Prof. Dr. Raimar Wulkenhaar WS 18/19 Alexander Hock

Übungen zur Vorlesung Mathematik für Physiker III

Abgabe: Freitag, 16.11.2018 bis 10h00 in den Briefkästen Blatt 5

Aufgabe 1. Seien a, b ∈ ℝ mit a < b und sei c ∈ C^{2}([a, b]) eine Lösung der Euler-Lagrange-Gleichungen für die Lagrange-Funktion

L: [a, b] × ℝ^{2} → ℝ, (t, q, v) ↦ q\sqrt{1 + v^{2}},

für alle t ∈ [a, b]. Zeige:

(a) Es gibt ein γ ∈ ℝ so, daß für alle t ∈]a, b[ gilt:

\frac{c(t)c′(t)^{2}}{\sqrt{1 + c′(t)^{2}}} − c(t)\sqrt{1 + c′(t)^{2}} = −γ.

(Hinweis: Energieerhaltungssatz.)

(b) c(t) = γ\sqrt{1 + c′(t)^{2}} für alle t ∈ [a, b].

(Bemerkung: Das zugehörige Variationsproblem besteht darin, für eine Kurve zwischen vorgegebene Randpunkten den Oberflächeninhalt der zugehörige Rotationsfläche (bei Drehung um die x-Achse) zu minimieren.)

Aufgabe 2. Durch eine in jedem Punkt x ∈ ℝ^{n} positiv definite symmetrische Matrix G(x) = G^{t}(x) = (g_{ij}(x))_{ij} ∈ GL(n, ℝ) werde punktweise ein allgemeines Skalarprodukt ⟨ , ⟩_{G(x)} : ℝ^{n} × ℝ^{n} → ℝ durch ⟨v, w⟩_{G(x)} := ⟨v, G(x)w⟩ definiert. Wir betrachten die zugehörige Lagrange-Funktion

L: ℝ × ℝ^{n} × ℝ^{n} → ℝ, (t, q, v) ↦ \frac{1}{2}⟨v, v⟩_{G(q)}.

Sei c: [a, b] → ℝ^{n}, t ↦ c(t) = (c_{1}(t), …, c_{n}(t)), eine auf ]a, b[ zweimal differenzierbare Lösung der zugehörigen Euler-Lagrange-Gleichung

(\frac{d}{dt} \frac{∂L}{∂v_{k}} ) (t, c(t), c′(t)) − (\frac{∂L}{∂q_{k}} