I → ℝ stetige Funktionen sowie t_{0} ∈ I und x_{0} ∈ ℝ. Dann gibt es genau eine Lösung x : I → ℝ der Differentialgleichung x′(t) = a(t)x(t) + b(t) mit der Anfangsbedingung x(t_{0}) = x_{0}, nämlich

x(t) = x̃(t)(x_{0} + ∫_{t_{0}}^{t} ds \frac{b(s)}{x̃(s)})  mit  x̃(s) = exp ( ∫_{t_{0}}^{s} dr a(r)) .

Beispiel 8.7 Betrachtet werde die Differentialgleichung x′(t) = 2tx(t) + t mit x(0) = c. Dann hat die homogene Gleichung x̃′(t) = 2tx̃(t) mit x̃(0) = 1 die Lösung

x̃(t) = exp ( ∫_{0}^{t} ds 2s) = e^{t^{2}} .

Also erhalten wir

x(t) = e^{t^{2}}(c + ∫_{0}^{t} ds se^{−s^{2}}) = e^{t^{2}}(c + \frac{1}{2}(1 − e^{−t^{2}}))
= \frac{2c + 1}{2}e^{t^{2}} − \frac{1}{2} .  ◁

Beispiel 8.8 (Freier Fall mit Reibung) Der freie Fall eines Massenpunktes (in x-z-Ebene) wird bei geschwindigkeitsproportionaler Reibungskraft beschrieben durch die Differentialgleichungen

mz′′(t) = −mg − rz′(t) , mx′′(t) = −rx′(t) .

Als Anfangsbedingung sei z′(0) = v_{z} und x′(0) = v_{x} gegeben. Damit ergeben sich die Geschwindigkeiten zu

x′(t) = v_{x} exp ( ∫_{0}^{t} ds (−\frac{r}{m})) = v_{x}e^{− \frac{r}{m} t} ,
z′(t) = e^{− \frac{r}{m} t}(v_{z} − ∫_{0}^{t} ds ge^{\frac{r}{m} s}) = v_{z}e^{− \frac{r}{m} t} − \frac{mg}{r} (1 − e^{− \frac{r}{m} t}) ,

Für t → ∞ fällt der Massenpunkt also mit konstanter Geschwindigkeit \frac{mg}{r} in negative z-Richtung. Die Anfangsgeschwindigkeiten sind exponentiell gedämpft.

Beide Lösungen sind selbst Differentialgleichungen mit getrennten Variablen. Sind die Anfangsbedingungen z(0) = h und x(0) = 0, dann ergibt sich

x(t) = ∫_{0}^{t} ds v_{x}e^{− \frac{r}{m} s} = \frac{v_{x}m}{r}(1 − e^{− \frac{r}{m} t}) ,
z(t) = h + ∫_{0}^{t} ds(v_{z}e^{− \frac{r}{m} s} − \frac{mg}{r} (1 − e^{− \frac{r}{m} s}))
= h + \frac{v_{z}m}{r}(1 − e^{− \frac{r}{m} t}) − \frac{mg}{r} (t − \frac{m}{r}(1 − e^{− \frac{r}{m} t})) .  ◁

Manchmal findet man Substitutionen, durch die zunächst kompliziertere Differentialgleichungen auf obige Situationen zurückgeführt werden:

Beispiel 8.9 (Bernoullische Differentialgleichung) Die Bernoullische Differentialgleichung lautet

y′(t) = a(t)y(t) + b(t)(y(t))^{α} , α ≠ 0, 1 .

Zu unterscheiden ist α ∈ ℤ und α ∈ ℝ \ ℤ > 0. Für α > 0 gibt es zumindest die triviale Lösung y = 0. Für (α < 0, α ∉ ℤ) ist nur y(t) > 0 sinnvoll.

Sei α ∈ ℝ \ ℤ und y(t_{0}) > 0. Wir substituieren x(t) = (y(t))^{1−α} und erhalten nach Kettenregel in einer Umgebung von (x(t_{0}), t_{0})

x′(t) = (1 − α)(y(t))^{−α}y′(t) = (1 − α)(a(t)x(t) + b(t)) .  ◁

Viele Probleme der Physik führen auf Differentialgleichungen 2. Ordnung. Das typische Beispiel ist das Newtonsche Gesetz für die eindimensionale Bewegung der Mechanik x′′ = f(x, x′), dabei ist f die durch die Masse dividierte Kraft. Die übliche Anfangsbedingung ist die Vorgabe von Ort und Geschwindigkeit zur Zeit t_{0}, d.h. x(t_{0}) = x_{0} und x′(t_{0}) = v_{0}. Diese Differentialgleichung läßt sich in ein System linearer Differentialgleichungen 1. Ordnung überführen und dann mit den vorzustellenden Methoden lösen. Ist die Kraft f(y) unabhängig von der Geschwindigkeit, aber z.B. nichtlinear, dann bietet sich noch ein anderer Weg an: Wir werden zeigen, daß das Potential

U(x) := − ∫_{x_{0}}^{x} ds f(s)

unabhängig vom Integrationsweg definiert ist und \frac{dU}{dx} (x) = −f(x) erfüllt. Durch Skalarprodukt des Newtonschen Gesetzes mit der Geschwindigkeit x′ ergibt sich dann

0 = x′′x′ + \frac{dU}{dx} x′ = (\frac{1}{2}x′^{2} + U(x))′ .

Die Lösung ist der Energieerhaltungssatz \frac{1}{2}x′^{2}+U(x) = E = \frac{1}{2}v_{0}^{2}+U(y_{0}) = const. Das ist nun eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen mit der Lösung

t − t_{0} = ± ∫_{x_{0}}^{x} \frac{ds}{\sqrt{2(E − U(s))}} =: T (x) .

Der Ort selbst bestimmt sich dann durch die Umkehrfunktion zu x(t) = T^{−1}(t − t_{0}).

Beispiel 8.10 Die Differentialgleichung des mathematischen Pendels ist x′′ = −ω^{2} sin x. Dabei ist x der Auslenkungswinkel und ω^{2} = \frac{g}{L}, mit g der Schwerebeschleunigung und L der Fadenlänge. Für kleine Winkel ist sin x ≈ x, und es wird die einfachere lineare Schwingungsdifferentialgleichung erhalten. Wir stellen aber nicht die Bedingung kleiner Winkel. Das Potential ergibt sich zu

U(x) = − ∫_{0}^{x} ds (−ω^{2} sin s) = ω^{2}(1 − cos x) = 2ω^{2} sin^{2} \frac{x}{2} .

Dieses entspricht der Gesamtenergie im maximalen Auslenkungswinkel a = x(0), so daß sich folgende Lösung ergibt:

t = \frac{1}{2ω} ∫_{x}^{a} \frac{ds}{\sqrt{sin^{2} \frac{a}{2} − sin^{2} \frac{s}{2}}}

Es interessiert die Zeit \frac{T}{2} einer halben Schwingung zum anderen Umkehrpunkt x = −a. Wir substituieren sin \frac{s}{2} = sin \frac{a}{2} sin u, also

\frac{1}{2} cos \frac{s}{2} ds = sin \frac{a}{2} cos u du ⇒ \frac{1}{2}\sqrt{1 − sin^{2} \frac{s}{2}} ds = sin \frac{a}{2} \sqrt{1 − sin^{2} u} du
⇒ \frac{1}{2}\sqrt{1 − sin^{2} \frac{a}{2} sin^{2} u} ds = \sqrt{sin^{2} \frac{a}{2} − sin^{2} \frac{s}{2}} du .

Das ergibt

\frac{T}{2} = \frac{1}{ω} ∫− \frac{π}{2}^{\frac{π}{2}} \frac{du}{\sqrt{1 − sin^{2} \frac{a}{2} sin^{2} u}} = \frac{2}{ω} K(sin \frac{a}{2}) ,

wobei K(x) := ∫0^{\frac{π}{2}} \frac{du}{\sqrt{1 − x^{2} sin^{2} u}} ein elliptisches Integral ist. In Beispiel (35.5

aus dem 2. Semester hatten wir

T = \frac{2π}{ω} (1 + ∑_{n=1}^{∞} (\frac{1 · 3 ⋯ (2n − 1)}{2 · 4 ⋯ (2n)})^{2} sin^{2n} \frac{a}{2})

gezeigt. Insbesondere ist lim_{a→0} T = \frac{2π}{ω}. ◁

9 Existenz- und Eindeutigkeitssatz

Wir betrachten im weiteren die Differentialgleichung x′(t) = v(t, x(t)) mit x(t) ∈ ℝ^{n}. Genauer sei G ⊆ ℝ × ℝ^{n} eine Teilmenge und v : G → ℝ^{n} eine stetige Abbildung, gesucht ist eine Lösung x : I → ℝ^{n} der Differentialgleichung x′(t) = v(t, x(t)), so daß (t, x(t)) ∈ G für alle t ∈ I ⊆ ℝ. Meist sucht man Lösungen mit vorgegebener Anfangsbedingung x(t_{0}) = x_{0}. Diese Problemstellung heißt System von n Differentialgleichungen 1. Ordnung.

Wir lösen das System von Differentialgleichungen durch Zurückführen auf eine Integralgleichung.

Satz 9.1 Es sei G ⊆ ℝ × ℝ^{n} und v : G → ℝ^{n} eine stetige Abbildung sowie (t_{0}, x_{0}) ∈ G. Dann gilt: Eine stetige Abbildung x : I → ℝ^{n} eines Intervalls I ⊆ ℝ mit t_{0} ∈ I und (t, x(t)) ∈ G für alle t ∈ I löst genau dann die Differentialgleichung x′(t) = v(t, x(t)) zur Anfangsbedingung x(t_{0}) = x_{0}, wenn folgende Integralgleichung gilt:

x(t) = x_{0} + ∫_{t_{0}}^{t} ds v(s, x(s)) für alle t ∈ I .

Beweis. (⇐) Für t = t_{0} folgt x(t_{0}) = x_{0}. Wegen der Stetigkeit von x und v ist auch die Abbildung F : I → ℝ mit F (s) := v(s, x(s)) stetig auf I. Damit gilt nach dem Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung

\frac{d}{dt} ∫_{t_{0}}^{t} ds v(s, x(s)) = v(t, x(t)) ,

d.h. x ist sogar differenzierbar mit x′(t) = v(t, x(t)).

(⇒) Es gilt

∫_{t_{0}}^{t} ds v(s, x(s)) = ∫_{t_{0}}^{t} ds x′(s) = x(t) − x(t_{0}) = x(t) − x_{0} ,

d.h. die Integralgleichung ist erfüllt. □

Es wird sich zeigen, daß Existenz und Eindeutigkeit der Lösung bewiesen werden kann, wenn die Funktion f einer Lipschitz-Bedingung genügt.

Definition 9.2 Sei (t, x) ∈ G ⊆ ℝ × ℝ^{n}. Eine Abbildung v : G → ℝ^{n} genügt einer Lipschitz-Bedingung (bezüglich der Variablen x), wenn es ein L ≥ 0 gibt, so daß

∥v(t, x) − v(t, x̃)∥ ≤ L∥x − x̃∥ für alle (t, x), (t, x̃) ∈ G .

Die Funktion v genügt einer lokalen Lipschitz-Bedingung, wenn jeder Punkt (t_{0}, x_{0}) ∈ G eine Umgebung U ⊆ ℝ × ℝ^{n} besitzt, so daß v in G ∩ U einer Lipschitz-Bedingung mit möglicherweise von U abhängiger Lipschitz-Konstanten L(U) genügt.

Hinreichend ist stetige Differenzierbarkeit:

Satz 9.3 Sei G ⊆ ℝ × ℝ^{n} offen und v : G → ℝ^{n} stetig partiell differenzierbar in den letzten n Koordinatenrichtungen x_{1}, …, x_{n}. Dann genügt f in G lokal einer Lipschitz-Bedingung.

Beweis. Wegen der Offenheit von G gibt es zu beliebigem (t_{0}, x_{0}) ∈ G ein r > 0, so daß

V := {(t, x) ∈ ℝ × ℝ^{n} : |t − t_{0}| ≤ r , ∥x − x_{0}∥ ≤ r} ⊆ G .

Die Behauptung folgt nun aus dem Schrankensatz 1.17 für V, und die Lipschitz-Konstante ist L := sup_{(t,x)∈V} ∥(Dv)(t, x)∥. □

Satz 9.4 (Picard-Lindelöf) Sei G ⊆ ℝ × ℝ^{n} offen und v : G → ℝ^{n} eine stetige Abbildung, die lokal einer Lipschitz-Bedingung genügt. Dann gibt es zu jedem (t_{0}, x_{0}) ∈ G ein ϵ > 0 und eine eindeutige Lösung x : [t_{0} − ϵ, t_{0} + ϵ] → ℝ^{n} der Differentialgleichung x′(t) = v(t, x(t)) mit Anfangsbedingung x(t_{0}) = x_{0}.

Beweis. Der Beweis verwendet den Banachschen Fixpunktsatz für die zugehörige Integralgleichung auf dem Banach-Raum C([t_{0} − ϵ, t_{0} + ϵ], ℝ^{n}) der stetigen Abbildungen ϕ : [t_{0} − ϵ, t_{0} + ϵ] → ℝ^{n} mit der Supremumsnorm

∥ϕ∥_{∞} := sup_{t∈[t_{0}−ϵ,t_{0}+ϵ]} ∥ϕ(t)∥ .

Gewählt sei ein Quader

Q_{δ,r} := {(t, x) ∈ ℝ × ℝ^{n} : |t − t_{0}| ≤ δ , ∥x − x_{0}∥ ≤ r} ⊆ G

mit δ, r > 0, so daß die Abbildung v in Q_{δ,r} einer Lipschitz-Bedingung mit der Lipschitz-Konstanten L genügt. Da v stetig und Q_{δ,r} kompakt ist, gibt es eine reelle Zahl M > 0, so daß ∥v(t, x)∥ ≤ M für alle (t, x) ∈ Q_{δ,r}. Mit diesen Daten sei ϵ := min(δ, \frac{r}{M} , \frac{1}{2L}). Wir betrachten die abgeschlossene Teilmenge

A := {ϕ ∈ C([t_{0} − ϵ, t_{0} + ϵ], ℝ^{n}) , ∥ϕ − x_{0}∥_{∞} ≤ r}

des Banachraums. Wir zeigen, daß

(T (ϕ))(t) := x_{0} + ∫_{t_{0}}^{t} ds v(t, ϕ(s))

eine Kontraktion T : A → A definiert.

i) Zunächst ist T (ϕ) ∈ A zu zeigen für alle ϕ ∈ A. Nach Konstruktion ist

(s, ϕ(s)) ∈ Q_{δ,r} ⊆ G für alle s ∈ [t_{0} − ϵ, t_{0} + ϵ] .

Damit ist v sinnvoll erklärt und stetig in s. Es gilt

∥(T (ϕ))(t) − x_{0}∥ = ∥ ∫_{t_{0}}^{t} ds v(s, ϕ(s))∥ ≤ |t − t_{0}| M ≤ ϵM ≤ r ,

also T (ϕ) ∈ A.

ii) Seien ϕ_{1}, ϕ_{2} ∈ A, dann gilt

∥(T (ϕ_{1}) − T (ϕ_{2}))(t)∥ = ∥ ∫_{t_{0}}^{t} ds (v(s, ϕ_{1}(s)) − v(s, ϕ_{2}(s))∥

≤ |t − t_{0}| L sup_{s∈[t_{0},t]} ∥ϕ_{1}(s) − ϕ_{2}(s)∥ ≤ \frac{1}{2}∥ϕ_{1} − ϕ_{2}∥_{∞} .

Also ist T : A → A eine Kontraktion auf einer abgeschlossenen Teilmenge eines Banachraums. Nach dem Banachschen Fixpunktsatz gibt es damit einen eindeutigen Fixpunkt x ∈ A mit T (x) = x, also

x(t) = x_{0} + ∫_{t_{0}}^{t} ds v(s, x(s)) ,

d.h. eine eindeutige Lösung der Differentialgleichung. □

Es sei betont, daß die Größe des Intervalls 2ϵ durch die Lipschitz-Bedingung an v und die Norm ∥v∥ bestimmt ist. Wenn ∥v(t, x)∥ mit x also anwächst, wird die Fortsetzbarkeit der Lösung immer kleiner.

Beispiel 9.5 Betrachtet werde die Differentialgleichung x′(t) = 2t (x(t))^{2}. Die Funktion v(t, x) = 2tx^{2} ist auf ganz ℝ^{2} nach x partiell differenzierbar, genügt also auf ganz ℝ^{2} einer lokalen Lipschitz-Bedingung. Die eindeutige Lösung zu x(0) = 0 ist offenbar x = 0. Sei dann x(0) = \frac{1}{C} > 0, so daß die Methode der Trennung der Variablen anwendbar ist. Es gilt

G(x(t)) = F (t) , G(x(t)) = ∫ x(t)_{\frac{1}{C}} dy \frac{1}{y^{2}} = C − \frac{1}{x(t)} , F (t) = ∫_{0}^{t} ds 2s = t^{2} ,

d.h. x(t) = \frac{1}{C−t^{2}} . Die Lösung läßt sich also nur bis zu ]−\sqrt{C}, \sqrt{C}[ fortsetzen. Im umgekehrten Fall x(0) = −\frac{1}{C} < 0 ergibt sich x(t) = −\frac{1}{C+t^{2}} , so daß die Lösung auf ganz ℝ fortgesetzt werden kann. ◁

Das Verfahren von Picard-Lindelöf über den Banachschen Fixpunktsatz ist konstruktiv und kann deshalb leicht numerisch implementiert werden.

Beispiel 9.6 Gegeben sei die Differentialgleichung x′(t) = 2t x(t) auf G = ℝ×ℝ mit Anfangsbedingung x(0) = x_{0}. In einer gewissen Umgebung [−ϵ, ϵ] von 0 konvergiert deshalb die Folge (x_{k}(t))_{k∈ℕ} von Funktionen mit x_{0}(t) = y_{0} und

x_{k+1}(t) = x_{0} + ∫_{0}^{t} ds v(s, x_{k}(s))

gegen die eindeutige Lösung. Wir finden

x_{1}(t) = x_{0} + ∫_{0}^{t} ds 2sx_{0} = x_{0}(1 + t^{2})
x_{2}(t) = x_{0} + ∫_{0}^{t} ds 2sx_{0}(1 + s^{2}) = x_{0}(1 + t^{2} + \frac{t^{4}}{2} )
x_{k}(t) = y_{0}(1 + t^{2} + \frac{t^{4}}{2} + ⋯ + \frac{t^{2k}}{k!} ) .

Damit ergibt sich die Lösung x(t) = lim_{k→∞} x_{k}(t) = x_{0} e^{t^{2}}, was man natürlich auch mit elementaren Methoden finden kann. ◁

Ohne Beweis erwähnen wir, daß die Existenz einer Lösung der Differentialgleichung x′(t) = v(t, x(t)) bereits durch die Stetigkeit von v garantiert ist:

Satz 9.7 (Peano) Es sei t_{0} ∈ ℝ und x_{0} ∈ ℝ^{n} und

Q_{δ,r} := {(t, x) ∈ ℝ × ℝ^{n} : |t − t_{0}| ≤ δ , ∥x − x_{0}∥ ≤ r}

für δ, r > 0. Die Funktion v : Q_{δ,r} → ℝ^{n} sei stetig (also beschränkt) mit M := max_{(t,x)∈Q_{δ,r}} ∥v(t, x)∥. Dann gibt es mindestens eine Lösung x : [t_{0} − ϵ, t_{0} + ϵ] → ℝ der Differentialgleichung x′(t) = v(t, x(t)) mit Anfangsbedingung x(t_{0}) = x_{0}, wobei ϵ := min(δ, \frac{r}{M}) ist (mit ϵ := δ für M = 0).

Der Beweis ohne die Lipschitz-Bedingung ist aber aufwendiger und wird deshalb weggelassen.

Beispiel 9.8 Betrachtet werde die Differentialgleichung x′ = (x^{2})^{\frac{1}{3}} mit x(0) = 0. Die Funktion v(t, x) = (x^{2})^{\frac{1}{3}} ist stetig auf ganz ℝ^{2}, aber nicht stetig partiell differenzierbar in x = 0, und tatsächlich genügt v in keiner Umgebung von (0, 0) einer lokalen Lipschitz-Bedingung. Nach dem Existenzsatz von Peano gibt es lokal eine Lösung der Differentialgleichung, z.B. x(t) = 0 für alle t ∈ ℝ. Das ist aber nicht die einzige Lösung. Durch Trennen der Variablen findet man, daß x_{c}(t) := \frac{1}{27}(t−c)^{3} die Differentialgleichung zur Anfangsbedingung x(c) = 0 erfüllt. Durch Verkleben mit der Nullösung konstruieren wir zu c, c′ ≥ 0 die Lösung

x_{cc′}(t) := \{ \begin{matrix}\frac{1}{27}(t − c)^{3}  für & t ≥ c ≥ 0 \\ 0  für & −c′ ≤ t ≤ c \\ \frac{1}{27}(t + c′)^{3} für & t ≤ −c′ ≤ 0 \end{matrix}

Man rechnet nach, daß x_{cc′} tatsächlich stetig differenzierbar ist. ◁

10 Lineare Differentialgleichungen

Wir spezifizieren nun den Existenz- und Eindeutigkeitssatz auf Systeme linearer Differentialgleichungen x′(t) = A(t)x(t) + b(t). Dabei ist A(t) eine Matrix und b(t) ein Vektor. Im Hinblick auf die Diagonalisierbarkeit von A erweist es sich als nützlich, mit komplexen Matrizen zu arbeiten. Sei dazu 𝕂 = ℝ oder 𝕂 = ℂ. Die Variable t bleibt aber reell.

Definition 10.1 Es sei I ⊆ ℝ ein Intervall, A = (a_{ij}) : I → M(n, 𝕂) eine stetige Abbildung und b = (b_{1}, …, b_{n})^{t} : I → 𝕂^{n} eine stetige vektorwertige Funktion. Dann heißt x′(t) = A(t)x(t) + b(t) ein inhomogenes lineares Differentialgleichungssystem und x′(t) = A(t)x(t) ein (bzw. das zugehörige) homogene(s) lineare(s) Differentialgleichungssystem.

Gesucht sind Lösungen x : I → 𝕂^{n}, wobei für 𝕂 = ℂ ≃ ℝ^{2} die Differenzierbarkeit komponentenweise betrachtet wird.

Satz 10.2 Es sei I ⊆ ℝ ein Intervall, A = (a_{ij}) : I → M(n, 𝕂) eine stetige Abbildung und b = (b_{1}, …, b_{n})^{t} : I → 𝕂^{n} eine stetige vektorwertige Funktion. Dann gibt es zu jedem t_{0} ∈ I und jedem x_{0} ∈ 𝕂^{n} genau eine Lösung x : I → 𝕂^{n} der linearen Differentialgleichung x′(t) = A(t)x(t) + b(t) mit Anfangsbedingung x(t_{0}) = x_{0}.

Beweis. Für jedes kompakte Intervall J ⊆ I ist die durch v(t, x) = A(t)x + b(t) definierte Abbildung v : J × ℝ^{n} → ℝ^{n} Lipschitz-stetig mit der Lipschitz-Konstanten L = sup_{t∈J} ∥A(t)∥_{op}. Damit folgt Existenz und Eindeutigkeit der Lösung nach Picard-Lindelöf. Insbesondere konvergiert die Folge (x_{k})_{k∈ℕ} mit

x_{k+1}(t) := x_{0} + ∫_{t_{0}}^{t} ds v(s, x_{k}(s)) , x(t_{0}) = x_{0} ,

auf J gleichmäßig gegen die Lösung x. □

Ähnlich wie in der linearen Algebra bilden die Lösungen der homogenen Differentialgleichung, wenn man keine Anfangsbedingung stellt, einen Vektorraum:

Satz 10.3 Es sei I ⊆ ℝ ein (nicht-triviales) Intervall und A : I → M(n, 𝕂) stetig. Dann bildet die Menge V_{A} aller Lösungen der homogenen Differentialgleichung x′(t) = A(t)x(t) einen n-dimensionalen Vektorraum über 𝕂.

Ein n-Tupel von Lösungen x_{(1)}, …, x_{(n)} ∈ V_{A} bildet genau dann eine Basis von V_{A}, wenn die Vektoren x_{(1)}(t), …, x_{(k)}(t) ∈ 𝕂^{n} für wenigstens ein t ∈ I, und damit für jedes t ∈ I, eine Basis von 𝕂^{n} bilden.

Beweis. Klar ist, daß V_{A} ein Untervektorraum des (unendlich-dimensionalen) Vektorraums C(I, 𝕂^{n}) ist, denn

(λ_{1}x_{(1)} + λ_{2}x_{(2)})′ = λ_{1}x_{(1)}′ + λ_{2}x_{(2)}′ = λ_{1}(A(t)x_{(1)}) + λ_{2}(A(t)x_{(2)})
= A(t) · (λ_{1}x_{(1)} + λ_{2}x_{(2)}) .

Sei x ∈ V_{A} und t_{0} ∈ I beliebig, dann definiert V_{A} ∋ x ↦ F_{t_{0}}(x) := x(t_{0}) ∈ 𝕂^{n} eine lineare Abbildung F_{t_{0}} : V_{A} → 𝕂^{n}. Diese lineare Abbildung ist surjektiv, denn zu jedem x_{0} ∈ 𝕂^{n} gibt es ein x ∈ V_{A} mit x(t_{0}) = x_{0}. Außerdem ist F_{t_{0}} wegen der Eindeutigkeit der Lösung des Anfangswertproblems injektiv. Nach dem Dimensionssatz für Vektorräume gilt dann dim(V_{A}) = n. Da der Anfangspunkt t_{0} ∈ I beliebig ist, ist F_{t_{0}} für alle t_{0} ∈ I ein Isomorphismus, überführt also Basen wieder in Basen. □

Definition 10.4 Unter einem Lösungs-Fundamentalsystem der Differentialgleichung x′(t) = A(t)x(t) versteht man eine Basis (x_{(1)}, …, x_{(n)}) des Vektorraums V_{A} der Lösungen von x′(t) = A(t)x(t).

Schreibt man das Lösungs-Fundamentalsystem als Matrix Φ = (x_{ij}), mit x_{ij} := x_{(j)i} (die j-te Spalte von Φ ist x_{(j)}), dann gilt offenbar det Φ(t_{0}) ≠ 0 für wenigstens einen (und damit für jeden) Punkt t_{0} ∈ I. Eine beliebige Lösung schreibt sich damit als x(t) = Φ(t) · λ mit λ = (λ_{1}, …, λ_{n})^{t} ∈ 𝕂^{n}. Dann folgt in Matrix-Schreibweise die Differentialgleichung Φ′(t) = A(t) · Φ(t). Aus dieser ergibt sich folgende nützliche Beziehung:

Lemma 10.5 \frac{d}{dt}(det Φ)(t) = Spur(A(t)) det Φ(t)

Beweis. Für B ∈ GL(n, 𝕂) und A ∈ M(n, 𝕂) gilt det(B + A) = det B det(E_{n} + AB^{−1}) = det B + (D det)(B) ∘ A + o(∥A∥). Nach der Formel von Leibniz gilt

det(E_{n} + AB^{−1}) = ∑_{σ∈S_{n}} sign(σ)( ∏_{i=1}^{n}(δ_{iσ(i)} + (AB^{−1})_{iσ(i)}))

= ∑_{σ∈S_{n}} sign(σ){( ∏_{i=1}^{n} δ_{iσ(i)})

+ ∑_{k=1}^{n} ( ∏_{i=1}^{k−1} δ_{iσ(i)})(AB^{−1})_{kσ(k)})( ∏_{i=k+1}^{n} δ_{iσ(i)}) + o(∥A∥)}

= 1 + ∑_{k=1}^{n}(AB^{−1})_{kk} + o(∥A∥) = 1 + Spur(AB^{−1}) + o(∥A∥) ,

da die Fixierung der anderen Permutationen σ(i) = i für i ≠ k für die verbleibende Permutation σ(k) = k erzwingt. Somit gilt (D det)(B) ∘ A = det B Spur(AB^{−1}), und die Kettenregel liefert

\frac{d}{dt}(det Φ)(t) = (D det)(Φ(t)) ∘ Φ′(t) = (D det)(Φ(t)) ∘ (A(t)Φ(t))
= det(Φ(t))Spur(A(t)Φ(t)(Φ(t))^{−1}) = det(Φ(t))Spur(A(t)) . □

Im Spezialfall A konstant hat Φ′(t) = A · Φ(t) mit Φ(0) = E_{n} offenbar die Lösung Φ(t) = e^{At} (aufgefaßt als Potenzreihe). Andererseits ergibt das Lemma det Φ(t) = e^{t Spur(A)}, also für t = 1 die wichtige Beziehung det(e^{A}) = e^{Spur(A)} oder det B = e^{Spur(ln B)}.

Beispiel 10.6 Gegeben sei die Schwingungsdifferentialgleichung z′′ + ω^{2}z = 0. Wir setzen x_{1} := z und x_{2} := −\frac{1}{ω}z′, was also auf das Differentialgleichungssystem x′_{1} = −ωx_{2} und x′_{2} = ωx_{1} führt. In Matrixschreibweise ergibt sich x′ = Ax

mit A = ( \begin{matrix}0 & −ω \\ ω & 0 \end{matrix} ). Die Lösungstheorie dieses Problems mit konstanten Koef-

fizienten behandeln wir später. Man bestätigt durch Nachrechnen, daß folgende Funktionen x_{i} : ℝ → ℝ^{2} Lösungen der Differentialgleichung sind:

x_{(1)}(t) = ( \begin{matrix}cos ωt \\ sin ωt \end{matrix} ) , x_{(2)}(t) = ( \begin{matrix}− sin ωt \\ cos ωt \end{matrix} ) .

Diese sind in t_{0} = 0 und damit auf ganz ℝ linear unabhängig, was man auch durch

det Φ(t) = det ( \begin{matrix}cos ωt & − sin ωt \\ sin ωt & cos ωt \end{matrix} ) = 1

sieht. Da A spurfrei ist, ist det Φ konstant. ◁

Wir charakterisieren nun den Lösungsraum der inhomogenen Differentialgleichung:

Satz 10.7 Es sei I ⊆ ℝ ein (nicht-triviales) Intervall und A : I → M(n, 𝕂) und b : I → 𝕂^{n} stetige Abbildungen. Dann gilt: Die Menge aller Lösungen

L_{A,b} := {x : I → 𝕂^{n} : x′(t) = A(t)x(t) + b(t)}

der inhomogenen Differentialgleichung ist der affine Raum

L_{A,b} = x̃ + V_{A} ,

wobei V_{A} der Vektorraum aller Lösungen der zugehörigen homogenen Differentialgleichung x′(t) = A(t)x(t) und x̃ ∈ L_{A,b} eine beliebige Lösung der inhomogenen Differentialgleichung ist.

Mit anderen Worten: die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung ist die Summe aus einer speziellen Lösung und der allgemeinen Lösung der homogenen Differentialgleichung.

Beweis. i) Sei x ∈ L_{A,b} eine Lösung von x′(t) = A(t)x(t) + b(t), dann erfüllt u := x − x̃ die homogene Differentialgleichung u′(t) = A(t)u(t). Das bedeutet u ∈ V_{A}, also x ∈ x̃ + V_{A} und damit L_{A,b} ⊆ x̃ + V_{A}.

ii) Sei umgekehrt x ∈ x̃ + V_{A} gegeben, also x = x̃ + u mit u′(t) = A(t)u(t). Dann gilt

x′(t) = x̃′(t) + u′(t) = (A(t)x̃(t) + b(t)) + A(t)u(t) = A(t)x(t) + b(t) ,

also x̃ + V_{A} ⊆ L_{A,b}. □

Die spezielle Lösung x̃ bekommt man wie in den elementaren Lösungsmethoden durch “Variation der Konstanten”:

Satz 10.8 (Variation der Konstanten) Sei Φ = (x_{(1)}, …, x_{(n)}) : I → GL(n, 𝕂) ein Lösungsfundamentalsystem der homogenen Differentialgleichung x′(t) = A(t)x(t). Dann wird eine Lösung x̃ der inhomogenen Differentialgleichung x̃′ = A(t)x̃(t) + b(t) erhalten durch den Ansatz x̃(t) = Φ(t) · y(t), wobei die differenzierbare Abbildung y : I → 𝕂^{n} der Differentialgleichung Φ(t)y′(t) = b(t) genügt. Ihre Lösung ist somit

y(t) = ∫_{t_{0}}^{t} ds Φ^{−1}(s) · b(s) + const .

Beweis. Es gilt

x̃′(t) = Φ′(t) · y(t) + Φ(t)y′(t) = A(t) · Φ(t) · y(t) + Φ(t)y′(t) =^{!} A(t)x̃(t) + b(t) ,

also y′(t) = Φ^{−1}(t) · b(t). Umgeschreiben in eine Integralgleichung ergibt sich die Lösung. □

Beispiel 10.9 Gegeben sei die Schwingungsdifferentialgleichung mit periodischer äußerer Kraft z′′ + ω^{2}z = b cos(Ωt). Mit x_{1} := z und x_{2} := −\frac{1}{ω}z′ ergibt sich x′_{1} = −ωx_{2} und x′_{2} = ωx_{1} − \frac{b}{ω} cos(Ωt). Die spezielle Lösung ist für Ω ≠ ±ω damit

y(t) = ∫_{t_{0}}^{t} ds ( \begin{matrix}cos ωs & sin ωs \\ − sin ωs & cos ωs \end{matrix} ) · ( \begin{matrix}0 \\ −\frac{b}{ω} cos Ωs \end{matrix} ) + ( \begin{matrix}c_{1} \\ c_{2} \end{matrix} )

= −\frac{b}{2ω} ∫_{t_{0}}^{t} ds ( \begin{matrix}sin(ωs + Ωs) + sin(ωs − Ωs) \\ cos(ωs + Ωs) + cos(ωs − Ωs) \end{matrix} ) + ( \begin{matrix}c_{1} \\ c_{2} \end{matrix} )

= ( \begin{matrix}c′_{1} \\ c′_{2} \end{matrix} ) − \frac{b}{2ω(ω+Ω)} ( \begin{matrix}− cos(ωt+Ωt) \\ sin(ωt+Ωt) \end{matrix} ) − \frac{b}{2ω(ω−Ω)} ( \begin{matrix}− cos(ωt−Ωt) \\ sin(ωt−Ωt) \end{matrix} )

= ( \begin{matrix}c′_{1} \\ c′_{2} \end{matrix} ) + \frac{b}{ω(ω^{2} − Ω^{2})} ( \begin{matrix}ω cos ωt cos Ωt + Ω sin ωt sin Ωt \\ −ω sin ωt cos Ωt + Ω cos ωt sin Ωt \end{matrix} ) .

Damit ergibt sich

x(t) = Φ(t) · y(t) = ( \begin{matrix}c′_{1} cos ωt − c′_{2} sin ωt \\ c′_{1} sin ωt + c′_{2} cos ωt \end{matrix} ) + \frac{b}{(ω^{2} − Ω^{2})} ( \begin{matrix}cos Ωt \\ \frac{Ω}{ω} sin Ωt \end{matrix} ) .

Für Ω^{2} → ω^{2} wird die Amplitude der speziellen Lösung unendlich (Resonanz). Tatsächlich muß das Integral in diesem Fall anders berechnet werden.

y(t) = −\frac{b}{2ω} ∫_{t_{0}}^{t} ds ( \begin{matrix}sin(2ωs) \\ cos(2ωs) + 1 \end{matrix} ) + ( \begin{matrix}c_{1} \\ c_{2} \end{matrix} )

= ( \begin{matrix}c′_{1} \\ c′_{2} \end{matrix} ) − \frac{b}{4ω^{2}} ( \begin{matrix}− cos(2ωt) \\ sin(2ωt) + 2ωt \end{matrix} )

Daraus folgt

x(t) = Φ(t) · y(t) = ( \begin{matrix}c′_{1} cos ωt − c′_{2} sin ωt \\ c′_{1} sin ωt + c′_{2} cos ωt \end{matrix} )

+ \frac{b}{4ω^{2}} ( \begin{matrix}cos ωt cos 2ωt + sin ωt sin 2ωt + 2ωt sin ωt \\ sin ωt cos 2ωt − cos ωt sin 2ωt − 2ωt cos ωt \end{matrix} )

= ( \begin{matrix}(c′_{1} + \frac{b}{4ω^{2}} ) cos ωt − c′_{2} sin ωt \\ (c′_{1} − \frac{b}{4ω^{2}} ) sin ωt + c′_{2} cos ωt \end{matrix} ) + \frac{b}{2ω} ( \begin{matrix}t sin ωt \\ −t cos ωt \end{matrix} ) .

Die Amplitude wächst also mit der Zeit t an. Wir werden später eine einfachere Berechnungsmethode für diese Differentialgleichung angeben. ◁

Wir übertragen nun die Aussagen zu linearen Differentialgleichungssystemen auf lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung.

Definition 10.10 Sei I ⊆ ℝ ein Intervall und b, a_{k} : I → 𝕂 stetige Funktionen für k = 0, 1, …, n − 1. Dann heißt

x^{(n)}(t) + a_{n−1}(t)x^{(n−1)}(t) + ⋯ + a_{0}(t)x(t) = b(t)

eine lineare Differentialgleichung n-ter Ordung. Sie heißt homogen für b = 0, sonst inhomogen.

Satz 10.11 In den Bezeichnungen von Definition 10.10 gilt:

i) Die Menge V_{a} aller Lösungen der homogenen linearen Differentialgleichung n-ter Ordnung ist ein n-dimensionaler Vektorraum über 𝕂.

ii) Die Menge L_{a,b} aller Lösungen der inhomogenen linearen Differentialgleichung n-ter Ordnung ist der affine Raum L_{a,b} = x̃ + V_{a}, wobei x̃ eine beliebige Lösung der inhomogenen Differentialgleichung ist.

iii) Ein n-Tupel (x_{(1)}, …, x_{(n)}) von Lösungen der homogenen Differentialgleichung ist genau dann linear unabhängig, wenn in einem (und damit jedem) Punkt t ∈ I die “Wronski-Determinante”

W (t) := det ( \begin{matrix}x_{(1)}(t) & x_{(2)}(t) & … & x_{(n)}(t) \\ x′_{(1)}(t) & x′_{(2)}(t) & … & x′_{(n)}(t) \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ x_{(1)}^{(n−1)}(t) & x_{(2)}^{(n−1)}(t) & … & x_{(n)}^{(n−1)}(t) \end{matrix} )

ungleich Null ist.

Beweis. Alle Aussagen folgen sofort aus der in Abschnitt 7 gegebenen Umschreibung

x̂ = ( x̂_{1} ; x̂_{2} ; ⋮ ; x̂_{n} ) := ( x ; x′ ; ⋮ ; x^{(n−1)} )

in ein System von linearen Differentialgleichungen erster Ordnung und den dafür bewiesenen Sätzen. Insbesondere ist W (t) = det Φ̂(t). □

Beispiel 10.12 Gegeben sei die Differentialgleichung

x′′(t) − \frac{1}{2t}x′(t) + \frac{1}{2t^{2}} x(t) = 1 auf I := ℝ_{+}^{×} .

Der Ansatz x = t^{α} führt für die zugehörige homogene Gleichung auf

(α(α − 1) − \frac{α}{2} + \frac{1}{2})t^{α−2} = (α − 1)(α − \frac{1}{2})t^{α−2} = 0

und damit auf x_{(1)}(t) = t und x_{(2)}(t) = \sqrt{t}. Die Wronski-Determinante ist damit

W (t) = det ( \begin{matrix}t & \sqrt{t} \\ 1 & \frac{1}{2\sqrt{t}} \end{matrix} ) = −\frac{1}{2}\sqrt{t} ≠ 0 ,

d.h. (t, \sqrt{t}) ist ein Lösungsfundamentalsystem. Um eine spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung zu finden, nutzt man, daß für x = ct^{2} jeder Summand der linken Seite eine Konstante ist. Damit findet man c = \frac{2}{3} in der speziellen Lösung und

x(t) = \frac{2}{3}t^{2} + c_{1}t + c_{2}\sqrt{t}

als allgemeine Lösung der Differentialgleichung. ◁

11 Potenzreihenansatz und spezielle Funktionen

Falls die Einträge der Matrix A(t) Polynome in t sind, führt ein Potenzreihenansatz für x(t) auf Rekursionsgleichungen, die manchmal lösbar sind bzw. nützliche Funktionen definieren.

Beispiel 11.1 (Schwingungs-DGL) Gegeben sei die Differentialgleichung x′′(t) + ω^{2}x(t) = 0 mit ω ∈ ℝ. Ist ω = 0, so ist x(t) = at + b mit \binom{a}{b} ∈ ℝ^{2} die allgemeine Lösung. Ansonsten versuchen wir den Potenzreihenansatz

x(t) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}t^{n}  ⇒  ∑_{n=0}^{∞} ((n + 2)(n + 1)a_{n+2} + ω^{2}a_{n})t^{n} = 0 .

Nach dem Identitätssatz für Potenzreihen führt das auf das System von Gleichungen (n + 2)(n + 1)a_{n+2} + ω^{2}a_{n} = 0. Gibt man a_{0} = a und a_{1} = b vor, so findet man

a_{2} = −\frac{ω^{2}}{1 · 2}a , a_{4} = −\frac{ω^{2}}{3 · 4}a_{2} = \frac{ω^{4}}{4!} a , a_{6} = −\frac{ω^{2}}{5 · 6}a_{4} = −\frac{ω^{6}}{6!} a ,

allgemein a_{2n} = (−1)^{n} \frac{ω^{2n}}{(2n)!}a und

a_{3} = −\frac{ω^{2}}{2 · 3}b , a_{5} = −\frac{ω^{2}}{4 · 5}a_{3} = \frac{ω^{4}}{5!} b , a_{7} = −\frac{ω^{2}}{6 · 7}a_{5} = −\frac{ω^{6}}{7!} b ,

allgemein a_{2n+1} = (−1)^{n} \frac{ω^{2n+1}}{(2n + 1)!} \frac{b}{ω}. Wir erkennen die Koeffizienten der Kosinus-

und Sinusreihe:

x(t) = a cos(ωt) + \frac{b}{ω} sin(ωt) .

Nach Beispiel 10.6 ist es für zwei linear unabhängige Koeffizientenvektoren \binom{a_{(1)}}{b_{(1)}}, \binom{a_{(2)}}{b_{(2)}} ∈ ℝ^{2} die allgemeine Lösung. Die zunächst beliebigen Koeffizienten a, b ∈ ℝ werden z.B. durch Anfangsbedingungen festgelegt. Z.B. ist x(0) = a der Anfangsort und x′(0) = b die Anfangsgeschwindigkeit.

Eine andere Problemstellung sind Randbedingungen. Fordert man z.B. x(0) = 0 und x(L) = 0, was einer eingespannten (unendlich dünnen) Saite der Länge L entspricht, dann ist a = 0 und ω = \frac{kπ}{L} für ein k ∈ ℕ^{×}. Die Frequenz der eingespannten Saite kann nur ein ganzzahliges Vielfaches der Grundfrequenz \frac{π}{L} betragen. ◁

Beispiel 11.2 Die Besselsche Differentialgleichung zum Parameter p ∈ ℝ_{+} ist

x′′(r) + \frac{1}{r}x′(r) + (1 − \frac{p^{2}}{r^{2}} )x(r) = 0 .

Dabei ist die “Zeitvariable” zunächst ein Radius r ∈ ℝ_{+}^{∗}, jedoch kann man die Gleichung auf r ↦ z ∈ ℂ \ {0} ausdehnen. Die Besselsche Differentialgleichung tritt auf bei zweidimensionalen Schwingungen und Wellen in Radialkoordinaten. Die Gleichung Δu = −u auf U ⊂ ℝ^{2} liefert mit dem Ansatz u(r, ϕ) = f(r)e^{ipϕ} die Besselsche Differentialgleichung für y(x) ↦ f(r). Die Gleichung Δu = −u entsteht z.B. aus der Wellengleichung (Δ− \frac{∂^{2}}{∂t^{2}} )ψ = 0 mit dem Ansatz ψ(r, ϕ, t) = u(r, ϕ)e^{it}.

Die Lösungen der Besselschen Differentialgleichung heißen Zylinderfunktionen. Die einfachste wird durch den Potenzreihenansatz x(t) = r^{p} ∑_{n=0}^{∞} a_{n}r^{n} gewonnen. Nach Indexverschiebung entsteht

0 = ∑_{n=0}^{∞} ((n + p + 2)(n + p + 1)a_{n+2} + (n + p + 2)a_{n+2} + a_{n} − p^{2}a_{n+2})r^{n+p} ,

also a_{n+2} = −\frac{a_{n}}{(n+2)(n+2p+2)}. Startend mit n = 0 erhalten wir:

a_{2} = −\frac{a_{0}}{2 · (2 + 2p)} , a_{4} = −\frac{a_{2}}{4 · (4 + 2p)} = \frac{a_{0}Γ(p + 1)}{4^{2} · 2! · Γ(p + 3)} ,

a_{6} = −\frac{a_{4}}{6 · (6 + 2p)} = −\frac{a_{0}Γ(p + 1)}{4^{3} · 3! · Γ(p + 4)} , a_{2n} = (−1)^{n} \frac{a_{0}Γ(p + 1)}{4^{n} · n! · Γ(p + n + 1)} ,

56 somit mit der willkürlichen Konvention a_{0} = \frac{1}{Γ(p+1)2^{p}} die Lösung x(r) = J_{p}(r) mit

Preliminary version – 31. Januar 2019

J_{p}(r) = \frac{r^{p}}{2^{p}} ∑_{n=0}^{∞} \frac{(−1)^{n}r^{2n}}{4^{n} · n! · Γ(p + n + 1)} .

Die Potenzreihe J_{p}(r) heißt Besselfunktion zum Parameter p ∈ ℝ_{+}. Es gibt nützliche Integraldarstellungen der Besselfunktion, z.B.

J_{n}(r) = \frac{1}{π} ∫_{0}^{π} dθ cos(nθ − r sin θ) , n ∈ ℕ .

Daraus folgt |J_{n}(r)| ≤ 1 für alle r ∈ ℝ, was aus der Reihenformel nicht offensichtlich ist. Bestimmte Integrale mit Zylinderfunktionen sind elementar berechenbar (zumindest tabelliert). Ihre Bedeutung ist vergleichbar mit Sinus und Cosinus bzw. Exponentialfunktion. Die Nullstellen der Besselfunktion sind wichtig bei zweidimensionalen Randwertproblemen, z.B. bei Schwingungen einer am Rand eingespannten Membran.

Entsprechend der allgemeinen Lösungstheorie muß die Besselsche Differentialgleichung eine weitere linear unabhängige Lösung haben. Ist p ∉ ℕ, so folgt aus der Rechnung, daß die über die Fortsetzung der Gamma-Funktion definierte Potenzreihe J_{−p}(r) eine Lösung ist. Für p ∈ ℕ ist anders vorzugehen. Als weitere Lösung der Besselschen Differentialgleichung nimmt man entweder die Neumannsche Funktion N_{n}(r) oder, insbesondere für z ∈ ℂ, die komplexen Linearkombinationen H_{p}(z) = J_{p}(z) ± iN_{p}(z) (Hankel-Funktionen). ◁

Man kann zeigen, daß diese zweite linear unabhängige Lösung solcher Differentialgleichungen 2. Ordnung durch folgendes Reduktionsverfahren erhalten werden kann:

Satz 11.3 Sei I ⊆ ℝ ein Intervall und a, b : I → 𝕂 stetige Funktionen. Es sei x_{(1)} : I → 𝕂 eine Lösung der Differentialgleichung x′′(t) + a(t)x′(t) + b(t)x(t) = 0 und in einem Intervall J ⊆ I gelte x_{(1)}(t) ≠ 0 für alle t ∈ J. Dann erhält man auf J eine zweite linear unabhängige Lösung x_{(2)} : J → 𝕂 der Differentialgleichung durch den Ansatz x_{(2)}(t) = u(t)x_{(1)}(t), wobei u dann eine nichtkonstante Lösung der Differentialgleichung

u′′(t) + (2\frac{x′_{(1)}(t)}{x_{(1)}(t)} + a(t))u′(t) = 0

ist, die im ersten Schritt zu

u′(t) = \frac{1}{x_{(1)}^{2}(t)} exp ( − ∫_{t_{0}}^{t} ds a(s))

integriert werden kann.

Beispiel 11.4 Die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung für den eindimensionalen harmonischen Oszillator lautet nach Skalierung

ψ′′(x) + (E − x^{2})ψ(x) = 0 .

Für große |x| kann Eψ vernachlässigt werden, und ψ_{0}(x) = e^{−x^{2}/2} wäre Lösung von ψ′′_{0} + (1 − x^{2})ψ_{0} = 0. Man setzt also ψ(x) = y(x)e^{−x^{2}/2} und erhält

y′′(x) − 2xy′(x) + (E − 1)y(x) = 0 .

Mit dem Potenzreihenansatz y(x) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n} ergibt sich die Rekursionsformel

(n + 2)(n + 1)a_{n+2} + (E − 2n − 1)a_{n} = 0 .

Es gibt ein N ∈ ℕ, z.B. N > E^{2}, so daß für alle n ≥ N gilt a_{2(k+1)} > (1 − \frac{1}{N})\frac{a_{2k}}{k+1} und damit y(x) > e^{(1− \frac{1}{N})x^{2}}a_{0} +P_{N}(x) für ein Polynom P_{N} vom Grad ≤ N. Damit wächst die Gesamtlösung ψ(x) = y(x) e^{−x^{2}/2} wie e^{+(1−2/N)x^{2}/2} für |x| → ∞ und erlaubt keine Wahrscheinlichkeitsinterpretation mehr. Der Ausweg besteht in der Abbruchbedingung E = 2n + 1, die dann a_{n+2} = 0 und somit a_{k} = 0 für alle k > n erzwingt. Somit sind nur diskrete bzw. quatisierte Energieniveaus möglich. Es entsteht die Hermitesche Differentialgleichung zum Parameter n ∈ ℕ

y′′(x) − 2xy′(x) + 2ny(x) = 0 , x ∈ ℝ , n ∈ ℕ .

Man kann nachrechnen, daß eine Lösung y(x) = H_{n}(x) gegeben ist durch das Hermitesche Polynom n-ter Ordnung

H_{n}(x) := (−1)^{n}e^{x^{2}}(\frac{d}{dx})^{n}e^{−x^{2}} .  ◁

Beispiel 11.5 Die Legendresche Differentialgleichung auf dem Intervall I = ]−1, 1[ ist gegeben durch

(1 − t^{2})x′′(t) − 2t x′(t) + n(n + 1)x(t) = 0 , n ∈ ℕ .

Sie entsteht bei der Lösung der Schrödinger-Gleichung

Δψ + (E − U(r))ψ = 0

in Kugelkoordinaten (r, θ, ϕ). Dabei ist Δ der Laplace-Operator. Der Ansatz ψ(r, θ, ϕ) = R(r)Θ(θ)Φ(ϕ) mit anschließendem Potenzreihenansatz für R(r) läßt nur dann eine Wahrscheinlichkeitsinterpretation zu, wenn wieder eine durch n ∈ ℕ parametrisierte Abbruchbedingung gestellt wird (Quantisierung der Energieniveaus). Eine Lösung der Legendresche Differentialgleichung ist gegeben durch das Legendresche Polynom n-ter Ordnung

P_{n}(t) := \frac{1}{2^{n}n!}(\frac{d}{dt})^{n}(t^{2} − 1)^{n} .

Zum Beweis rechnet man z^{(n+1)} für die Funktion z(t) := (t^{2} − 1)\frac{d}{dt}(t^{2} − 1)^{n} = 2nt(t^{2} − 1)^{n} über die mehrfache Leibniz-Regel (fg)^{(n)} = ∑_{j=0}^{n} \binom{n}{j}f^{(j)} g^{(n−j)} aus.

Man findet (bis auf Vorfaktoren) Θ_{l}(θ) = P_{l}(cos θ). ◁

Sehr ähnlich entsteht:

Beispiel 11.6 Die Laguerresche Differentialgleichung zum Parameter n ∈ ℕ ist

tx′′(t) + (1 − t)x′(t) + nx(t) = 0 , t ∈ ℝ_{+}^{∗} , n ∈ ℕ .

Eine Lösung ist das Laguerresche Polynom n-ter Ordnung

L_{n}(t) := \frac{1}{n!}e^{t}(\frac{d}{dt})^{n}(t^{n}e^{−t}) .

Es tritt auf als Lösung der zweidimensionalen Schrödinger-Gleichung in Radialkoordinaten für das Potential U(x) = \frac{1}{2}ω^{2}r^{2} eines harmonischen Oszillators.

◁

Beispiel 11.7 Die hypergeometrische Differentialgleichung zu den 3 Parametern α, β, γ ∈ ℝ ist

t(1 − t)x′′(t) + (γ − (α + β + 1)t)x′(t) − αβx(t) = 0 , t ∈ ℂ \ {0, 1, ∞} .

Eine Lösung ist gegeben durch die hypergeometrische Funktion

F ({α β \atop γ} |t) := 1 + \frac{αβ}{γ} · \frac{t^{1}}{1!} + \frac{α(α + 1)β(β + 1)}{γ(γ + 1)} · \frac{t^{2}}{2!} + ….

Ist α oder β eine negative ganze Zahl −n (und γ geeignet), dann bricht die Reihe ab, und F ({α β \atop γ} |t) wird ein Polynom n-ter Ordnung in t.

Durch die sehr allgemeine 3-parametrige Form lassen sich viele andere spezielle Funktionen durch hypergeometrische ausdrücken. Viele Integrale berechnen sich zu hypergeometrischen Funktionen, wichtig ist dabei die Identität

F ({α β \atop γ} |t) = \frac{Γ(γ)}{Γ(β)Γ(γ − β)} ∫_{0}^{1} ds s^{β−1}(1 − s)^{γ−β−1}(1 − ts)^{−α} .  ◁

12 Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten

Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten können auf Eigenwertprobleme für lineare Abbildungen zurückgeführt werden, die wir in der Linearen Algebra behandelt haben.

Zur Fixierung der Bezeichnungen sei ℂ[T] die Menge aller Polynome (endlicher Ordnung) in einer formalen Größe T, d.h. P_{n}(T) := a_{0} + a_{1}T + ⋯ + a_{n}T^{n} ∈ ℂ[T] für ein n ∈ ℕ und a_{i} ∈ ℂ. Die Menge der Polynome ℂ[T] bildet eine sogenannte Algebra, d.h. einen Vektorraum mit Produkt, wobei alle Distributiv-Gesetze gelten. Wir interessieren uns für die Menge ℂ[\frac{d}{dt}] der Differentialoperatoren.

Ist C^{k}(I) der Vektorraum der k-mal stetig differenzierbaren komplexwertigen Funktionen f : I → ℂ auf dem Intervall I ⊆ ℝ und P_{n}(\frac{d}{dt}) = a_{0}+a_{1} \frac{d}{dt} +⋯+a_{n} \frac{d^{n}}{dt^{n}} mit n ≤ k, dann ist dieser Differentialoperator n-ter Ordnung P_{n}(\frac{d}{dt}) eine lineare Abbildung

P_{n}(\frac{d}{dt}) : C^{k}(I) → C^{k−n}(I) , f(t) ↦ a_{0}f(t) + a_{1}f′(t) + ⋯ + a_{n}f^{(n)}(t) .

Wir können a_{n} = 1 annehmen. Insbesondere ist P_{n}(\frac{d}{dt}) ein Endomorphismus des Vektorraums C^{∞}(I) der beliebig oft differenzierbaren Funktionen. Damit läßt sich die Eigenwerttheorie von Endomorphismen eines Vektorraums auf Differentialoperatoren übertragen. Zwar ist C^{∞}(I) ein unendlich-dimensionaler Vektorraum, aber nach Satz 10.11 ist der Vektorraum ker(P_{n}(\frac{d}{dt})) ⊆ C^{∞}(I) der Lösungen x von P_{n}(\frac{d}{dt})x = 0 endlich-dimensional.

Die gesamte Theorie der Differentialoperatoren P_{n}(\frac{d}{dt}) beruht auf der Beobachtung, daß

P_{n}(\frac{d}{dt})e^{λt} = P_{n}(λ)e^{λt} .

Folglich gilt:

Satz 12.1 Ist λ ∈ ℂ eine Nullstelle des Polynoms P, d.h. P (λ) = 0, dann ist x = e^{λt} eine Lösung der Differentialgleichung P (\frac{d}{dt})e^{λt} = 0.

Im einfachsten Fall sind alle n Nullstellen von P_{n} verschieden:

Satz 12.2 Sei P_{n}(T) = T^{n} + a_{n−1}T^{n−1} + ⋯ + a_{1}T + a_{0} ein Polynom, welches n paarweise voneinander verschiedene Nullstellen λ_{1}, …, λ_{n} ∈ ℂ habe. Dann bilden die Funktionen x_{(1)}, …, x_{(n)} : ℝ → ℂ mit

x_{(k)}(t) := e^{λ_{k}t} , k = 1, …, n ,

ein Fundamentalsystem von Lösungen der Differentialgleichung

P_{n}(\frac{d}{dt})x = x^{(n)} + a_{n−1}x^{(n−1)} + ⋯ + a_{1}x′ + a_{0}x = 0 .

Beweis. Nach Satz 12.1 ist jede dieser Funktionen x_{(k)} Lösung der Differentialgleichung. Zur Überprüfung der linearen Unabhängigkeit berechnen wir die Wronski-Determinante an der Stelle t = 0. Mit x_{(k)}^{(j)}(t) = λ_{k}^{j}e^{λ_{k}t} ergibt sich

W (0) = det ( \begin{matrix}1 & 1 & … & 1 \\ λ_{1} & λ_{2} & … & λ_{n} \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ λ_{1}^{n−1} & λ_{2}^{n−1} & … & λ_{n}^{n−1} \end{matrix} )

Das ist genau die Vandermonde-Determinate (Aufgabe 3 von Blatt 10 aus dem 2. Semester),

W (0) = ∏_{k>l}(λ_{k} − λ_{l}) ≠ 0 ,

da die Nullstellen paarweise verschieden sind. □

Man sieht aber auch, daß für mehrfache Nullstellen die Lösungen e^{λ_{k}t} nicht linear unabhängig sind.

Beispiel 12.3 Gegeben sei die Differentialgleichung x′′′(t) − 2x′′(t) + x′(t) − 2x(t) = 0. Sie schreibt sich als P_{3}(\frac{d}{dx})y = 0 mit

P_{3}(T) = T^{3} − 2T^{2} + T − 2 = (T − 2)(T^{2} + 1) = (T − 2)(T − i)(T + i) .

Alle Nullstellen von P_{3} sind paarweise verschieden, so daß

x_{(1)}(t) = e^{it} ,  x_{(2)}(t) = e^{−it} ,  x_{(3)}(t) = e^{2t}

ein Lösungsfundamentalsystem bildet. Wegen

c_{1}e^{it} + c_{2}e^{−it} = (c_{1} + c_{2}) cos t + (ic_{1} − ic_{2}) sin t

bildet dann

x_{(1)}(t) = cos t ,  x_{(2)}(t) = sin t ,  x_{(3)}(t) = e^{2t}

ein reelles Fundamentalsystem. ◁

Ganz allgemein gilt: Ist λ = iμ mit μ ∈ ℝ eine rein imaginäre Nullstelle eines rellen Polynoms P (T) ∈ ℝ[T], dann ist auch λ̄ = −iμ eine Nullstelle, so daß sich die Lösungen e^{±iμt} der entsprechenden Differentialgleichung äquivalent durch cos(μt) und sin(μt) ausdrücken lassen.

Beispiel 12.4 Wir erinnern noch einmal an die Schwingungsdifferentialgleichung x′′(t) + ω^{2}x(t) = 0. Mit P_{2}(T) = T^{2} + ω^{2} = (T − iω)(T + iω) finden wir sofort das Lösungsfundamentalsystem x_{(1)}(t) = cos(ωt) und x_{(2)}(t) = sin(ωt). ◁

Es verbleibt die Diskussion mehrfacher Nullstellen. Nach dem Fundamentalsatz der Algebra können wir jedes Polynom P_{n}(T) = T^{n} + a_{n−1}T^{n−1} + ⋯ + a_{0} ∈ ℂ[T] in Linearfaktoren zerlegen,

P_{n}(T) = (T − λ_{1})^{k_{1}} ⋯ (T − λ_{r})^{k_{r}} ,

mit paarweise verschiedenen Nullstellen λ_{i} ∈ ℂ und k_{1} + ⋯ + k_{r} = n. Wir benötigen zwei Hilfssätze:

Lemma 12.5 Sei λ ∈ ℂ und k ∈ ℕ sowie I ⊆ ℝ. Für jede k-mal stetig differenzierbare Funktion f : I → ℂ gilt

(\frac{d}{dt} − λ)^{k}(f(t) e^{λt}) = f^{(k)}(t) e^{λt} .

Beweis. Für k = 0 ist nichts zu zeigen, und für k = 1 ergibt sich

(\frac{d}{dt} − λ)(f(t) e^{λt}) = f′(t) e^{λt} + f(t) (e^{λt})′ − λ f(t) e^{λt} = f′(t) e^{λt} .

Der Induktionsschritt k ↦ k + 1 ist

(\frac{d}{dt} − λ)^{k+1}(f(t) e^{λt}) = (\frac{d}{dt} − λ)(f^{(k)}(t) e^{λt})
= (f^{(k)}(t))′ e^{λt})

nach obiger Rechnung für k = 1. □

Lemma 12.6 Es sei P_{n}(T) ∈ ℂ[T] ein Polynom und λ ∈ ℂ, so daß P_{n}(λ) ≠ 0. Ist g_{k} : ℝ → ℂ eine Polynomfunktion k-ten Grades, so gilt

P_{n}(\frac{d}{dt})(g_{k}(t) e^{λt}) = h_{k}(t) e^{λt} ,

wobei h_{k} : ℝ → ℂ ebenfalls eine Polynomfunktion k-ten Grades ist.

Beweis. Das Polynom P_{n}(T) läßt sich (z.B. über den Satz von Taylor) umordnen nach Potenzen von T − λ:

P_{n}(T) = ∑_{j=0}^{n} c_{i}(T − λ)^{j}

mit c_{j} ∈ ℂ und c_{0} = P_{n}(λ) ≠ 0. Damit gilt nach Lemma 12.5

P_{n}(\frac{d}{dt})(g_{k}(t) e^{λt}) = ∑_{j=0}^{n} c_{j}(\frac{d}{dt} − λ)^{j}(g_{k}(t) e^{λt}) = ∑_{j=0}^{n} c_{j}g_{k}^{(j)}(t) e^{λt} .

Wegen c_{0} ≠ 0 ist h_{k}(t) := ∑_{j=0}^{n} c_{j}g_{k}^{(j)}(t) wieder eine Polynomfunktion vom Grad k. □

Satz 12.7 Es sei P_{n}(T) = (T − λ_{1})^{k_{1}} ⋯ (T − λ_{r})^{k_{r}} ein Polynom n-ten Grades mit paarweise verschiedenen Nullstellen λ_{j} ∈ ℂ der Vielfachheit k_{j}. Dann besitzt die Differentialgleichung P_{n}(\frac{d}{dt})x(t) = 0 ein Lösungs-Fundamentalsystem aus den Funktionen

x_{(jm)}(t) := t^{m}e^{λ_{j}t} , 1 ≤ j ≤ r , 0 ≤ m ≤ k_{j} − 1 .

Beweis. i) Für gewähltes j läßt sich das Polynom P_{n} schreiben als P_{n}(T) = Q_{j}(T)(T − λ_{j})^{k_{j}} mit Q_{j}(λ_{j}) ≠ 0. Dann gilt nach Lemma 12.5

P_{n}(\frac{d}{dt})(t^{m}e^{λ_{j}t}) = Q_{j}(\frac{d}{dt})(\frac{d}{dt} − λ_{j})^{k_{j}}(t^{m}e^{λ_{j}t}) = Q_{j}(\frac{d}{dt}) (t^{m})^{(k_{j})}e^{λ_{j}t} = 0

wegen m < k_{j}. Somit erfüllen alle Funktionen x_{(jm)} die Differentialgleichung.

ii) Zu zeigen bleibt die lineare Unabhängigkeit der x_{(jm)}. Eine Linearkombination der x_{(jm)} hat die Form x̃(t) = ∑_{j=1}^{r} g_{(j)}(t)e^{λ_{j}t}, wobei g_{(j)}(t) eine Polynomfunktion vom Grad ≤ k_{j} − 1 ist (wir lassen den Polynomgrad zur Verbesserung der Lesbarkeit weg). Wir zeigen durch Induktion nach r, daß x̃ = 0 genau dann, wenn g_{(j)} = 0 für alle j.

Für r = 1 folgt aus x̃(t) = g_{(1)}(t)e^{λ_{1}t} = 0 für alle t ∈ ℝ, daß g_{(1)}(t) = 0 ist. Im Schritt von r − 1 nach r sei dann ∑_{j=1}^{r} g_{(j)}(t)e^{λ_{j}t} = 0. Ist eines der g_{(j)}

gleich Null, so sind wir nach Induktionsannahme fertig. Ansonsten wenden wir (\frac{d}{dt} − λ_{r})^{k_{r}} an und benutzen Lemma 12.5 und Lemma 12.6:

0 = (\frac{d}{dt} − λ_{r})^{k_{r}}( ∑_{j=1}^{r} g_{(j)}(t)e^{λ_{j}t}) = (\frac{d}{dt} − λ_{r})^{k_{r}}( ∑_{j=1}^{r−1} g_{(j)}(t)e^{λ_{j}t})

= ∑_{j=1}^{r−1} ∑_{i=0}^{k_{r}} c_{ji}(\frac{d}{dt} − λ_{j})^{i}(g_{(j)}(t)e^{λ_{j}t}) = ∑_{j=1}^{r−1} \underbrace{( ∑_{i=0}^{k_{r}} c_{ji}g_{(j)}^{(i)}(t))}_{h_{(j)}(t)} e^{λ_{j}t} ,

wobei h_{(j)}(t) wegen c_{j0} = (λ_{j} − λ_{r})^{k_{r}} ≠ 0 wieder ein Polynom vom Grad ≤ k_{j} − 1 ist. Nach Induktionsvoraussetzung ist dann h_{(j)} = 0 für alle j und weiter wegen c_{j0} ≠ 0 auch g_{(j)}^{(0)}(t) = 0, im Widerspruch zur Annahme. □

Beispiel 12.8 Gegeben sei die Schwingungsdifferentialgleichung mit kritischer Reibung

0 = x′′(t) + 2ωx′(t) + ω^{2}x(t) = P_{2}(\frac{d}{dt})(x)

mit P_{2}(T) = T^{2} + 2ωT + ω^{2} = (T + ω)^{2}. Die allgemeine Lösung ist deshalb x(t) = (c_{1} + c_{2}t)e^{−ωt}. ◁

Wir betrachten nun inhomogene lineare Differentialgleichungen P_{n}(\frac{d}{dt})x = b(t). Es bietet sich an, die Lösung der homogenen Gleichung zu bestimmen, sie in die Matrixform einer linearen Differentialgleichung 1. Ordnung zu überführen und dann durch Variation der Konstanten eine spezielle Lösung des inhomogenen Problems zu berechnen. In manchen Fällen kommt man aber durch einen geeigneten Lösungsansatz schneller ans Ziel.

Zunächst folgende Beobachtung: Ist b(t) = b_{1}(t) + ⋯ + b_{k}(t) und x_{(k)} Lösung von P_{n}(\frac{d}{dt})x_{(k)} = b_{k}(t), so ist x = x_{(1)} + ⋯ + x_{(k)} Lösung von P_{n}(\frac{d}{dt})x = b(t). Der Lösungsansatz funktioniert dann für rechte Seiten der Form b(t) = g_{m}(t)e^{μt}, wobei g_{m} eine Polynomfunktion vom Grad m ist.

Satz 12.9 Sei P_{n}(T) = T^{n} + a_{n−1}T^{n−1} + ⋯ + a_{1}T + a_{0} ∈ ℂ[T] ein Polynom und μ ∈ ℂ, so daß P (μ) ≠ 0 (keine Resonanz). Dann gilt:

i) Die Differentialgleichung P_{n}(\frac{d}{dt})x = e^{μt} besitzt die spezielle Lösung x(t) = \frac{1}{P_{n}(μ)}e^{μt}.

ii) Ist g_{m} : ℝ → ℂ eine Polynomfunktion vom Grad m, so besitzt die Differentialgleichung P_{n}(\frac{d}{dt})x = g_{m}(t)e^{μt} eine spezielle Lösung der Form x(t) = h_{m}(t)e^{μt}, wobei h_{m} : ℝ → ℂ wieder eine Polynomfunktion vom Grad m ist.

Beweis. i) ist klar wegen P_{n}(\frac{d}{dt})e^{μt} = P_{n}(μ)e^{μt}.

ii) mit Induktion nach m. Der Fall m = 0 ist Teil i). Nach Lemma 12.6 ist P_{n}(\frac{d}{dt})(t^{m}e^{μt}) = h̃_{m}(t)e^{μt} für eine Polynomfunktion h̃_{m}(t) vom Grad m. Wir schreiben g_{m}(t) = ch̃_{m}(t) + g_{m−1}(t) für ein c ∈ ℂ und ein Polynom g_{m−1}(t) vom Grad m − 1. Nach Induktionsvoraussetzung gibt es eine Polynomfunktion h_{m−1}(t) vom Grad m − 1, so daß P_{n}(\frac{d}{dt})x = g_{m−1}(t)e^{μt} die spezielle Lösung x(t) = h_{m−1}(t)e^{μt} hat. Dann hat P_{n}(\frac{d}{dt})x = g_{m}(t)e^{μt} die spezielle Lösung x(t) = (ct^{m} + h_{m−1}(t))e^{μt}. □

Beispiel 12.10 Gegeben sei die Differentialgleichung x′′′(t) − x(t) = t, also P_{3}(\frac{d}{dt})x = b(t) mit P_{3}(T) = T^{3} −1 = (T −1)(T^{2} +T +1) = (T −1)(T −τ_{1})(T −τ_{2}) und b(t) = te^{0x}. Damit ist P_{3}(0) ≠ 0, so daß es eine spezielle Lösung x(t) = c_{1}t+c_{0} der Differentialgleichung gibt. Wir testen

(\frac{d^{3}}{dt^{3}} − 1)(c_{1}t + c_{0}) = −c_{1}t − c_{0} =^{!} t ,

was auf c_{0} = 0 und c_{1} = −1 führt. Zusammen mit der allgemeinen Lösung (τ_{1,2} = −\frac{1}{2} ± \frac{i}{2} \sqrt{3}) des homogenen Problem ergibt sich als allgemeinste Lösung

x(t) = −t + ae^{t} + e^{− \frac{1}{2} t}(b cos \frac{\sqrt{3}}{2}t + c sin \frac{\sqrt{3}}{2}t) .  ◁

Satz 12.11 Sei P_{n}(T) = T^{n} + a_{n−1}T^{n−1} + ⋯ + a_{1}T + a_{0} ∈ ℂ[T] ein Polynom und g_{m} : ℝ → ℂ eine Polynomfunktion vom Grad m. Die komplexe Zahl μ ∈ ℂ sei eine k-fache Nullstelle von P_{n} (Resonanzfall). Dann besitzt die Differentialgleichung P_{n}(\frac{d}{dt})y = g_{m}(t)e^{μt} eine spezielle Lösung der Form x(t) = h_{m+k}(t)e^{μt}, wobei h_{k+m}(t) = ∑_{j=k}^{m+k} c_{j}t^{j} eine Polynomfunktion vom Grad m+k ist, in der die untersten Potenzen t^{j} mit j < k nicht auftreten.

Beweis. Nach Voraussetzung gibt es eine Darstellung P_{n}(T) = Q_{n−k}(T)(T − μ)^{k} mit Q_{n−k}(μ) ≠ 0. Nach Satz 12.9 gibt es eine Polynomfunktion h̃_{m}(t), so daß Q_{n−k}(\frac{d}{dt})(h̃_{m}(t)e^{μt}) = g_{m}(t)e^{μt}. Es gibt dann eine Polynomfunktion h_{m+k}(t) = ∑_{j=k}^{m+k} c_{j}t^{j}, so daß h_{m+k}^{(k)}(t) = h̃_{m}(t). Nach Lemma 12.5 gilt damit

P_{n}(\frac{d}{dt})(h_{m+k}(t)e^{μt}) = Q_{n−k}(\frac{d}{dt})(\frac{d}{dt} − μ)^{k}(h_{m+k}(t)e^{μt})
= Q_{n−k}(\frac{d}{dt})(h_{m+k}^{(k)}(t)e^{μt}) = Q_{n−k}(\frac{d}{dt})(h̃_{m}(t)e^{μt})
= g_{m}(t)e^{μt} .  □

Beispiel 12.12 Wir betrachten noch einmal die Differentialgleichung x′′(t) + ω^{2}x(t) = b cos(Ωt) = Re(be^{iΩt}). Wir rechnen im Komplexen und nehmen am Ende den Realteil der Lösung. Wir haben P_{2}(T) = (T − iω)(T + iω). Zunächst sei Ω^{2} ≠ ω^{2}. Wegen P_{2}(iΩ) = ω^{2} − Ω^{2} ergibt sich für Ω ≠ ω die komplexe Lösung zu

x(t) = c_{1}e^{iωt} + c_{2}e^{−iωt} + \frac{b}{ω^{2} − Ω^{2}} e^{iΩt} , c_{1}, c_{2} ∈ ℂ .

Der Realteil ist

Re(x(t)) = a_{1} cos ωt+a_{2} sin ωt+\frac{b}{ω^{2} − Ω^{2}} cos Ωt , a_{1} = Re(c_{1}+c_{2}) , a_{2} = Im(c_{2}−c_{1}) .

Im Resonanzfall Ω = ±ω ist Ω eine einfache Nullstelle, so daß eine spezielle Lösung die Form cte^{iωt} hat. Wegen

(\frac{d^{2}}{dt^{2}} + ω^{2})(cte^{iωt}) = 2icωe^{iωt}

ergibt sich

x(t) = c_{1}e^{iωt} + c_{2}e^{−iωt} + \frac{bt}{2iω} e^{iωt} , c_{1}, c_{2} ∈ ℂ .

Der Realteil ist

Re(x(t)) = a_{1} cos ωt+a_{2} sin ωt+\frac{b}{2ω} t sin ωt , a_{1} = Re(c_{1}+c_{2}) , a_{2} = Im(c_{2}−c_{1}) .

Wir bestätigen damit die zuvor in Beispiel 10.9 erhaltenen Lösungen. ◁

Zusammenfassung

• Umformungen zwischen expliziter Differentialgleichung und vektorieller DGL x′(t) = v(t, x(t)); Interpretation von v als Geschwindigkeitsfeld und Lösungen x(t) als Bahnkurven, Stromlinien, Feldlinien

• DGL mit getrennten Variablen, lineare DGL, Variation der Konstanten • Beziehung zwischen Anfangswertproblem x′(t) = v(t, x(t)) mit x(t_{0}) = x_{0} und Integralgleichung; lokale Existenz und Eindeutigkeit unter Lipschitz-Bedingung

• Lineare DGL: Lösungsfundamentalsystem, Variation der Konstanten im inhomogenen Fall. Potenzreihenansatz

• Lineare DGL mit konstanten Koeffizienten: Ansatz für Lösungsfundamentalsystem und spezielle Inhomogenitäten mit Fallunterscheidungen nach Vielfachheit der Nullstellen

Teil III

Grundlagen der Funktionentheorie

13 Differentialformen und Kurvenintegrale

Definition 13.1 Sei U ⊆ ℝ^{n} offen. Unter einer Differentialform 1. Grades bzw. einer 1-Form auf U versteht man eine Abbildung

ω : U → Hom(ℝ^{n}, 𝕂) , 𝕂 = ℝ oder 𝕂 = ℂ .

Beispiel 13.2 Sei f : U → ℝ stetig differenzierbar. Dann ist ω = Df eine 1-Form, ω(ξ) = (Df)(ξ) : ℝ^{n} → ℝ linear. ◁

Wir bezeichnen hier mit ξ = (ξ_{1}, …, ξ_{n}) die Koordinaten auf U, um die Bezeichnung x_{i} ∈ C(U) für die Koordinatenfunktionen zu reservieren:

x_{i}(ξ) = ξ_{i} .

Dann ist x_{i}(ξ + h) = ξ_{i} + h_{i} = x_{i}(ξ) + (Dx_{i})(ξ) ∘ h. Für diese Differentiale Dx_{i} der Koordinatenfunktionen führt man die besondere Bezeichnung dx_{i} ein,

dx_{i} := Dx_{i} ⇒ dx_{i}(ξ) ∘ h = h_{i} ∀ξ ∈ U .

Beispiel 13.3 Sei v : U → ℝ^{n} ein Vektorfeld. Dann wird durch ω = ⟨v, . ⟩, d.h ω(ξ) ∘ h = ⟨v(ξ), h⟩ für h ∈ ℝ^{n}, eine 1-Form definiert. ◁

Wegen der Linearität ist eine 1-Form ω durch ihre Werte auf den Basisvektoren (e_{i})_{i=1,...,n} des ℝ^{n} bestimmt, also durch die Funktionen ω ∘e_{i} = ω_{i} : U → 𝕂. Dann ist

ω(ξ) ∘ h = ω(ξ) ∘ ∑_{i=1}^{n} h_{i}e_{i} = ∑_{i=1}^{n} h_{i}ω(ξ) ∘ e_{i} = ∑_{i=1}^{n} h_{i}ω_{i}(ξ) = ∑_{i=1}^{n} ω_{i}(ξ)(dx_{i})(ξ) ∘ h

⇒ ω(ξ) = ∑_{i=1}^{n} ω_{i}(ξ)dx_{i}(ξ) ,  dx_{i} ∘ e_{j} = δ_{ij} .

Beispiel 13.4 i) Ist f : U → ℝ stetig differenzierbar, dann gilt Df =

∑_{i=1}^{n}(∂_{i}f)dx_{i}.

ii) Ist v = ∑_{i=1}^{n} v_{i}e_{i} ein stetiges Vektorfeld, dann gilt für die durch ω = ⟨v, . ⟩

definierte 1-Form ω = ∑_{i=1}^{n} v_{i}dx_{i}.

Höhere Differentialformen auf U werden multilineare antisymmetrische Abbildungen ω^{(k)} : U → Hom(\underbrace{ℝ^{n} ⊗_{as} ⋯ ⊗_{as} ℝ^{n}}_{k}, ℝ). Wir vereinfachen diese Beschrei-

bung, indem wir auf die ab Definition 28.6 im 1. Semester eingeführten Strukturen zurückgreifen. Ausgangspunkt ist die Dualität dx_{i} ∘ e_{j} = δ_{ij} = ⟨e_{i}, e_{j}⟩, durch die wir dx_{i} mit e_{i} idenfifizieren können. In Analogie zu Definition 28.6 führen wir ein:

Definition 13.5 Der Vektorraum der k-fach antisymmetrischen Tensoren über ℝ^{n} wird erzeugt durch formale Produkte von k Koordinatendifferentialen,

Λ^{k}(ℝ^{n}) := \{ \begin{matrix}ℝ & für k = 0 \\ span(dx_{i_{1}} ∧ ⋯ ∧ dx_{i_{k}} : 1 ≤ i_{1} < i_{2} < ⋯ < i_{k} ≤ n) & für 1 ≤ k ≤ n \\ 0 & für k > n \end{matrix}

Sei U ⊂ ℝ^{n} offen. Eine stetige/partiell differenzierbare/… Abbildung ω^{(k)} : U → Λ^{k}(ℝ^{n}) heißt stetige/partiell differenzierbare/… k-Form auf U. Der Raum der k-Formen auf U wird mit Ω^{k}(U) bezeichnet.

Eine k-Form ist also die Zuordnung eines k-fach antisymmetrischen Tensors zu jedem Punkt von U. Insbesondere sind 0-Formen auf U sind nichts anderes als Funktionen auf U, und 1-Formen haben wie zuvor die Form ω = ∑_{i=1}^{n} ω_{i}dx_{i}.

Definition 13.6 Die durch die Vereinbarung dx_{i} ∧ dx_{j} = −dx_{j} ∧ dx_{i} für alle i, j = 1, …, n und lineare Fortsetzung entstehende assoziative Multiplikation

∧ : Λ^{k}(ℝ^{n}) × Λ^{l}(ℝ^{n}) → Λ^{k+l}(ℝ^{n})

heißt das äußere Tensorprodukt (auch wedge-Produkt wegen der englischen Bezeichnung “wedge” (Keil) für ∧). Entsprechend heißt

∧ : Ω^{k}(U) × Ω^{l}(U) → Ω^{k+l}(U)

(wie oben erklärt, jedoch mit C(U)-linearer Fortsetzung) das äußere Formenprodukt. Die durch

dω := ∑_{i=1}^{n} dx_{i} ∧ ∂_{i}(ω)

für eine partiell differenzierbare k-Form ω ∈ Ω^{k}(U) definierte Abbildung d : Ω^{k}(U) → Ω^{k+1}(U) heißt äußere Ableitung oder äußeres Differential.

Gradient, Divergenz sowie im ℝ^{3} die Rotation und das Vektorprodukt lassen sich über Differentialformen ausdrücken. Wir erinnern an:

Satz 13.7 • Sind ω^{(k)} ∈ Ω^{k}(U) und ω̃^{(l)} ∈ Ω^{l}(U) partiell differenzierbare Formen, dann gilt die graduierte Leibniz-Regel

d(ω^{(k)} ∧ ω̃^{(l)}) = (dω^{(k)}) ∧ ω̃^{(l)} + (−1)^{k}ω^{(k)} ∧ (dω̃^{(l)}) .

• Ist ω^{(k)} ∈ Ω^{k}(U) zweimal stetig partiell differenzierbar, dann gilt d(dω^{(k)}) = 0.

Im ℝ^{3} übersetzen sich die beiden Identitäten ddf = 0 und ddω^{(1)} = 0 für zweimal stetig differenzierbare Funktionen bzw. Vektorfelder in rot grad f = 0 und div rot v = 0.

Zu den wichtigsten Eigenschaften von k-Formen ω^{(k)} ∈ Ω^{k}(U) mit U ⊆ ℝ^{n} gehört, daß sie über k-dimensionale Untermannigfaltigkeiten M ∩ U des ℝ^{n} integriert werden können, ∫_{M∩U} ω^{(k)}. Da wir bisher nur das eindimensionale Integral behandelt haben, beschränken wir uns auf Integrale von 1-Formen über (die Spur von) Kurven in U.

Das Riemann-Integral ∫_{a}^{b} dxf(x) einer Funktion f : [a, b] → ℝ wird hier interpretiert als das Kurvenintegral der 1-Form f(x)dx über das Intervall [a, b] ⊆ ℝ^{1}. Die einzuführende Verallgemeinerung auf Kurvenintegrale im ℝ^{n} ist z.B. für die Definition der Arbeit erforderlich, die ein Kraftfeld F, beschrieben durch eine 1-Form F ∈ Ω^{1}(U), an einem Massepunkt verrichtet, der sich auf einer Bahnkurve c(t) bewegt:

W (F, c) = ∫_{c} F := ∫_{α}^{β} dt F (c(t)) ∘ c′(t) , F : U → Hom(ℝ^{n}, ℝ) .

Im Spezialfall einer geradlinigen Bahn c(t) = c_{0} + vt mit c_{0}, v ∈ ℝ^{n} und t ∈ [α, β] sowie einem konstanten Kraftfeld F (c(t)) = F ∈ ℝ^{n} reduziert sich diese Formel auf W = ⟨F, v(β − α)⟩

Definition 13.8 Es sei c : [α, β] → U ⊆ ℝ^{n} eine Kurve im Definitionsbereich einer 1-Form ω : U → Hom(ℝ^{n}, 𝕂). Die 1-Form ω heißt längs c integrierbar, wenn es eine Zahl I ∈ 𝕂 gibt mit folgender Eigenschaft: Zu jedem ϵ > 0 existiert ein δ > 0, so daß für eine beliebige Zerlegung α ≤ t_{0} < t_{1} < ⋯ < t_{m} ≤ β mit |t_{k} − t_{k−1}| < δ und beliebige Wahl von τ_{k} ∈ [t_{k−1}, t_{k}] gilt

|I − ∑_{k=1}^{m} ω(c(τ_{k})) ∘ (c(t_{k}) − c(t_{k−1}))| < ϵ .

In diesem Fall heißt I =: ∫_{c} ω das Integral der 1-Form ω längs c.

Es stellt sich heraus, daß selbst für stetige 1-Formen ω mehr als Stetigkeit der Kurve c gefordert werden muß, damit ω längs c integriert werden kann. Es genügt (stückweise) Differenzierbarkeit der Kurve:

Satz 13.9 Ist ω = ∑_{i=1}^{n} ω_{i}dx_{i} stetig und c = (c_{1}, …, c_{n}) stetig differenzierbar, dann ist ω längs c integrierbar, und es gilt

∫_{c} ω = ∫_{α}^{β} dt ω(c(t)) ∘ c′(t) = ∑_{i=1}^{n} ∫_{α}^{β} dt ω_{i}(c(t))c′_{i}(t) .

Beweis. Nach Satz 5.4 besitzt c eine Bogenlänge L(c). Die stetigen Funktionen ω_{i} ∘ c : [α, β] → 𝕂 sind gleichmäßig stetig. Wähle δ > 0 derart, daß für alle t, t′ ∈ [α, β] mit |t − t′| < δ gilt

|ω_{i}(c(t)) − ω_{i}(c(t′))| < \frac{ϵ}{nL(c)} , ∀i = 1, …, n .

Wähle eine Unterteilung α ≤ t_{0} < t_{1} < ⋯ < t_{m} ≤ β mit |t_{k} − t_{k−1}| < δ und τ_{k} ∈ [t_{k−1}, t_{k}]. Dann gilt

| ∑_{i=1}^{n} ( ∫_{α}^{β} dt ω_{i}(c(t))c′_{i}(t) − ∑_{k=1}^{m} ω_{i}(c(τ_{k}))(c_{i}(t_{k}) − c_{i}(t_{k−1})))|

= | ∑_{i=1}^{n} ∑_{k=1}^{m} ∫_{t_{k−1}}^{t_{k}} dt (ω_{i}(c(t)) − ω_{i}(c(τ_{k})))c′_{i}(t)|

≤ ∑_{i=1}^{n} ∑_{k=1}^{m} ∫_{t_{k−1}}^{t_{k}} dt |ω_{i}(c(t)) − ω_{i}(c(τ_{k}))||c′_{i}(t)|

< ∑_{i=1}^{n} ∑_{k=1}^{m} \frac{ϵ}{nL(c)} ∫_{t_{k−1}}^{t_{k}} dt |c′_{i}(t)| ≤ ∑_{i=1}^{n} ∑_{k=1}^{m} \frac{ϵ}{nL(c)} ∫_{t_{k−1}}^{t_{k}} dt ∥c′(t)∥

≤ \frac{ϵ}{L(c)} ∫_{α}^{β} dt ∥c′(t)∥ = ϵ .

Dabei haben wir Cauchy-Schwarz |c′_{i}| = |⟨c′, e_{i}⟩ ≤ ∥c′∥∥e_{i}∥ benutzt sowie die Formel für die Bogenlänge aus Satz 5.4. □

Beispiel 13.10 Das Integral der durch ein homogenes Gravitationsfeld gegebenen 1-Form κ = −mg dx_{3} soll längs der Kurven c, γ : [0, 1] → ℝ^{3} mit c(t) = (1 − cos(πt))e_{1} + sin(πt)e_{2} + h(1 − t)e_{3} und γ(t) = 2te_{1} + h(1 − t^{2})e_{3} berechnet werden. Es gilt c(0) = γ(0) = (0, 0, h) und c(1) = γ(1) = (2, 0, 0) sowie

∫_{c} κ = −mg ∫_{0}^{1} dt c′_{3}(t) = mgh ,  ∫_{γ} κ = −mg ∫_{0}^{1} dt γ′_{3}(t) = mgh . (5)

Für dieses Beispiel ist die Arbeit unabhängig vom Weg. ◁

Beispiel 13.11 Auf U = ℝ^{2} \ \{0\} heißt ω(ξ) := −\frac{ξ_{2}}{ξ_{1}^{2}+ξ_{2}^{2}} dx_{1} + \frac{ξ_{1}}{ξ_{1}^{2}+ξ_{2}^{2}} dx_{2} die Windungsform. Wir integrieren ω längs des geschlossenen Weges c : [0, 2π] → U, mit c(t) = e_{1} cos t + e_{2} sin t. Dann ist c′(t) = −e_{1} sin t + e_{2} cos t, somit

ω(c(t)) ∘ c′(t) = sin^{2} t + cos^{2} t = 1  ⇒  ∫_{c} ω = 2π .  ◁

14 Exakte 1-Formen

Definition 14.1 Sei U ⊆ ℝ^{n} offen. Eine differentielle k-Form ω^{(k)} ∈ Ω^{k}(U) heißt

i) exakt, falls es eine (k−1)-Form ω̃^{(k−1)} ∈ Ω^{k−1}(U) gibt mit ω^{(k)} = dω̃^{(k−1)},

ii) geschlossen, falls dω^{(k)} = 0.

Eine zu einer exakten 1-Form ω ∈ Ω^{1}(U) führende 0-Form F ∈ Ω^{0}(U) mit ω = dF (= DF) heißt Stammfunktion von ω.

Wegen d^{2} = 0 (d.h. Satz von Schwarz) ist jede exakte Differentialform auch geschlossen. Somit ist dω^{(k)} = 0 notwendig, im allgemeinen jedoch nicht hinreichend, für Exaktheit von ω^{(k)}. Insbesondere ist notwendig für die Existenz einer Stammfunktion einer 1-Form ω = ∑_{i=1}^{n} ω_{i}dx^{i} die Gültigkeit der \frac{n(n−1)}{2} Integrationsbedingungen

(dω)_{jk} = ∂_{j}ω_{k} − ∂_{k}ω_{j} = 0 für alle j, k = 1, … n .

Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung besitzt jede stetige 1-Form fdx auf einem Intervall I ⊆ ℝ eine Stammfunktion F mit F′ = f. Im Höherdimensionalen gibt es nicht-exakte 1-Formen. Es wird sich zeigen, daß die Exaktheit sogar vom Definitionsbereich U abhängt. Wenn U zusammenhängend ist, dann unterscheiden sich zwei Stammfunktionen (falls es sie gibt) nach Satz 1.18 nur um eine Konstante. Für exakte 1-Formen gilt das Analogon des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung:

Satz 14.2 Ist F Stammfunktion einer stetigen 1-Form ω auf U, so gilt für jede (stückweise) stetig differenzierbare Kurve c : [α, β] → U

∫_{c} ω = F (c(β)) − F (c(α)) .

Insbesondere ist ∫_{c} ω = 0 für jede geschlossene Kurve c : I → U.

Beweis. Nach Voraussetzung ist F ∘ c : [α, β] → ℝ differenzierbar auf [α, β] mit (F ∘ c)′(t) = (DF)(c(t)) ∘ c′(t) = ω(c(t)) ∘ c′(t). Somit gilt

F (c(β)) − F (c(α)) = ∫_{α}^{β} dt (F ∘ c)′(t) = ∫_{α}^{β} dt ω(c(t)) ∘ c′(t) = ∫_{c} ω . □

Für eine exakte 1-Form ω auf U hängt das Integral ∫_{c} ω nur von Anfangs- und Endpunkt der Kurve ab und nicht vom Wegverlauf dazwischen. Wie bei eindimensionalen Integralen ist es deshalb für exakte ω sinnvoll zu schreiben ∫_{a}^{b} ω := ∫_{c} ω, wobei für c : [α, β] → U eine beliebige Kurve mit c(α) = a und c(β) = b gewählt werden kann.

Beispiel 14.3 Die Newtonsche Gravitationskraft einer Punktmasse M in 0 ∈ ℝ^{3}, wirkend auf eine Punktmasse m in ξ ∈ U = ℝ^{3} \ {0}, ist gegeben durch die 1-Form ω(ξ) = −\frac{γMm}{∥ξ∥^{3}} ∑_{i=1}^{3} ξ_{i}dx_{i}. Diese 1-Form ist exakt mit Stammfunktion (Potential) Φ = \frac{γMm}{∥ξ∥}. Somit gilt für die Arbeit der Gravitationskraft längs einer beliebigen Bahnkurve c zwischen ξ, η ∈ U die Formel ∫_{c} ω = Φ(η) − Φ(ξ) = γMm(\frac{1}{∥η∥} − \frac{1}{∥ξ∥}). Insbesondere verrichtet die Gravitationskraft keine Arbeit auf einer geschlossenen Bahnkurve. ◁

In Umkehrung von Satz 14.2 garantiert Wegunabhängigkeit der Integration die Existenz der Stammfunktion.

Satz 14.4 Eine stetige 1-Form ω auf einer zusammenhängenden offenen Menge U ⊆ ℝ^{n}, die in U wegunabhängig integriert werden kann, besitzt in U die (bis auf

Addition einer Konstanten eindeutige) Stammfunktion F (ξ) = ∫_{a}^{ξ} ω

Beweis. Es gibt eine offene Kugel K_{r}(ξ) ⊆ U. Dann liegt für jedes h ∈ ℝ^{n} mit ∥h∥ < r die Kurve c(t) = ξ + ht für t ∈ [0, 1] in U, und es gilt

F (ξ + h) − F (ξ) − ω(ξ) ∘ h = ( ∫_{0}^{1} dt ω(ξ + ht) ∘ h) − ω(ξ) ∘ h
= ∫_{0}^{1} dt (ω(ξ + ht) − ω(ξ)) ∘ h .

In der Standardbasis ist (ω(ξ + ht) − ω(ξ)) ∘ h = ∑_{i=1}^{n} (ω_{i}(ξ + ht) − ω_{i}(ξ))h_{i}. Wegen der Stetigkeit der ω_{i} folgt F (ξ + h) − F (ξ) − ω(ξ) ∘ h = o(∥h∥). □

Auch wenn zunächst unklar ist, ob eine 1-Form eine Stammfunktion besitzt, kann man zunächst das Integral F (ξ) = ∫_{a}^{ξ} ω berechnen und nachträglich überprüfen, ob dF = ω gilt.

Beispiel 14.5 Zur Berechnung der Stammfunktion des homogenen Gravitationsfeldes ω = −mgdx_{3} im Punkt ξ = (ξ_{1}, ξ_{2}, ξ_{3}) integrieren wir ω entlang der Kurve c(t) = ξ_{1}te_{1} + ξ_{2}tx_{2} + ξ_{3}te_{3}, t ∈ [0, 1]. Es gilt mit c′(t) = ∑_{i=1}^{n} ξ_{i}e_{i}

Φ(ξ) := ∫_{0}^{ξ} ω = ∫_{0}^{1} dt (−mg)ξ_{3} = −mgξ_{3} .

Wie erwartet ist DΦ = ω. ◁

Beispiel 14.6 Die Windungsform aus Beispiel 13.11 kann nicht exakt sein, da das Integral über S^{1} nicht verschwindet. Dennoch ist die Windungsform in jedem Punkt ξ ∈ ℝ^{2} \ {0} geschlossen:

∂_{2}ω_{1} = ∂_{2}( − \frac{ξ_{2}}{ξ_{1}^{2} + ξ_{2}^{2}} ) = −\frac{1}{ξ_{1}^{2} + ξ_{2}^{2}} + \frac{ξ_{2} · 2ξ_{2}}{(ξ_{1}^{2} + ξ_{2}^{2})^{2}} = \frac{ξ_{2}^{2} − ξ_{1}^{2}}{(ξ_{1}^{2} + ξ_{2}^{2})^{2}} ,
∂_{1}ω_{2} = ∂_{1}( + \frac{ξ_{1}}{ξ_{1}^{2} + ξ_{2}^{2}} ) = \frac{1}{ξ_{1}^{2} + ξ_{2}^{2}} − \frac{ξ_{1} · 2ξ_{1}}{(ξ_{1}^{2} + ξ_{2}^{2})^{2}} = \frac{ξ_{2}^{2} − ξ_{1}^{2}}{(ξ_{1}^{2} + ξ_{2}^{2})^{2}} ,

also ∂_{1}ω_{2} − ∂_{2}ω_{1} = 0. Geschlossenheit ist im allgemeinen nicht hinreichend für Exaktheit! ◁

Wir zeigen nun, daß auf Sterngebieten die Geschlossenheit einer 1-Form hinreichend ist für Exaktheit:

Satz 14.7 (Lemma von Poincaré) Es sei U ⊆ ℝ^{n} ein Sterngebiet, d.h. es gibt einen Punkt a ∈ U (das Zentrum), so daß für jeden Punkt ξ ∈ U die Verbindungstrecke c_{ξ}(t) := a + (ξ − a)t für t ∈ [0, 1] vollständig in U liegt. Ist eine differenzierbare 1-Form ω geschlossen auf dem offenen Sterngebiet U, so ist sie auf U auch exakt.

Beweis. Für ξ ∈ U setzen wir

F (ξ) := ∫_{c_{ξ}} ω = ∫_{0}^{1} dt ω(a + (ξ − a)t) ∘ (ξ − a)

Wegen der Offenheit gibt es ein r > 0, so daß ξ + η, c_{(ξ+η)(t)} ∈ U für ∥η∥ < r und t ∈ [0, 1]. Dann gilt für die partiellen Ableitungen (mit |h| < r)

(∂_{j}F)(ξ) = lim_{h→0} \frac{1}{h}(F (ξ + he_{j}) − F (ξ))

= lim_{h→0} \frac{1}{h} ∫_{0}^{1} dt (ω(a + (ξ+he_{j}−a)t) ∘ (ξ+he_{j}−a) − ω(a + (ξ−a)t) ∘ (ξ−a))

= lim_{h→0} ∫_{0}^{1} dt ∑_{i=1}^{n} \frac{ω_{i}(a + (ξ+he_{j}−a)t) − ω_{i}(a + (ξ−a)t)}{h}(ξ_{i}−a_{i})

+ lim_{h→0} ∫_{0}^{1} dt ω_{j}(a + (ξ + he_{j} − a)t)

= ∫_{0}^{1} dt ∑_{i=1}^{n} t(∂_{j}ω_{i})(a + (ξ−a)t) (ξ_{i}−a_{i}) + ∫_{0}^{1} dt ω_{j}(a + (ξ − a)t) .

Gelten die Integrationsbedingungen, so folgt mit Kettenregel (ω_{j} ∘ c)′(t) = (Dω_{j})(c(t)) ∘ c′(t)

(∂_{j}F)(ξ) = ∫_{0}^{1} dt ∑_{i=1}^{n} t(∂_{i}ω_{j})(a + (ξ−a)t) (ξ_{i}−a_{i}) + ∫_{0}^{1} dt ω_{j}(a + (ξ − a)t)

= ∫_{0}^{1} dt t\frac{d}{dt}(ω_{j}(a + (ξ−a)t)) + ∫_{0}^{1} dt ω_{j}(a + (ξ − a)t)

= ∫_{0}^{1} dt \frac{d}{dt}(tω_{j}(a + (ξ−a)t))

= (tω_{j}(a + (ξ−a)t))|_{0}^{1} = ω_{j}(ξ) .  □

Beispiel 14.8 Da die Windungsform ω geschlossen ist, ist sie nach dem Lemma von Poincaré auf Sterngebieten exakt. Ein solches ist z.B. gegeben durch die geschlitzte Ebene U = ℝ^{2} \ (ℝ_{−} × {0}) (die Punkte (b, 0) mit b ≤ 0 fehlen). Jeder Punkt (a, 0) mit a ≥ 0 ist mögliches Zentrum des Sterngebietes U. Legen wir das Potential in (1, 0) fest zu F (1, 0) = 0, dann ist das Potential in (ξ_{1}, ξ_{2}) = re^{iϕ}, mit |ϕ| < π und r > 0 gegeben durch Integration von ω z.B. längs der reellen Achse zum Punkt (r, 0) und dann längs des Kreisbogens von re^{i0} nach re^{iϕ}:

F (re^{iϕ}) = ∫_{0}^{1} dt ω_{1}((1 + (r − 1)t, 0)) · (r − 1)
+ ∫_{0}^{1} dt (ω_{1}((r cos(ϕt), r sin(ϕt))) · (−rϕ sin(ϕt))
+ ω_{2}((r cos(ϕt), r sin(ϕt))) · (rϕ cos(ϕt)))
= ∫_{0}^{1} dt (ϕ sin^{2}(ϕt) + ϕ cos^{2}(ϕt)) = ϕ .

Zurückübersetzt in kartesische Koordinaten ist F (ξ_{1}, ξ_{2}) = arccos _{\frac{ξ_{1}}{\sqrt{ξ_{1}^{2}+ξ_{2}^{2}}}} . Dann

ist für ξ_{2} ≠ 0

(∂_{1}F)(ξ_{1}, ξ_{2}) = \frac{1}{− sin ( arccos _{\frac{ξ_{1}}{\sqrt{ξ_{1}^{2}+ξ_{2}^{2}}}} )} · (\frac{1}{\sqrt{ξ_{1}^{2} + ξ_{2}^{2}}} − \frac{ξ_{1}^{2}}{(\sqrt{ξ_{1}^{2} + ξ_{2}^{2}})^{3}} )

= −\frac{\sqrt{ξ_{1}^{2} + ξ_{2}^{2}}}{ξ_{2}} · \frac{ξ_{2}^{2}}{(\sqrt{ξ_{1}^{2} + ξ_{2}^{2}})^{3}} = −\frac{ξ_{2}}{ξ_{1}^{2} + ξ_{2}^{2}} ,

(∂_{2}F)(ξ_{1}, ξ_{2}) = \frac{1}{− sin ( arccos _{\frac{ξ_{1}}{\sqrt{ξ_{1}^{2}+ξ_{2}^{2}}}} )} · ( − \frac{ξ_{1}ξ_{2}}{(\sqrt{ξ_{1}^{2} + ξ_{2}^{2}})^{3}} )

= \frac{\sqrt{ξ_{1}^{2} + ξ_{2}^{2}}}{ξ_{2}} · \frac{ξ_{1}ξ_{2}}{(\sqrt{ξ_{1}^{2} + ξ_{2}^{2}})^{3}} = \frac{ξ_{1}}{ξ_{1}^{2} + ξ_{2}^{2}} .

Somit ist, nach stetiger Fortsetzung auch zu Punkten (ξ_{2} = 0, ξ_{1} > 0), die Funktion F (ξ_{1}, ξ_{2}) = arccos _{\frac{ξ_{1}}{\sqrt{ξ_{1}^{2}+ξ_{2}^{2}}}} auf der geschlitzten Ebene eine Stammfunktion

zur Windungsform. ◁

15 Exakte Differentialgleichungen

Ein weiteres wichtiges Anwendungsfeld dieser Methoden ist die Klasse der exakten Differentialgleichungen. Dabei geht es ausschließlich um Differentialgleichungen 1. Ordnung für eine Funktion y(x).

Definition 15.1 (Exakte Differentialgleichung) Sei U ⊆ ℝ^{2} offen und zusammenhängend und g, h : U → ℝ stetig. Die Differentialgleichung

g(x, y) + h(x, y)y′(x) = 0

heißt exakt, wenn es eine stetig differenzierbare Abbildung F : U → ℝ gibt, so daß g(x, y) = \frac{∂F}{∂x} (x, y) und h(x, y) = \frac{∂F}{∂y} (x, y). In diesem Fall heißt F die Stammfunktion der Differentialgleichung.

Die Stammfunktion einer exakten Differentialgleichung ist bis auf eine Konstante eindeutig. Die Lösungen y(x) einer exakten Differentialgleichung ergeben sich wie folgt: Ist F (x, y) eine Stammfunktion, dann löse man die Gleichung F (x, y(x)) = C, für C = const, lokal mittels des Satzes über implizite Funktionen auf. Diese Lösung ist dann eine durch C parametrisierte Kurvenschar. Denn ist h(x, y) = (∂_{y}F)(x_{0}, y_{0}) ≠ 0, dann gilt in einer Umgebung von (x_{0}, y_{0})

y′(x) = −\frac{(∂_{x}F)(x, y)}{(∂_{y}F)(x, y)} = −\frac{g(x, y)}{h(x, y)} .

Somit wird die exakte Differentialgleichung zurückerhalten.

Beispiel 15.2 Die Differentialgleichung 2y y′ + 2x = 0 ist exakt, denn F (x, y) = x^{2} + y^{2} ist Stammfunktion. Die Niveaukurven F (x, y) = R^{2} sind konzentrische Kreise um den Nullpunkt. ◁

Über die Verbindung g(x, y) + h(x, y)y′(x) = 0 ⇔ ω = g(x, y)dx + h(x, y)dy und die Identifizierung der Stammfunktionen erhalten wir:

Satz 15.3 (Notwendige Bedingung für Exaktheit) Auf einer offenen und zusammenhängenden Teilmenge U ⊆ ℝ^{2} sei die Differentialgleichung g(x, y) + h(x, y) y′ = 0 gegeben mit stetig differenzierbaren Abbildungen g, h : U → ℝ. Ist die Differentialgleichung exakt, so gilt

\frac{∂g}{∂y} (x, y) = \frac{∂h}{∂x}(x, y)  für alle (x, y) ∈ U .  □

Für Sterngebiete läßt sich die Stammfunktion über das Kurvenintegral berechnen:

Satz 15.4 Es sei U ⊆ ℝ^{2} ein offenes Sterngebiet. Die Abbildungen g, h : U → ℝ seien stetig differenzierbar, und es gelte \frac{∂g}{∂y}(x, y) = \frac{∂h}{∂x}(x, y) für alle (x, y) ∈ U. Sei (x_{0}, y_{0}) ∈ U ein beliebiger Anfangspunkt und c(t) = (x(t), y(t)) für t ∈ [0, 1] eine beliebige stückweise stetig differenzierbare Kurve in U mit (x(0), y(0)) = (x_{0}, y_{0}) und (x(1), y(1)) = (x, y). Dann ist

F (x, y) := ∫_{(x_{0},y_{0})}^{(x,y)} (g(x, y)dx + h(x, y)dy)
= ∫_{0}^{1} dt (g(x(t), y(t))x′(t) + h(x(t), y(t))y′(t))

eine Stammfunktion der Differentialgleichung g(x, y) + h(x, y)y′ = 0. □

Beispiel 15.5 Gesucht wird für geeignete Intervalle I, J ⊆ ℝ eine Lösung (x, y) ∈ I × J der Differentialgleichung

\underbrace{(1 − \frac{2x}{y(x)})}_{g(x,y)} + \underbrace{(\frac{2}{(y(x))^{3}} + \frac{x^{2} − 1}{(y(x))^{2}} )}_{h(x,y)} y′(x) = 0

Wegen ∂_{y}(1 − \frac{2x}{y}) = \frac{2x}{y^{2}} = ∂_{x}(\frac{2}{y^{3}} + \frac{x^{2}−1}{y^{2}}) ist die zugehörige 1-Form ω = gdx + hdy geschlossen. Sei J ⊆ ℝ_{+}^{×}. Da I × J ein Sterngebiet ist, ist eine Stammfunktion gegeben z.B. durch Integration von ω längs eines horizontalen Weges c(t) = (x_{0} + t(x − x_{0}), y_{0}) und dann längs eines vertikalen Weges c(t) = (x, y_{0} + t(y − y_{0})), für (x_{0}, y_{0}) ∈ I × J und jeweils t ∈ [0, 1]:

F (x, y) = ∫_{0}^{1} dt g(x_{0} + t(x − x_{0}), y_{0}) · (x − x_{0}) + ∫_{0}^{1} dt h(x, y_{0} + t(y − y_{0})) · (y − y_{0})

= ∫_{0}^{1} dt (1 − \frac{2(x_{0} + t(x − x_{0}))}{y_{0}})(x − x_{0})

+ ∫_{0}^{1} dt (\frac{2}{(y_{0} + t(y − y_{0}))^{3}} + \frac{x^{2} − 1}{(y_{0} + t(y − y_{0}))^{2}} ) · (y − y_{0})

= (1 − \frac{x + x_{0}}{y_{0}} )(x − x_{0}) − \frac{1}{y^{2}} + \frac{1}{y_{0}^{2}} − \frac{x^{2} − 1}{y} + \frac{x^{2} − 1}{y_{0}}

= x − \frac{x^{2} − 1}{y} − \frac{1}{y^{2}} − C_{0} , C_{0} = x_{0} − \frac{x_{0}^{2} − 1}{y_{0}} − \frac{1}{y_{0}^{2}} .

Damit ist die Lösung der Differentialgleichung gegeben durch die implizit definierten Kurven F (x, y) = C − C_{0}, also (x − C)y^{2} − (x^{2} − 1)y − 1 = 0. Die Lösung ist

y(x) = \{ \begin{matrix}^{\frac{x^{2}−1±\sqrt{(x^{2}−1)^{2}+4(x−C)}}{2(x−C)}} für & x > C , \\ −\frac{1}{C^{2}−1} für & x = C ≠ ±1 , \\ ^{\frac{1−x^{2}±\sqrt{(1−x^{2})^{2}−4(C−x)}}{2(C−x)}} für & x < C , (1 − x^{2})^{2} > 4(C − x) . \end{matrix}

75 Je nach Anfangsbedingung ist nur eines der Vorzeichen realisiert. Nehmen wir z.B. C = 0, dann ist in der Kurve durch (x_{0}, y_{0}) = (1, 1) für x > 0 das positive Vorzeichen realisiert. Diese Lösung setzt sich stetig fort zu −0.22527 ≤ x ≤ 0, wobei das negative Vorzeichen realisiert ist. Der andere Zweig würde durch (x_{0}, y_{0}) = (1, −1) gehen und sich zu x > 0 fortsetzen, ist aber durch die Bedingung y > 0 ausgeschlossen. ◁

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Manchmal ist eine Differentialgleichung g(x, y) dx + h(x, y) dy = 0 nicht exakt, aber durch Multiplikation mit einem integrierenden Faktor m(x, y) exakt zu machen, d.h. m(x, y) g(x, y) dx + m(x, y) h(x, y) dy = 0 ist exakt. Ein integrierender Faktor kann relativ leicht gefunden werden, wenn er nur von x oder nur von y abhängt. Offenbar ist die zugehörige 1-Form m(x)g(x, y)dx + m(x)h(x, y)dy genau dann geschlossen, wenn gilt

\frac{(∂_{y}g)(x, y) − (∂_{x}h)(x, y)}{h(x, y)} = \frac{m′(x)}{m(x)} = (ln m)′(x) .

Das erfordert, daß die linke Seite unabhängig von y ist. Analog ist m(y)g(x, y)dx+ m(y)h(x, y)dy genau dann geschlossen, wenn

\frac{(∂_{x}h)(x, y) − (∂_{y}g)(x, y)}{g(x, y)} = \frac{m′(y)}{m(y)} = (ln m)′(y) .

Beispiel 15.6 Gegeben sei die Differentialgleichung

\underbrace{(1 − x^{2} y(x))}_{g} + \underbrace{(x^{2} y(x) − x^{3})}_{h} y′(x) = 0 .

Sie ist nicht exakt, aber

\frac{(∂_{y}g)(x, y) − (∂_{x}h)(x, y)}{h(x, y)} = \frac{−x^{2} − (2xy − 3x^{2})}{x^{2}y − x^{3}} = −\frac{2}{x}

ist unabhängig von y. Somit führt (ln m)′(x) = −2(ln x)′ auf den integrierenden Faktor m(x) = \frac{C}{x^{2}} , d.h.

(\frac{1}{x^{2}} − y(x)) + (y(x) − x)y′(x) = 0

ist eine exakte Differentialgleichung. Eine Stammfunktion auf einem Sterngebiet ist gegeben durch

F (x, y) = ∫_{0}^{1} dt (\frac{1}{(x_{0} + (x − x_{0})t)^{2}} − y_{0})(x − x_{0})
+ ∫_{0}^{1} dt ((y_{0} + (y − y_{0})t) − x)(y − y_{0})

= −\frac{1}{x} + \frac{1}{x_{0}} − y_{0}(x − x_{0}) + (y_{0} − x)(y − y_{0}) + \frac{1}{2}(y − y_{0})^{2}

= −\frac{1}{x} − xy + \frac{1}{2}y^{2} − C_{0} , C_{0} = −\frac{1}{x_{0}} − x_{0}y_{0} + \frac{1}{2}y_{0}^{2} .

Die Lösungen der ursprünglichen Differentialgleichung sind somit

y(x) = x ± \sqrt{x^{2} + \frac{2}{x} + C} .  ◁

16 Holomorphe Funktionen

Wir behandeln nun die komplexe Differenzierbarkeit von komplexwertigen Funktionen f : U → ℂ auf offenen Teilmengen U ⊆ ℂ.

Definition 16.1 Es sei U ⊆ ℂ offen. Eine Funktion f : U → ℂ heißt komplex differenzierbar im Punkt z ∈ U, falls der Grenzwert

f′(z) = lim_{w→z,w≠z} \frac{f(w) − f(z)}{w − z}

existiert. Die Funktion f : U → ℂ heißt holomorph im Punkt z ∈ U, wenn f in einer offenen Umgebung V ⊆ U von z komplex differenzierbar ist, und holomorph auf U, falls f in jedem Punkt von U holomorph ist.

Wie üblich wird die Konvergenz bezüglich des Abstands | | auf ℂ definiert. Wie im Reellen folgt aus der komplexen Differenzierbarkeit die Stetigkeit, außerdem die lineare Approximierbarkeit nach Satz 23.4 aus dem 1. Semester: Ist f : U → ℂ differenzierbar in z_{0} ∈ U, dann gibt es ein ϕ : U → ℂ mit

f(z) = f(z_{0}) + f′(z_{0})(z − z_{0}) + ϕ(z) mit lim_{z→z_{0}} \frac{ϕ(z)}{z − z_{0}} = 0 .

Für komplex-differenzierbare Funktionen f, g gelten die üblichen Rechenregeln

(f + g)′(z) = f′(z) + g′(z) ,  (f · g)′(z) = f′(z)g(z) + f(z)g′(z) ,
(f ∘ g)′(z) = f′(g(z)) · g′(z) .

Analog zu Satz 23.12 aus dem 1. Semster gilt:

Satz 16.2 Jede Potenzreihe f(z) = ∑_{k=0}^{∞} a_{k}z^{k} mit a_{k} ∈ ℂ ist im Inneren ihres Konvergenzkreises K_{R}(0) komplex differenzierbar und damit (für R > 0) holomorph in K_{R}(0). Ihre Ableitung ist f′(z) = ∑_{k=1}^{∞} ka_{k}z^{k−1}. □

Wir können f : U → ℂ auch auffassen als f = u+iv : U → ℝ^{2} mit U ⊆ ℝ^{2} und komplexe und reelle Differenzierbarkeit vergleichen. Wir werden oft (x, y) ∈ ℝ^{2} mit x + iy ∈ ℂ identifizieren.

Satz 16.3 Es sei U ⊆ ℂ ≃ ℝ^{2} offen.

i) Eine Funktion f : U → ℂ mit f = u + iv sei in z = x + iy ∈ U komplex differenzierbar. Dann sind u, v : U → ℝ partiell nach x, y differenzierbar, und es gelten die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen

∂_{x}u = ∂_{y}v , ∂_{y}u = −∂_{x}v .

ii) Die Funktionen u, v : U → ℝ seien stetig partiell differenzierbar auf U, und es gelten die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen. Dann ist f = u + iv holomorph auf U.

Beweis. i) Ist f komplex differenzierbar in z, dann gilt

∂_{x}f(x + iy) = lim_{h→0 , h∈ℝ} \frac{1}{h}(f(x + h + iy) − f(x + iy)) = f′(z) ,
∂_{y}f(x + iy) = lim_{h→0 , h∈ℝ} \frac{i}{ih}(f(x + i(y + h)) − f(x + iy)) = if′(z) ,

also ∂_{x}f = −i∂_{y}f und nach Zerlegung in Real- und Imaginärteil

∂_{x}u + i∂_{x}v = −i∂_{y}u + ∂_{y}v .

ii) Nach Voraussetzung sowie Satz 1.8 ist f = u + iv total differenzierbar, und das Differential ist gegeben durch die Jacobi-Matrix der partiellen Ableitungen:

f(x + h_{1} + i(y + h_{2})) = f(x + iy) + h_{1}(∂_{x}f)(x + iy) + h_{2}(∂_{y}f)(x + iy) + ϕ(h_{1} + ih_{2})

mit lim_{h_{1},h_{2}→0} \frac{|ϕ(h_{1}+ih_{2})|}{\sqrt{h_{1}^{2}+h_{2}^{2}}} = 0. Unter Verwendung der Cauchy-Riemannschen Dif-

ferentialgleichungen gilt

\frac{f(x + h_{1} + i(y + h_{2})) − f(x + iy)}{h_{1} + ih_{2}}

= \frac{1}{h_{1} + ih_{2}} (h_{1}(∂_{x}u + i∂_{x}v)(x + iy) + h_{2}(∂_{y}u + i∂_{y}v)(x + iy)) + \frac{ϕ(h_{1} + ih_{2})}{h_{1} + ih_{2}}

= ∂_{x}u + i∂_{x}v + \frac{ϕ(h_{1} + ih_{2})}{h_{1} + ih_{2}} .

78 Wegen lim_{h_{1},h_{2}→0} \frac{|ϕ(h_{1}+ih_{2})|}{\sqrt{h_{1}^{2}+h_{2}^{2}}} = 0 existiert der Limes

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f′(x + iy) = lim_{h_{1}+ih_{2}→0} \frac{f(x + h_{1} + i(y + h_{2})) − f(x + iy)}{h_{1} + ih_{2}} = ∂_{x}u + i∂_{x}v .

Die Rechnung gilt für beliebige x + iy ∈ U, also ist f holomorph auf U. □

Beispiel 16.4 Es sei f(z) = zz̄ = x^{2} + y^{2}. Dann ist f komplex differenzierbar in 0, aber nicht in z ≠ 0 und damit nirgends holomorph. Zwar gilt f′(0) = lim_{z→0} \frac{zz̄}{z} = lim_{z→0} z̄ = 0, aber mit u = x^{2} + y^{2} und v = 0 ergibt sich

∂_{x}u = 2x , ∂_{y}u = 2y , ∂_{x}v = ∂_{y}v = 0 .

Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen gelten also nur in x = y = 0, somit ist f in keiner Umgebung von 0 komplex differenzierbar. ◁

17 Der Cauchysche Integralsatz

Holomorphe Funktionen (also komplexwertige Funktionen, die in einer Umgebung komplex differenzierbar sind) haben die bemerkenswerte Eigenschaft, daß sie sogar beliebig oft differenzierbar sind. Wir werden das in mehreren Teilschritten beweisen. Der erste Schritt ist die Betrachtung von Kurvenintegralen.

Sei U ⊆ ℂ offen. Jede stetige komplexwertige Funktion f : U → ℂ definiert eine 1-Form ω = fdz = fdx + ifdy : U → Hom(ℝ^{2}, ℂ) durch die Identifikation ℂ = ℝ^{2}. Ist c(t) = x(t) + iy(t) ≡ (x(t), y(t)) (stückweise) stetig differenzierbar, so folgt für das sich ergebende Kurvenintegral der 1-Form fdz längs c

∫_{c} f(z)dz = ∫_{α}^{β} dt f(c(t))x′(t) + if(c(t))y′(t) ≡ ∫_{α}^{β} dt f(c(t))c′(t) .

Ist f(z)dz exakt, d.h. f(z) = F′(z) für eine differenzierbare Stammfunktion F : U → ℂ, dann gilt wie in Satz 14.2 ∫_{c} F′(z)dz = F (c(β)) − F (c(α)). Insbesondere gilt für jede geschlossene Kurve c mit c(α) = c(β), daß ∫_{c} F′(z)dz = 0.

Die Standardabschätzungen liefern:

Satz 17.1 Sei c : [α, β] → U eine differenzierbare Kurve und f : U → ℂ stetig. Dann gilt

| ∫_{c} dz f(z)| ≤ sup_{t∈[α,β]} |f(c(t))| L(c) ,

wobei L(c) := ∫_{a}^{b} dt \sqrt{(x′(t))^{2} + (y′(t))^{2}} die Bogenlänge von C ist. □

Das folgende Beispiel ist von fundamentaler Bedeutung für die gesamte Funktionentheorie:

Beispiel 17.2 Sei f(z) = \frac{1}{z} definiert auf U := ℂ^{×} und c : [0, 2π] → U gegeben durch c(t) = re^{it} für ein r > 0. Dann ist c′(t) = ire^{it} = ic(t) und folglich

∫_{c} \frac{dz}{z} = ∫_{c} dz f(z) := ∫_{0}^{2π} dt f(c(t))c′(t) = ∫_{0}^{2π} dt \frac{ic(t)}{c(t)} = 2πi .  ◁

Alle reellen Integrale können als komplexe Kurvenintegrale über die Kurve c(t) = t aufgefaßt werden:

Beispiel 17.3 Für c(t) = t und f(z) = f(x + iy) stetig fällt das Kurvenintegral ∫_{c} dz f(z) := ∫_{α}^{β} dt f(t) zusammen mit dem reellen Integral. ◁

Ist f stetig komplex differenzierbar auf U, so liefern die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen ∂_{y}f = i∂_{x}f und damit die Geschlossenheit von fdx+ifdy. Nach dem Lemma von Poincaré ist dann fdz exakt auf Sterngebieten und läßt sich dort wegunabhängig integrieren. Wir zeigen nun, daß das sogar ohne die Voraussetzung der stetigen Differenzierbarkeit gilt. Zunächst sei c = ∂Δ der Rand eines Dreiecks Δ.

Satz 17.4 (Lemma von Goursat) Es sei U ⊆ ℂ offen, f : U → ℂ holomorph und Δ ein offenes Dreieck mit Δ̄ = Δ ∪ ∂Δ ⊆ U. (Sind a, b, c ∈ U die Eckpunkte von Δ, dann ist ∂Δ = a⃗b ∪ b⃗c ∪ c⃗a mit positivem Umlaufsinn, d.h. entgegen dem Uhrzeigersinn.) Dann gilt

∫_{∂Δ} dz f(z) = 0 .

Beweis. Durch Verbinden der Seitenmittelpunkte entstehen aus Δ vier kongruente Dreiecke Δ_{a}, Δ_{b}, Δ_{c}, Δ_{m}. Werden diese Dreiecke positiv umlaufen, dann gilt

∫_{∂Δ} dz f(z) = ∫_{∂Δ_{a}} dz f(z) + ∫_{∂Δ_{b}} dz f(z) + ∫_{∂Δ_{c}} dz f(z) + ∫_{∂Δ_{m}} dz f(z) ,

da in der Summe die Kanten von ∂Δ_{m} zweimal in entgegengesetzte Richtung durchlaufen werden. Ist Δ_{1} jenes Teildreieck, für das das Kurvenintegral den betragsmäßig größten Wert hat, dann gilt

| ∫_{∂Δ} dz f(z)| ≤ 4| ∫_{∂Δ_{1}} dz f(z)| .

Das Dreieck Δ_{1} werde erneut in 4 Teildreiecke zerlegt, Δ_{2} sei jenes mit betragsmäßig größtem Kurvenintegral. Durch Wiederholung des Verfahrens entsteht eine Folge Δ = Δ_{0} ⊃ Δ_{1} ⊃ ⋯ ⊃ Δ_{n} von Dreiecken mit

| ∫_{∂Δ} dz f(z)| ≤ 4^{n}| ∫_{∂Δ_{n}} dz f(z)| .

Wegen der Vollständigkeit von ℂ gibt es ein z_{0} ∈ Δ_{n} für alle n. Nach Voraussetzung ist f in z_{0} komplex differenzierbar, d.h. es gibt eine Funktion r : U → ℂ mit

f(z) = f(z_{0}) + (z − z_{0})f′(z_{0}) + |z − z_{0}|r(z) mit lim_{z→z_{0}} r(z) = 0 .

Da jede polynomiale 1-Form eine Stammfunktion besitzt, gilt

∫_{∂Δ_{n}} dz (f(z_{0}) + (z − z_{0})f′(z_{0})) = 0 .

Es sei L := L(Δ) der Umfang von Δ. Dann ist L(Δ_{n}) = 2^{−n}L. Wegen z_{0} ∈ Δ_{n} ist |z − z_{0}| ≤ 2^{−n}L für alle z ∈ ∂Δ_{n}. Somit gilt nach Satz 17.1

| ∫_{∂Δ_{n}} dz f(z)| = | ∫_{∂Δ_{n}} dz |z−z_{0}|r(z)| ≤ 2^{−n}L· sup_{z∈∂Δ_{n}} |z−z_{0}||r(z)| ≤ 4^{−n}L^{2} sup_{z∈\overline{Δ_{n}}} |r(z)| .

Somit gilt

| ∫_{∂Δ} dz f(z)| ≤ L^{2} sup_{z∈\overline{Δ_{n}}} |r(z)| .

Für n → ∞ geht z → z_{0} und damit lim_{n→∞} sup_{z∈\overline{Δ_{n}}} |r(z)| = 0. Das ist die Behauptung. □

Das Lemma von Goursat läßt sich minimal abschwächen. Man benötigt nur f : U → ℂ stetig auf ganz U und holomorph mit Ausnahme endlich vieler Punkte z_{1}, …, z_{N}. Die Forderung nach Holomorphie (bis auf endlich viele Punkte) sieht harmlos aus, ist aber ganz entscheidend:

Beispiel 17.5 Betrachtet werde die überall stetige, aber nirgends holomorphe Funktion f(z) = |z|^{2} und das Dreieck mit den Eckpunkten 0, 1, i. Die Kurvenstücke (jeweils über [0, 1]) sind γ_{1}(t) = t, γ_{2}(t) = (1 − t) + it, γ_{3}(t) = (1 − t)i. Dann gilt

∫_{∂Δ} dz |z|^{2} = ∫_{0}^{1} dt t^{2} + ∫_{0}^{1} dt ((1 − t)^{2} + t^{2})(i − 1) + ∫_{0}^{1} dt (1 − t)^{2}(−i)
= \frac{1}{3} + \frac{2}{3}(i − 1) + \frac{1}{3}(−i) = \frac{1}{3}(i − 1) ≠ 0 .  ◁

Satz 17.6 Sei G ⊆ ℂ ein offenes Sterngebiet mit Zentrum a. Für eine stetige Funktion f : G → ℂ sind äquivalent:

i) f besitzt eine holomorphe Stammfunktion F : G → ℂ mit F′(z) = f(z) für alle z ∈ G.

ii) Für jedes Dreieck Δ ⊆ G mit einem Eckpunkt im Zentrum a gilt ∫_{∂Δ} dz f(z) = 0.

Beweis. i)⇒ii) ist klar. Umgekehrt definiere F (z) = ∫_{a}^{z} f(w)dw = ∫_{0}^{1} dt f(a + (z − a)t) · (z − a). Unter Verwendung von ii) im Dreieck Δ(a, z, z_{0}) gilt dann F (z)−F (z_{0}) = ∫_{0}^{1} dt f(z_{0}+(z−z_{0})t)·(z−z_{0}), also \frac{F (z)−F (z_{0})}{z−z_{0}}−f(z_{0}) = ∫_{0}^{1} dt (f(z_{0}+ (z − z_{0})t) − f(z_{0})) und damit F′(z) = f(z). □

In Kombination mit dem Lemma von Goursat folgt:

Folgerung 17.7 (Cauchyscher Integralsatz für Sterngebiete) Sei G ⊆ ℂ ein Sterngebiet und f : G → ℂ holomorph (eventuell bis auf endlich viele Punkte, in denen jedoch stetig). Dann besitzt f auf G eine Stammfunktion, und ∫_{c} dz f(z) = 0 für jede geschlossene Kurve c in G. □

Das ist noch nicht die allgemeinste Form, erlaubt jedoch schon viele Beispiele.

Beispiel 17.8 (Hauptzweig des komplexen Logarithmus) Die geschlitzte Ebene ℂ^{−} := ℂ \ ℝ_{−} ist ein Sterngebiet. Die Funktion f(z) = \frac{1}{z} ist wegen f′(z) = −\frac{1}{z^{2}} holomorph auf ℂ^{−} und kann deshalb wegunabhängig integriert werden. Es sei

L(z) = ∫_{1}^{z} \frac{dz}{z} := ∫_{c} \frac{dz}{z} (c ist beliebige Kurve zwischen 1 und z in ℂ^{−})

Dann ist L(z) holomorph auf ℂ^{−} mit L′(z) = \frac{1}{z} und L(1) = 0. Es gilt (ze^{−L(z)})′ = e^{−L(z)}(1 − zL′(z)) = 0, also ist ze^{−L(z)} = const = 1 · e^{−L(1)} = 1, d.h.

e^{L(z)} = z für alle z ∈ ℂ^{−} .

Man nennt L(z) den Hauptzweig des komplexen Logarithmus. Mit der Kurve

c = c_{1} ∪ c_{2} , c_{1}(t) = t : [1, r] → ℂ , c_{2}(t) = re^{it} : [0, φ] → ℂ

von 1 über r nach z = re^{iφ} ergibt sich mit c′_{1}(t) = 1 und c′_{2}(t) = ire^{it}

L(z) = ∫_{1}^{r} dt\frac{1}{t} · 1 + ∫_{0}^{φ} dt\frac{1}{re^{iφ}} · ire^{it} = ln r + iϕ .  ◁

Der Cauchysche Integralsatz in allgemeinster Form besagt, daß Integrale holomorpher Funktionen über zueinander homotope Kurven identisch sind.

Definition 17.9 Es sei U ⊆ ℂ offen.

i) Zwei stetige Kurven c_{0}, c_{1} : [α, β] → U mit c_{0}(α) = c_{1}(α) = a und c_{0}(β) = c_{1}(β) = b heißen homotop in U, wenn sie in U stetig ineinander deformiert werden können, d.h. wenn es eine stetige Abbildung H : [α, β] × [0, 1] ↦ H(t, s) ∈ U gibt mit H(t, 0) = c_{0}(t) und H(t, 1) = c_{1}(t) für alle t ∈ [α, β] sowie H(α, s) = a und H(β, s) = b für alle s ∈ [0, 1]. ii) Eine geschlossene stetige Kurve c : [α, β] → U mit c(α) = c(β) = a heißt kontrahierbar in U (oder nullhomotop), wenn sie homotop zum Punkt c_{0}(t) = a für alle t ∈ [α, β] ist.

iii) U heißt einfach zusammenhängend, wenn U zusammenhängend ist und jede geschlossene Kurve in U kontrahierbar ist.

Der Beweis der Homotopieinvarianz der Kurvenintegrale ist anspruchsvoll. Es wird entscheidend genutzt, daß H([α, β]×[0, 1]) ⊆ U kompakt ist. Wir benötigen:

Lemma 17.10 Sei A ⊆ ℂ kompakt und {U_{i}} eine beliebige Überdeckung von A durch offene Mengen. Dann gibt es ein λ > 0 (eine Lebesgue-Zahl der Überdeckung) derart, daß \underline{jede} Teilmenge B ⊆ A mit Durchmesser diam(B) := sup_{z_{1},z_{2}∈B}(|z_{1} − z_{2}|) ≤ λ vollständig in einem U_{i} enthalten ist.

Beweis. Wir nehmen das Gegenteil an. Dann gibt es zu jedem n ∈ ℕ eine abgeschlossene Kreisscheibe \overline{K_{\frac{1}{1+n}} (z_{n})} ⊆ A, die nicht vollständig in einem U_{i} liegt. Wegen der Kompaktheit von A hat die Folge (z_{n})_{n∈ℕ} der Mittelpunkte eine gegen z ∈ A konvergente Teilfolge (z_{n_{k}})_{k∈ℕ}. Dieses z liegt in einem U_{j}, und wegen der Offenheit von U_{j} gibt es ein ϵ > 0 mit K_{ϵ}(z) ⊆ U_{j}. Wähle ein N > \frac{1}{ϵ}. Dann gibt es ein K ∈ ℕ, so daß für alle k ≥ K gilt |z − z_{n_{k}}| < ϵ − \frac{1}{N}. Wähle ein n_{k} ≥ N. Dann gilt für jeden Punkt w ∈ \overline{K_{\frac{1}{1+n_{k}}} (z_{n_{k}})}:

|w − z| ≤ |w − z_{n_{k}}| + |z_{n_{k}} − z| ≤ \frac{1}{n_{k} + 1} + ϵ − \frac{1}{N} ≤ \frac{1}{N + 1} + ϵ − \frac{1}{N} < ϵ .

Somit gilt \overline{K_{\frac{1}{1+n}} (z_{n})} ⊆ K_{ϵ}(z) ⊆ U_{j}, Widerspruch. Da jede Teilmenge mit Durch-

messer ≤ d in einer abgeschlossenen Kreisscheibe \overline{K_{d}(z)} liegt, ist das Lemma bewiesen. □

Satz 17.11 (Cauchyscher Integralsatz) Es sei U ⊆ ℂ offen und f : U → ℂ eine holomorphe Funktion (eventuell bis auf endlich viele Punkte, in denen jedoch stetig). Dann gilt:

i) Sind c_{0}, c_{1} homotope stückweise stetig differenzierbare Kurven in U mit gemeinsamem Anfangs- und Endpunkt, dann gilt

∫_{c_{0}} dz f(z) = ∫_{c_{1}} dz f(z) .

ii) Für jede in U kontrahierbare stückweise stetig differenzierbare geschlos-

sene Kurve c : [α, β] → U gilt ∫_{c} dz f(z) = 0. iii) Ist U einfach zusammenhängend und c : [α, β] → U eine beliebige stückweise stetig differenzierbare Kurve von c(α) = z_{0} nach c(β) = z, dann ist das Integral

F (z) := ∫_{z_{0}}^{z} dw f(w) = ∫_{c} dw f(w)

unabhängig von c und eine holomorphe Stammfunktion zu f, d.h. es gilt F′(z) = f(z).

Beweis. Sei H : [α, β]×[0, 1] eine Homotopie zwischen c_{0}, c_{1}. Wähle eine beliebige, aber feste, Überdeckung {U_{i}} der kompakten Menge H([α, β] × [0, 1]) ⊆ U durch offene Kreisscheiben U_{i} ⊆ U, und sei λ die Lebesgue-Zahl dieser Überdeckung. Da stetige Funktionen auf kompakten Mengen gleichmäßig stetig sind, gibt es ein ϵ > 0, so daß für alle t, t′ ∈ [α, β] und s, s′ ∈ [0, 1] mit |t − t′| < ϵ und |s − s′| < ϵ folgt: |H(t, s) − H(t′, s′)| < λ. Wähle ein N ∈ ℕ mit N ≥ \frac{1}{ϵ} und betrachte die stetigen Kurven c_{\frac{k}{N}} (t) := H(t, \frac{k}{N}) mit k = 0, 1, …, N, wobei c_{0}, c_{1} sogar stückweise stetig differenzierbar sind. Wähle dann eine Unterteilung α = t_{0} < ⋯ < t_{n} = β mit |t_{j+1} − t_{j}| < ϵ, wobei die Sprungstellen von c′_{0}(t), c′_{1}(t) in dieser Menge {t_{j}} liegen. Seien nun

B_{kj} := \begin{cases}c_{0}([t_{j}, t_{j+1}]) ∪ \{c_{\frac{1}{N}} (t_{j+1}), c_{\frac{1}{N}} (t_{j})\} & für k = 0 \\ \{c_{\frac{k}{N}} (t_{j}), c_{\frac{k}{N}} (t_{j+1}), c_{\frac{k+1}{N}} (t_{j+1}), c_{\frac{k+1}{N}} (t_{j})\} & für 1 ≤ k ≤ N−2 \\ \{c_{\frac{N−1}{N}} (t_{j}), c_{\frac{N−1}{N}} (t_{j+1})\} ∪ c_{1}([t_{j}, t_{j+1}]) & für k = N−1. \end{cases}

je vier Punkte im Fall 1 ≤ k ≤ N − 2 und Teilstücke der Spur von c_{0}, c_{1} mit zwei weiteren Punkten für k = 0, N − 1. Nach Konstruktion gilt diam(B_{kj}) < λ, so daß es nach Lemma 17.10 eine offene Kreisscheibe U_{i_{kj}} der Überdeckung gibt mit B_{kj} ⊆ U_{i_{kj}}.

Wegen der Konvexität von U_{i_{kj}} liegt mit je zwei Punkten auch ihre Verbindungsstrecke in U_{i_{kj}}. Sei deshalb für 1 ≤ k ≤ N − 2

∂B_{kj} = \overrightarrow{c_{\frac{k}{N}} (t_{j})c_{\frac{k}{N}} (t_{j+1})} ∪ \overrightarrow{c_{\frac{k}{N}} (t_{j+1})c_{\frac{k+1}{N}} (t_{j+1})} ∪ \overrightarrow{c_{\frac{k+1}{N}} (t_{j+1})c_{\frac{k+1}{N}} (t_{j})} ∪ \overrightarrow{c_{\frac{k+1}{N}} (t_{j})c_{\frac{k}{N}} (t_{j})}

die geschlossene Kurve gebildet aus den gerichteten Kanten der Vierecke B_{kj}. Für k = 0 und k = N − 1 ersetzen wir die Kanten durch die entsprechenden Abschnitte der Kurven c_{0}, c_{1}.

Nach Konstruktion ist ∂B_{kj} eine geschlossene Kurve im Sterngebiet U_{i_{kj}}, auf dem f holomorph ist. Nach Folgerung 17.7 haben wir ∫_{∂B_{kj}} dz f(z) = 0 für alle 0 ≤ k ≤ N − 1 und 0 ≤ j ≤ n − 1 und deshalb in der Summe

0 = ∑_{k=0}^{N−1} ∑_{j=0}^{n−1} ∫_{∂B_{kj}} dz f(z) = ∫_{c_{0}} dz f(z) − ∫_{c_{1}} dz f(z) ,

da alle inneren Kanten doppelt, aber in umgekehrter Richtung durchlaufen werden, während sich die äußeren Kanten zusammenfügen zu c_{0} und zur negativ orientierten Kurve −c_{1}.

ii) folgt aus i) für die kontrahierbare Kurve c = c_{0} ∪ (−c_{1}), wobei −c_{1} in

umgekehrte Richtung wie c_{1} durchlaufen wird, was ∫_{−c_{1}} dz f(z) = − ∫_{c_{1}} dz f(z)

ergibt.

iii) folgt aus i) zusammen mit Satz 14.4. □

Der Cauchysche Integralsatz ist die Grundlage der gesamten Funktionentheorie. Seine Konsequenzen sind grundlegend verschieden zur reellen Dfferentialrechnung. Außerdem erlaubt er bereits die Berechnung komplizierterer reeller Integrale durch Schließen des Integrationsweges im Komplexen.

Beispiel 17.12 In den Übungen wird das Kurvenintegral der auf ganz ℂ holomorphen Funktion f(z) = e^{−z^{2}} über ein Dreieck mit Eckpunkten 0, R, R(1 + ia) berechnet und so auf die Fresnelschen Formeln ∫_{0}^{∞} cos(t^{2})dt = ∫_{0}^{∞} sin(t^{2})dt = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{π}{2}} geschlossen. Diese Rechnung kann ein wenig verallgemeinert werden auf f(z) = z^{2s−1}e^{−z^{2}} mit 0 < s < 1. Da die komplexen Potenzen in z = 0 nicht erklärt sind, muß man die Ecke bei 0 durch einen Kreisbogen ersetzen:

[figure: 0; γ_{0}; γ_{1}; ϵ; γ_{2}; γ_{3}; R; R + iaR]

Im Limes ϵ → 0 und R → ∞ erhält man durch die gleiche Rechnung wie in den Übungen für 0 < s < 1

∫_{0}^{∞}dt t^{2s−1} cos(t^{2}) = \frac{1}{2}Γ(s) cos \frac{πs}{2} ,  ∫_{0}^{∞}dt t^{2s−1} sin(t^{2}) = \frac{1}{2}Γ(s) sin \frac{πs}{2} ,

Dabei ist Γ(z) die auf ℂ \ {0, −1, −2, … } definierte Gamma-Funktion. Im Sinus-Integral existiert der Limes s → 0 mit ∫_{0}^{∞} dx \frac{sin x}{x} = \frac{π}{2}. ◁

Ist f : U → ℂ eine nullstellenfreie Funktion auf einer einfach zusammenhängenden offenen Teilmenge U ⊆ ℂ, dann wird durch e^{F} = f der holomorphe Logarithmus F von f definiert. Wie in Beispiel 17.8 ist

F (z) = ∫_{z_{0}}^{z} dw \frac{f′(w)}{f(w)}

eine holomorphe Stammfunktion zu \frac{f′}{f}, und es gilt fe^{−F} = const. Wegen e^{z} = 1 ⇔ z ∈ 2πiℤ unterscheiden sich zwei holomorphe Logarithmen nur um Vielfache von 2πi und sind somit durch Angabe ihres Wertes in einem Punkt z_{0} ∈ U eindeutig bestimmt. Über den holomorphen Logarithmus können komplexe Potenzen nullstellenfreier Funktionen definiert werden als f^{α} = e^{αF} für α ∈ ℂ. ◁

18 Die Cauchysche Integralformel

Satz 18.1 (Cauchysche Integralformel) Es sei f holomorph in einer offenen Teilmenge U ⊆ ℂ, welche die abgeschlossene Kreisscheibe \overline{K_{r}(a)} mit Mittelpunkt a ∈ U und Radius r enthält. Der Umfang der Kreisscheibe ist dann die Kurve κ_{r}(t) = a + re^{it} mit t ∈ [0, 2π]. Dann gilt für jeden Punkt z ∈ K_{r}(a) im Inneren des Kreises

f(z) = \frac{1}{2πi} ∫_{κ_{r}} dζ \frac{f(ζ)}{ζ − z} .

Beweis. Zu z ∈ K_{r}(a) gibt es ein ϵ > 0, so daß die abgeschlossene Kreisscheibe \overline{K_{ϵ}(z)} um z mit Radius ϵ im Inneren von K_{r}(a) liegt. Sei γ_{ϵ}(τ) = z + ϵe^{iτ} mit τ ∈ [0, 2π] der Umfang. Der entstehende (asymmetrische) Kreisring KR_{r,ϵ} := \overline{K_{r}(a)} \ K_{ϵ}(z) werde aufgeschnitten entlang einer beliebigen (stückweise differenzierbaren) Kurve σ ∈ KR_{r,ϵ}.

[figure: .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; ×; ×; a; z; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; σ; κ_{r}; γ_{ϵ}]

Dann ist \frac{f(ζ)}{ζ−z} bezüglich ζ holomorph in dem so entstehenden einfach zusammenhängenden Gebiet Γ, das von den Kurven κ_{r}, σ, −γ_{ϵ}, −σ berandet wird. Dabei werden die beiden Kurven σ in verschiedene Richtungen durchlaufen, so daß sich die Randintegrale wegheben. Außerdem wird γ_{ϵ} in negative Richtung durchlaufen. Somit gilt nach Satz 17.11

∫_{κ_{r}} dζ \frac{f(ζ)}{ζ − z} = ∫_{γ_{ϵ}} dζ \frac{f(ζ)}{ζ − z} = ∫_{γ_{ϵ}} dζ \frac{f(ζ) − f(z)}{ζ − z} + f(z) ∫_{γ_{ϵ}} dζ \frac{1}{ζ − z} .

Insbesondere ist die linke Seite unabhängig von ϵ, also können wir den Limes ϵ → 0 betrachten. Da f in einer Umgebung von z komplex differenzierbar ist, ist \frac{f(ζ)−f(z)}{ζ−z} auf \overline{K_{ϵ}(z)} beschränkt. Da der Umfang L(γ_{ϵ}) mit ϵ gegen 0 geht, ist

lim_{ϵ→0} ∫_{γ_{ϵ}} dζ \frac{f(ζ) − f(z)}{ζ − z} = 0. Schließlich gilt auf dem inneren Kreis \frac{1}{ζ(γ_{ϵ}(τ))−z} = \frac{1}{ϵe^{iτ}}

und γ′_{ϵ}(τ) = iϵ e^{it}, damit

∫_{γ_{ϵ}} dζ \frac{1}{ζ − z} = ∫_{0}^{2π} dt\frac{iϵ e^{it}}{ϵe^{it}} = 2πi ,

was die Cauchysche Integralformel beweist. □

Entscheidend für die gesamte Funktionentheorie ist die Tatsache, daß man den Wert f(z) durch ein Kurvenintegral berechnen kann, wobei die Kurve außerhalb von problematischen Punkten der Funktion gewählt werden kann. Außerdem geht der Punkt z im Kurvenintegral gar nicht in die Funktion f ein, sondern tritt nur im Faktor \frac{1}{ζ−z} auf. Dadurch lassen sich bemerkenswerte Aussagen gewinnen.

86

Preliminary version – 31. Januar 2019

Satz 18.2 (Potenzreihenentwicklung) Eine holomorphe Funktion f auf einer offenen Teilmenge U ⊆ ℂ kann in jeder offenen Kreisscheibe K_{ρ}(a) ⊆ U in eine Potenzreihe f(z) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}(z − a)^{n} entwickelt werden. Der Konvergenzradius ist mindestens so groß wie der Abstand des Mittelpunktes a zum Rand von U. Die Entwicklungskoeffizienten sind gegeben durch die Integrale

a_{n} = \frac{1}{2πi} ∫_{∂K_{r}(a)} dζ \frac{f(ζ)}{(ζ − a)^{n+1}}

für einen beliebigen Radius 0 < r < ρ. Ist |f(ζ)| < M für alle ζ ∈ ∂K_{r}(a), dann können die Koeffizienten abgeschätzt werden durch |a_{n}| ≤ \frac{M}{r^{n}}.

Beweis. Für z ∈ K_{r}(a) mit r < ρ und ζ ∈ ∂K_{r}(a) gibt es eine reelle Zahl 0 < q < 1, so daß |\frac{z−a}{ζ−a}| ≤ 1 − q. Dann gilt

\frac{f(ζ)}{ζ − z} = \frac{f(ζ)}{ζ − a} · \frac{1}{1 − \frac{z−a}{ζ−a}} = \frac{f(ζ)}{ζ − a} ∑_{n=0}^{∞} (\frac{z − a}{ζ − a})^{n} ,

wobei die Reihe, die durch ∑_{n=0}^{∞}(1 − q)^{n} = \frac{1}{q} majorisiert wird, gleichmäßig konvergent ist. Damit vertauschen Summe und Integral, und es gilt

f(z) = \frac{1}{2πi} ∫_{∂K_{r}(a)} dζ \frac{f(ζ)}{ζ − z} = ∑_{n=0}^{∞} (\frac{1}{2πi} ∫_{∂K_{r}(a)} dζ \frac{f(ζ)}{(ζ − a)^{n+1}} )(z − a)^{n} .

Die Abschätzung ergibt sich aus |\frac{f(ζ)}{(ζ−a)^{n+1}} | ≤ \frac{M}{r^{n+1}} für alle ζ ∈ ∂K_{r}(a) und der Länge 2πr des Randes. □

Als wichtige Konsequenz ergibt sich:

Satz 18.3 Jede holomorphe Funktion f : U → ℂ ist beliebig oft komplex differenzierbar, alle Ableitungen f^{(k)} sind holomorph und gegeben durch

f^{(k)}(z) = \frac{k!}{2πi} ∫_{∂K_{r}(a)} dζ \frac{f(ζ)}{(ζ − z)^{k+1}} ,  z ∈ K_{r}(a) .  □

Diese Aussage ist grundlegend verschieden von der reellen Differentialrechnung: Für eine reell differenzierbare Funktion muß die Ableitung nicht einmal stetig sein (z.B. f(x) = x^{2} sin \frac{1}{x}). Selbst wenn eine Funktion beliebig oft reell differenzierbar ist, muß sie nicht in eine Potenzreihe entwickelbar sein (z.B. f(x) = e^{− \frac{1}{x^{2}}} in x = 0).

Holomorphe Funktionen erfüllen folgenden Identitätssatz:

Satz 18.4 Es sei U ⊆ ℂ offen und zusammenhängend. Für zwei holomorphe Funktionen f, g : U → ℂ sind äquivalent: i) f = g

ii) Die Identitätsmenge {w ∈ U : f(w) = g(w)} hat einen Häufungspunkt in U.

iii) Es gibt ein z_{0} ∈ U, so daß f^{(k)}(z_{0}) = g^{(k)}(z_{0}) für alle k ∈ ℕ.

Beweis. i)⇒ii) ist klar.

ii)⇒iii) Für h = f − g hat die Nullstellenmenge von h einen Häufungspunkt z_{0} ∈ U. Angenommen, es gäbe ein k ∈ ℕ mit h^{(k)}(z_{0}) ≠ 0, und sei n das Minimum dieser k. Wegen der Potenzreihenentwicklung ist h(z) = (z − z_{0})^{n}h_{n}(z) mit h_{n}(z) = ∑_{k=0}^{∞} a_{k}(z − z_{0})^{k} und h_{n}(z_{0}) ≠ 0. Wegen der Stetigkeit von h_{n} gilt dann auch h_{n}(z) ≠ 0 für alle z aus einer ϵ-Umgebung von z_{0}, im Widerspruch zur Voraussetzung, daß z_{0} Häufungspunkt der Nullstellenmenge ist.

iii)⇒i) Es sei h = f − g und S_{k} := {w ∈ U : h^{(k)}(w) = 0}. Als Urbild einer abgeschlossenen Menge unter einer stetigen Abbildung ist S_{k} abgeschlossen in U (Satz 19.2.iii) aus dem 1. Semester). Da der Durchschnitt beliebig vieler abgeschlossener Teilmengen wieder abgeschlossen ist, ist S := ⋂_{k=0}^{∞} S_{k} abgeschlossen in U. Andererseits ist S auch offen in U, denn für z_{1} ∈ S ist die Potenzreihenentwicklung von h in einer beliebigen offenen Kreisscheibe K ⊆ U mit Mittelpunkt z_{1} die Nullreihe. Damit verschwinden sämtliche Ableitungen h^{(k)}(z) für alle z ∈ K, also ist K ⊆ S. Da U zusammenhängend ist, folgt S = U. □

Bemerkenswert ist, daß f = g in ganz U aus zwei entgegengesetzten Bedingungen folgt: Aus der Gleichheit aller Ableitungen an nur einem Punkt sowie aus der Gleichheit an genügend vielen Punkten in U. Das ist grundlegend verschieden vom reellen Fall. Für die Funktionen f(x) = 0 und g(x) = e^{− \frac{1}{x^{2}}} sind in x = 0 alle Ableitungen gleich, aber offenbar ist f ≠ g. Als wichtige Konsequenz ergibt sich, daß holomorphe Funktionen f, g : U → ℂ, die auf I ⊆ ℝ (also als reelle Funktionen) übereinstimmen, bereits auf ganz U identisch sind.

Beispiel 18.5 Für den komplexen Logarithmus gilt L(1 + z) = ∑_{k=0}^{∞} \frac{(−1)^{k}}{k+1} z^{k+1} für alle z ∈ K_{1}(0), denn 1 + z ∈ ℂ^{−}, und die Gleichheit gilt auf dem reellen Intervall ] − 1, 1[. ◁

Eine komplexe Funktion f, die überall auf ℂ definiert und holomorph ist, heißt ganze Funktion. Nach Satz 18.2 gibt es für eine ganze Funktion f die Darstellung f(z) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}z^{n} mit Konvergenzradius ∞.

Satz 18.6 (Liouville) Jede beschränkte ganze Funktion ist konstant.

Beweis. Ist |f| ≤ M auf ℂ, dann erfüllen die Entwicklungskoeffizienten nach Satz 18.2 die Abschätzung |a_{n}| ≤ \frac{M}{r^{n}} für beliebiges r > 0. Also ist a_{n} = 0 für alle n ≥ 1 und f(z) = a_{0}. □

Der Satz von Liouville hat kein Analogon in der reellen Differentialrechnung. Z.B. ist f(x) = sin x beliebig oft differenzierbar auf ℝ, beschränkt, und nichtkonstant.

Satz 18.7 (Fundamentalsatz der Algebra) Jedes Polynom vom Grad ≥ 1 mit komplexen Koeffizienten besitzt in ℂ eine Nullstelle.

Beweis. Angenommen, das Polynom P habe keine Nullstelle, dann ist \frac{1}{P} holomorph auf ganz ℂ. Außerdem ist \frac{1}{P (z)} → 0 für |z| → ∞, d.h. \frac{1}{P (z)} ist beschränkt. Nach dem Satz von Liouville ist \frac{1}{P} dann konstant, also wäre auch P konstant. Widerspruch. □

Nach Abdividieren der Nullstellen läßt sich somit jedes komplexe Polynom P (z) = ∑_{k=0}^{n} a_{k}z^{k} vom Grad n, normiert auf a_{n} = 1, faktorisieren in P (z) = ∏_{i=1}^{n}(z − b_{i}).

19 Der Residuensatz

Wichtig für die Ausnutzung der Cauchyschen Integralformel zur Berechnung von Integralen ist eine genauere Diskussion möglicher Singularitäten von komplexen Funktionen.

Satz 19.1 (Riemannscher Hebbarkeitssatz) Es sei f eine auf U \ {a} holomorphe Funktion, und es existiere eine Umgebung V ⊆ U von a ∈ U, so daß f auf V \ {a} beschränkt ist. Dann gibt es eine Fortsetzung f̃ von f, die holomorph auf ganz U ist.

Beweis. Wir definieren eine Funktion ϕ : U → ℂ durch

ϕ(z) := \{ \begin{matrix}(z − a)^{2}f(z) für & z ≠ a \\ 0 für & z = a \end{matrix}

Wegen der Beschränktheit von f auf V \ {a} ist ϕ holomorph auf V \ {a} und dann auf U \ {a}, und es gilt

ϕ′(a) = lim_{z→a} \frac{ϕ(z) − ϕ(a)}{z − a} = 0 .

Damit besitzt ϕ die Potenzreihenentwicklung ϕ(z) = ∑_{n=2}^{∞} a_{n}(z − a)^{n}, und die Fortsetzung von f kann definiert werden als

f̃(z) := ∑_{n=0}^{∞} a_{n+2}(z − a)^{n} .  □

Definition 19.2 Ist f holomorph in einer Umgebung U \ {a} eines Punktes a ∈ U, so heißt a eine isolierte Singularität von f, und zwar: i) Eine hebbare Singularität, wenn f holomorph in den Punkt a fortgesetzt

werden kann.

ii) Ein Pol, wenn keine holomorphe Fortsetzung in a existiert, aber ein k ∈ ℕ^{×} derart, daß (z − a)^{k}f holomorph in den Punkt a fortgesetzt werden kann. Die kleinste derartige Zahl k heißt die Vielfachheit des Pols. Der Punkt a ist genau dann ein k-facher Pol von f, wenn es in U eine Darstellung f(z) = \frac{g(z)}{(z−a)^{k}} gibt, wobei g holomorph in U ist (insbesondere auch in a) und g(a) ≠ 0 gilt.

iii) Eine wesentliche Singularität, wenn sie weder hebbar noch Pol ist. Eine Funktion f : U → ℂ auf einer offenen Teilmenge U ⊆ ℂ heißt meromorph, wenn sie bis auf Pole in U holomorph ist.

Jede rationale Funktion ist meromorph.

Ist f holomorph in U \ {a} und liegt in a ein Pol der Ordnung k vor, dann hat die eindeutige Fortsetzung von f auf U die Laurent-Reihenentwicklung

f(z) = ∑_{n=−k}^{∞} a_{n}(z − a)^{n} .

Die Laurent-Reihe ist konvergent in einem Kreisring

K_{R,r}(a) = {z ∈ U , 0 < r < |z − a| < R} .

Dabei ist R der Konvergenzradius des Nebenteils der Laurent-Reihe ∑_{n=0}^{∞} a_{n}(z−a)^{n}.

Der Hauptteil der Laurent-Reihe ∑_{n=−k}^{−1} a_{n}(z − a)^{n} = ∑_{n=1}^{k} \frac{a_{−n}}{(z − a)^{n}} ist als endliche

Summe beschränkt in K_{R,r}(a). Für die Entwicklungskoeffizienten gilt:

Satz 19.3 Eine auf U \ {a} holomorphe Funktion habe in a einen k-fachen Pol.

Dann sind die Entwicklungskoeffizienten der Laurent-Reihe f(z) = ∑_{n=−k}^{∞} a_{n}(z−a)^{n}

gegeben durch

a_{n} = \frac{1}{2πi} ∫_{∂K_{r}(a)} dζ \frac{f(ζ)}{(ζ − a)^{n+1}}

für einen beliebigen Kreis K_{r}(a) um a mit Radius r > 0, so daß \overline{K_{r}(a)} ⊆ U.

Beweis. Die Funktion h(z) = (z − a)^{k}f(z) läßt sich holomorph auf U fortsetzen

und besitzt eine Potenzreihenentwicklung h(z) = (z − a)^{k}f(z) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}(z − a)^{n}

mit

a_{n} = \frac{1}{2πi} ∫_{∂K_{r}(a)} dζ \frac{h(ζ)}{(ζ − a)^{n+1}} = \frac{1}{2πi} ∫_{∂K_{r}(a)} dζ \frac{f(ζ)}{(ζ − a)^{n−k+1}} .

90 Also ist

Preliminary version – 31. Januar 2019

f(z) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}(z − a)^{n−k} = ∑_{n=0}^{∞} (\frac{1}{2πi} ∫_{∂K_{r}(a)} dζ \frac{f(ζ)}{(ζ − a)^{n−k+1}} )(z − a)^{n−k}

Substitution n − k ↦ n liefert die Behauptung. □

Offenbar hat eine auf U \ {a} holomorphe Funktion genau dann eine wesentliche Singularität in a, wenn der Hauptteil der Laurent-Entwicklung f(z) =

∑_{n=−∞}^{∞} a_{n}(z − a)^{n} nicht abbricht. Ein Beispiel einer wesentlichen Singularität ist

e^{\frac{1}{z}} = ∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{k!} \frac{1}{z^{k}} in z = 0. Eine Funktion f ist in jeder Umgebung einer wesentlichen Singularität stark oszillierend; ohne Beweis erwähnen wir:

Satz 19.4 (Picard) Mit höchstens einer Ausnahme nimmt f in jeder Umgebung einer wesentlichen Singularität jede komplexe Zahl unendlich oft an.

Für e^{\frac{1}{z}} wird die Null nicht angenommen.

Definition 19.5 Es sei f eine auf U \ {a} holomorphe Funktion mit Laurent-

Reihenentwicklung f(z) = ∑_{n=−∞}^{∞} a_{n}(z − a)^{n}. Dann heißt der Koeffizient a_{−1} = res_{a}f

das Residuum von f in a.

Offenbar ist res_{a}f = 0, wenn f in a holomorph ist oder (wegen der Eindeutigkeit der Laurent-Reihe) in a eine hebbare Singularität besitzt. Nach Satz 19.3 gilt:

Satz 19.6 Es sei f eine auf U \ {a} holomorphe Funktion. Dann gilt

res_{a}f = \frac{1}{2πi} ∫_{∂K_{r}(a)} f(z)dz

für einen beliebigen Kreis K_{r}(a) um a mit Radius r > 0, so daß \overline{K_{r}(a)} ⊆ U. □

Wir geben Berechnungsvorschriften für das Residuum in einigen wichtigen Spezialfällen an:

• Ist f(z) = \frac{g(z)}{z−a}, und ist g holomorph in einer Umgebung von a, so folgt aus der Cauchyschen Integralformel Res_{a}f = g(a).

• Ist allgemeiner f = \frac{g}{h} Quotient von in a holomorphen Funktionen g, h mit h(a) = 0 und h′(a) ≠ 0, dann ist wegen der stetigen Differenzierbarkeit h(z) = (z − a)(h′(a) + ϕ(z)) mit lim_{z→a} ϕ(z) = 0. Es gibt also ein r > 0, so daß |ϕ(z)| < h′(a), so daß \frac{1}{h′(a)+ϕ(z)} holomorph auf K_{r}(a) ist. Damit gilt

res_{a} \frac{g}{h} = \frac{g(a)}{h′(a) + ϕ(a)} = \frac{g(a)}{h′(a)} .

91 • Hat f in a einen k-fachen Pol, d.h. die Laurent-Reihe ist f(z) =

Preliminary version – 31. Januar 2019

∑_{n=−k}^{∞} a_{n}(z − a)^{n}, dann folgt

res_{a}f = a_{−1} = \frac{1}{(k − 1)!} \frac{d^{(k−1)}}{dz^{k−1}} ((z − a)^{k}f(z))|_{z=a} .

Satz 19.7 (Residuensatz) Es sei U ⊆ ℂ offen, S ⊆ U eine Teilmenge ohne Häufungspunkt in U und f holomorph auf U \ S. Sei A ⊆ U eine Teilmenge mit folgenden Eigenschaften:

i) A ist einfach zusammenhängend in U,

ii) der Rand γ := ∂A liegt in U und ist stückweise stetig differenzierbar,

iii) S ∩ γ = ∅, d.h. der Rand ∂A trifft keinen Punkt aus S.

Dann gilt

∫_{γ} f(z)dz = 2πi ∑_{a∈S∩A} res_{a}f .

Beweis. Analog zur Cauchyschen Integralformel werden um jeden Punkt a ∈ S∩A Kreise K_{ϵ_{a}}(a) gelegt, die im Inneren von A liegen und sich nicht schneiden (S hat keinen Häufungspunkt). Dann ist f holomorph auf einer Umgebung von Γ := A\⋃_{a∈S∩A} K_{ϵ_{a}}(a). Durch Aufschneiden von Γ zwischen γ und jedem Kreis K_{ϵ_{a}}(a) entsteht ein einfach zusammenhängendes Gebiet, so daß das Integral von f über dessen Rand verschwindet. Die Schnitte werden zweimal in umgekehrter Richtung durchlaufen, so daß sich die Integrale gegenseitig aufheben. Die Integrale über die ∂K_{ϵ_{a}}(a) ergeben bis auf einen Faktor −2πi (Durchlauf in umgekehrter Richtung) das jeweilige Residuum Res_{a}f. □

Der Residuensatz ist ein mächtiges Werkzeug zur Berechnung von Integralen.

Beispiel 19.8 Gesucht ist I(a) := ∫_{0}^{2π} \frac{dt}{a + cos t} für a > 1. Auf dem Einheits-

kreis z(t) = e^{it} gilt cos t = \frac{1}{2}(z(t) + \frac{1}{z(t)})|_{∂K_{1}(0)}. Dann ist z′(t) = iz(t), und wir erhalten

I(a) = ∫_{0}^{2π} dt \frac{1}{a + \frac{1}{2}(z(t) + \frac{1}{z(t)})} \frac{z′(t)}{iz(t)} = \frac{2}{i} ∫_{∂K_{1}(0)} \frac{dz}{z^{2} + 2az + 1} = \frac{2}{i} ∫_{∂K_{1}(0)} dz f(z)

mit f(z) := \frac{1}{(z − (−a − \sqrt{a^{2} − 1}))(z − (−a + \sqrt{a^{2} − 1}))}. Nur die Polstelle bei

z = \sqrt{a^{2} − 1} − a liegt im Inneren des Einheitskreises, also folgt

∫_{0}^{2π} \frac{dt}{a + cos t} = 4πres_{\sqrt{a^{2}−1}−a}f = \frac{2π}{\sqrt{a^{2} − 1}} .  ◁

92 Allgemein gilt für solche Art von Integralen:

Preliminary version – 31. Januar 2019

Satz 19.9 Es sei R(x, y) eine rationale Funktion in zwei Variablen und R(cos t, sin t) sei für alle t ∈ [0, 2π] erklärt. Dann gilt

∫_{0}^{2π} dt R(cos t, sin t) = 2π ∑_{a∈K_{1}(0)}res_{a}R̃ ,  R̃(z) := \frac{1}{z}R(\frac{1}{2}(z + \frac{1}{z}), \frac{1}{2i}(z − \frac{1}{z})) .
□

Eine andere wichtige Klasse von reellen Integralen, die mit dem Residuensatz berechnet werden können, ist die folgende:

Satz 19.10 Es sei R eine rationale Funktion (einer Variablen), die auf der reellen Achse keinen Pol habe und in ∞ eine mindestens zweifache Nullstelle, d.h. wenn R(x) = P (x)/Q(x) mit Polynomen P, Q, dann ist deg(Q) − deg(P) ≥ 2. In diesem Fall gilt

∫_{−∞}^{∞} dx R(x) = 2πi ∑_{a∈H} res_{a}R ,

wobei H = {z ∈ ℂ : Im(z) ≥ 0} die obere Halbebene ist.

Beweis. Man integriert über den Halbkreis bestehend aus dem Durchmesser [−r, r] auf der reellen Achse und dem halben Umfang z = re^{it} mit t ∈ [0, π]. Dabei wird r so groß gewählt, daß alle Pole in H von R(z) im Inneren des Halbkreises liegen. Nach Voraussetzung verschwindet dann für r → ∞ das Integral über den Halbkreisbogen. □

Beispiel 19.11 Gesucht ist I_{n} := ∫_{−∞}^{∞} \frac{dx}{1 + x^{2n}} mit n ∈ ℕ^{×}. Aufgefaßt als kom-

plexe Funktion sind die (einfachen) Pole z^{2n} = −1 der oberen Halbebene bei a_{k} = e^{\frac{iπ(2k+1)}{2n}}, k = 0, 1, …, n − 1. Also gilt mit res_{a}(\frac{1}{h}) = \frac{1}{h′(a)}

∫_{−∞}^{∞} \frac{dx}{1 + x^{2n}} = ∑_{k=0}^{n−1} \frac{2πi}{2ne^{\frac{iπ(2k+1)(2n−1)}{2n}}} = −\frac{πi}{n}e^{\frac{iπ}{2n}} ∑_{k=0}^{n−1} e^{\frac{iπk}{n}} = \frac{π}{in}e^{\frac{iπ}{2n}} \frac{1 − e^{\frac{iπn}{n}}}{1 − e^{\frac{iπ}{n}}} = \frac{\frac{π}{n}}{sin \frac{π}{2n}} .◁

Integrale der Form I = ∫_{0}^{∞} dx R(x), wobei R eine gerade Funktion ist, werden über I = \frac{1}{2} ∫_{−∞}^{∞} dx R(x) ausgerechnet.

Satz 19.12 Es sei R eine rationale Funktion ohne Pol auf der reellen Achse und mit mindestens einfacher Nullstelle in ∞. Dann ist für jedes α > 0 das folgende Integral existent und durch den Residuensatz berechenbar zu

∫_{−∞}^{∞} dx R(x)e^{iαx} = 2πi ∑_{a∈H} res_{a}(R(z)e^{iαz}) .

Beweis. Das zugehörige bestimmte Integral über [−r, r] wird durch ein Quadrat in der oberen Halbebene geschlossen. Die zusätzlichen Kurvenstücke sind c_{1}(t) = r + it mit t ∈ [0, r], c_{2}(t) = t + ir mit t ∈ [−r, r] und c_{3}(t) = −r + it mit t ∈ [0, r]. Unter Beachtung des Umlaufsinns liefert der Residuensatz

2πi ∑_{a∈H} res_{a}(R(z)e^{iαz}) = ∫_{−r}^{r} dx R(x)e^{iαx} + i ∫_{0}^{r} dt R(r+it)e^{iα(r+it)}

− ∫_{−r}^{r} dt R(t+ir)e^{iα(t+ir)} − i ∫_{0}^{r} dt R(−r+it)e^{iα(−r+it)} .

Da R eine mindestens einfache Nullstelle in ∞ hat, gilt |R(z)| ≤ \frac{M}{1+|z|} und damit

| ∫_{0}^{r} dt R(±r+it)e^{iα(±r+it)}| ≤ \frac{M}{1 + r} ∫_{0}^{r} dt e^{−αt} ≤ \frac{M}{α(1 + r)} ,
| ∫_{−r}^{r} dt R(t+ir)e^{iα(t+ir)}| ≤ \frac{M}{1 + r}e^{−αr} · 2r .

Folglich verschwinden die Integrale über c_{i} im Limes r → ∞. Die Existenz des Limes r → ∞ für das reelle Integral ergibt sich nach partieller Integration und Verwendung von |R′(x)| ≤ \frac{M}{(1+|x|)^{2}} . □

Nach Zerlegung in Real- und Imaginärteil können die reellen Integrale

∫_{−∞}^{∞} dx R(x) cos(αx) = Re(2πi ∑_{a∈H} res_{a}(R(z)e^{iαz})) ,

∫_{−∞}^{∞} dx R(x) sin(αx) = Im(2πi ∑_{a∈H} res_{a}(R(z)e^{iαz}))

berechnet werden.

Beispiel 19.13 Gesucht ist ∫_{−∞}^{∞} \frac{x sin x}{1 + x^{2}} = Im( ∫_{−∞}^{∞} \frac{xe^{ix}}{1 + x^{2}} ). Die Voraussetzun-

gen von Satz 19.12 sind erfüllt, es gibt einen Pol bei x = i in der oberen Halbebene, so daß gilt

∫_{−∞}^{∞} \frac{xe^{ix}}{1 + x^{2}} = 2πi res_{i}(\frac{ze^{iz}}{(z + i)(z − i)}) = 2πi\frac{ie^{i·i}}{2i} = \frac{πi}{e} .

Somit gilt ∫_{−∞}^{∞} \frac{x sin x}{1 + x^{2}} = \frac{π}{e}. ◁

Eine andere wichtige Anwendung des Residuensatzes ist die Lokalisierung von Nullstellen und Polstellen.

Satz 19.14 (Nullstellen und Polstellen zählendes Integral) Es sei f eine nichtkonstante meromorphe Funktion auf U ⊆ ℂ, ferner S ⊆ U die Menge der Nullstellen und Polstellen von f und A ⊆ U eine Teilmenge, deren Rand ∂A die Voraussetzungen des Residuensatzes erfüllt. Dann gilt für die Anzahl der Nullstellen N_{A} von f in A und die Anzahl der Polstellen P_{A} von f in A, jeweils mit Vielfachhheit gezählt, die Formel

N_{A} − P_{A} = \frac{1}{2πi} ∫_{∂A} dz \frac{f′(z)}{f(z)}

Beweis. Ist f meromorph, so ist \frac{f′}{f} holomorph außerhalb der Null- und Polstellen von f. In der Umgebung V einer Null- oder Polstelle a gilt f(z) = (z −a)^{k}g(z) für ein k ∈ ℤ und eine auf V holomorphe nullstellenfreie Funktion g. Dabei ist k > 0 für eine k-fache Nullstelle und k < 0 für einen Pol der Ordnung |k|. Somit ist \frac{f′}{f} (z) = \frac{k}{z−a} + \frac{g′(z)}{g(z)} und dann res_{a} \frac{f′}{f} = k. Der Residuensatz liefert die Behauptung. □

Satz 19.15 (Rouché) Es seien f, g holomorphe Funktionen auf U ⊆ ℂ und A ⊆ U eine Teilmenge mit stückweise stetig differenzierbarem Rand ∂A ⊆ U. Es gelte |g(z)| < |f(z)| für alle z ∈ ∂A. Dann haben f und f + g die gleiche Anzahl von Nullstellen in A.

Beweis. Es gibt eine Umgebung V ⊆ U von ∂A mit |\frac{g}{f} | < 1. Dann ist h := 1+\frac{g}{f} auf V holomorph mit Bild h(V) ⊆ K_{1}(1). Der komplexe Logarithmus L ist holomorph auf K_{1}(1), so daß nach Kettenregel gilt (L∘h)′(z) = \frac{h′(z)}{h(z)}. Somit verschwindet das

Kurvenintegral ∫_{c} dz \frac{h′(z)}{h(z)} = 0 für jede geschlossene Kurve c mit h ∘ c ∈ K_{1}(1),

insbesondere für das Bild von ∂A unter ∂A ∋ z ↦ h(z) = 1 + \frac{g(z)}{f(z)}. Es gilt

\frac{h′}{h} = \frac{(f+g)′(z)}{(f+g)(z)} − \frac{f′(z)}{f(z)}, so daß nach Satz 19.14 die holomorphen Funktionen f und f + g die gleiche Zahl von Nullstellen in A haben. □

Beispiel 19.16 Wieviele Nullstellen von h(z) = z^{8} −5z^{3} +z −2 liegen in K_{1}(0)? Setze f(z) = −5z^{3} und g(z) = z^{8} − z − 2. Dann gilt für z ∈ ∂K_{1}(0), d.h. |z| = 1 nach Dreiecksungleichung |g(z)| ≤ 4 < |f(z)| = 5. Die Gleichung f(z) = −5z^{3} = 0 hat eine dreifache Nullstelle in 0 ∈ K_{1}(0). Somit hat nach dem Satz von Rouché die Funktion h ebenfalls 3 Nullstellen in K_{1}(0). ◁

Zusammenfassung

• Definition von 1-Formen, mit Differential als Beispiel

• Integral von 1-Formen längs Kurven

• Exakte 1-Formen: Wegunabhängigkeit des Kurvenintegrals • Geschlossene 1-Formen als notwendige Bedingung für Exaktheit, hinrei-

chend auf Sterngebieten

• Anwendung: exakte Differentialgleichungen; auf Sterngebieten Lösung durch Kurvenintegral

• Definitionen komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie, Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen

• Definitionen kontrahierbare Kurve und einfach zusammenhängende Gebiete

• komplexe Kurvenintegrale, Cauchyscher Integralsatz

• Cauchysche Integralformel und Folgerungen für Potenzreihenentwicklung und holomorphe Fortsetzbarkeit. Satz von Liouville

• Diskussion isolierter Singularitäten, Laurent-Entwicklung

• Residuum mit Berechnungsmöglichkeiten, Residuensatz

• Berechnung reeller Integrale über Residuensatz oder Cauchyschem Integralsatz

Teil IV

Das Lebesgue-Integral

Ähnlich zu den Treppenfunktionen beim Riemann-Integral benötigt man zunächst für eine gewisse Klasse “gutartiger Teilmengen” deren Inhalt. Treppenfunktionen sind konstant auf diesen guten Mengen, und man definiert das Integral einer Treppenfunktion über die Vorschrift “Grundfläche × Höhe”. Dieses Integral dehnt sich aus auf alle Funktionen, die sich geeignet durch Treppenfunktionen approximieren. Das Lebesgue-Integral approximiert ein wenig anders als das Riemann-Integral, was weitaus mächtigere Vertauschungssätze erlaubt.

20 Borel-Maße

Bei der Wahl der “gutartigen Mengen” im ℝ^{n} kann man minimalistisch vorgehen und sich auf achsenparallele Quader beschränken. Da wir Beweise zurückstellen, wählen wir von Anfang an eine große Klasse von Mengen, die Borel-Mengen. Es ist nicht möglich, sämtliche beschränkten Teilmengen des ℝ^{n} zuzulassen! Borel-Mengen haben sich als sinnvollste Klasse von Teilmengen herausgestellt.

Definition 20.1 Sei (X, T ) ein topologischer Hausdorff-Raum (z.B. ein metrischer Raum), bestehend aus einer Grundmenge X und einem System T ⊆ X offener Teilmengen, welches X und ∅ enthält. Die Borel-Algebra B(X) von X ist das kleinste System von Teilmengen von X, für das gilt

i) T ⊆ B(X).
ii) Für jedes A ∈ B(X) gilt X \ A ∈ B(X).

iii) Ist A_{k} ∈ B(X) für jedes k ∈ ℕ, so gilt ⋃_{k=0}^{∞} A_{k} ∈ B(X) und ⋂_{k=0}^{∞} A_{k} ∈

B(X).

Elemente A ∈ B(X) heißen Borel-Mengen.

Jedes Element der Borel-Algebra von ℝ läßt sich aus der Klasse der Intervalle (eine Wahl von offen, abgeschlossen, halboffen genügt) mit rationalen Endpunkten konstruieren. Daraus gewinnt man die Borel-Algebra von ℝ^{n} und ℂ.

Definition 20.2 Eine Funktion f : X → 𝕂 heißt meßbar, falls f^{−1}(U) ∈ B(X) für jede offene Teilmenge U ⊆ 𝕂 (äquivalent: jedes U ∈ B(𝕂)).

Nach Definition ist jede stetige Funktion auch meßbar. In der Praxis ist Meßbarkeit keine Einschränkung: Jede irgendwie konstruierbare Funktion ist meßbar. Dennoch gibt es aus logischen Gründen (Auswahlaxiom) nichtmeßbare Funktionen. Weiter zeigt man (hier ohne Beweis):

Lemma 20.3 Für f, g meßbar sind auch f + g, fg, max(f, g), min(f, g) sowie |f|, |f|^{p}, cf und (falls definiert) f/g meßbar. Ist f_{k} meßbar für alle k ∈ ℕ und existiert lim_{k→∞} f_{k}(x) für alle x ∈ X, so ist f meßbar.

Definition 20.4 Ein Borel-Maß auf (X, T ) ist eine Abbildung μ : B(X) → [0, ∞] mit μ(∅) = 0 und der folgenden Eigenschaft der σ-Additivität:

• Sei {A_{k}}_{k∈ℕ} eine abzählbare Familie paarweise disjunkter Elemente aus B(X). Dann gilt μ(⋃_{k=0}^{∞} A_{k}) = ∑_{k=0}^{∞} μ(A_{k}).

Das Tupel (X, B(X), μ) bzw. kurz (X, μ) heißt Maßraum.

Die Forderung μ(∅) = 0 ist automatisch, falls es zumindest eine Teilmenge A ∈ B(X) mit 0 < μ(A) < ∞ gibt. Für A, B ∈ B(X) gilt μ(A ∪ B) + μ(A ∩ B) = μ(A) + μ(B).

Satz 20.5 Auf ℝ^{n} gibt es genau ein Borel-Maß λ mit

i) λ ist normiert durch λ([0, 1]^{n}) = 1

ii) λ ist translationsinvariant, d.h. λ(A) = λ(A + v) für v ∈ ℝ^{n}.

Nach einem später beschriebenen Vervollständigungsprozeß wird λ zum Lebesgues-Maß auf ℝ^{n}. Jede offene Menge im ℝ^{n} besitzt ein Lebesgue-Maß:

Lemma 20.6 Jede offene Teilmenge U ⊆ ℝ^{n} ist Vereinigung abzählbar vieler Würfel der Kantenlängen \frac{1}{2^{k}}, k ∈ ℕ, deren Eckpunkte in jeder Komponente ganzzahlige Vielfache von \frac{1}{2^{k}} sind.

Durch Komplementbildung wird abgeschlossenen beschränkten Mengen ein (endliches) Lebesgue-Maß zugeordnet, das dann induktiv auf die gesamte Borel-Algebra ausgedehnt wird.

Es seien ℝ̄ := ℝ ∪ {−∞, ∞} und ℂ̄ := ℂ ∪ {∞} die Kompaktifizierungen der Zahlbereiche. Beim Rechnen sind Konventionen für Summen und Produkte mit (±)∞ zu treffen. Der Vorteil ist, daß jede monotone Folge in ℝ̄ konvergiert und jede Folge in ℝ̄ oder ℂ̄ eine konvergente Teilfolge hat.

Für eine reellwertige Funktion f : X → ℝ̄ nennen wir f_{+} := max(f, 0) den positiven Anteil und f_{−} = max(−f, 0) den negativen. Es gilt f = f_{+} − f_{−} und |f| = f_{+} + f_{−}. Komplexwertige Funktionen haben eine eindeutige Zerlegung in f = (Re f)_{+} − (Re f)_{−} + i (Im f)_{+} − i (Im f)_{−}. Es genügt deshalb, das Integral nichtnegativer Funktionen zu erklären und dann linear fortzusetzen.

Für A ∈ B(X) heißt 1_{A}(x) = \{ \begin{matrix}1 & für x ∈ A \\ 0 & für x ∉ A \end{matrix} die charakteristische Funktion

von A. Diese ist meßbar, und es gelten 1_{A∩B} = 1_{A}1_{B}, 1_{A} + 1_{B} = 1_{A∪B} + 1_{A∩B}, 1_{A\B} = 1_{A}(1_{X} − 1_{B}).

Definition 20.7 Eine meßbare Funktion, die nur endlich viele Werte annimmt, heißt Treppenfunktion.

Jede Treppenfunktion ϕ hat eine Darstellung ϕ = ∑_{i=1}^{m} ϕ_{i}1_{A_{i}} mit A_{i} = ϕ^{−1}({ϕ_{i}}) ∈ B(X).

Satz 20.8 Eine nichtnegative (ℝ̄-wertige) Funktion ist genau dann meßbar, wenn sie punktweiser Limes einer monoton wachsenden Folge von Treppenfunktionen ist.

Beweis. (⇐) folgt aus Lemma 20.3. Umgekehrt definiere zu k ∈ ℕ folgende Teilmengen von X:

A_{k,j} := f^{−1}([\frac{j}{2^{k}} , \frac{j+1}{2^{k}}[\}  für j = 0, 1, …, k · 2^{k} − 1 ,
A_{k,j} := f^{−1}([k, ∞])  für j = k · 2^{k} .

Dann ist X = ⋃_{j=0}^{k2^{k}} A_{k,j} für alle k. Definiere Treppenfunktionen ϕ_{k} :=

∑_{j=1}^{k2^{k}−1} \frac{j}{2^{k}} 1_{A_{k,j}}, dann ist \{ϕ_{k}\}_{k∈ℕ} monoton wachsend und punktweise konvergent (in ℝ̄) gegen f. □

Wie üblich ist das μ-Integral einer Treppenfunktion erklärt als

∫_{X} dμ ϕ := ∑_{i=1}^{m} ϕ_{i}μ(A_{i}) .

Insbesondere gilt ∫_{X} dμ 1_{A} = μ(A). In Verbindung mit Satz 20.8 bietet sich an:

Definition 20.9 Sei f eine meßbare nichtnegative Funktion, die punktweiser Limes einer monoton wachsenden Folge {ϕ_{k}} von Treppenfunktionen ist. Dann setzen wir

∫_{X} dμ f := lim_{k→∞} ∫_{X} dμ ϕ_{k} .

Hier ist zu zeigen, daß der Grenzwert unabhängig von der Wahl der Folge {ϕ_{k}} ist. An dieser Stelle ist ∞ als Grenzwert zugelassen. Für die Lebesgue-Integrierbarkeit fordert man Endlichkeit der Grenzwerte aller positiven Anteile:

Definition 20.10 Eine meßbare Funktion f : X → ℝ̄ bzw. f : X → ℂ̄ heißt μintegrierbar, wenn alle Teilintegrale ∫_{X} dμ f_{±} bzw. ∫_{X} dμ (Re f)_{±} und ∫_{X} dμ (Im f)_{±} endlich sind, und man definiert

∫_{X} dμ f := ∫_{X} dμ f_{+} − ∫ dμ f_{−} bzw
∫_{X} dμ f := ∫_{X} dμ (Re f)_{+} − ∫_{X} dμ (Re f)_{−} + i ∫_{X} dμ (Im f)_{+} − i ∫_{X} dμ (Im f)_{−}

als das μ-Lebesgue-Integral von f.

Ist X = ℝ^{n} und μ = λ das Lebesgue-Maß (hier noch der Borel-Mengen, wird später etwas weiter gefaßt), so schreibt man üblicherweise ∫_{X} dx f(x) statt ∫_{X} dλ f und nennt f Lebesgue-integrierbar oder kurz integrierbar. Mittels ∫_{A} dμ f := ∫_{X} dμ f1_{A} können Integrale über meßbare Teilmengen A ⊆ X erklärt werden.

Wir zeigen:

Satz 20.11 Jede Regelfunktion f : [a, b] → ℝ (insbesondere jede stetige und jede monotone Funktion) ist über [a, b] λ-Lebesgue-integrierbar, und Riemann- und

Lebesgue-Integral stimmen überein, ∫_{[a,b]} dx f(x) = ∫_{a}^{b} dx f(x).

Beweis. Es genügt, den Fall f = f_{+} ≥ 0 zu beweisen. Zur Regelfunktion f gibt es nach Definition 31.1 des 2. Semesters eine Folge (f_{k})_{k∈ℕ} von Treppenfunktionen (sowohl im Riemann- als auch im Borel-Sinn) mit |f(x) − f_{k}(x)| < \frac{1}{k+1} für alle x ∈ [a, b]. Dann ist (f_{k} − \frac{1}{k+1})_{+} Treppenfunktion mit 0 ≤ (f_{k} − \frac{1}{k+1})_{+} ≤ f für alle k. Bilde durch ϕ_{k} := max((f_{0} − 1)_{+}, …, (f_{k} − \frac{1}{k+1})_{+}) eine neue Folge (ϕ_{k})_{k∈ℕ} von Treppenfunktionen. Nach Konstruktion ist (ϕ_{k}) monoton wachsend und punktweise gegen f konvergent. Damit konvergiert (∫_{[a,b]} dx ϕ_{k}(x))_{k∈ℕ} im Lebesgue-Sinn gegen ∫_{[a,b]} dx f(x), andererseits ist dieser Grenzwert Unterintegral zum Riemann-Integral von f, das mit dem Oberintegral zur Folge (f_{k} + \frac{1}{k+1})_{k∈ℕ} übereinstimmt. □

21 Berechnung von Lebesgue-Integralen über Fubini

Wir geben zunächst ohne Beweis die wichtigste Methode an, um stetige Funktionen über kompakte Teilmengen zu integrieren.

Satz 21.1 (kleiner Satz von Fubini) Es sei A ⊆ ℝ^{p} × ℝ^{n−p} eine kompakte Teilmenge und f : A → ℝ stetig. Für festes y ∈ ℝ^{n−p} sei A_{y} := {x ∈ ℝ^{p} : (x, y) ∈ A} ⊆ ℝ^{p} und für festes x ∈ ℝ^{p} sei A_{x} := {y ∈ ℝ^{n−p} : (x, y) ∈ A} ⊆ ℝ^{n−p}. Dann gilt:

i) f : A → ℝ ist integrierbar.

ii) Ist A_{y} ≠ ∅, dann ist die durch f_{y}(x) := f(x, y) definierte Funktion f_{y} : A_{y} → ℝ über A_{y} integrierbar, und die durch

F (y) := \{ \begin{matrix}∫_{A_{y}} dx f(x, y)  für & A_{y} ≠ ∅ \\ 0  für & A_{y} = ∅ \end{matrix}

definierte Funktion F : ℝ^{n−p} → ℝ ist über ℝ^{n−p} integrierbar. iii) Ist A_{x} ≠ ∅, dann ist die durch f_{x}(y) := f(x, y) definierte Funktion

f_{x} : A_{x} → ℝ über A_{x} integrierbar, und die durch

G(x) := \{ \begin{matrix}∫_{A_{x}} dy f(x, y)  für & A_{x} ≠ ∅ \\ 0  für & A_{x} = ∅ \end{matrix}

definierte Funktion G : ℝ^{p} → ℝ ist über ℝ^{p} integrierbar.

iv) Es gilt

∫_{A} d(x, y) f(x, y) = ∫_{ℝ^{n−p}} dy F (y) = ∫_{ℝ^{n}} dx G(x) .

Der Beweis wird später nachgeholt.

In Kombination mit Satz 20.11 können wir das Lebesgue-Integral schrittweise auf eindimensionale Riemann-Integrale zurückführen (p = 1). Für p = 1 und A kompakt ist A_{y} = ⋃_{k=1}^{N}[x_{1k}(y), x_{2k}(y)] ⊆ ℝ Vereinigung von Intervallen. Mit B := {y ∈ ℝ^{n−1} : A_{y} ≠ ∅} ⊆ ℝ^{n−1} gilt dann

∫_{A} d(x, y) f(x, y) = ∫_{B} dy( ∑_{k=1}^{N} ∫_{x_{1k}(y)}^{x_{2k}(y)} dx f(x, y)) .

Insbesondere gilt für die Integration stetiger Funktionen über das Rechteck [a, b]× [c, d] ⊆ ℝ^{2}

∫_{[a,b]×[c,d]} d(x, y) f(x, y) = ∫_{c}^{d} dy( ∫_{a}^{b} dx f(x, y)) = ∫_{a}^{b} dx( ∫_{c}^{d} dy f(x, y)) .

Definition 21.2 Das Volumen einer kompakte Menge A ⊆ ℝ^{n} ist gegeben durch

das Integral v_{n}(A) = ∫_{ℝ^{n}} dx 1_{A}(x) = ∫_{A} dx = λ(A). Ist ρ : A → ℝ die Dichte von

A, so ist die (n-dimensionale) Masse von A erklärt als m_{n}(A) = ∫_{A} dx ρ(x).

Der kleine Satz von Fubini ermöglicht (da 1_{A} stetig auf A) die schrittweise Berechnung von Volumina. Ist A ⊆ ℝ^{p} × ℝ^{n−p} und A_{y} := {x ∈ ℝ^{p} : (x, y) ∈ A} ⊆ ℝ^{p} die in Satz 21.1 eingeführte Schnittmenge, dann gilt

v_{n}(A) = ∫_{ℝ^{n−p}} dy v_{p}(A_{y}) .

Insbesondere folgt

Satz 21.3 (Prinzip von Cavalieri) Seien A, B ⊆ ℝ^{p} × ℝ^{n−p} zwei kompakte Mengen, und es gelte v_{p}(A_{y}) = v_{p}(B_{y}) für alle y ∈ ℝ^{n−p}. Dann gilt v_{n}(A) = v_{n}(B). □

Zum Beispiel haben ein Rechteck und ein Parallelogramm mit gleicher Grundlänge und gleicher Höhe das gleiche zweidimensionale Volumen (Flächeninhalt):

[figure]

Beispiel 21.4 Es sei G ⊆ ℝ^{n−1} eine kompakte (allgemeiner: beschränkte meßbare) Teilmenge und K := \{(x, y) ∈ ℝ^{n−1} × ℝ : y ∈ [0, h], x ∈ (1 − \frac{y}{h})G\} der Kegel über G. Der Inhalt der Schnittfläche K_{y} ist offenbar (1 − \frac{y}{h})^{n−1}v_{n−1}(G), somit das Volumen des Kegels

v_{n}(K) = ∫_{0}^{h} dy(1 − \frac{y}{h})^{n−1}λ(G) = \frac{1}{n}v_{n−1}(G) · h  ◁

Beispiel 21.5 Es sei A = {(x, y) ∈ ℝ^{2} : x^{2} + y^{2} ≤ r} der abgeschlossene Vollkreis vom Radius r. In obigen Bezeichnungen ist A_{y} = [−\sqrt{r^{2} − y^{2}}, \sqrt{r^{2} − y^{2}}] und B = [−r, r]. Somit gilt für eine stetige Funktion f : A → ℝ

∫_{A} d(x, y) f(x, y) = ∫_{−r}^{r} dy ( ∫_{−\sqrt{r^{2}−y^{2}}}^{√\overline{r^{2}−y^{2}}} dx f(x, y)) .

Insbesondere ist das Volumen (also der Flächeninhalt) von A gegeben durch

v_{2}(A) = ∫_{A} d(x, y) 1 = ∫_{−r}^{r} dy ( ∫_{−\sqrt{r^{2}−y^{2}}}^{√\overline{r^{2}−y^{2}}} dx 1) = ∫_{−r}^{r} dy 2\sqrt{r^{2} − y^{2}}

= 4 ∫_{0}^{r} dy \sqrt{r^{2} − y^{2}} =^{y=r cos t} 4r^{2} ∫0^{\frac{π}{2}} dt sin^{2} t = 4r^{2} · \frac{1}{2} · \frac{π}{2} = πr^{2}

nach Beispiel 32.3 aus dem 2. Semster. ◁

Satz 21.6 (Volumen der n-dimensionalen Vollkugel) Das Volumen v_{n}(A) =: κ_{n}(r) der n-dimensionalen Vollkugel A = {(x_{1}, …, x_{n}) ∈ ℝ^{n} : x_{1}^{2} + ⋯ + x_{n}^{2} ≤ r^{2}} vom Radius r ist

κ_{n}(r) = \frac{π^{\frac{n}{2}} r^{n}}{Γ(\frac{n+2}{2})} = \{ \begin{matrix}\frac{π^{\frac{n}{2}}}{\frac{n}{2}!} r^{n} & für n gerade \\ \frac{2^{n}π^{\frac{n−1}{2}} \frac{n−1}{2}!}{n!} r^{n} & für n ungerade \end{matrix}

Beweis. Durch Induktion nach n. Die Aussage gilt offenbar für n = 1 mit κ_{1} = 2r und n = 2 mit κ_{2} = πr^{2}.

i) Sei n gerade und die Behauptung bewiesen bis n − 1. Dann ist A_{x_{n}} = {(x_{1}, …, x_{n−1}) ∈ ℝ^{n−1} : x_{1}^{2} + ⋯ + x_{n−1}^{2} ≤ r^{2} − x_{n}^{2}} und somit

κ_{n}(r) = ∫_{−r}^{r} dx_{n} ∫_{A_{xn}} dy 1 = ∫_{−r}^{r} dx_{n}κ_{n−1}(\sqrt{r^{2} − x_{n}^{2}}) = 2 ∫_{0}^{r} dx_{n}κ_{n−1}(\sqrt{r^{2} − x_{n}^{2}})

= \frac{2^{n}π^{\frac{n−2}{2}} \frac{n−2}{2}!}{(n − 1)!} ∫_{0}^{r} dx_{n} (r^{2} − x_{n}^{2})^{\frac{n−1}{2}}

=^{x_{n}=r cos t} \frac{2^{n}π^{\frac{n−2}{2}} \frac{n−2}{2}!}{(n − 1)!} · r^{n} ∫0^{\frac{π}{2}} dt sin^{n} t .

Nach Beispiel 32.3 aus dem 2. Semster ist

∫0^{\frac{π}{2}} dt sin^{2k} t = \frac{(2k − 1)(2k − 3) ⋯ 1}{2k(2k − 2) ⋯ 2} · \frac{π}{2} = \frac{(2k − 1)!π}{2^{2k}k!(k − 1)!} ,

und 2k ↦ n liefert die Behauptung.

ii) Sei n ungerade und die Behauptung bewisen bis n − 1. Dann ist

κ_{n}(r) = ∫_{−r}^{r} dx_{n} ∫_{A_{xn}} dy 1 = ∫_{−r}^{r} dx_{n}κ_{n−1}(\sqrt{r^{2} − x_{n}^{2}}) = 2 ∫_{0}^{r} dx_{n}κ_{n−1}(\sqrt{r^{2} − x_{n}^{2}})

= \frac{2π^{\frac{n−1}{2}}}{\frac{n−1}{2}!} ∫_{0}^{r} dx_{n} (r^{2} − x_{n}^{2})^{\frac{n−1}{2}} =^{x_{n}=r cos t} \frac{2π^{\frac{n−1}{2}}}{\frac{n−1}{2}!} r^{n} ∫0^{\frac{π}{2}} dt sin^{n} t .

Nach Beispiel 32.3 aus dem 2. Semster ist

∫0^{\frac{π}{2}} dt sin^{2k+1} t = \frac{2k(2k − 2) ⋯ 2}{(2k + 1)(2k − 1) ⋯ 3 · 1} = \frac{2^{2k}k!k!}{(2k + 1)!} ,

und 2k + 1 ↦ n liefert die Behauptung. □

Definition 21.7 Das Trägheitsmoment einer kompakten Menge A ⊆ ℝ^{n} bezüglich einer Achse L ist definiert als

Θ(A) := ∫_{A} dx ρ(x) (d(x, L))^{2} ,

wobei ρ die Dichte und d(x, L) der Abstand eines Punktes x ∈ A zur Drehachse L ist.

Beispiel 21.8 (Trägheitsmoment eines homogenen Kreiszylinders) Es sei

A = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : x^{2} + y^{2} ≤ r^{2} , 0 ≤ z ≤ h}

ein homogener (konstante Diche ρ) gerader Kreiszylinder, die z-Achse sei die Drehachse L. Dann gilt d((x, y, z), L) = \sqrt{x^{2} + y^{2}}, so daß wir für das Trägheitsmoment nach Fubini erhalten

Θ(A) = ∫_{0}^{h} dz ∫_{−r}^{r} dy ∫_{−\sqrt{r^{2}−y^{2}}}^{√\overline{r^{2}−y^{2}}} dx ρ · (x^{2} + y^{2})

= ρh ∫_{−r}^{r} dy (\frac{1}{3}x^{3} + y^{2}x)|_{−\sqrt{r^{2}−y^{2}}}^{√\overline{r^{2}−y^{2}}}

= ρh ∫_{−r}^{r} dy (\frac{2}{3}(\sqrt{r^{2} − y^{2}})^{3} + 2y^{2}\sqrt{r^{2} − y^{2}})

= 4ρh ∫_{0}^{r} dy (\frac{1}{3}(\sqrt{r^{2} − y^{2}})^{3} + y^{2}\sqrt{r^{2} − y^{2}})

=^{y=r cos t} 4ρh ∫ 0_{\frac{π}{2}} dt (−r sin t)(\frac{1}{3}r^{3} sin^{3} t + r^{3} cos^{2} t sin t)

= 4ρhr^{4} ∫0^{\frac{π}{2}} dt ( sin^{2} t − \frac{2}{3} sin^{4} t)

= 4ρhr^{4}(\frac{1}{2} · \frac{π}{2} − \frac{2}{3} · \frac{3 · 1}{4 · 2} · \frac{π}{2} ) ← Beispiel 32.3 (2. Semester)

= \frac{π}{2} ρhr^{4} = \frac{1}{2}mr^{2} ,

wobei m = ρv_{3}(A) = ρπr^{2}h die Gesamtmasse des Zylinders ist. ◁

Definition 21.9 Der Schwerpunkt einer kompakten Menge A ⊆ ℝ^{n} der Dichte ρ ist der Vektor s = (s_{1}, …, s_{n}) ⊆ ℝ^{n} mit

s_{i} = \frac{∫_{A} d(x_{1}, …, x_{n}) x_{i} · ρ(x_{1}, …, x_{n})}{∫_{A} d(x_{1}, …, x_{n}) ρ(x_{1}, …, x_{n})} .

Beispiel 21.10 Es sei A = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} , x^{2} + y^{2} + z^{2} ≤ r^{3} , z ≥ 0 die halbe homogene Vollkugel vom Radius r und Dichte ρ. Der Nenner ist die Masse m = ρv_{3}(A) = \frac{2πρ}{3}r^{3}. Für den Schwerpunkt s = (s_{x}, s_{y}, s_{z}) gilt s_{x} = s_{y} = 0 aus Symmetriegründen. Es verbleibt

s_{z} = \frac{1}{ρv_{3}(K)} ∫_{0}^{r} dz ∫_{−\sqrt{r^{2}−z^{2}}}^{√\overline{r^{2}−z^{2}}} dy ∫_{−\sqrt{r^{2}−z^{2}−y^{2}}}^{√\overline{r^{2}−z^{2}−y^{2}}} dx ρz

= \frac{3}{2πr^{3}} ∫_{0}^{r} dz ∫_{−\sqrt{r^{2}−z^{2}}}^{√\overline{r^{2}−z^{2}}} dy 2z\sqrt{r^{2} − z^{2} − y^{2}}

= \frac{6}{πr^{3}} ∫_{0}^{r} dz ∫_{0}^{√\overline{r^{2}−z^{2}}} dy z\sqrt{r^{2} − z^{2} − y^{2}}

104

Preliminary version – 31. Januar 2019

=^{y=\sqrt{r^{2}−z^{2}} cos t} \frac{6}{πr^{3}} ∫_{0}^{r} dz ∫ 0_{\frac{π}{2}} dt ( − \sqrt{r^{2} − z^{2}} sin t)z\sqrt{r^{2} − z^{2}} sin t

= \frac{6}{πr^{3}} ∫_{0}^{r} dz z(r^{2} − z^{2}) · \frac{1}{2} · \frac{π}{2} ← Beispiel 32.3 (2. Semester)

= \frac{3}{2r^{3}} (\frac{r^{2}}{2} · r^{2} − \frac{r^{4}}{4} ) = \frac{3}{8}r .  ◁

22 Der Transformationssatz

Der Transformationssatz ist eine mächtige Methode zur Berechnung von Integralen.

Satz 22.1 Seien U, V ⊆ ℝ^{n} offene Teilmengen und sei T : U → V ein Diffeomorphismus. Eine Funktion f : V → ℝ∪{∞} ist genau dann über V integrierbar, wenn die Funktion | det(DT)| · (f ∘ T) : U → ℝ ∪ {∞} über U = T^{−1}(V) integrierbar ist. In diesem Fall gilt

∫_{U} dx | det(DT)(x)| f(T (x)) = ∫_{V} dy f(y) .

Zur Erinnerung: Ein Diffeomorphismus T ist eine differenzierbare bijektive Abbildung mit differenzierbarem Inversen. Das Differential DT ist dann eine lineare Abbildung DT : ℝ^{n} → ℝ^{n}, so daß die Determinante korrekt definiert ist. Für genügend kleine U sichert der Satz über die inverse Funktion Satz 3.5 die Invertierbarkeit von DT. Der Transformationssatz läßt sich aber auch verwenden, wenn T nur auf einer Nullmenge N (wird später eingeführt) kein Diffeomorphismus ist, da Nullmengen im Lebesgue-Integral keine Rolle spielen. In diesem Fall genügt es, über U \ N bzw. T^{−1}(U \ N) zu integrieren.

Der Beweis des Transformationssatzes wird nachgereicht. Zunächst werden typische Folgerungen und Anwendungen vorgestellt.

• Im ℝ^{1} reduziert sich der Transformationssatz auf die Substitutionsregel: Sei T : [a, b] → [α, β] eine bijektive stetig differenzierbare Abbildung,

dann gilt ∫_{[a,b]} dx |T′(x)| f(T (x)) = ∫_{[α,β]} dy f(y).

• Im Spezialfall einer nichtausgearteten affinen Transformation y = T (x) = Ax + b ∈ ℝ^{n} mit det A ≠ 0 ist f : K → ℝ^{n} ∪ {∞} genau dann über K ⊆ ℝ^{n} integrierbar, wenn f ∘ T über T^{−1}(K) integrierbar ist, und es gilt

∫_{T^{−1}(K)} dx f(Ax + b) = \frac{1}{| det A|} ∫_{K} dy f(y) .

• Beschreibt A eine Rotation oder Spiegelung (dann ist | det A| = 1) und wählen wir für f die konstante Funktion f = 1, so folgt, daß K genau dann meßbar ist, wenn T^{−1}(K) meßbar ist, und es gilt v_{n}(K) = v_{n}(T^{−1}(K)). Volumina bleiben also bei Kombinationen aus Verschiebung, Drehung und Spiegelung erhalten.

22.1 Integrale über Kugelschalen

Sehr häufig treten Integrale über n-dimensionale Kugeln oder Kugelschalen auf. Solche Integrale lassen sich durch eine Transformation T zu Polarkoordinaten vereinfachen (und mit dem Satz von Fubini oft auch lösen). Polarkoordianten im ℝ^{n} bestehen aus dem Radius r und n − 1 Winkeln φ, ϑ_{1}, …, ϑ_{n−2}. Dann ist T : (r, φ, ϑ_{1}, …, ϑ_{n−2}) ↦ (y_{1}, …, y_{n}) = T_{n}(r, φ, ϑ_{1}, …, ϑ_{n−2}) definiert durch T_{2}(r, φ) = (r cos φ, r sin φ) und dann rekursiv y_{n} = r cos ϑ_{n−2} und (y_{1}, …, y_{n−1}) = T_{n−1}(r, φ, ϑ_{1}, …, ϑ_{n−3}) · sin ϑ_{n−2}. Konkret heißt das

( y_{1} ; y_{2} ; y_{3} ; ⋮ ; y_{n−1} ; y_{n} ) = ( r cos φ sin ϑ_{1} ⋯ sin ϑ_{n−2} r sin φ sin ϑ_{1} ⋯ sin ϑ_{n−2} r cos ϑ_{1} sin ϑ_{2} ⋯ sin ϑ_{n−2} ⋮ r cos ϑ_{n−3} sin ϑ_{n−2} r cos ϑ_{n−2} ) .

Damit die Transformation T bijektiv wird, ist (z.B.) ϑ_{1}, …, ϑ_{n−2} ∈ ]0, π[ und φ ∈ ]0, 2π[ zu wählen.

Satz 22.2 Es gilt | det(DT)(r, φ, ϑ_{1}, …, ϑ_{n−2})| = r^{n−1}(sin ϑ_{1})^{1} ⋯ (sin ϑ_{n−2})^{n−2}.

Beweis. Das Differential der Transformation ist

DT = ( \begin{matrix}\frac{∂y_{1}}{∂r} & \frac{∂y_{1}}{∂φ} & \frac{∂y_{1}}{∂ϑ_{1}} & … & \frac{∂y_{1}}{∂ϑ_{n−2}} \\ \frac{∂y_{2}}{∂r} & \frac{∂y_{2}}{∂φ} & \frac{∂y_{2}}{∂ϑ_{1}} & … & \frac{∂y_{2}}{∂ϑ_{n−2}} \\ \frac{∂y_{3}}{∂r} & \frac{∂y_{3}}{∂φ} & \frac{∂y_{3}}{∂ϑ_{1}} & … & \frac{∂y_{3}}{∂ϑ_{n−2}} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ \frac{∂y_{n}}{∂r} & \frac{∂y_{n}}{∂φ} & \frac{∂y_{n}}{∂ϑ_{1}} & … & \frac{∂y_{n}}{∂ϑ_{n−2}} \end{matrix} )

Für n = 2 ist ∂_{r}y = (cos φ, sin φ) und ∂_{φ}y = (−r sin φ, r cos φ), so daß die Determinantenformel gilt. Im Schritt von n auf n + 1 für n ≥ 2 haben wir mit ỹ = (y_{1}, …, y_{n}) ∈ ℝ^{n} und y = (ỹsin ϑ_{n−1}, r cos ϑ_{n−1}) ∈ ℝ^{n+1}

∂_{r}y = ( \begin{matrix}∂_{r}ỹ · sin ϑ_{n−1} \\ cos ϑ_{n−1} \end{matrix} ) ,  ∂_{φ}y = ( \begin{matrix}∂_{φ}ỹ · sin ϑ_{n−1} \\ 0 \end{matrix} ) ,
∂_{ϑ_{i}}y = ( \begin{matrix}∂_{ϑ_{i}} ỹ · sin ϑ_{n−1} \\ 0 \end{matrix} ) für 1 ≤ i ≤ n − 2 ,  ∂_{ϑ_{n−1}}y = ( \begin{matrix}ỹcos ϑ_{n−1} \\ −r sin ϑ_{n−1} \end{matrix} ) .

Nach Induktionsannahme gelte die Determinatenformel für n ≥ 2. Im Schritt von n auf n + 1 betrachten wir zunächst sin ϑ_{n−1} = 0. Dann ist gilt rang(dT) = 2 und damit det dT = 0. Sei also sin ϑ_{n−1} ≠ 0. Dann addieren wir das (−r\frac{cos ϑ_{n−1}}{sin ϑ_{n−1}} )-fache der ersten Spalte zur letzten. Wegen r∂_{r}ỹ = ỹ wird die neue letzte Spalte zu

( \begin{matrix}−r∂_{r}ỹ · cos ϑ_{n−1} \\ −r\frac{cos^{2} ϑ_{n+1}}{sin ϑ_{n−1}} \end{matrix} ) + ( \begin{matrix}ỹcos ϑ_{n−1} \\ −r sin ϑ_{n−1} \end{matrix} ) = ( 0_{\frac{−r}{sin ϑ_{n−1}}} ) .

Entwicklung nach der neuen letzten Spalte und Herausziehen des Faktors sin ϑ_{n−1} aus jeder der ersten n Spalten der Unterdeterminante bestätigt die Determinatenformel. □

Sei nun Π := ]0, 2π[×(]0, π[)^{n−2} und I ⊆ ]0, ∞[ ein offenes Intervall. Dann ist das Bild von I × Π unter T die offene Teilmenge K(I) \ N ⊆ ℝ^{n}, wobei K[I] := {x ∈ ℝ^{n} : ∥x∥ ∈ I} die offene Kugelschale der Radien im Intervall I ist und N eine Nullmenge, die durch Aufschneiden der Kugel bei y_{2} = 0 entlang der positiven y_{1}-Achse erhalten wird. Da für das Lebesgue-Integral Nullmengen (N und Ränder von I) keine Rolle spielen, erhalten wir

Satz 22.3 Sei I ⊆ [0, ∞[ ein beliebiges Intervall und K(I) = {x ∈ ℝ^{n} : ∥x∥_{2} ∈ I} die entsprechende Kugelschale. Eine auf K(I) definierte Funktion f ist genau dann über die Kugelschale K(I) integrierbar, wenn die Funktion f(T (r, φ, ϑ_{1}, …, ϑ_{n−2})) · r^{n−1}C(φ, ϑ_{1}, …, ϑ_{n−2}) über I × Π integrierbar ist. In diesem Fall gilt (unter Verwendung des Satzes von Fubini)

∫_{K(I)} dy f(y)

= ∫_{I}dr r^{n−1} ∫_{0}^{2π} dφ ∫_{0}^{π}dϑ_{1} sin ϑ_{1} ⋯ ∫_{0}^{π}dϑ_{n−2} sin^{n−2} ϑ_{n−2} f(T (r, φ, ϑ_{1}, …, ϑ_{n−2})) . □

Beispiel 22.4 Das Trägheitsmoment einer homogenen (dreidimensionalen) Vollkugel K vom Radius R mit Dichte ρ ist bezüglich einer durch den Mittelpunkt gehenden Achse gegeben durch

Θ(K) = ρ ∫_{K} d(x, y, z) (x^{2} + y^{2})

= ρ ∫_{0}^{R} dr r^{2} ∫_{0}^{2π} dφ ∫_{0}^{π} dϑ sin ϑ (r^{2} sin^{2} ϑ)

= ρ\frac{R^{5}}{5} · 2π ∫_{0}^{π} dϑ sin^{3} ϑ = ρ\frac{R^{5}}{5} · 2π ∫_{0}^{π} dϑ (sin ϑ − sin ϑ cos^{2} ϑ)

= ρ\frac{R^{5}}{5} · 2π( − cos ϑ + \frac{1}{3} cos^{3} ϑ)|_{0}^{π}

= ρ\frac{R^{5}}{5} · 2π(2 − \frac{2}{3}) = \frac{2R^{2}}{5} ρ · \frac{4π}{3} R^{3} = \frac{2}{5}mR^{2} .  ◁

Wenn in Satz (22.3) die Funktion f nicht von den Winkeln abhängt, also rotationssymmetrisch ist, dann erhalten wir:

Satz 22.5 Es sei f eine Funktion auf dem Intervall ]a, b[. Die Funktion f̃ auf ℝ^{n} mit f̃(x) = f(∥x∥) ist genau dann über die Kugelschale K_{I} integrierbar, wenn die Funktion f(r)r^{n−1} über I integrierbar ist. In diesem Fall gilt mit κ_{n} := κ_{n}(1)

∫_{K(I)} dx f(∥x∥) = nκ_{n} ∫_{I} dr r^{n−1} f(r) .

Beweis. Unter Verwendung von Satz 22.3 ist nur zu zeigen, daß das Winkelintegral

∫_{0}^{2π}dφ ∫_{0}^{π}dϑ_{1} sin ϑ_{1} ⋯ ∫_{0}^{π}dϑ_{n−2} sin^{n−2} ϑ_{n−2} = nκ_{n} liefert. Das folgt aber sofort

für das Volumen der Einheitsvollkugel mit f = 1 und I = [0, 1]:

κ_{n} = ∫_{[0,1]} dr r^{n−1} ∫_{0}^{2π}dφ ∫_{0}^{π}dϑ_{1} sin ϑ_{1} ⋯ ∫_{0}^{π}dϑ_{n−2} sin^{n−2} ϑ_{n−2}
= \frac{1}{n} ∫_{0}^{2π}dφ ∫_{0}^{π}dϑ_{1} sin ϑ_{1} ⋯ ∫_{0}^{π}dϑ_{n−2} sin^{n−2} ϑ_{n−2} .  □

22.2 Integration über Teilmengen von (ℝ_{+})^{n}

Häufig treten Integrationen auf, die auf das Standardsimplex

Δ^{n} := {(x_{1}, …, x_{n}) ∈ ℝ^{n} : x_{i} ≥ 0 , x_{1} + ⋯ + x_{n} ≤ 1} ⊆ ℝ^{n}

zurückgeführt werden können, z.B. bei Funktionen auf (ℝ_{+})^{n}, die entscheidend von der Summe x_{1} + ⋯ + x_{n} abhängen. In diesem Fall ist eine auf Jacobi zurückgehende Transformation hilfreich. Dazu definiert man

( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix} ) = J_{2}(u_{1}, u_{2}) := ( \begin{matrix}u_{1}(1 − u_{2}) \\ u_{1}u_{2} \end{matrix} )

und dann rekursiv für x̃ = (x_{1}, …, x_{n})^{t}

( x̃ ; x_{n+1} ) = J_{n+1}(u_{1}, …, u_{n}, u_{n+1}) := ( \begin{matrix}J_{n}(u_{1}, …, u_{n}) (1 − u_{n+1}) \\ u_{1}u_{n+1} \end{matrix} ) .

Wir zeigen, daß J_{n} einen Diffeomorphismus implementiert zwischen

• ℝ_{+} × (]0, 1[)^{n−1} und (ℝ_{+})^{n},
• bzw. (]0, 1[)^{n} und (Δ^{n})^{o} := Δ^{n} \ ∂Δ^{n}.

Zunächst zur Bijektivität. Klar ist, daß das Bild Teilmenge von (ℝ_{+})^{n} ist. Es gilt x_{1} + ⋯ + x_{n} = u_{1} zunächst für n = 2 und dann rekursiv für alle n. Sei also u_{1} > 0. Damit gilt 0 < x_{n} < u_{1}, es gibt also eine bijektive Zuordnung zwischen u_{n} ∈ ]0, 1[ und x_{n} = u_{1}u_{n}. Sei dann zusätzlich u_{n} fixiert, dann ist x_{1} + ⋯ + x_{n−1} = u_{1} − x_{n} = u_{1}(1 − u_{n}). Insbesondere folgt 0 < x_{n−1} < u_{1}(1 − u_{n}), damit eine bijektive Zuordnung zwischen u_{n−1} ∈ ]0, 1[ und x_{n} = u_{1}u_{n−1}(1 − u_{n}), usw.

Das Differential von J ist

(DJ_{2})(u_{1}, u_{2}) = ( \begin{matrix}1 − u_{2} & −u_{1} \\ u_{2} & u_{1} \end{matrix} ) ,
(DJ_{n+1})(ũ, u_{n+1}) = ( \begin{matrix}(1 − u_{n+1})(DJ_{n})(ũ) & −J_{n}(ũ) \\ u_{n+1} · e_{1} & u_{1} \end{matrix} ) ,

wobei e_{1} = (1, 0, …, 0) ∈ ℝ^{n} der erste Einheitsvektor ist. Also ist J differenzierbar. Es gilt det(DJ_{2})(u_{1}, u_{2}) = u_{1}. In der Rekursionsformel ist die erste Spalte gegeben durch ((1 − u_{n+1})\frac{∂J_{n}}{∂u_{1}} , u_{n−1})^{t} = (\frac{(1−u_{n+1})}{u_{1}}J_{n}, u_{n−1})^{t}, so daß Addition der \frac{u_{1}}{1−u_{n+1}} -fachen ersten Spalte zur letzten ergibt:

det(DJ_{n+1})(ũ, u_{n+1}) = det ( \begin{matrix}(1 − u_{n+1})(DJ_{n})(ũ) & 0 \\ u_{n+1} · e_{1} & u_{1} + \frac{u_{1}u_{n+1}}{1−u_{n+1}} \end{matrix} )
= u_{1}(1 − u_{n+1})^{n−1} det ( (DJ_{n})(ũ) ) .

Somit gilt | det(DJ_{n})(u_{1}, …, u_{n})| = u_{1}^{n−1}(1 − u_{3})(1 − u_{4})^{2} ⋯ (1 − u_{n})^{n−2}, und J_{n} ist ein Diffeomorphismus. Damit haben wir den folgenden Satz bewiesen:

Satz 22.6 Eine auf (ℝ_{+})^{n} bzw. auf (Δ^{n})^{o} definierte Funktion f ist genau dann über (ℝ_{+})^{n} bzw. (Δ^{n})^{o} integrierbar, wenn die Funktion | det(DJ_{n})|f ∘ J_{n} über ℝ_{+} ×W^{n−1} bzw. über W^{n} integrierbar ist, wobei W^{k} := (]0, 1[)^{k} der offene Würfel ist. In diesem Fall gilt

∫_{{(ℝ_{+})^{n} \atop bzw. Δ^{n}}} dx f(x)

= ∫_{{ℝ^{+} \atop bzw. ]0,1[}}du_{1} u_{1}^{n−1} ∫_{]0,1[}du_{2} ∫_{]0,1[}du_{3} (1−u_{3})⋯ ∫_{]0,1[}du_{n} (1−u_{n})^{n−2} f(J_{n}(u_{1}, …, u_{n})).

Speziell erhalten wir v_{n}(Δ^{n}) = \frac{1}{n!}.

Beispiel 22.7 (Beta-Funktion) Wir integrieren die für p, q > 0 stetige und beschränkte Funktion f(x, y) = x^{p−1}y^{q−1}e^{−x−y} über (ℝ^{+})^{2} mit der Jacobi-Formel und mit dem Satz von Fubini:

∫_{(ℝ^{+})^{2}} d(x, y) x^{p−1}y^{q−1}e^{−x−y} = ∫_{0}^{∞} du_{1} u_{1}^{p+q−1}e^{−u_{1}} ∫_{0}^{1} du_{2} (1 − u_{2})^{p−1}u_{2}^{q−1}
= Γ(p + q) ∫_{0}^{1} du_{2} (1 − u_{2})^{p−1}u_{2}^{q−1}
Fubini = ∫_{0}^{∞} dx x^{p−1}e^{−x} ∫_{0}^{∞} dy y^{q−1}e^{−y} = Γ(p)Γ(q) .

Somit gilt für die als Beta-Funktion bezeichnete Funktion B(p, q)

B(p, q) := ∫_{0}^{1} dt (1 − t)^{p−1}t^{q−1} = \frac{Γ(p)Γ(q)}{Γ(p + q)} .  ◁

Beispiel 22.8 Mit der Jacobi-Abbildung lassen sich z.B. zweidimensionale Integrale des folgenden Typs lösen (dabei ist p, q > 0):

∫_{Δ^{2}} d(x, y) x^{p−1}y^{q−1}f(x + y) = ∫_{]0,1[} du_{1} u_{1}^{p+q−1} f(u_{1}) ∫_{]0,1[} du_{2} (1 − u_{2})^{p−1}u_{2}^{q−1}
= B(p, q) ∫_{]0,1[} du_{1} u_{1}^{p+q−1} f(u_{1}) .

Die obige Gleichung gilt, wenn eines der Integrale existiert. Statt über Δ^{2} und ]0, 1[ kann auch über (ℝ_{+})^{2} und ℝ_{+} integriert werden. ◁

Beispiel 22.9 Das Trägheitsmoment des Standardsimplex Δ^{3} bei Rotation um die z-Achse ist

Θ = ∫_{Δ^{3}} d(x, y, z) ρ · (x^{2} + y^{2})

= ∫_{0}^{1}du_{1} u_{1}^{2} ∫_{0}^{1}du_{2} ∫_{0}^{1}du_{3}(1 − u_{3}) ρ · ((u_{1}(1 − u_{2})(1 − u_{3}))^{2} + (u_{1}u_{2}(1 − u_{3}))^{2})

= ρ ∫_{0}^{1} du_{1} u_{1}^{4} ∫_{0}^{1} du_{2} (1 − 2u_{2} + 2u_{2}^{2}) ∫_{0}^{1} du_{3}(1 − u_{3})^{3}

= \frac{ρ}{5 · 4}(1 − \frac{2}{2} + \frac{2}{3}) = \frac{ρ}{30} = \frac{1}{5}m(Δ^{3}) .  ◁

Die Integration über das Standardsimplex ist deshalb so wichtig, weil sich durch Potenzabbildungen viele Integrationsgebiete darauf zurückführen lassen. Dazu wird für α_{i}, a_{i} > 0 folgende Transformation betrachtet:

(y_{1}, …, y_{n}) = T (x_{1}, …, x_{n}) := (a_{1}x1^{\frac{1}{α_{1}}} , …, a_{n}xn^{\frac{1}{αn}}) .

Die Transformation T bildet (ℝ_{+})^{n} diffeomorph auf sich selbst ab. Sie bildet andererseits das Innere des Standardsimplex Δ^{n} diffeomorph auf das Innere des verallgemeinerten Simplex

Δ_{a_{1},...,a_{n}}^{α_{1},...,α_{n}} := \{(y_{1}, …, y_{n}) ∈ ℝ^{n} : y_{i} ≥ 0 , (\frac{y_{1}}{a_{1}} )^{α_{1}} + … (\frac{y_{n}}{a_{n}} )^{α_{n}} ≤ 1\}

ab. Das sind dann z.B. Viertelkreise (n = 2, α_{1} = α_{2} = 2, a_{1} = a_{2} = r) oder Kugeloktanten, ….

Die Determinante des Differentials ist offenbar

| det(DT)(x_{1}, …, x_{n})| = \frac{a_{1} ⋯ a_{n}}{α_{1} ⋯ α_{n}} x_{1}^{\frac{1}{α_{1}} −1} ⋯ x_{n}^{\frac{1}{αn} −1} .

Satz 22.10 Eine auf auf dem verallgemeinerten Simplex (Δ_{a_{1},...,a_{n}}^{α_{1},...,α_{n}}) definierte Funktion f ist genau dann über dieses verallgemeinerte Simplex integrierbar,

wenn die Funktion f(a_{1}x1^{\frac{1}{α_{1}}} , …, a_{n}xn^{\frac{1}{αn}})x_{1}^{\frac{1}{α_{1}} −1} ⋯ x_{n}^{\frac{1}{αn} −1} über das Standardsimplex integrierbar ist. In diesem Fall gilt

∫_{Δ_{a_{1},...,an}^{α_{1},...,αn}} dy f(y) = \frac{a_{1} ⋯ a_{n}}{α_{1} ⋯ α_{n}} ∫_{Δ^{n}} d(x_{1}, …, x_{n}) x_{1}^{\frac{1}{α_{1}} −1} ⋯ x_{n}^{\frac{1}{αn} −1}f(a_{1}x1^{\frac{1}{α_{1}}} , …, a_{n}xn^{\frac{1}{αn}}) .

Durch Kombination mit der Jacobi-Transformation entsteht so ein Diffeomorphismus W^{n} ⟶^{J_{n}} Δ^{n} ⟶^{T} Δ_{a_{1},...,a_{n}}^{α_{1},...,α_{n}}, mit dem wir Integrationen über ein verallgemeinertes Simplex auf Integrationen über den Würfel zurückführen können.

Beispiel 22.11 Wir berechnen das Volumen eines Ellipsoiden-Oktanten EO := Δ_{a,b,c}^{2,2,2} über die Jacobi-Transformation:

v_{3}(EO) = ∫_{Δ_{a,b,c}^{2,2,2}} dy

= \frac{abc}{8} ∫_{Δ^{3}} d(x_{1}, x_{2}, x_{3}) x_{1}^{− \frac{1}{2}} x_{2}^{− \frac{1}{2}} x_{3}^{− \frac{1}{2}}

= \frac{abc}{8} ∫_{0}^{1} du_{1}u_{1}^{2} ∫_{0}^{1} du_{2} ∫_{0}^{1} du_{3}(1 − u_{3}) · u_{1}^{− \frac{3}{2}} u_{2}^{− \frac{1}{2}} (1 − u_{2})^{− \frac{1}{2}} u_{3}^{− \frac{1}{2}} (1 − u_{3})^{−1}

= \frac{abc}{8} ∫_{0}^{1} du_{1} u1^{\frac{1}{2}} ∫_{0}^{1} du_{2} u_{2}^{− \frac{1}{2}} (1 − u_{2})^{− \frac{1}{2}} ∫_{0}^{1} du_{3} u_{3}^{− \frac{1}{2}}

= \frac{abc}{8} · \frac{2}{3} · B(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) · 2 = \frac{1}{8} · \frac{4abc}{3} \frac{(Γ(\frac{1}{2}))^{2}}{Γ(1)} = \frac{1}{8} · \frac{4π}{3} abc .

Insbesondere hat das Ellipsoid E = \{(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} ≤ 1\} das Volumen v_{3}(E) = \frac{4π}{3}abc. ◁

23 Eigenschaften des Lebesgue-Integrals

Satz 23.1 Das Lebesgue-Integral ist linear und monoton, d.h.

i) ∫_{X} dμ (αf + βg) = α ∫_{X} dμ f + β ∫_{X} dμ g für integrierbare Funktionen

f, g : X → 𝕂̄ und α, β ∈ 𝕂.

ii) Sind f, g reellwertig mit f(x) ≤ g(x) für alle x ∈ X, so folgt ∫_{X} dμ f ≤

∫_{X} dμ g.

Beweis. i) ergibt sich durch approximierende Treppenfunktionen. ii) folgt daraus, daß g − f ≥ 0 Treppenfunktionen 0 ≤ ϕ ≤ g − f zuläßt mit ∫_{X} dμ ϕ ≥ 0. □

Somit bildet die Menge der μ-integrierbaren Funktionen f : X → 𝕂 einen Vektorraum, den wir mit L^{1}(X, μ) bezeichnen und mit L^{1}(ℝ^{n}), wenn μ = λ das Lebesgue-Maß ist.

Satz 23.2 Für f : X → 𝕂̄ sind äquivalent:

i) f ist integrierbar.

ii) f ist meßbar, und es gibt eine integrierbare Funktion g mit |f| ≤ g

iii) f ist meßbar und |f| ist integrierbar.

Beweis. i)⇒ii) Mit f sind auch (Re f)_{±} und (Im f)_{±} integrierbar, somit auch g := (Re f)_{+} + (Re f)_{−} + (Im f)_{+} + (Im f)_{−} ≥ |f|.

ii)⇒iii) ist klar, denn die approximierenden Treppenfunktionen zu |f| haben durch ∫ dμ g beschränkte Integrale.

iii)⇒i) (Re f)_{±} und (Im f)_{±} haben die integrierbare Majorante |f|, sind nach iii) selbst integrierbar und damit auch f. □

Bemerkungen:

• ii)⇒i) heißt Majorantenkriterium.

• i)⇒iii) gilt nicht für das uneigentliche Riemann-Integral, wie das Beispiel ∫_{−∞}^{∞} dx \frac{sin x}{x} zeigt. Somit ist \frac{sin x}{x} nicht als ganzes über ℝ integrierbar. Dagegen liefert das uneigentliche Verfahren lim_{R→∞} ∫_{[−R,R]} dx \frac{sin x}{x} natürlich dasselbe Ergebnis wie das uneigentliche Riemann-Integral.

• Sind f, g integrierbar und g beschränkt, so ist fg integrierbar. Denn fg ist meßbar und majorisiert durch M|f|, falls |g| ≤ M.

Definition 23.3 Für eine meßbare Funktion f : X → \overline{𝕂} heißt ∥f∥_{1} := sup{∫_{X} dμ ϕ : ϕ ist Treppenfunktion mit 0 ≤ ϕ ≤ |f|} die L^{1}-Halbnorm von f.

Es folgt:

Satz 23.4 Eine meßbare Funktion f : X → \overline{𝕂} ist genau dann interierbar, wenn ∥f∥_{1} < ∞, und in diesem Fall gilt | ∫_{X} dμ f| ≤ ∥f∥_{1} = ∫_{X} dμ |f|.

Beweis. Die Identität ∥f∥_{1} = ∫_{X} dμ |f| folgt aus Definition 20.9, die Äquivalenz zwischen ∥f∥_{1} < ∞ und Integrierbarkeit ist Satz 23.2. Die Ungleichung ist nur für ∫_{X} dμ f ≠ 0 zu zeigen. In diesem Fall definiere ζ ∈ 𝕂 mit |ζ| = 1 durch | ∫_{X} dμ f| =: ζ ∫_{X} dμ f. Da beide Seiten reell sind, folgt

| ∫_{X} dμ f| = Re( ∫_{X} dμ ζf) = ∫_{X} dμ Re(ζf) ≤ ∫_{X} dμ |f| .  □

Nur zwei der Normaxiome sind für ∥ ∥_{1} erfüllt:

Satz 23.5 Für f, g : ℝ^{n} → 𝕂̄ und c ∈ 𝕂 gilt:

i) ∥cf∥_{1} = |c|∥f∥_{1}
ii) ∥f + g∥_{1} ≤ ∥f∥_{1} + ∥g∥_{1}
iii) Aus |f| ≤ |g| (punktweise) folgt ∥f∥_{1} ≤ ∥g∥_{1}.

Beweis. i) und iii) folgt aus der Definition. ii) ist nur für ∥f∥_{1}, ∥g∥_{1} < ∞ fraglich, dann sind aber f, g, f + g, |f|, |g|, |f + g| integrierbar mit |f + g| ≤ |f| + |g|. Nun folgt die Dreiecksungleichung aus iii) und ∥h∥_{1} = ∫ dμ h. □

Definition 23.6 Eine Teilmenge N ⊆ X heißt μ-Nullmenge, falls es zu jedem ϵ > 0 eine Menge A ∈ B(X) gibt mit N ⊆ A und μ(A) < ϵ.

Eine Eigenschaft E gilt μ-fast-überall auf X, wenn die Menge der Punkte, für die E nicht gilt, eine μ-Nullmenge ist.

Jede Teilmenge einer Nullmenge ist Nullmenge. Sehr wichtig, aber etwas überraschend ist:

Lemma 23.7 Eine abzählbare Vereinigung von Nullmengen ist Nullmenge.

Beweis. Durch weitere Zerlegung können wir die Nullmengen {N_{k}} als paarweise disjunkt annehmen. Dann ist μ(∪_{k=0}^{∞}N_{k}) = ∑_{k=0}^{∞} μ(N_{k}) = 0. □

Beispiel 23.8 Jede Hyperebene im ℝ^{n}, wie z.B. {0} × ℝ^{n−1}, ist n-dimensionale Nullmenge. Denn H_{k} := \{0\} × [−k, k]^{n−1} ⊆ [−\frac{ϵ}{(2k)^{n−1}} , \frac{ϵ}{(2k)^{n−1}} ] × [−k, k]^{n−1}, und die rechte Menge hat λ-Maß 2ϵ. Deshalb ist λ(H_{k}) = 0, so daß die Behauptung folgt aus {0} × ℝ^{n−1} = ⋃_{k=1}^{∞} H_{k}. ◁

Allgemein sind alle n-dimensionalen Untermannigfaltigkeiten im ℝ^{n+k} Nullmengen bezüglich des Maßes auf ℝ^{n+k}. Wir werden ihnen später jedoch ein ndimensionales Volumen zuordnen können. Auch abzählbare Mengen von Punkten sind Nullmengen; insbesondere hat ℚ ⊆ ℝ das Lebesgue-Maß λ(ℚ) = 0.

Aus technischen Gründen wird B(X) vervollständigt zu einem System \overline{B(X)} von Teilmengen, indem man alle Mengen B ⊆ X hinzunimmt, für die es A ∈ B(X) und Nullmengen N_{1}, N_{2} gibt mit A \ N_{1} ⊆ B ⊆ A ∪ N_{2}. Man definiert dann μ(B) := μ(A). Das Lebesgue-Maß ist jenes Maß auf ℝ^{n}, das aus dem normierten translationsinvarianten Borel-Maß λ nach Nullmengen-Vervollständigung entsteht.

Satz 23.9 Es sei f integrierbar mit ∥f∥_{1} = 0. Dann ist N := {x ∈ X : |f(x)| ≠ 0} eine μ-Nullmenge.

Beweis. Setze N_{k} := \{x ∈ X : |f(x)| > \frac{1}{1+k}\}. Es folgt 0 ≤ 1_{N_{k}} ≤ (k + 1)|f| und deshalb 0 ≤ μ(N_{k}) = ∫_{X} dμ 1_{N_{k}} ≤ (k + 1)∥f∥_{1} = 0, also μ(N_{k}) = 0. Die Behauptung folgt aus N = ⋃_{k=0}^{∞} N_{k}. □

Auch die Umkehrung dieses Satzes ist richtig, falls folgende konsistente Vereinbarung getroffen wird: ∫_{X} dμ(∑_{k=1}^{∞} 1_{N}) = ∑_{k=1}^{∞} μ(N) = 0 für jede μ-Nullmenge N.

Satz 23.10 Eine integrierbare Funktion f : X → 𝕂̄ ist fast überall endlich, d.h. N := {x ∈ X : |f(x)| = ∞} ist μ-Nullmenge.

Beweis. Für jedes ϵ > 0 ist 1_{N} ≤ ϵ|f|, somit μ(N) ≤ ϵ∥f∥_{1} und damit μ(N) = 0. □

Satz 23.11 (Modifikationssatz) Zwei meßbare Funktionen f, g : X → 𝕂̄ seien fast überall gleich, und f sei integrierbar. Dann ist auch g integrierbar und hat dasselbe Integral. Insbesondere gibt es zu jeder integrierbaren Funktion f eine integrierbare Funktion g, die fast überall mit f übereinstimmt, nur Werte ≠ ∞ annimmt und dasselbe Integral wie f hat.

Beweis. Identifiziere g = (g − f) + f. Wegen ∥g − f∥_{1} = 0 nach der Konvention im Anschluß an Satz 23.9 ist g − f integrierbar und dann mit f auch g. Es folgt | ∫_{X} dμ f − ∫_{X} dμ g| ≤ ∫_{X} dμ |f − g| = ∥f − g∥_{1} = 0. □

Der Modifikationssatz erlaubt die Anwendung des Transformationssatzes auf kompakte Teilmengen K ⊆ ℝ^{n}, da wir die zu integrierende Funktion auf dem Rand ∂K (eine Nullmenge!) auf 0 abändern dürfen und sich dann das Integral auf die offene Teilmenge U := K \ ∂K reduziert. Der Modifikationssatz ist auch hilfreich bei Zusammensetzungen von Gebieten: Sei f über A und über B integrierbar und sei A ∩ B eine Nullmenge, dann ist f auch über A ∪ B integrierbar, da f1_{A∪B} fast überall mit der Funktion f1_{A} + f1_{B} übereinstimmt. Also gilt

∫_{A∪B} dx f(x) = ∫_{A} dx f(x) + ∫_{B} dx f(x).

24 Konvergenzsätze

Das Riemann-Integral vertauscht nur mit gleichmäßiger Konvergenz. Wir zeigen, daß das Lebesgue-Integral weitaus mächtigere Vertauschungssätze erlaubt.

Satz 24.1 (von der monotonen Konvergenz / von Beppo Levi) Für jede monoton wachsende Folge {f_{k}}_{k→∞} meßbarer positiver Funktionen f_{k} : X → [0, ∞] gilt (mit Konvergenz in [0, ∞])

lim_{k→∞} ∫ dμ f_{k} = ∫ dμ lim_{k→∞} f_{k} .

Beweis. Sei f := lim_{k→∞} f_{k}. Diese Funktion ist meßbar und ihr Integral mit Werten in [0, ∞] ist erklärt als ∫ dμ f = lim_{n→∞} ∫ dμ ϕ_{n} für eine monoton wachsende Folge (ϕ_{n}) von Treppenfunktionen mit 0 ≤ ϕ_{n} ≤ f. Die Ungleichung ∫ dμ f_{k} ≤ ∫ dμ f ist klar und erhält sich im Limes, lim_{k→∞} ∫ dμ f_{k} ≤ ∫ dμ f.

Zum Beweis der Umkehrung genügt es zu zeigen, daß für jedes ϕ_{n} der f approximierenden Folge gilt ∫ dμ ϕ_{n} ≤ lim_{k→∞} ∫ dμ f_{k}. Denn daraus folgt ∫ dμ f ≤ lim_{k→∞} ∫ dμ f_{k} im Limes n → ∞. Nach Zerlegung in disjunkte Mengen können wir uns auf Teilmengen A beschränken, auf denen ϕ_{n} konstant ist. Sei also f(x) ≥ c ≥ 0 für alle x ∈ A, wähle 0 < ϵ < 1 beliebig und definiere A_{k} := {x ∈ X : f_{k}(x) ≥ c(1 − ϵ)}. Da {f_{k}} monoton wächst, ist A_{k} ⊆ A_{k+1}. Außerdem gilt ⋃_{k=0}^{∞} A_{k} = A, denn f_{k} konvergiert punktweise gegen f ≥ c, so daß jedes x ∈ A in einem A_{k} liegt. Es folgt lim_{k→∞} μ(A_{k}) = μ(A) sowie ∫_{A} dμ f_{k} ≥ ∫_{A_{k}} dμ f_{k} ≥ c(1 − ϵ)μ(A_{k}) für alle k. Aus beiden ergibt sich im Limes lim_{k→∞} ∫_{A} dμ f_{k} ≥ c(1 − ϵ)μ(A). Da ϵ beliebig war, gilt auch lim_{k→∞} ∫_{A} dμ f_{k} ≥ cμ(A) = ∫_{A} dμ ϕ_{n}. □

Folgerung 24.2 Es sei (f_{k})_{k∈ℕ} eine monoton wachsende oder monoton fallende Folge integrierbarer Funktionen f_{k} : X → ℝ̄. Die punktweise gebildete Grenzfunktion f = lim_{k→∞} f_{k} ist genau dann integrierbar, wenn die Folge der Integrale

∫_{ℝ^{n}} dx f_{k}(x) beschränkt ist. In diesem Fall gilt ∫_{ℝ^{n}} dx f(x) = lim_{k→∞} ∫_{ℝ^{n}} dx f_{k}(x).

Beweis. Setze g_{k} = f_{k}−f_{0} ≥ 0 für monoton wachsende Folgen bzw. g_{k} = f_{0}−f_{k} ≥ 0 für monoton fallende Folgen {f_{k}} und g = f − f_{0} ≥ 0 bzw. g = f_{0} − f ≥ 0 und wende Beppo Levi für {g_{k}} und g an. Integrierbarkeit, also Endlichkeit der Integrale, ist äquivalent zur Beschränktheit der Folge. □

Eine nützliche Methode, solche monoton wachsenden Folgen zu generieren, besteht darin, eine nichtnegative Funktion auf eine Folge verschachtelter Gebiete einzuschränken.

Satz 24.3 (Integration durch Ausschöpfung) Für A ⊆ X sei die Familie (A_{k})_{k∈ℕ} eine Ausschöpfung, d.h. A_{0} ⊆ A_{1} ⊆ A_{2} ⊆ … und ⋃_{k∈ℕ} A_{k} = A. Es sei f eine auf A definierte Funktion, so daß f über jedes A_{k} integrierbar ist. Dann gilt: Die Funktion f ist genau dann über A integrierbar, wenn die Folge der Integrale

∫_{A_{k}} dx |f(x)| beschränkt ist. In diesem Fall gilt ∫_{A} dx f(x) = lim_{k→∞} ∫_{A_{k}} dx f(x).

Ein Spezialfall ist das uneigentliche Riemann-Integral:

Satz 24.4 Eine Regelfunktion f : ]a, b[ → ℝ, wobei a = ∞ und/oder b = ∞ zugelassen ist, ist genau dann über ]a, b[ Lebesgue-integrierbar, wenn |f| uneigentlich Riemann-integrierbar ist, d.h. für Folgen [a_{k}, b_{k}] ⊆]a, b[ kompakter Intervalle mit

lim_{k→∞} a_{k} = a und lim_{k→∞} b_{k} = b gilt lim_{k→∞} ∫_{a_{k}}^{b_{k}} dx |f(x)| < ∞. In diesem Fall

gilt ∫_{]a,b[} dx f(x) = ∫_{a}^{b} dx f(x).

Die Monotonieforderung bei Beppo Levi läßt sich wie folgt abschwächen:

Lemma 24.5 (von Fatou) Es sei (f_{k})_{k∈ℕ} eine Folge positiver meßbarer Funktionen f_{k} : X → [0, ∞]. Dann gilt

∫_{X} dμ lim inf_{k→∞} f_{k} ≤ lim inf_{k→∞} ∫_{X} dμ f_{k} .

Beweis. Da [0, ∞] kompakt ist, hat jede Folge (x_{k}) von Punkten aus [0, ∞] einen limes inferior, und es gilt lim inf_{k→∞} x_{k} = sup_{n∈ℕ} inf_{k≥n} x_{k}. Denn sei y_{n} := inf_{k≥n} x_{k}, dann ist (y_{n}) monoton wachsend und andererseits beschränkt durch den kleinsten Häufungspunkt von (x_{k}). Entsprechend ist punktweise f := lim inf_{k→∞} f_{k} erklärt, und die durch g_{n} := inf_{k≥n} f_{k} definierte Folge (g_{n}) konvergiert monoton wachsend gegen f. Deshalb gilt nach Beppo Levi lim_{n→∞} ∫_{X} dμ g_{n} = ∫_{X} dμ f. Andererseits ist g_{n} ≤ f_{k} für alle k ≥ n, also ∫_{X} dμ g_{n} ≤ ∫ dμ f_{k} und dann ∫_{X} dμ g_{n} ≤ inf_{k≥n} ∫ dμ f_{k}. Der Limes n → ∞ liefert die Behauptung □

Daraus gewinnen wir ein mächtiges Werkzeug:

Satz 24.6 (von der majorisierten Konvergenz / Satz von Lebesgue) Es sei (f_{k})_{k∈ℕ} eine Folge meßbarer Funktionen f_{k} : X → 𝕂̄, die fast überall punktweise gegen eine Funktion f konvergiert. Es gebe eine integrierbare Funktion g mit |f_{k}| ≤ g für alle k ∈ ℕ. Dann ist f integrierbar, und es gilt

∫_{ℝ^{n}} dx f(x) = lim_{k→∞} ∫_{ℝ^{n}} dx f_{k}(x).

Beweis. Nach Majorantenkriterium sind alle f_{k} integrierbar, nach Abänderung auf Nullmengen aller f_{k}, f, g können wir annehmen: lim_{k→∞} f_{k}(x) = f(x) und |f_{k}(x)|, |f(x)|, |g(x)| < ∞ für alle x ∈ X. Wir wenden das Lemma von Fatou an auf 2g − |f_{k} − f| ≥ 0:

∫_{X} dμ lim inf_{k→∞}(2g − |f_{k} − f|) ≤ lim inf_{k→∞} ∫_{X} dμ (2g − |f_{k} − f|) .

Wegen der punktweisen Konvergenz ist lim inf_{k→∞}(2g − |f_{k} − f|) = 2g, während auf der rechten Seite der Vorzeichenwechsel zum lim sup führt (lim inf(−x_{k}) = − lim sup x_{k}):

2 ∫_{X} dμ g ≤ 2 ∫_{X} dμ g − lim sup_{k→∞} ∫_{X} dμ |f_{k} − f| .

Somit ist lim sup_{k→∞} ∫_{X} dμ |f_{k} − f| = 0, damit auch lim_{k→∞} ∫_{X} dμ |f_{k} − f| = 0, und schließlich lim_{k→∞} | ∫_{X} dμ f_{k} − ∫_{X} dμ f| ≤ lim_{k→∞} | ∫_{X} dμ |f_{k} − f| = 0. □

Die Beschränktheit durch g ist eine ganz wesentliche Voraussetzung, wie das Beispiel f_{k} = k1_{]0,1/k]} zeigt.

Der Satz von Lebesgue wird insbesondere beim Vertauschen von Integral und Reihenentwicklung benutzt:

Beispiel 24.7 Wir beweisen ∫_{0}^{∞} dx \frac{x^{s−1}}{e^{x} − 1} = Γ(s)ζ(s) für s ∈ ℂ mit Re(s) > 1.

Diese Formel wird beim Planckschen Strahlungsgesetz benötigt.

Der Integrand ist punktweiser Limes der Regelfunktionen f_{k} = ∑_{n=1}^{k} x^{s−1}e^{−nx}. Es gilt |x^{s−1}| = |e^{ln x(s−1)}| = |e^{ln x(Re(s)−1)}| = x^{Re(s)−1}. Damit ist |f_{k}| über ℝ_{+} uneigentlich Riemann-integrierbar, folglich f_{k} Lebesgue-integrierbar. Es gilt

|f_{k}| ≤ g = ∑_{n=1}^{∞} x^{Re(s)−1}e^{−nx} = \frac{x^{Re(s)−1}}{e^{x} − 1} ,

und für Re(s) > 1 ist g wieder Lebesgue-integrierbar. Somit gilt nach dem Satz von Lebesgue

∫_{0}^{∞} dx \frac{x^{s−1}}{e^{x} − 1} = lim_{k→∞} ∑_{n=1}^{k} ∫_{0}^{∞} dx x^{s−1}e^{−nx} = lim_{k→∞} ∑_{n=1}^{k} \frac{1}{n^{s}} Γ(s) = ζ(s)Γ(s) . □

Eine weitere Anwendung ist die Stetigkeit parameterabhängiger Integrale. Sei X ein metrischer Raum, T ⊆ ℝ^{n} und f : X × T → ℝ gegeben. Für festes x ∈ X werde durch f_{x}(t) = f(x, t) eine Funktion f_{x} : T → ℝ definiert und für festes t ∈ T eine Funktion f_{t} : X → ℝ durch f_{t}(x) = f(x, t).

Satz 24.8 Für eine Funktion f : X × T → ℝ gelte:

i) Für jedes x ∈ X ist f_{x} : T → ℝ über T integrierbar.

ii) Für jedes t ∈ T ist f_{t} : X → ℝ stetig auf X.

iii) Es gibt eine integrierbare Funktion Φ : T → ℝ mit |f(x, t)| ≤ Φ(t) für alle (x, t) ∈ X × T.

Dann liefert das Integral F (x) := ∫_{T} dt f_{x}(t) eine stetige Funktion F : X → ℝ.

Beweis. Für eine gegen x konvergierende Folge (x_{k})_{k∈ℕ} von Punkten x_{k} ∈ X sei f_{k}(t) := f(x_{k}, t). Wegen ii) konvergiert die Folge (f_{k}) gegen f_{x}. Nach iii) ist |f_{k}| ≤ Φ. Dann liefert der Satz von der majorisierten Konvergenz

F (x) = ∫_{T} dt f_{x}(t) = lim_{k→∞} ∫_{T} dt f_{k}(t) = lim_{k→∞} F (x_{k}) ,

d.h. F ist stetig. □

Analog gilt (mit analogem Beweis): Ersetzt man ii) durch

ii)’ Für jedes t ∈ T ist f_{t} : X → ℝ stetig differenzierbar auf X,

dann liefert das Integral F (x) := ∫_{T} dt f_{x}(t) eine stetig differenzierbare Funktion

F : X → ℝ.

25 Der Satz von Fubini

Die Sätze von Fubini und Tonelli erlauben unter gewissen Bedingungen die Berechnung von Integralen einer Funktion f(x, y) über den Produktraum X × Y in Teilschritten: Halte x fest, integriere f(x, y) über Y und integriere die entstehende Funktion F (x) über X. Das erfordert natürlich, daß das Maß auf X × Y kompatibel mit den einzelnen Maßen auf X, Y ist. Die technische (und in der Praxis immer realisierte) Bedingung ist:

Definition 25.1 Ein Maßraum (X, μ) heißt σ-endlich, wenn X = ∪_{k=0}^{∞}X_{k} mit μ(X_{k}) < ∞.

Dann hat auch ein beliebiges A ∈ B(X) eine Zerlegung A = ∪_{k=0}^{∞}(A ∩ X_{k}) mit μ(A ∩ X_{k}) < ∞. Man kann folgende Eigenschaften zeigen:

Satz 25.2 Sind (X, μ) und (Y, ν) σ-endlich, dann gibt es auf X × Y genau ein Maß μ ⊗ ν mit (μ ⊗ ν)(A × B) = μ(A)ν(B) für alle A ∈ B(X) und B ∈ B(Y). Ferner gilt:

i) Sei M ∈ B(X × Y), dann sind alle Schnittmengen meßbar, d.h. M_{x} := {y ∈ Y : (x, y) ∈ M} ∈ B(Y) und M_{y} := {x ∈ X : (x, y) ∈ M} ∈ B(X).

ii) Es gilt (μ ⊗ ν)(M) = ∫_{X} dμ(x) ν(M_{x}) = ∫_{Y} dν(y) μ(M_{y}).

iii) Sei f : X ×Y → 𝕂̄ μ-meßbar, dann sind die Funktionen f(x, .) : Y → 𝕂̄ und f( . , y) : X → 𝕂̄ meßbar.

Folgerung 25.3 (Fubini für Treppenfunktionen) Seien X, Y σ-endlich und ϕ : X × Y → 𝕂 Treppenfunktion. Dann gilt

∫_{X×Y} d(μ ⊗ ν) ϕ = ∫_{X} dμ(x) ∫_{Y} dν ϕ(x, .) = ∫_{Y} dν(y) ∫_{X} dμ ϕ( . , y) .

Das Resultat überträgt sich zunächst auf positive meßbare Funktionen:

Lemma 25.4 Sei f : X × Y → [0, ∞] meßbar. Dann gilt

i) Die Funktionen x ↦ ∫_{Y} dν f_{x} und y ↦ ∫_{X} dμ f_{y} sind meßbar.

ii) ∫_{X×Y} d(μ ⊗ ν) f = ∫_{X} dμ(x) ∫_{Y} dν f(x, .) = ∫_{Y} dν(y) ∫_{X} dμ f( . , y)

(mit Werten in [0, ∞]).

Beweis. Es gibt eine monoton wachsende und punktweise gegen f konvergierende Folge ϕ_{k} von Treppenfunktionen. Damit konvergiert für jedes x ∈ X auch ϕ_{k}(x, .) monoton wachsend gegen f(x, .). Nun ist x ↦ ∫ dν ϕ_{k}(x, .) eine Treppenfunktion in x, insbesondere meßbar, so daß auch ihr punktweiser Limes x ↦ ∫ dν f(x, .) meßbar ist, d.h. i) ist gezeigt.

Nach Integraldefinition und Fubini für Treppenfunktionen gilt

∫_{X×Y} d(μ ⊗ ν) f = lim_{k→∞} ∫_{X×Y} d(μ ⊗ ν) ϕ_{k} = lim_{k→∞} ∫_{X} dμ(x) ∫_{Y} dν ϕ_{k}(x, .) .

Die Folge (∫_{Y} dν ϕ_{k}(x, .))_{k} ist monoton wachsend, so daß nach Beppo Levi ∫_{X} und Grenzwert vertauschen. Dann ist aber lim_{k→∞} ∫_{Y} dν ϕ_{k}(x, .) = ∫_{Y} dν f(x, .) nach Definition des Integrals, so daß ∫_{X×Y} d(μ ⊗ ν) f = lim_{k→∞} ∫_{X×Y} d(μ ⊗ ν) ϕ_{k} = ∫_{X} dμ(x) ∫_{Y} dν f(x, .) gezeigt ist. Durch Vertauschen der Rollen von X, Y entsteht die andere Gleichung ii). □

Satz 25.5 (Fubini) Seien (X, μ) und (Y, ν) σ-endliche Maßräume und f : X × Y → 𝕂̄ (μ ⊗ ν)-integrierbar. Dann gilt:

i) Abgesehen von einer möglichen Nullmenge N ⊆ X ist für festes x ∈ X \ N die Funktion f(x, .) ν-integrierbar.

ii) Die durch F (x) := \{ \begin{matrix}∫_{Y} dν f(x, .) & für x ∈ X \ N \\ 0 & für x ∈ N \end{matrix}

definierte Funktion F : X → 𝕂 ist μ-integrierbar, und es gilt

∫_{X×Y} d(μ ⊗ ν) f = ∫_{X} dμ(x) F (x) ≡ ∫_{X} dμ(x) ∫_{Y} dν f(x, .) .

Beweis. Mit f ist auch |f| integrierbar, so daß nach Lemma 25.4 gilt ∫_{X} dμ(x) ∫_{Y} dν |f(x, .)| = ∫_{X×Y} d(μ ⊗ ν) |f| < ∞. Damit ist x ↦ ∫_{Y} dν |f(x, .)| eine positive integrierbare Funktion, die nach Satz 23.10 fast überall endlich ist, d.h. mit N := {x ∈ X : ∫_{Y} dν |f(x, .)| = ∞} gilt μ(N) = 0. Für x ∉ N ist g(x, .) ν-integrierbar für alle positiven Anteile g ∈ {Ref_{+}, Ref_{−}, Imf_{+}, Imf_{−}}. Jede dieser Funktionen erfüllt die Fubini-Gleichung mit endlichem Integral, und somit gilt das auch für die Linearkombination f. □

Im Beweis können die Rollen von X, Y vertauscht werden, so daß für eine über X × Y integrierbare Funktion gilt

∫_{X×Y} d(μ ⊗ ν) f = ∫_{X} dμ(x) ∫_{Y} dν f(x, .) = ∫_{Y} dν(y) ∫_{X} dμ f( , , y) .

Der Satz von Fubini erlaubt im Zusammenspiel mit dem Transformationssatz oft erst die konkrete Berechnung von Integralen. Er ist aber auch die Grundlage vieler Beweise. Für Funktionen auf ℝ^{n} können wir die Faltung einführen:

Satz 25.6 Seien f, g : ℝ^{n} → 𝕂̄ integrierbar, dann existiert für fast alle x ∈ ℝ^{n} die Faltung f ∗ g : ℝ^{n} → 𝕂̄ definiert durch

(f ∗ g)(x) := ∫_{ℝ^{n}} dy f(x − y)g(y) .

Es gilt

i) f ∗ g ist integrierbar mit ∫_{ℝ^{n}} dx (f ∗ g)(x) = ∫_{ℝ^{n}} dx f(x) ∫_{ℝ^{n}} dy g(y)
ii) ∥f ∗ g∥_{1} ≤ ∥f∥_{1}∥g∥_{1}
iii) f ∗ g = g ∗ f

Beweis. Die Funktion (x, y) ↦ f(x)g(y) ist über ℝ^{2n} integrierbar. Die Abbildung T : ℝ^{2n} ∋ (x, y) ↦ (x − y, y) ∈ ℝ^{2n} ist ein Diffeomorphismus mit det(DT) = 1 Nach Transformationssatz ist (x, y) ↦ f(x − y)g(y) integrierbar mit

∫_{ℝ^{2n}} d(x, y) f(x)g(y) = ∫_{ℝ^{2n}} d(x, y) f(x − y)g(y) .

Nach Satz 25.5.i) existiert für fast alle x das Integral (f ∗ g)(x), nach Satz 25.5.ii) ist diese Faltung integrierbar und erfüllt i).

Für festes x gilt |(f ∗ g)(x)| ≤ ∫_{ℝ^{n}} dy |f(x − y)| |g(y)| außerhalb einer Nullmenge und damit

∥f ∗ g∥_{1} = ∫_{ℝ^{n}} dx |(f ∗ g)(x)| ≤ ∫_{ℝ^{n}} dx ∫_{ℝ^{n}} dy |f(x − y)| |g(y)| = ∥f∥_{1} ∥g∥_{1}

nach Anwendung der Transformation T (x, y) = (x + y, y). Somit ist ii) gezeigt. Für festes x ist z = T (y) = x − y ein Diffeomorphismus mit | det DT | = 1.

Nach Transformationssatz gilt ∫_{ℝ^{n}} dy f(x−T (y))g(T (y)) = ∫_{ℝ^{n}} dz f(x−z)g(z).□

Die Voraussetzung der Integrierbarkeit über X × Y im Satz von Fubini ist entscheidend. Es gibt Beispiele für Funktionen, für die die Integrale

∫_{X} dx ∫_{Y} dy f(x, y) und ∫_{Y} dy ∫_{X} dx f(x, y) existieren, ohne daß f(x, y) inte-

grierbar ist. Es genügt jedoch absolute Integrierbarkeit:

Satz 25.7 (Tonelli) Seien (X, μ) und (Y, ν) σ-endliche Maßräume und f : X × Y → 𝕂̄ sei meßbar. Angenommen, wenigstens eines der Integrale

∫_{X×Y} d(μ ⊗ ν) |f| ,  ∫_{X} dμ(x) ∫_{Y} dν |f(x, .)| ,  ∫_{Y} dν(y) ∫_{X} dμ |f( . , y)|

existiert. Dann existieren alle anderen, alle drei sind gleich und f ist (μ ⊗ ν)- integrierbar (und erfüllt insbesondere den Satz von Fubini).

Beweis. Nach Lemma 25.4 gilt stets ∫_{X×Y} d(μ ⊗ ν) |f| = ∫_{X} dμ(x) ∫_{Y} dν |f(x, .)| = ∫_{Y} dν(y) ∫_{X} dμ |f( . , y)|, eventuell = ∞. Ist eines der Integrale endlich, so auch alle anderen, und so daß der Satz von Lebesgue die Integrierbarkeit von f garantiert. □

26 Beweis des Transformationssatzes

Der Beweis des Transformationssatzes beruht auf der Volumenänderung affin transformierter Würfel und Approximationstechniken. Der entscheidende Schritt ist:

Lemma 26.1 Es seien a_{1}, …, a_{n} ∈ ℝ^{n} und P (a_{1}, …, a_{n}) := {x = t_{1}a_{1} + ⋯ + t_{n}a_{n} : t_{i} ∈ [0, 1]} ⊆ ℝ^{n} das durch diese Vektoren aufgespannte Parallelotop. Dann gilt

v_{n}(P (a_{1}, …, a_{n})) = | det(a_{1}, …, a_{n})| ,

wobei a_{i} auf der rechten Seite die i-te Zeile einer (n × n)-Matrix ist.

Beweis. Aus der Definition und dem Beweis der Eindeutigkeit der Determinante im letzten Semester folgt, daß der Betrag der Determinante eindeutig definiert ist durch

(D1) | det(…, λa_{i}, …)| = |λ|| det(…, a_{i}, …)|

(D2) | det(…, a_{i}, …, a_{j}, …)| = | det(…, a_{i} + a_{j}, …, a_{j}, …)|

(D3) | det(e_{1}, …, e_{n})| = 1 Die Punkte in (D1), (D2) bedeuten, daß die jeweiligen Zeilen der rechten und linken Seite identisch sind.

Wir beweisen, daß auch das Volumen diese Eigenschaften hat. (D3) ist klar. (D1) Sei P_{λ} := P (a_{1}, …, a_{i−1}, λa_{i}, a_{i+1}, …, a_{n}). Die Parallelotope P_{1} und

P_{−1} sind nur gegeneinander verschoben und haben nach Cavalieri das gleiche Volumen. Wir können uns also auf λ > 0 beschränken. Für natürliche Zahlen λ = l ∈ ℕ^{×} gilt offenbar v_{n}(P_{l}) = lv_{n}(P_{1}) nach Aneinandereihung von l Parallelotopen P_{1} in i-ter Richtung. Sei λ = \frac{p}{q} eine rationale Zahl mit p, q ∈ ℕ \ \{0\}. Dann gilt v_{n}(P_{q·λ}) = qv_{n}(P_{λ}) = v_{n}(P_{p}) = pv_{n}(P_{1}) = \frac{p}{q}v_{n}(P_{q}). Schließlich finden wir für λ ∈ ℝ_{+} zu jedem ϵ > 0 rationale Zahlen r_{1} ≤ λ ≤ r_{2} mit |r_{1} − r_{2}| ≤ \frac{ϵ}{v_{n}(P_{1})}. Das ergibt v_{n}(P_{r_{1}}) ≤ v_{n}(P_{λ}) ≤ v_{n}(P_{r_{2}}) und damit |v_{n}(P_{λ}) − λv_{n}(P_{1})| ≤ ϵ. Somit gilt (D1) für alle λ ∈ ℝ.

(D2) Nach dem Prinzip von Cavalieri genügt es, die jeweiligen Flächen in der {i, j}-Ebene zu vergleichen:

[figure: a_{i}; a_{j}; a_{i} + a_{j}]

Wieder nach Cavalieri haben die durch {a_{i}, a_{j}} bzw. {a_{i} + a_{j}, a_{j}} aufgespannten Parallelogramme die gleiche Fläche. Das beendet den Beweis. □

Sei nun W = P (e_{1}, …, e_{n}) ⊆ ℝ^{n} der Einheitswürfel und T_{A} : ℝ^{n} → ℝ^{n} mit T_{A} : x ↦ A · x eine lineare Abbildung. Dann ist A · e_{i} = a_{i} die i-te Spalte von A bzw. die i-te Zeile von A^{t}. Aus der Linearität von T folgt somit T_{A}(W) = P (a_{1}, …, a_{n}). Aus Lemma 26.1 und det A^{t} = det A ergibt sich schließlich v_{n}(T_{A}W) = | det A| · v_{n}(W). Nach Zerlegung gilt das auch für jeden Würfel der Kantenlänge \frac{1}{2^{k}}. Da sich nach Lemma 20.6 jede offene Menge als abzählbare Vereinigung solcher Würfel schreiben läßt, gilt v_{n}(T_{A}(U)) = | det A|v_{n}(U) für jede offene Menge U ⊆ ℝ^{n}. Dabei sind die sich überschneidenden Randflächen R durch Quader der Dicke ϵ einzuschachteln, was zeigt, daß auch T_{A}(R) immer eine Nullmenge ist. Diffeomorphismen bilden offene Mengen in offene Mengen ab, damit Borel-Mengen in Borel-Mengen. Da schließlich die Borel-Algebra aus den offenen Mengen konstruiert wird, ergibt sich:

Satz 26.2 Sei T_{A} : ℝ^{n} → ℝ^{n} eine affine Abbildung T (x) = A · x + b und M ∈ B(ℝ^{n}). Dann gilt v_{n}(T_{A}(M)) = | det A|v_{n}(M) bzw. ∫_{ℝ^{n}} dx 1_{T (M)}(x) = ∫_{ℝ^{n}} dx | det A|1_{M}(x) □

Im nächsten Schritt zeigen wir für beliebige Diffeomorphismen:

Lemma 26.3 Sei T : ℝ^{n} → ℝ^{n} ein Diffeomorphismus in einer Umgebung von M ∈ B(ℝ^{n}). Dann gilt

v_{n}(T (M)) =∫_{ℝ^{n}}dx 1_{T (M)}(x) ≤∫_{ℝ^{n}}dx | det((DT)(x))|1_{M}(x) =∫_{M}dx | det((DT)(x))| .

Beweis. Die Aussage wird zunächst für kompakte Würfel W_{L} der Kantenlänge L bewiesen (mit W := W_{1}). Es sei ∥(x_{1}, …, x_{i})∥_{∞} := max(|x_{1}|, …, |x_{n}|) die Maximumsnorm auf ℝ^{n}. Wiederholung des Beweises des Schrankensatzes 1.17 für die Maximumsnorm zeigt für x, y ∈ W_{L}: ∥T (x) − T (y)∥_{∞} ≤ ∥DT ∥_{op}∥x − y∥_{∞} und deshalb T (W_{1}) ⊆ W_{∥DT ∥_{op}} und v_{n}(T (W)) ≤ (∥DT ∥_{op})^{n}v_{N}(W). Diese Abschätzung wird für den Satz von Lebesgue benötigt.

Nach Hintereinanderschaltung mit einer linearen Abbildung T_{A} und deren Inversen entsteht mit DT_{A}^{−1} = A^{−1} die Ungleichung v_{n}(T (W)) = v_{n}(T_{A} ∘ T_{A}^{−1} ∘ T (W)) = | det A|v_{n}((T_{A}^{−1} ∘ T)(W)) ≤ | det A|(∥A^{−1}DT ∥_{op})^{n}v_{N}(W). Wegen der gleichmäßigen Stetigkeit von DT auf kompakten Teilmengen gibt es zu ϵ > 0 ein k ∈ ℕ, so daß (∥(DT)(x)(DT)(y)∥_{op})^{n} < 1 + ϵ für alle x, y ∈ W mit ∥x − y∥_{∞} ≤ \frac{1}{2^{k+1}} . Wir können deshalb W zerlegen in achsenparallele Teilwürfel W_{\frac{1}{2^{k}} ,j} mit Mittelpunkten x_{kj} und Kantenlänge \frac{1}{2^{k}} (wobei j = 1, …, 2^{nk}). Mit der Wahl A_{kj} = (DT)(x_{kj}) entsteht

v_{n}(T (W)) ≤ (1 + ϵ) ∑_{j=1}^{2^{nk}} | det(DT)(x_{kj})|v_{N}(W_{\frac{1}{2^{k}} ,j})

= (1 + ϵ) ∫_{W} dx ∑_{j=1}^{2^{nk}} | det(DT)(x_{kj})|1_{W_{\frac{1}{2^{k}} ,j}}(x)

für jedes k, also auch für den Limes k → ∞. Nun gilt wegen der Stetigkeit von DT punktweise lim_{k→∞} ∑_{j=1}^{2^{nk}} | det(DT)(x_{kj})|1_{W_{\frac{1}{2^{k}} ,j}}(x) = | det(DT)(x)|1_{W} (x), so

daß nach dem Satz von Lebesgue folgt

v_{n}(T (W)) ≤ (1 + ϵ) ∫_{W} dx | det(DT)(x)|1_{W} (x).

Da ϵ > 0 beliebig war, ist das Lemma für den Würfel M = W bewiesen. Mit Lemma 20.6 folgt es für alle offenen Mengen, auf denen T diffeomorph ist und dann induktiv (mit etwas Arbeit) auf allen Borel-Mengen. □

Beweis des Transformationssatzes. Sei zunächst f : V = T (U) → [0, ∞] meßbar und ϕ = ∑_{j} c_{j}1_{T (M_{j})} Treppenfunktion auf V = T (U) mit c_{j} ≥ 0 und 0 ≤ ϕ ≤ f. Dann gilt

∫_{V} dy ϕ(y) = ∑_{j} c_{j}v(T (M_{j}))

≤ ∑_{j} c_{j} ∫_{U} dx | det(DT)(x)|1_{M_{j}}(x) = ∫_{U} dx | det(DT)(x)| ∑_{j} c_{j}1_{T^{−1}(T (M_{j})}(x)

= ∫_{U} dx | det(DT)(x)| ∑_{j} c_{j}1_{T (M_{j})}(T (x)) = ∫_{U} dx | det(DT)(x)|ϕ(T (x)).

Konvergiert jetzt (ϕ_{k}) monoton wachsend punktweise gegen f ≥ 0, so liefert der Satz von Beppo Levi

∫_{V} dy f(y) ≤ ∫_{U} dx | det(DT)(x)|f(T (x)) .

Wir können nun die Rollen von U, V damit von T, T^{−1} tauschen und die Funktion | det(DT)|(f ∘ T) ≥ 0 auf U = T^{−1}(V) betrachten. Die analoge Rechnung liefert

∫_{U} dx | det(DT)(x)|f(T (x))
≤ ∫_{V} dy | det(DT^{−1})(y)| · | det(DT)(T^{−1}(y))|f(T (T^{−1}(y))) = ∫_{V} dy f(y)

unter Verwendung der Kettenregel für D(T^{−1}). Beide Ungleichungen zusammen liefert die Gleichung des Transformationssatzes für positive Funktionen und Integral in [0, ∞]. Nun zerlegt man eine beliebige Funktion in die positiven Anteile (Re f)_{±}, (Im f)_{±}, für die jeweils die Gleichung des Transformationssatzes gilt. Ist f integrierbar, so sind die Integrale aller positiven Anteile endlich, und damit ist auch | det(DT)|(f ∘ T) integrierbar (und umgekehrt). □

27 L^{p}-Räume und Fourier-Transformation

Definition 27.1 Für 1 ≤ p < ∞ sei L^{p}(X, μ) die Menge der meßbaren Funktionen f : X → 𝕂̄, für die |f|^{p} μ-integrierbar ist, und für die folgende Abbildung ∥ ∥_{p} : L^{p}(X, μ) → ℝ_{+} eingeführt wird:

∥f∥_{p} := ( ∫_{X} dμ |f|^{p})^{\frac{1}{p}} .

Für p = 1 sind das genau die μ-integrierbaren Funktionen. Völlig analog zum Riemann-Integral und zu Reihen, nur mit zusätzlicher Diskussion der Nullmengen, beweist man:

Satz 27.2 (Höldersche Ungleichung) Seien p, q > 1 mit \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1. Dann ist für alle f ∈ L^{p}(X, μ) und g ∈ L^{q}(X, μ) die Funktion fg integrierbar, und es gilt

| ∫_{X} dμ fg| ≤ ∥fg∥_{1} ≤ ∥f∥_{p}∥g∥_{q} .

Daraus folgt wie üblich die Minkowskische Ungleichung ∥f + g∥_{p} ≤ ∥f∥_{p} + ∥g∥_{p} für alle f, g ∈ L^{p}(X, μ) mit 1 < p < ∞. Somit ist L^{p}(X, μ) ein Vektorraum, auf dem ∥ ∥_{p} eine Halbnorm ist. Es ist keine Norm, weil aus ∥f∥_{p} = 0 nach Satz 23.9 nur folgt, daß f fast überall Null ist. Es bietet sich deshalb an, fast überall gleiche Funktionen zu Äquivalenzklassen zusammenzufassen. Sei dazu N (X, μ) = {f ∈ L^{1}(X, μ) : ∥f∥_{1} = 0}; dieser ist Untervektorraum jedes L^{p}(X, μ). Zwei Funktionen f, g ∈ L^{p}(X, μ) heißen äquivalent (f ∼ g), wenn f − g ∈ N (X, μ). Die entsprechende Äquivalenzklasse einer Funktion f ∈ L^{p}(X, μ) wird mit [f] oder f + N (X, μ) bezeichnet. Die Menge aller Äquivalenzklassen

L^{p}(X, μ) := L^{p}(X, μ)/N (X, μ) = {[f] : f ∈ L^{p}(X, μ)}

wird zu einem Vektorraum mit [0] = N (X, μ) und c_{1}[f_{1}] + c_{2}[f_{2}] := [c_{1}f_{1} + c_{2}f_{2}], auf dem durch ∥[f]∥_{p} := ∥f∥_{p} eine (jetzt echte) Norm erklärt ist.

Wir zeigen jetzt, daß L^{p}(X, μ) und damit auch L^{p}(X, μ) vollständig sind, d.h. alle L^{p}(X, μ) mit 1 ≤ p < ∞ sind Banach-Räume. Insbesondere ist L^{2}(X, μ) ein Hilbert-Raum bezüglich des Skalarprodukts

⟨f, g⟩ := ∫_{X} dμ f̄g .

Mehr noch: Jeder Hilbert-Raum ist ein L^{2}(X, μ) für einen geeigneten Maßraum (X, μ).

Definition 27.3 Eine Folge (f_{k})_{k∈ℕ} von Funktionen f_{k} : X → 𝕂̄ heißt L^{p}- konvergent gegen eine Funktion f : X → 𝕂̄, wenn lim_{k→∞} ∥f − f_{k}∥_{p} = 0 gilt. Die Funktion f heißt dann ein L^{p}-Grenzwert von (f_{k})_{k∈ℕ}.

Die Folge (f_{k})_{k∈ℕ} heißt L^{p}-Cauchyfolge, wenn es zu jedem ϵ > 0 ein N ∈ ℕ gibt, so daß ∥f_{k} − f_{l}∥_{p} < ϵ für alle k, l ≥ N.

Ein L^{p}-Grenzwert ist nur bis auf Nullmengen eindeutig. Wie üblich ist jede L^{p}- konvergente Folge eine L^{1}-Cauchyfolge, es gilt jedoch auch die Umkehrung:

Satz 27.4 (Riesz-Fischer) Jede L^{p}-Cauchyfolge (f_{k})_{k∈ℕ} von p-integrierbaren Funktionen f_{k} ∈ L^{p}(X, μ) besitzt einen L^{p}-Grenzwert f ∈ L^{p}(X, μ), und es gibt eine Teilfolge (f_{k_{n}})_{n∈ℕ^{×}}, die fast überall punktweise gegen f konvergiert.

Beweis. Wir wählen eine Teilfolge (f_{k_{n}})_{n∈ℕ^{×}} mit ∥f_{k_{n}} −f_{m}∥_{p} ≤ \frac{1}{2^{n}} für alle m ≥ k_{n}. Die Differenzen g_{n} := f_{k_{n}} − f_{k_{n+1}} erfüllen ∥ ∑_{n=1}^{N} |g_{n}|∥_{p} ≤ ∑_{n=1}^{N} ∥g_{n}∥_{p} < 1. Nach dem Satz von der monotonen Konvergenz ist dann auch ∥ ∑_{n=1}^{∞} |g_{n}|∥_{p} ≤ 1 und ∑_{n=1}^{∞} |g_{n}| ∈ L^{p}(X, μ), und nach Satz 23.10 ist ∑_{n=1}^{∞} |g_{n}| μ-fast überall endlich. Damit ist ∑_{n=1}^{∞} g_{n} fast überall absolut konvergent, d.h. lim_{n→∞} f_{k_{n}}(x) =: f(x) existiert fast überall.

Zu ϵ > 0 gilt es ein N mit ∥f_{k} − f_{l}∥_{p} < ϵ für alle k, l ≥ N. Für ein solches l gilt nach dem Lemma von Fatou

∫_{X} dμ|f − f_{l}|^{p} = ∫_{X} dμ lim inf_{n→∞} |f_{k_{n}} − f_{l}|^{p} ≤ lim inf_{n→∞} ∫_{X} dμ|f_{k_{n}} − f_{l}|^{p} ≤ ϵ^{p},

d.h. f ist L^{p}-Grenzwert von (f_{l})_{l∈ℕ} und wegen ∥f∥_{p} ≤ ∥f − f_{l}∥_{p} + ∥f_{l}∥ gilt f ∈ L^{p}(X, μ). □

Alle Aussagen gelten analog für den Vektorraum L^{∞}(X, μ) der fast überall beschränkten Funktionen, auf dem durch

∥f∥_{∞} := inf{M : |f| ≤ M außerhalb einer Nullmenge}

eine Halbnorm erklärt ist, die nach Äquivalenzklassenbildung zu einer Norm auf L^{∞}(X, μ) wird. Die Vollständigkeit folgt daraus, daß außerhalb einer gemeinsamen Nullmenge |f_{k}(x) − f_{l}(x)| ≤ |f_{k} − f_{l}| < ϵ ist für alle k, l ≥ N(ϵ), so daß die Grenzfunktion f(x) := lim_{k→∞} f_{k}(x) fast überall existiert und dort beschränkt ist. Schließlich gilt für f ∈ L^{1}(X, μ) und g ∈ L^{∞}(X, μ) die Höldersche Ungleichung ∥fg∥_{1} ≤ ∥f∥_{1}∥g∥_{∞}, da |fg| ≤ ∥g∥_{∞}f fast überall.

Sei nun X = ℝ^{n} und μ = λ das Lebesgue-Maß. Für k ∈ ℝ^{n} sei e_{k} ∈ L^{∞}(ℝ^{n}) definiert durch e_{k}(x) := e^{−i⟨k,x⟩}. Es gilt ∥e_{k}∥_{∞} = 1. Ist f ∈ L^{1}(ℝ^{n}), dann gilt nach der Hölderschen Ungleichung ∥fe_{k}∥_{1} ≤ ∥f∥_{1}∥e_{k}∥_{∞} = ∥f∥_{1} < ∞. Also existiert das Integral

f̂(k) := \frac{1}{(2π)^{\frac{n}{2}}} ∫_{ℝ^{n}} dx f(x) e^{−i⟨k,x⟩} , f ∈ L^{1}(ℝ^{n}) ,

mit sup_{k∈ℝ^{n}} |f̂(k)| ≤ \frac{1}{(2π)^{\frac{n}{2}}} ∥f∥_{1} < ∞. Die Voraussetzungen von Satz 24.8 sind

erfüllt, so daß für f ∈ L^{1}(ℝ^{n}) die Abbildung ℝ^{n} ∋ k ↦ f̂(k) stetig ist.

Definition 27.5 Die Abbildung F : L^{1}(ℝ^{n}) → C_{b}(ℝ^{n}) mit (F(f))(k) := f̂(k) heißt die (kontinuierliche) Fourier-Transformation.

Beispiel 27.6 Für x ∈ ℝ sei f(x) = e^{− \frac{λ^{2}}{2} x^{2}} mit λ > 0. Dann gilt

f̂(k) = \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{ℝ} dx e^{− \frac{λ^{2}}{2} x^{2}−ikx} = \frac{1}{\sqrt{2π}} e^{− \frac{k^{2}}{2λ^{2}}} ∫_{ℝ} dx e^{− \frac{λ^{2}}{2} (x+ \frac{ik}{λ^{2}} )^{2}} .

Das verbleibende Integral kann mit der Cauchyschen Integralformel für e^{− \frac{λ^{2}}{2} z^{2}}

umgeformt werden zu ∫_{ℝ} dx e^{− \frac{λ^{2}}{2} (x+ \frac{ik}{λ^{2}} )^{2}} = ∫_{ℝ} dx e^{− \frac{λ^{2}}{2} x^{2}} = \sqrt{\frac{2π}{λ^{2}}} . Somit ist f̂(k) =

\frac{1}{λ}e^{− \frac{k^{2}}{2λ^{2}}} . ◁

Satz 27.7 (Faltungssatz) Seien f, g integrierbar, dann gilt { \atop (f ∗ g)}(k) = (2π)^{\frac{n}{2}} f̂(k)ĝ(k).

Beweis. Die Definitionen ergeben

{ \atop (f ∗ g)}(k) = \frac{1}{(2π)^{\frac{n}{2}}} ∫_{ℝ^{n}} dx (f ⋆ g)(x)e^{−i⟨k,x⟩}

= \frac{1}{(2π)^{\frac{n}{2}}} ∫_{ℝ^{n}} dx ∫_{ℝ^{n}} dy f(x − y)e^{−i⟨k,x−y⟩}g(y)e^{−i⟨k,y⟩} .

Die Transformation T (x, y) = (x + y, y) mit det DT = 1 liefert die Behauptung. □

Im allgemeinen muß eine C_{b}-Funktion nicht wieder integrierbar sein. Ist sie es aber, dann kann man mit größerem Aufwand (und Verwendung des allgemeinen Satzes von Fubini) zeigen:

Satz 27.8 (Umkehrformel) Sei f ∈ L^{1}(ℝ^{n}) derart, daß f̂ ∈ L^{1}(ℝ^{n}). Dann gilt

f(x) = \frac{1}{(2π)^{\frac{n}{2}}} ∫_{ℝ^{n}} dk f̂(k)e^{i⟨k,x⟩} für fast alle x ∈ ℝ^{n} .

Beweis. Für λ > 0 sei F_{λ}(x) := \frac{1}{(2π)^{\frac{n}{2}}} ∫_{ℝ^{n}} dk f̂(k)e^{i⟨k,x⟩}e^{− \frac{λ^{2}}{2} ⟨k,k⟩}. Da f̂ beschränkt

ist, existiert das Integral für λ > 0. Dann gilt mit dem Transformationssatz

F_{λ}(x) = \frac{1}{(2π)^{\frac{n}{2}}} ∫_{ℝ^{n}} dk (\frac{1}{(2π)^{\frac{n}{2}}} ∫_{ℝ^{n}} dy f(y)e^{−i⟨k,y⟩})e^{i⟨k,x⟩}e^{− \frac{λ^{2}}{2} ⟨k,k⟩}

= \frac{1}{(2π)^{\frac{n}{2}}} ∫_{ℝ^{n}} dk \frac{1}{(2π)^{\frac{n}{2}}} ∫_{ℝ^{n}} dy f(y + x)e^{−i⟨k,y⟩}e^{− \frac{λ^{2}}{2} ⟨k,k⟩} .

Die Funktion (y, k) ↦ f(y)e^{−i⟨k,y⟩}e^{− \frac{λ^{2}}{2} ⟨k,k⟩} ist über ℝ^{2n} integrierbar, ebenso (y, k) ↦ f(x + y)e^{−i⟨k,y⟩}e^{− \frac{λ^{2}}{2} ⟨k,k⟩} nach Transformationssatz, so daß wir nach Fubini die Integrale vertauschen dürfen. Mit Beispiel 27.6 (mit x ↦ −k und k ↦ y)

und Fubini gilt ∫_{ℝ^{n}} dx e^{− \frac{λ^{2}}{2} ⟨k,k⟩}e^{i⟨y,k⟩} = \frac{(2π)^{\frac{n}{2}}}{λ^{n}} e^{− \frac{⟨y,y⟩}{2λ^{2}}} , also

F_{λ}(x) = ∫_{ℝ^{n}} dy f(y + x)δ_{λ}(y) = (f ∗ δ_{λ})(x) ,  δ_{λ}(y) := \frac{1}{(2π)^{\frac{n}{2}}} \frac{1}{λ^{n}} e^{− \frac{⟨y,y⟩}{2λ^{2}}} .

Wir werden zeigen, daß für λ → 0 die rechte Seite in der L^{1}-Norm gegen f(x) konvergiert. In diesem Sinn geht δ_{λ}(y) für λ → 0 in die sogenannte Diracsche δ-Distribution über. Andererseits konvergiert f̂(k)e^{i⟨k,x⟩}e^{− \frac{λ^{2}}{2} ⟨k,k⟩} für λ → 0 punktweise gegen f̂(k)e^{i⟨k,x⟩}, und |f̂(k)e^{i⟨k,x⟩}e^{− \frac{λ^{2}}{2} ⟨k,k⟩}| ist beschränkt durch die integrierbare Funktion |f̂(k)|. Nach dem Satz von Lebesgue gilt dann

\frac{1}{(2π)^{\frac{n}{2}}} ∫_{ℝ^{n}} dk f̂(k)e^{i⟨k,x⟩} = lim_{λ→0} F_{λ}(x). Beides zusammen liefert die Behauptung.

Ausgangspunkt ist \frac{1}{(2πλ^{2})^{\frac{n}{2}}} ∫_{ℝ} dx e^{−⟨y,y⟩/(2λ^{2})} = 1. Damit gilt

f(x) − F_{λ}(x) = \frac{1}{(2π)^{\frac{n}{2}}} ∫_{ℝ^{n}} dy (f(x) − f(x + y))\frac{e^{−⟨y,y⟩/(2λ^{2})}}{λ^{n}} .  (*)

Zunächst sei f stetig mit kompaktem Träger supp(f) ⊆ \overline{K_{R}(0)}. Dann ist f auch gleichmäßig stetig, d.h. zu ϵ > 0 gibt es ein 1 > δ > 0, so daß |f(x) − f(x + y)| < \frac{ϵ}{2v_{n}(K_{R+1}(0))} für alle x ∈ ℝ^{n} und y ∈ K_{δ}(0). Das y-Integral wird zerlegt

• in ein Integral über K_{δ}(0): Dort ist supp_{x}(f(x) − f(x + y)) ⊆ \overline{K_{R+1}(0)}, so daß das x-Integral durch |f(x) − f(x + y)| und das Volumen von \overline{K_{R+1}(0)} abgeschätzt werden kann. Das y-Integral wird anschließend auf ℝ^{n} ausgedehnt und wird unabhängig von λ.

• in ein Integral über ℝ^{n} \ K_{δ}(0). Dann ist 0 < e^{−⟨y,y⟩/(2λ^{2})} ≤

e^{− \frac{δ^{2}}{4λ^{2}}} e^{−⟨y,y⟩/(4λ^{2})}.

Integration des Betrages von (*) über x ∈ ℝ^{n} liefert dann ∥f − F_{λ}∥_{1} = I_{1} + I_{2} mit

I_{1} = ∫\overline{K_{R+1}(0)} dx ∫_{K_{δ}(0)} dy |f(x) − f(x + y)|\frac{e^{−⟨y,y⟩/(2λ^{2})}}{(2πλ^{2})^{\frac{n}{2}}}

≤ v_{n}(K_{R+1}(0)) sup_{x,x+y∈\overline{K_{R+1}(0)}} |f(x) − f(x + y)| ∫_{ℝ^{n}} dy \frac{e^{−⟨y,y⟩/(2λ^{2})}}{(2πλ^{2})^{\frac{n}{2}}} < \frac{ϵ}{2} ,

I_{2} = ∫_{ℝ^{n}} dx ∫_{ℝ^{n}\K_{δ}(0)} dy |f(x) − f(x + y)|\frac{e^{−⟨y,y⟩/(2λ^{2})}}{(2πλ^{2})^{\frac{n}{2}}}

≤ e^{− \frac{δ^{2}}{4λ^{2}}} ∫_{ℝ^{n}} dx ∫_{R^{n}} dy (|f(x)| + |f(x + y)|)\frac{e^{−⟨y,y⟩/(4λ^{2})}}{(2πλ^{2})^{\frac{n}{2}}}

≤ e^{− \frac{δ^{2}}{4λ^{2}}} 2∥f∥_{1}2^{\frac{n}{2}} .

Wir können nun λ(δ) so klein wählen, daß e^{− \frac{δ^{2}}{4λ^{2}}} 2∥f∥_{1}2^{\frac{n}{2}} < \frac{ϵ}{2}. Also gibt es zu jedem ϵ > 0 ein λ(ϵ) > 0, so daß ∥f − F_{λ(ϵ)}∥_{1} < ϵ für stetige Funktionen f mit kompaktem Träger, d.h. es gilt fast überall f(x) = lim_{λ→0} F_{λ}(x). Da integrierbare Funktionen bezüglich ∥ ∥_{1} durch stetige Funktionen mit kompaktem Träger approximiert werden können, gilt die Aussage für alle f ∈ L^{1}(ℝ^{n}) mit f̂ ∈ L^{1}(ℝ^{n}). □

Zu beachten ist das andere Vorzeichen in e^{i⟨k,x⟩} gegenüber der Fourier-Transformation! Die kontinuierliche Fourier-Transformation verhält sich bezüglich Ableitungen analog wie die diskrete:

Satz 27.9 Sei k ∈ ℕ und f ∈ L^{1}(ℝ^{n}) derart, daß für alle Multi-Indizes α mit |α| < k sogar x^{α}f(x) integrierbar ist. Dann existieren die mehrfachen partiellen

Ableitungen ∂_{α}f̂ der Fourier-Transformierten, und es gilt { \atop (x^{α}f)}(k) = \frac{i^{|α|}∂^{|α|}}{∂k^{α}} f̂(k).

Aus der Umkehrformel ergibt sich:

Satz 27.10 Sei f ∈ C^{k}(ℝ^{n}) derart, daß f und ∂^{α}f für alle Multi-Indizes mit |α| ≤ k integrierbar sind. Dann gilt { \atop (∂^{α}f)}(k) = (ik)^{α}f̂(k). □

Daraus gewinnt man eine oft nützliche Lösungsmethode für lineare (sogar partielle) Differentialgleichungen:

Beispiel 27.11 (Wärmeleitungsgleichung) Der Ausgleich von Temperaturdifferenzen in homogenen Medien wird durch die Wärmeleitungsgleichung

∂_{t}T (t, x) = c(ΔT)(t, x)

beschrieben. Dabei ist Δ der Laplace-Operator, T (t, x) die Temperatur zur Zeit t ∈ ℝ_{+} am Ort x ∈ ℝ^{n} und c die Wärmeleitfähigkeit. Fourier-Transformation in x führt mit Satz 27.10 auf die gewöhnliche Differentialgleichung \frac{d}{dt} T̂(t, k) = −c∥k∥^{2}T̂(t, k) mit Lösung T̂(t, k) = T̂(0, k)e^{−c∥k∥^{2}t}. Nach Beispiel 27.6 gilt

e^{−c∥k∥^{2}t} = f̂(k) für f(x) = \frac{1}{(2ct)^{\frac{n}{2}}} e^{− \frac{|x|^{2}}{4ct}}. Aus dem Faltungssatz folgt dann

T̂(t, k) = \frac{1}{(2π)^{\frac{n}{2}}} { \atop (T (0, .) ∗ f)}(k), so daß die Rücktransformation auf folgende Lösung der Wärmeleitungsgleichung führt:

T (t, x) = \frac{1}{(2π)^{\frac{n}{2}}} (T (0, .) ∗ f)(x) = \frac{1}{(4πct)^{\frac{n}{2}}} ∫_{ℝ^{n}} dy T (0, y)e^{− \frac{∥x−y∥^{2}}{4ct}} .  ◁

Eine weitere Folgerung von Umkehrformel und Fubini ist:

Satz 27.12 (Plancherel) Sei f ∈ L^{2}(ℝ^{n}) ∩ L^{1}(ℝ^{n}), dann ist F(f) ∈ L^{2}(ℝ^{n}), und es gilt ∥f∥_{2} = ∥F(f)∥_{2}. Insbesondere folgt ⟨f, g⟩_{2} = ⟨f̂, ĝ⟩_{2}.

Beweis. Sei f zunächst so, daß f̂ integrierbar ist und bezeichne g := \overline{f̂}. Dann ist (x, k) ↦ f(x)g(k)e^{−i⟨k,x⟩} über ℝ^{2n} integrierbar, und nach Fubini und Umkehrformel gilt

\frac{1}{(2π)^{\frac{n}{2}}} ∫_{ℝ^{2n}} d(x, k) f(x)g(k)e^{−i⟨k,x⟩}

= \frac{1}{(2π)^{\frac{n}{2}}} ∫_{ℝ^{n}} dx f(x)\overline{∫_{ℝ^{n}} dk f̂(k)e^{i⟨k,x⟩}} = ∫_{ℝ^{n}} dx |f(x)|^{2}

= \frac{1}{(2π)^{\frac{n}{2}}} ∫_{ℝ^{n}} dk \overline{f̂(k)} ∫_{ℝ^{n}} dx f(x)e^{−i⟨k,x⟩} = ∫_{ℝ^{n}} dk |f̂(k)|^{2} .

Nach Approximation folgt die Aussage für alle f. Die Identität für das Skalarprodukt folgt aus den Polarisationsformeln und der Linearität von F. □

28 Integration über Untermannigfaltigkeiten

Wir haben bisher die Methoden entwickelt, um Funktionen über Teilmengen A ⊆ ℝ^{n} zu integrieren und z.B. Volumina solcher Teilmengen zu berechnen. Wir können damit aber noch nicht die Oberfläche des Randes von A berechnen. Die dazu notwendigen Ideen sollen nun kurz vorgestellt werden, wobei wir aus Zeitgründen keine Beweise angeben können. Wir erinnern an die folgende Charakterisierung von Untermannigfaltigkeiten, die wir in Satz 4.6 für die Richtung (⇒) bewiesen hatten:

Satz 28.1 Eine Teilmenge M ⊆ ℝ^{n+k} ist genau dann eine n-dimensionale differenzierbare Untermannigfaltigkeit, wenn es zu jedem Punkt a ∈ M eine offene Umgebung V ⊆ M, eine offene Umgebung T ⊆ ℝ^{n} und eine Immersion ϕ : T → ℝ^{n+k} gibt, so daß T durch ϕ homöomorph auf V abgebildet wird.

Bemerkungen. Zur Erinnerung: Immersion bedeutet, daß ϕ differenzierbar ist mit rang(Dϕ)(t) = n für alle t ∈ T.

Insbesondere gibt es eine Überdeckung einer Untermannigfaltigkeit durch offene Mengen V_{i}. Dann heißt (V_{i}, ϕ_{i}) mit ϕ_{i} : T_{i} → V_{i} eine lokale Karte von M. Für V_{ij} := V_{i}∩V_{j} ≠ ∅ gibt es zwei Homöomorphismen ϕ_{i}^{−1} : V_{ij} → ϕ_{i}^{−1}(V_{ij}) ⊆ T_{i} ⊆ ℝ^{n} und ϕ_{j}^{−1} : V_{ij} → ϕ_{j}^{−1}(V_{ij}) ⊆ T_{j} ⊆ ℝ^{n}. Über die Konstruktion von ϕ im Beweis von Satz 4.6 zeigt man, daß τ_{ij} := ϕ_{j}^{−1} ∘ ϕ_{i} : ϕ_{i}^{−1}(V_{ij}) → ϕ_{j}^{−1}(V_{ij}) sogar ein Diffeomorphismus ist zwischen Teilmengen des ℝ^{n}. Man sagt, die Kartenwechsel sind Diffeomorphismen.

Die Integration einer Funktion f über die Teilmenge V ⊆ M wird nun über einen analogen Transformationssatz durch Integration der Funktion “| det Dϕ|”(f ∘ ϕ) über T erklärt. Das Problem dabei ist, daß die Determinante der rechteckigen Matrix Dϕ so nicht existiert. Man zeigt, daß

“| det Dϕ|” := \sqrt{det((Dϕ)^{t} · (Dϕ))}

die richtigen Eigenschaften hat. Dabei ist (Dϕ)^{t}(Dϕ) punktweise eine n × n-Matrix. Entsprechend definiert man das Integral einer Funktion f über eine Karte (V, ϕ) von M mit ϕ(T) = V zu

∫_{(V,ϕ)} dS f(x) := ∫_{T} du \sqrt{det((Dϕ)^{t}(u) · (Dϕ)(u))} f(ϕ(u)) .  (*)

Die Idee ist wieder zu beweisen, daß das durch die n Vektoren a_{1}, …, a_{n} ⊆ ℝ^{n+k} aufgespannte Parallelotop das Volumen \sqrt{det(A^{t} · A)} hat, wobei a_{i} die Spalten von A ∈ M((n+k)×n, ℝ) sind. Dann identifiziert man das Parallelotop mit dem Bild des n-dimensionalen Einheitswürfels im ℝ^{n+k}, dessen letzte k Komponenten identisch Null sind, unter einer affinen Transformation. Durch analoge Konvergenzbetrachtungen wie im Transformationssatz beweist man, daß durch (*) das Integral einer Funktion über V ⊆ M sinnvoll definiert ist.

Beispiel 28.2 (Oberfläche der dreidimensionalen Kugel) Es sei

M := {(x_{1}, x_{2}, x_{3}) ∈ ℝ^{3} : x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} = R^{2}}

die Oberfläche der dreidimensionalen Kugel vom Radius R. Mittels Polarkoordinaten gewinnen wir die folgende Abbildung ϕ : ]0, 2π[ × ]0, π[ → V ⊆ M:

( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix} ) = ϕ(φ, ϑ) := ( \begin{matrix}R cos φ sin ϑ \\ R sin φ sin ϑ \\ R cos ϑ \end{matrix} ) .

Das offene Rechteck T := ]0, 2π[ × ]0, π[ wird durch ϕ homöomorph auf die Teilmenge V := M\N abgebildet, d.h. aus der Kugeloberfläche wird der Halbkreis N := {(x_{1}, x_{2}, x_{3}) ∈ ℝ^{3} : x_{2} = 0 , x_{1} ≥ 0 , x_{1}^{2} + x_{3}^{3} = R^{2}} herausgeschnitten. Dann ist

(Dϕ)(φ, ϑ) = ( \begin{matrix}−R sin φ sin ϑ & R cos φ cos ϑ \\ R cos φ sin ϑ & R sin φ cos ϑ \\ 0 & −R sin ϑ \end{matrix} ) ,

(Dϕ)^{t}(φ, ϑ) · (Dϕ)(φ, ϑ) = ( \begin{matrix}R^{2} sin^{2} ϑ & 0 \\ 0 & R^{2} \end{matrix} ) ,

so daß wir erhalten:

∫_{(V,ϕ)} dS f(x) = R^{2} ∫_{0}^{2π} dφ ∫_{0}^{π} dϑ sin ϑ f(ϕ(φ, ϑ)) .

Der Halbkreis N ist eine Nullmenge. Man kann wieder zeigen, daß Nullmengen für die Integrationstheorie ignoriert werden können. Also stimmt das Integral mit dem Integral über ganz M überein. Insbesondere erhalten wir für f = 1 die

Oberfläche der zweidimensionalen Sphäre vom Radius R zu ∫_{M} dS = 4πR^{2}. ◁

Eine wichige Konsequenz des Transformationssatzes ist, daß (*) unabhängig von der Wahl der Karte ist. Gibt es zu V zwei Karten (V, ϕ_{1}) und (V, ϕ_{2}) mit Immersionen ϕ_{i} : T_{i} → ℝ^{n+k}, so daß ϕ_{i} : T_{i} → V_{i} Homöomorphismen sind, so

gilt ∫_{(V,ϕ_{1})} dS f(x) = ∫_{(V,ϕ_{2})} dS f(x). Zum Beweis verwendet man, daß ϕ_{2} ∘ ϕ_{1}^{−1} :

T_{1} → T_{2} ein Diffeomorphismus ist und den entsprechenden Transformationssatz, der | det D(ϕ_{2} ∘ ϕ_{1}^{−1})| beinhaltet.

Das nutzt man aus, um Integrationen über Untermannigfaltigkeiten zu definieren, die aus mehreren Karten zusammengesetzt werden müssen. Wir betrachten nur den einfachsten Fall, daß es endlich viele Karten (V_{1}, ϕ_{1}), …, (V_{p}, ϕ_{p}) gibt, die M = V_{1}∪⋯∪V_{p} überdecken. Dann kann man immer eine Familie von Funktionen α_{i} : M → ℝ konstruieren mit

• supp(α_{i}) ⊆ V_{i}
• ∑_{i=1}^{p} α_{i}(x) = 1 für alle x ∈ M.

Eine solche Familie heißt Zerlegung der Eins. Mittels Zerlegung der Eins erhalten wir:

∫_{M} dS f(x) = ∑_{i=1}^{p} ∫_{M} dS f(x)α_{i}(x) = ∑_{i=1}^{p} ∫_{V_{i}} dS (fα_{i})(x)

= ∑_{i=1}^{p} ∫_{T_{i}} du_{i} \sqrt{det((Dϕ_{i})^{t}(u_{i}) · (Dϕ_{i})(u_{i}))} (fα_{i})(ϕ_{i}(u_{i})) .

Die Eigenschaften der Zerlegung der Eins garantieren, daß diese Definition unabhängig von der Wahl der Überdeckung und der α_{i} ist. Die Konstruktion verallgemeinert sich sogar auf abzählbar viele Karten, wenn sich jeweils nur endlich viele schneiden und |fα_{i}| integrierbar ist:

Definition 28.3 Es sei M ⊆ ℝ^{n+k} eine n-dimensionale Untermannigfaltigkeit, ausgestattet mit einem Atlas lokaler Karten (V_{i}, ϕ_{i}) entsprechend Satz 28.1, so daß M = ⋃_{i=0}^{∞} V_{i} und jeder Punkt x ∈ M nur in endlich vielen V_{i} enthalten ist.

Eine auf M definierte Funktion f heißt über M integrierbar, wenn es eine dem Atlas (V_{i}, ϕ_{i})_{i∈ℕ} untergeordnete Zerlegung der Eins (α_{i})_{i∈ℕ} gibt, so daß

i) Jede Funktion fα_{i} ist über V_{i} (damit über M) integrierbar

ii) ∑_{i=0}^{∞} ∫_{(V_{i},ϕ_{i})} dS |(fα_{i})(x)| < ∞.

Dann ist das Integral von f über M (unabhängig von der Zerlegung der Eins) definiert durch

∫_{M} dS f(x) := ∑_{i=0}^{∞} ∫_{T_{i}} du_{i} \sqrt{det((Dϕ_{i})^{t}(u_{i}) · (Dϕ_{i})(u_{i}))} (fα_{i})(ϕ_{i}(u_{i})) .

Wir sehen uns noch einige interessante Integrale über Karten an:

Beispiel 28.4 (Integrale längs Kurven) Es sei I ⊆ ℝ^{n} ein offenes Intervall und c : I → ℝ^{n} eine differenzierbare Kurve. Unter der Annahme (Dc)(t) = c′(t) ≠ 0 handelt es sich um eine Immersion, d.h. c spielt die Rolle von ϕ in Definition 28.3. Sei f jetzt eine Funktion auf der Spur Γ := c(I), dann ist das Kurvenintegral gegeben durch

∫_{Γ} dS f(x) = ∫_{I} dt ∥c′(t)∥ f(c(t)) .

Insbesondere ist L(c) = ∫_{Γ} dS = ∫_{I} dt ∥c′(t)∥ die Bogenlänge. ◁

Die Berechnung von Determinanten des Typs det(A^{t} ·A) mit A ∈ M((n+k)× n, ℝ) kann für große n, k sehr umständlich werden. Hier hilft das Determinanten-Multiplikationstheorem (Binet-Cauchy-Theorem) entscheidend weiter:

Satz 28.5 (Binet-Cauchy) Es seien A = (a_{1}, …, a_{n+k}) ∈ M((n+k) × n, ℝ) und B = (b_{1}, …, b_{n+k}) ∈ M((n+k) × n, ℝ) zwei rechteckige Matrizen, gebildet aus den Zeilenvektoren a_{i}, b_{i} ∈ ℝ^{n}. Für 1 ≤ m_{1} < m_{2} < ⋯ < m_{n} ≤ n + k seien quadratische Matrizen A^{m_{1}m_{2}...m_{n}} := (a_{m_{1}}, a_{m_{2}}, …, a_{m_{n}}) ∈ M(n × n, ℝ) und B^{m_{1}m_{2}...m_{n}} := (b_{m_{1}}, b_{m_{2}}, …, b_{m_{n}}) ∈ M(n × n, ℝ) definiert. Dann gilt

det(A^{t} · B) = ∑_{1≤m_{1}<m_{2}···<m_{n}≤n+k}(det A^{m_{1}m_{2}...m_{n}}) · (det B^{m_{1}m_{2}...m_{n}})

Die Summe läuft über die \binom{n+k}{n} = \frac{(n+k)!}{n!k!} verschiedenen Möglichkeiten, n der n+k Zeilen der Matrizen auszuwählen.

Ein Beweis findet sich z.B. in G. Fischer: Lineare Algebra, Kapitel 3.3.

Beispiel 28.6 Es sei T ⊆ ℝ^{n} offen und die Höhenfunktion h : T → ℝ differenzierbar. Dann ist die Abbildung ϕ : T → ℝ^{n+1} mit ϕ(u) := (u, h(u)) eine Immersion. Zur Berechnung von Integralen über den Graphen Γ := ϕ(T) ⊆ ℝ^{n+1} benötigen wir die Determinante der Matrix G(u) = (Dϕ)^{t}(u) · (Dϕ)(u). Dabei ist

(Dϕ)(u) = ( \begin{matrix}E_{n} \\ (grad h)(u) \end{matrix} ), wenn (grad h)(u) ∈ ℝ^{n} als Zeilenvektor betrachtet

wird. Dann gilt mit den Bezeichnungen aus Satz 28.5

det((Dϕ)^{1,2,...,n}) = 1 , det((Dϕ)^{1,...,i−1,i+1,...,n+1}) = ±∂_{i}h

und damit det(Dϕ)^{t}(u) · (Dϕ)(u) = 1 + ∥(grad h)(u)∥^{2}. Somit erhalten wir das Integral einer Funktion f über den Graph Γ := ϕ(T) ⊆ ℝ^{n+1} (Höhenfäche) zu

∫_{Γ} dS f(x) = ∫_{T} du \sqrt{1 + ∥(grad h)(u)∥^{2}} f(u, h(u)) .

Wir berechnen auf diese Weise noch einmal die Oberfläche der Halbkugel HK. Dazu sei T := \{(x, y) ∈ ℝ^{2} : x^{2} +y^{2} < R^{2}\} und h(x, y) := \sqrt{R^{2} − x^{2} − y^{2}}. Dann ist HK := (x, y, h(x, y)) ⊆ ℝ^{3}, und wir erhalten

v_{2}(HK) = ∫_{HK} dS = ∫_{T} d(x, y)\frac{R}{\sqrt{R^{2} − x^{2} − y^{2}}} .

Das Integral lösen wir in Polarkoordinaten x = r cos φ, y = r sin φ. Mit Satz 22.3 erhalten wir

v_{2}(HK) = ∫_{0}^{R} dr r ∫_{0}^{2π} dφ \frac{1}{\sqrt{1 − \frac{r^{2}}{R^{2}}}} =^{r=R sin t} 2πR^{2} ∫0^{\frac{π}{2}} dt sin t = 2πR^{2} . ◁

Beispiel 28.7 (Rotationsflächen im ℝ^{3}) Sei I ⊆ ℝ offen und die Radiusfunktion r : I → ℝ_{+} differenzierbar. Sei M := {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : z ∈ I , x^{2} + y^{2} = (r(z))^{2}} die Rotationsfläche. Dann ist die Abbildung

ϕ : I×]0, 2π[ → M \ N , ϕ(φ, z) := (r(z) cos φ, r(z) sin φ, z)

eine Immersion, wobei der Nullmeridian N = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : z ∈ I , y = 0 , x^{2} = (r(z))^{2}} herausgeschnitten ist. Wir erhalten

(Dϕ)(z, φ) = ( \begin{matrix}r′(z) cos φ & −r(z) sin φ \\ r′(z) sin φ & r(z) cos φ \\ 1 & 0 \end{matrix} )

und damit (det(Dϕ)^{t} · (Dϕ))(z, φ) = r(z)^{2}(1 + (r′(z))^{2}). Da N eine Nullmenge ist, erhalten wir das Integral einer Funktion f über die Rotationsfläche zu

∫_{M} dS f(x) = ∫_{I} dz ∫_{0}^{2π} dφ r(z)\sqrt{1 + (r′(z))^{2}} f(r(z) cos φ, r(z) sin φ, z) .

Für I = ]−R, R[ und r(z) = \sqrt{R^{2} − z^{2}} erhalten wir die Oberfläche der dreidimensionalen Kugel M = {(x, y, y) ∈ ℝ^{3} : x^{2} + y^{2} + z^{2} = R^{2}} zu

v_{2}(M) = ∫_{M}dS = 2π ∫_{−R}^{R}dz \sqrt{R^{2} − z^{2}}\sqrt{1 + (\frac{z}{\sqrt{R^{2} − z^{2}}} )^{2}} = 2πR ∫_{−R}^{R} dz = 4πR^{2}. ◁

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Preliminary version – 31. Januar 2019

29 Der Gaußsche Integralsatz

Wir betrachten jetzt (differenzierbare) Hyperflächen im ℝ^{n}, d.h. (n − 1)- dimensionale Untermannigfaltigkeiten M ⊆ ℝ^{n}. Lokal auf einer Teilmenge U ⊆ M ist der Normalenvektorraum N_{a}(U) ein eindimensionaler Untervektorraum des ℝ^{n}, gegeben durch Vielfache des Gradienten der Funktion f : U → ℝ^{n}, die die Untermannigfaltigkeit beschreibt.

Definition 29.1 Ein Einheitsnormalenfeld auf einer Hyperfläche M ⊆ ℝ^{n} ist ein stetiges Vektorfeld ν : M → ℝ^{n}, so daß in jedem Punkt x ∈ M gilt

i) ν(x) steht senkrecht auf dem Tangentialraum T_{x}(M)

ii) ∥ν(x)∥ = 1

Eine differenzierbare Hyperfläche heißt orientierbar, wenn es auf ihr ein Einheitsnormalenfeld gibt. Ein Paar (M, ν) mit festgelegtem Einheitsnormalenfeld ν heißt orientierte Hyperfläche.

Entweder es existieren zwei Einheitsnormalenfelder ν und −ν, oder gar keines. Lokal in jeder Karte (V, ϕ) von M existiert immer ein Einheitsnormalenfeld ν = \frac{grad f}{∥grad f∥}. Beim Zusammensetzen der Karten zu einer Überdeckung von M kann es aber das Problem geben, daß auf dem Durchschnitt V_{i} ∩ V_{j} sich die Einheitsnormalenfelder der Karten um das Vorzeichen unterscheiden. Das Möbiusband ist ein Beispiel für eine nichtorientierbare Hyperfläche.

Definition 29.2 Es sei (M, ν) eine orientierte differenzierbare Hyperfläche im ℝ^{n}. Ein Vektorfeld F : M → ℝ^{n} heißt integrierbar über M, wenn die Funktion ⟨F, ν⟩ über M integrierbar ist. In diesem Fall setzt man

∫_{(M,ν)} d⃗S F (x) := ∫_{M} dS ⟨F (x), ν(x)⟩ .

Zur Formulierung des Gaußschen Integralsatzes benötigen wir den Begriff des C^{1}-Polyeders:

Definition 29.3 Es sei G ⊆ ℝ^{n} eine kompakte Teilmenge und ∂G der Rand von G. Ein Randpunkt x ∈ ∂G heißt regulärer Randpunkt, wenn es eine Umgebung U ⊆ ℝ^{n} von x und eine stetig differenzierbare Funktion f : U → ℝ gibt mit (grad f)(y) ≠ 0 für alle y ∈ U und G ∩ U = {y ∈ U : f(u) ≤ 0}. Jeder nicht reguläre Randpunkt von ∂G heißt singulär. Die Menge der regulären Randpunkte heißt regulärer Rand ∂_{r}G. Die Menge der singulären Randpunkte heißt singulärer Rand ∂_{s}G. Die Menge G heißt C^{1}-Polyeder, wenn ∂_{s}G eine n − 1-dimensionale Nullmenge ist.

Die Definition besagt, daß der reguläre Rand eine (n−1)-dimensionale Untermannigfaltigkeit (Hyperfläche) ist. Singuläre Randpunkte sind z.B. die Ecken und Kanten eines Quaders. Diese dürfen wir nicht ausschließen, da der Beweis des Gaußschen Integralsatzes auf den Fall der Quader zurückgeführt wird. Da es für ∂_{r}G “innen” und “außen” gibt, ist ∂_{r}G orientierbar. Das äußere Einheitsnormalenfeld ist dann dadurch ausgezeichnet, daß es für jeden Punkt x ∈ ∂G ⊆ ℝ^{n} ein ϵ > 0 gibt, so daß x + tν(x) ∉ G für alle t ∈]0, ϵ[.

In Vorbereitung des Gaußschen Integralsatzes sei an die Divergenz eines Vektorfeldes F auf einer offenen Teilmenge U ⊆ ℝ^{n} erinnert: Ist F = (F_{1}, …, F_{n}) mit differenzierbaren Funktionen F_{i} : U → ℝ, dann ist die Divergenz des Vektorfeldes die Funktion (divF) = ∂_{1}F_{1} + ⋯ + ∂_{n}F_{n}.

Theorem 29.4 (Gauß) Es sei G ⊆ ℝ^{n} ein C^{1}-Polyeder, und ∂_{r}G sei durch das äußere Einheitsnormalenfeld orientiert. Sei F : U → ℝ^{n} ein stetig differenzierbares Vektorfeld auf einer offenen Teilmenge U ⊆ ℝ^{n} mit G ⊆ U. Ist die Divergenz des Vektorfeldes div F über G ⊆ U integrierbar und das Vektorfeld F über den regulären Rand ∂_{r}G integrierbar, dann gilt

∫_{G} dy (div F)(y) = ∫_{∂_{r}G} d⃗S F (x) = ∫_{∂_{r}G} dS ⟨ν, F (x)⟩ .

Der entscheidende Schritt im Beweis ist die Betrachtung der Situation für einen kompakten achsenparallelen Quader, der offenbar ein C^{1}-Polyeder ist.

Lemma 29.5 Es sei Q ⊆ ℝ^{n} ein offener Quader und F = (F_{1}, …, F_{n}) ein stetig differenzierbares Vektorfeld auf einer Umgebung U von Q. Dann gilt

∫_{Q} dy (div F)(y) = ∫_{∂Q} d⃗S F (x)

Beweis. Es sei ν = (ν_{1}, …, ν_{n}) das äußere Einheitsnormalenfeld auf ∂Q. Wegen Linearität der Integrale genügt es zu zeigen, daß für jede auf U stetig differenzierbare Funktion f und jede Komponente i = 1, …, n gilt

∫_{Q} dy (∂_{i}f)(y) = ∫_{∂_{r}Q}(ν_{i}f)(x) .

Durch Umnumerierung der Richtungen können wir i = n annehmen. Dann ist Q = Q′ ×]a, b[, wobei Q′ ⊆ ℝ^{n−1} wieder ein offener Quader ist. Entsprechend sei y = (y′, z) die Parametrisierung mit y′ ∈ ℝ^{n−1} und z ∈ ℝ. Der reguläre Rand von Q ist

∂_{r}Q = ((Q′)^{o} × {a}) ∪ ((Q′)^{o} × {b}) ∪ (∂_{r}Q′×]a, b[ ) ,

wobei (Q′)^{o} das offene Innere von Q′ ist. Für die n-te Komponente ν_{n} des äußeren Einheitsnormalenfeldes auf dem regulären Rand gilt dann

ν_{n}(x) = \{ \begin{matrix}1 auf & (Q′)^{o} × \{b\} \\ −1 auf & (Q′)^{o} × \{a\} \\ 0 auf & ∂Q′×]a, b[ \end{matrix}

Also ist die Funktion fν_{n} nur über die Randflächen (Q′)^{o} × {b} und (Q′)^{o} × {a} zu integrieren. Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt

∫_{∂_{r}Q} dy (ν_{n}f)(x) = ∫_{(Q′)^{o}} dy′ f(y′, b) − ∫_{(Q′)^{o}} dy′ f(y′, a)
= ∫_{(Q′)^{o}} dy′ ∫_{a}^{b} dz (∂_{n}f)(y′, z) = ∫_{Q} d(y′, z) (∂_{n}f)(y′, z) . □

Der Gaußsche Integralsatz ist Spezialfall des Integralsatzes von Stokes. Dieser wird in der Sprache der Differentialformen formuliert, die wir in Definition 13.5 eingeführt hatten. Eine k-Form ω^{(k)} ∈ Ω^{k}(ℝ^{n}) läßt sich über k-dimensionale Untermannigfaltigkeiten im ℝ^{n} integrieren. Zunächst definiert man für ω^{(n)} ∈ Ω^{n}(ℝ^{n}) das Integral über G ⊆ ℝ^{n} als

∫_{G} ω_{12...n}dx_{1} ∧ dx_{2} ∧ ⋯ ∧ dx_{n} := ∫_{G} ω_{12...n}d(x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) .

Über die Kartenabbildungen ϕ : T → V ⊆ M lassen sich k-Formen ω^{(k)} ∈ Ω^{k}(ℝ^{n}) über k-dimensionale Untermannigfaltigkeiten M ⊆ ℝ^{n} integrieren. Dann gilt:

Satz 29.6 (Stokes) Sei M ⊆ ℝ^{n} eine k-dimensionale orientierte Untermannigfaltigkeit, deren Rand ∂M eine (k − 1)-dimensionale orientierte Untermannigfaltigkeit ist. Dann gilt für ω^{(k−1)} ∈ Ω^{k}(ℝ^{n})

∫_{M} dω^{(k−1)} = ∫_{∂M} ω^{(k−1)} .

Symbolisch schreibt man ⟨M, dω⟩ = ⟨∂M, ω⟩, d.h. Differential d und Rand ∂ sind zueinander adjungiert bezüglich der durch das Integral gegebenen Linearform.

Der Gaußsche Integralsatz ist nun ein Spezalfall des Stokesschen, wenn richtig zwischen Differentialformen und Vektorfeldern übersetzt wird. Ein Vektorfeld F sehen wir als 1-Form an, deren Divergenz nach Abschnitt 28 des 1. Semesters gegeben ist durch div F = ∗d(∗F) oder ∗(div F) = (div F)dx_{1}∧⋯∧dx_{n} = d(∗F). Somit ist

∫_{G} d(∗F) = ∫_{G}(div F)dx_{1} ∧ ⋯ ∧ dx_{n} .

Andererseits sehen wir uns ∫_{∂G}(∗F) in kartesischen Basen an. Mit F = f_{1}dx_{1} wird ∗(f_{1}dx_{1}) = f_{1}dx_{2} ∧ ⋯ ∧ dx_{n} = ⟨ν, f_{1}dx_{1}⟩dx_{2} ∧ ⋯ ∧ dx_{n}, denn ν = e_{1} ist gerade der Normalenvektor zur Hyperebene mit konstanter 1. Komponente. Summation über alle Richtungen liefert damit

∫_{∂G}(∗F) = ∫_{∂G} dS⟨ν, F ⟩ .

Wir sehen uns einige Anwendungen des Gaußschen Integralsatzes an.

Beispiel 29.7 (Oberfläche der Einheitssphäre) Es sei G = K_{n} := {x ∈ ℝ^{n} : ∥x∥ ≤ 1} die n-dimensionale Einheitskugel und S^{n−1} := ∂G = {x ∈ ℝ^{n} : ∥x∥ = 1} die (n−1)-dimensionale Sphäre. Wir betrachten das Vektorfeld F = x mit (div F)(x) = n. Das äußere Einheitsnormalenfeld auf S^{n−1} ist ν(x) = x. Dann gilt

∫_{K_{n}} dx (div F)(x) = n ∫_{K_{n}} dx = nκ_{n} = ∫_{S^{n−1}} dS ⟨x, x⟩ = ∫_{S^{n−1}} dS =: ω_{n} .

Die Oberfläche der S^{n−1} ist also v_{n−1}(S^{n−1}) =: ω_{n} = nκ_{n} = \frac{2π^{\frac{n}{2}}}{Γ( \frac{n}{2} )}. ◁

Beispiel 29.8 Es sei G ⊆ ℝ^{n} ein C^{1}-Polyeder, a ∈ ℝ^{n} \ ∂G ein Punkt und

F (x) := \frac{x − a}{∥x − a∥^{n}}. Wir beweisen

∫_{∂_{r}G} d⃗S F (x) = \{ \begin{matrix}0 für & a ∉ G \\ ω_{n} für & a ∈ G \end{matrix}  (*)

Zunächst gilt für x ≠ a

(div F)(x) = ⟨x − a, grad \frac{1}{∥x−a∥^{n}} ⟩ + \frac{1}{∥x−a∥^{n}} div(x − a)
= ⟨x − a, \frac{−n}{∥x−a∥^{n+1}} \frac{x−a}{∥x−a∥}⟩ + \frac{n}{∥x−a∥^{n}} = 0 .

Ist a ∉ G, dann liefert der Gaußsche Integralsatz sofort die Behauptung (*).

Ist andererseits a ∈ G, dann gibt es wegen a ∉ ∂G eine offene Kugel K_{r}(a) ⊆ G. Dann ist G_{a} := G \ K_{r}(a) wieder ein C^{1}-Polyeder, und (div F)(y) = 0 für alle y ∈ G_{a}. Es gilt ∂_{r}G_{a} = ∂_{r}G ∪ ∂K_{r}(a). Das äußere Einheitsnormalenfeld ν auf ∂K_{r}(a) aus Sicht von G_{a} ist das innere Einheitsnormalenfeld aus Sicht von K_{r}(a), so daß gilt ν(x) = −\frac{x−a}{∥x−a∥} = −\frac{1}{r}(x − a). Das ergibt ⟨ν(x), F (x)⟩ = −\frac{1}{r^{n−1}} für alle x ∈ K_{a}(r) und damit

∫_{∂_{r}G} d⃗S F (x) = − ∫_{∂K_{r}(a)} d⃗S F (x) = \frac{1}{r^{n−1}} ∫_{∂K_{r}(a)} dS = ω_{n} .

Die Gleichung (*) verallgemeinert sich auf Linearkombinationen von Vektorfeldern F. Sei G ⊆ ℝ^{3} ein C^{1}-Polyeder und seien q_{1}, …, q_{k} die Punktladungen in den Punkten a_{1}, …, a_{k} ∈ ℝ^{3} \ ∂G, dann ist nach dem Coulombschen Gesetz die elektrische Feldstärke in einem Punkt x ≠ a_{i} gegeben durch

E(x) = ∑_{i=1}^{k} \frac{q_{i}}{4π} \frac{x − a_{i}}{∥x − a_{i}∥^{3}} .

Der Fluß des elektrischen Feldstärke durch die Oberfläche ∂G ist dann gleich der Gesamtladung in G:

∫_{∂G} d⃗S E(x) = ∑_{{i : a_{i}∈G}} q_{i} .  ◁

Definition 29.9 Sei U ⊆ ℝ^{n} offen. Eine zweimal stetig differenzierbare Funktion f auf U heißt harmonisch, wenn (Δf)(x) = 0 für alle x ∈ U.

Die Newtonschen Potentiale N_{a} : (ℝ^{n} \ {a}) → ℝ mit

N_{a}(x) := \{ \begin{matrix}−\frac{1}{(n − 2)ω_{n}} \frac{1}{∥x − a∥^{n−2}} für & n > 2 \\ \frac{1}{2π} ln ∥x − a∥ für & n = 2 \end{matrix}

sind auf ℝ^{n} \ {a} harmonisch, denn mit r := ∥x − a∥ > 0 gilt (n ≥ 3)

Δ\frac{1}{r^{n−2}} = div(grad\frac{1}{r^{n−2}} ) = div(\frac{(2−n)}{r^{n−1}} \frac{x−a}{r}) = (2 − n)div(\frac{x−a}{∥x−a∥^{n}} ) = 0

nach Beispiel 29.8. Wir zeigen nun, daß die Verallgemeinerung des Coulombschen Gesetzes auf kontinuierliche Ladungsdichten die Poisson-Gleichung löst:

Satz 29.10 Sei Ω ⊆ ℝ^{n} offen und beschränkt und ρ ∈ C^{1}(Ω)∩C(Ω̄) mit ρ(x) = 0 für x ∈ ℝ^{n} \ Ω̄. Für x ∈ ℝ^{n} sei

ϕ(x) := ∫_{Ω} dy N_{y}(x) ρ(y) .

Dann ist ϕ : ℝ^{n} → ℝ zweimal stetig differenzierbar, und ϕ löst die Poisson-Gleichung Δϕ = ρ.

Beweis. (für n ≥ 3) Formal gilt

(∂_{i}ϕ)(x) = ∫_{Ω} dy (∂_{i}N_{y})(x) ρ(y) = \frac{1}{ω_{n}} ∫_{Ω} dy \frac{(x − y)_{i}}{∥x − y∥^{n}} ρ(y)

Für x ∉ Ω existiert das Integral ohne Probleme. Für x ∈ Ω teilen wir Ω auf in die abgeschlossene Kugel \overline{K_{ϵ}(x)} und den Rest. Nach Voraussetzung ist ρ stetig und beschränkt, und nach Übergang zu Polarkoordinaten in \overline{K_{ϵ}(x)} folgt die Integrierbarkeit von \frac{(x−y)_{i}}{∥x−y∥^{n}} ρ(y). Der Satz von Lebesgue sichert dann die Korrektheit der formalen Lösung.

Da ρ stetig differenzierbar ist, gilt nach Vertauschen von x, y

(∂_{i} ϕ)(x) = − ∫_{Ω} dy (∂_{i}N_{x})(y) ρ(y)
= − ∫_{Ω} dy (∂_{i}(N_{x}( .)ρ))(y) + ∫_{Ω} dy N_{x}(y)(∂_{i}ρ)(y)

Wir identifizieren ∂_{i}(N_{x}( .)ρ) = div(N_{x}( .)ρe_{i}) und erhalten über den Gaußschen Integralsatz

(∂_{i} ϕ)(x) = − ∫_{∂_{r}Ω} dS ν_{i}N_{y}(x)ρ(y) + ∫_{Ω} dy N_{y}(x)\frac{∂}{∂y_{i}} (ρ(y) − ρ(x)) .

Nochmalige partielle Ableitung ergibt

(∂_{i}∂_{i} ϕ)(x) = − ∫_{∂_{r}Ω} dS ν_{i}(∂_{i}N_{y})(x)ρ(y) + ∫_{Ω} dy (∂_{i}N_{y})(x)\frac{∂}{∂y_{i}} (ρ(y) − ρ(x))

= ∫_{∂_{r}Ω} dS ν_{i}(∂_{i}N_{x})(y)ρ(y)

− ∫_{Ω} dy \frac{∂}{∂y_{i}} (\frac{∂N_{x}(y)}{∂y_{i}}(ρ(y) − ρ(x))) + ∫_{Ω} dy \frac{∂^{2}N_{x}(y)}{∂y_{i}∂y_{i}}(ρ(y) − ρ(x))

= ρ(x) ∫_{∂_{r}Ω} dS ν_{i}(∂_{i}N_{x})(y) + ∫_{Ω} dy \frac{∂^{2}N_{x}(y)}{∂y_{i}∂y_{i}}(ρ(y) − ρ(x)) ,

wobei im letzten Schritt wieder der Gaußsche Integralsatz benutzt wurde. Nach Summation über i entsteht

(Δϕ)(x) = ρ(x) ∫_{∂_{r}Ω} dS ⟨ν, grad_{y}N_{x}(y)⟩ + ∫_{Ω} dy Δ_{y}N_{x}(y)(ρ(y) − ρ(x)) .

Nach Beispiel 29.8 gilt ∫_{∂_{r}Ω} dS ⟨ν, grad_{y}N_{x}(y)⟩ = \{ \begin{matrix}1 & für x ∈ Ω \\ 0 & für x ∉ Ω \end{matrix} . Im Ω-Integral

ist Δ_{y}N_{x}(y) = 0 für x ≠ y, so daß wir das Integral auf K_{ϵ}(x) beschränken dürfen. Dann gilt mit ∥ρ(y) − ρ(x)| ≤ M∥x − y∥ und ∥x − y∥ = r

| ∫_{K_{ϵ}(x)} dy (Δ_{y}N_{x}(y))(ρ(y) − ρ(x))|

≤ \frac{M}{(n − 2)ω_{n}} ∑_{i=1}^{n} ∫_{K_{ϵ}(0)} dy |\frac{∂^{2}}{∂y_{i}^{2}} \frac{1}{r^{n−2}} |r ≤ \frac{M}{ω_{n}} ∑_{i=1}^{n} ∫_{K_{ϵ}(0)} dy |\frac{∂}{∂y_{i}} \frac{y_{i}}{r^{n}} |r

≤ \frac{M}{ω_{n}} ∑_{i=1}^{n} ∫_{K_{ϵ}(0)} dy (\frac{1}{r^{n}} + \frac{ny_{i}y_{i}}{r^{n+2}} )r = (n + 1)Mϵ .

Für ϵ → 0 folgt die Behauptung (Δϕ)(x) = ρ(x). □

Dabei kann man sich ρ als Ladungsdichte vorstellen und ϕ als elektrisches Potential. Auf diese Weise findet man das Coulombsche Gesetz als Lösung der statischen Maxwellschen Gleichungen. Die Lösung ϕ der Poisson-Gleichung kann nicht eindeutig sein: ϕ + h mit h harmonisch ist ebenfalls eine Lösung. Die Eindeutigkeit kann durch Randbedingungen erzwungen werden.

Satz 29.11 (Greensche Formeln) Sei G ⊆ ℝ^{n} ein C^{1}-Polyeder und f, g zweimal stetig differenzierbare Funktionen auf einer offenen Umgebung von G. Dann gilt

∫_{G} dy ⟨grad f, grad g⟩(y) = ∫_{∂G} dS (f D_{ν}g)(x) − ∫_{G} dy (f Δg)(y) ,
∫_{G} dy (f Δg − g Δf)(y) = ∫_{∂G} dS (f D_{ν}g − g D_{ν}f)(x) ,

wobei D_{ν}f = ⟨ν, grad f⟩ die Richtungsableitung in die äußere Normalenrichtung ist.

Beweis. Man wendet den Gaußschen Integralsatz auf das Vektorfeld F = f grad g an und benutzt die Leibnizregel div F = ⟨gradf, grad g⟩ + fΔg. □

Satz 29.12 Es sei Ω ⊆ ℝ^{n} eine offene und beschränkte Teilmenge, für die der Gaußsche Integralsatz gilt, und ν : ∂Ω → ℝ^{n} sei das äußere Einheitsnormalenfeld. Eine Funktion h ∈ C^{2}(Ω) ∩ C(\overline{Ω}) sei harmonisch, Δh = 0 in Ω. Dann gilt:

i) ∫_{∂Ω} dS ⟨grad h, ν⟩ = 0 (Gaußscher Integralsatz)

ii) Ist zu a ∈ Ω die Kugel \overline{K_{r}(a)} ⊆ Ω, dann gilt

h(a) = \frac{1}{ω_{n}r^{n−1}} ∫_{∂K_{r}(a)} dS h(x) (Mittelwertsatz)

iii) Ist Ω zusammenhängend und nimmt h ihr Maximum oder Minimum auf \overline{Ω} im Inneren Ω an, so ist h auf \overline{Ω} konstant (Maximumprinzip).

iv) Erfüllen h_{1}, h_{2} die Voraussetzungen und ist h_{1} = h_{2} auf ∂Ω mit Ω zusammenhängend, so gilt h_{1} = h_{2} auf \overline{Ω}.

Beweis. ii) (für n ≥ 2) Sei G := \overline{K_{r}(a)} \ K_{ρ}(a) die Kugelschale mit innerem Radius ρ und äußerem Radius r > ρ, und sei S_{r} := ∂K_{r}(a) und S_{ρ} := ∂K_{ρ}(a). Dann sind h, N_{a} harmonisch auf G, so daß nach der 2. Greenschen Formel gilt

∫_{S_{r}} dS (hD_{ν}N_{a} − N_{a}D_{ν}h)(x) = ∫_{S_{ρ}} dS (hD_{ν}N_{a} − N_{a}D_{ν}h)(x) .

Dabei ist ν jeweils das äußere Einheitsnormalenfeld auf den Sphären. Nach i) für die Teilmenge K_{R}(a) gilt ∫_{S_{R}} dS (D_{ν}h)(x) = 0 für R = ρ und R = r. Da N_{a} auf

S_{R} konstant ist, folgt ∫_{S_{r}} dS (hD_{ν}N_{a})(x) = ∫_{S_{ρ}} dS (hD_{ν}N_{a})(x). Für alle x ∈ S_{R}

gilt (D_{ν}N_{a})(x) = \frac{1}{ω_{n}} \frac{1}{∥x−a∥^{n−1}} = \frac{1}{ω_{n}R^{n−1}} und damit

\frac{1}{ω_{n}r^{n−1}} ∫_{S_{r}} dS h(x) = \frac{1}{ω_{n}ρ^{n−1}} ∫_{S_{ρ}} dS h(x) .

Für ρ → 0 folgt aus der Stetigkeit von h die Behauptung.

iii) Sei M := max_{x∈\overline{Ω}} h(x) und U := \{x ∈ Ω : h(x) = M\} ⊆ Ω. Wir zeigen, U ist offen und abgeschlossen. Das heißt U = Ω (dann ist h konstant) oder U = ∅ (dann nimmt h das Maximum auf dem Rand an).

Sei U ≠ ∅ und (x_{k})_{k∈ℕ} eine Folge von Punkten x_{k} ∈ U, die gegen x ∈ Ω konvergiert. Dann ist h(x_{k}) = M für alle k und wegen der Stetigkeit von h folgt h(x) = lim_{k→∞} h(x_{k}) = M, also ist U abgeschlossen.

Sei x ∈ U und r > 0 derart, daß \overline{K_{r}(x)} ⊆ Ω. Dann folgt aus dem Mittelwertsatz h(y) = M für alle y ∈ ∂K_{r}(x), denn wäre h(y) < M − ϵ für ein ϵ > 0, dann folgt aus der stetigen Differenzierbarkeit von h die Existenz einer Teilmenge V ⊆ ∂K_{r}(x) mit Volumen ≥ δ > 0, auf der h(y) < M − ϵ/2 gilt. Nach ii) wäre dann auch h(x) < M, Widerspruch. Also gibt es zu jedem x ∈ U auch eine Kugel K_{r}(x) ⊆ U, damit ist U offen. Die Aussagen für das Minimum ergeben sich mit h ↦ −h.

iv) Mit h_{1}, h_{2} ist auch h := h_{1} − h_{2} harmonisch mit h = 0 auf ∂Ω. Dann ist h = 0 auf \overline{Ω} nach iii). □

Eine wichtige Anwendung betrifft das Dirichlet-Problem

(Δϕ)(x) = ρ(x) für alle x ∈ Ω , ϕ(y) = f für alle y ∈ ∂Ω

mit vorgegebenen Ladungsdichten ρ und Randwerten f. Nach Satz 29.12 gibt es höchstens eine Lösung des Dirichlet-Problems.

Satz 29.13 (Sektorformel von Leibniz) Es sei c : [α, β] → ℝ^{2} eine differenzierbare reguläre Kurve und S_{c} := {s · c(t) : s ∈ [0, 1] , t ∈ [α, β]} der von c gebildete Sektor. Dann ist mit c(t) = (x(t), y(t)) der Flächeninhalt des Sektors gegeben durch

v_{2}(S_{c}) = \frac{1}{2} ∫_{c} ( − ydx + xdy) = \frac{1}{2} ∫_{α}^{β} dt ( − y(t)x′(t) + x(t)y′(t)) .

Beweis. Der Tangentialvektor an c in t ist (x′(t), y′(t)). Damit ist ν := (\frac{y′(t)}{∥c(t)∥}, −\frac{x′(t)}{∥c(t)∥}) mit ∥c(t)∥ = \sqrt{(y′(t))^{2} + (x′(t))^{2}} ein Einheitsnormalenvektor an den von c gebildeten Rand von S_{c}. Wird c im positiven Sinn durchlaufen, dann ist ν der äußere Einheitsnormalenvektor. Betrachte das Vektorfeld F = id : ℝ^{2} → ℝ^{2}, d.h. F (x, y) = (x, y). Nach Beispiel 28.4 gilt

∫_{c([α,β])} dS ⟨F, ν⟩ = ∫_{α}^{β} dt ∥c′(t)∥⟨F (c(t)), ν⟩ = ∫_{α}^{β} dt (x(t)y′(t) − y(t)x′(t)) .

Auf den Radien sc(α) und sc(β), mit s ∈ [0, 1] ist F tangential gerichtet, somit ⟨F, ν⟩ = 0. Andererseits ist div(F) = 2 und damit ∫_{G} dy (div F)(y) = 2v_{2}(G). Der Gaußsche Integralsatz liefert die Behauptung. □

Beispiel 29.14 Sei c(t) = (x(t), y(t)) mit x = r cos t und y = r sin t ein Kreisbogen, dann ist

v_{2}(S_{c}) = \frac{r^{2}}{2} ∫_{α}^{β} dt (sin^{2} t + cos^{2} t) = \frac{r^{2}(β − α)}{2} .

Der Vollkreis β − α = 2π hat die Fläche πr^{2} ◁

Als weitere Anwendung leiten wir die Keplerschen Gesetze aus dem Newtonschen Gravitationsgesetz

x′′(t) = −\frac{Mx(t)}{∥x(t)∥^{3}}

her. Dabei ist M > 0 für alle Planeten der gleiche Wert. Wir benötigen das Vektorprodukt von Vektoren a = (a_{1}, a_{2}, a_{3}) und b = (b_{1}, b_{2}, b_{3}):

(a × b)_{1} := a_{2}b_{3} − a_{3}b_{2} ,  (a × b)_{2} := a_{3}b_{1} − a_{1}b_{3} ,  (a × b)_{3} := a_{1}b_{2} − a_{2}b_{1} .

Dann gilt a × b = −b × a, insbesondere a × a = 0. Weiter gilt die Graßmann-Identität a × (b × c) = b⟨a, c⟩ − c⟨a, b⟩ sowie ⟨a, b × c⟩ = det(a, b, c) = ⟨b, c × a⟩ = ⟨c, a × b⟩ (Spatprodukt).

Der Drehimpuls J = x × x′ ist eine Erhaltungsgröße:

J′ = x × x′′ + x′ × x′ = −\frac{M}{∥x∥^{3}} x × x = 0 .

Weiter sei A := \frac{1}{M} J × x′ + \frac{x}{∥x∥} der Lenz-Runge-Vektor. Er ist ebenfalls eine Erhaltungsgröße:

A′ = \frac{1}{M} J × x′′ + \frac{x′}{∥x∥} − \frac{x⟨x, x′⟩}{∥x∥^{3}} = \frac{1}{∥x∥^{3}} ( − (x × x′) × x + x′⟨x, x⟩ − x⟨x, x′⟩) = 0

wegen der Graßmann-Identität. Die Gleichung ⟨x, J⟩ = 0 (Spatprodukt) besagt, daß der Bahnvektor x in einer Ebene E senkrecht zum konstanten Drehimpulsvektor J liegt. Dann ist auch A ⊥ J, d.h. A, x liegen in E. Somit gilt

⟨A, x⟩ = ∥A∥∥x∥ cos ϕ = \frac{1}{M} ⟨J×x′, x⟩+∥x∥ = −\frac{1}{M} ⟨x×x′, J⟩+∥x∥ = −\frac{∥J∥^{2}}{M} +∥x∥ .

Ist A = 0, so ist r := ∥x∥ = \frac{∥J∥^{2}}{M} = const, die Bahn also ein Kreis. Ansonsten folgt

r = \frac{p}{1 − ϵ cos ϕ} , ϵ = ∥A∥ , p = \frac{∥J∥^{2}}{M} .

Das ist die Darstellung eines Kegelschnittes in Polarkoordinaten (r(ϕ), ϕ) mit Brennpunkt r = 0. Somit folgt:

Die Bahnen der Planeten sind ebene Kegelschnitte, in deren einen Brennpunkt die Sonne steht.

Sei J = ∥J∥e_{3} und x = x_{1}e_{1} + x_{2}e_{2}, dann ist ∥J∥ = x_{1}x′_{2} − x_{2}x′_{1}. Nach der Sektorformel von Leibniz gilt

∥J∥(t_{2} − t_{1}) = ∫_{t_{1}}^{t_{2}} dt ∥J∥ = ∫_{t_{1}}^{t_{2}} dt (x_{1}x′_{2} − x_{2}x′_{1}) = 2v_{2}(S_{t_{1},t_{2}}) ,

wobei S_{t_{1},t_{2}} der Sektor unter der Bahnkurve zwischen t_{1}, t_{2} ist. Somit gilt:

Der Radiusvektor Sonne-Planet überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen.

Für 0 ≤ ϵ < 1 ist die Bahn eine geschlossene Ellipse. Ist T die Umlaufzeit, dann ist F = \frac{∥J∥T}{2} die Fläche der Ellipse. Andererseits ist

F = ∫_{0}^{2π} dϕ ∫_{0}^{r(ϕ)} dρ ρ = ∫_{0}^{2π} dϕ\frac{1}{2}(\frac{p}{1 − ϵ cos ϕ})^{2} = \frac{πp^{2}}{(1 − ϵ^{2})^{\frac{3}{2}}} .

Das Integral kann über den Residuensatz berechnet werden:

∫_{0}^{2π} dϕ\frac{1}{(1 − ϵ cos ϕ)^{2}} = 2π res_{z_{0}∈K_{1}(0)}(\frac{1}{z} \frac{1}{(1 − \frac{ϵ}{2}(z + \frac{1}{z}))^{2}} )

= 2π res_{z_{0}=^{\frac{1−\sqrt{1−ϵ^{2}}}{ϵ}}} (\frac{4z}{(2z − ϵ(z^{2} + 1))^{2}} )

= 2π(\frac{4z(z − z_{0})^{2}}{(2z − ϵ(z^{2} + 1))^{2}} )′|_{z=z_{0}}

= 2π(\frac{4z}{(ϵz − 1 − \sqrt{1 − ϵ^{2}})^{2}} )′|_{z=z_{0}}

= 2π(\frac{4}{(ϵz − 1 − \sqrt{1 − ϵ^{2}})^{2}} − \frac{8zϵ}{(ϵz − 1 − \sqrt{1 − ϵ^{2}})^{3}} )|_{z=z_{0}}

= \frac{2π}{(\sqrt{1 − ϵ^{2}})^{3}} .

Die große Halbachse a der Ellipse ist definiert durch 2a := r(0) + r(π) = \frac{p}{1−ϵ} + \frac{p}{1+ϵ^{2}} = \frac{2p}{1−ϵ^{2}} = \frac{2∥J∥^{2}}{M(1−ϵ^{2})}. Somit gilt: ∥J∥T = 2π \frac{∥J∥^{4}}{M^{2}(1−ϵ^{2})^{\frac{3}{2}}} = \frac{2π}{\sqrt{M}} ∥J∥a^{\frac{3}{2}} .

Die Quadrate der Umlaufzeiten zweier Planeten verhalten sich zueinander wie die dritten Potenzen der großen Halbachsen ihrer Bahnen.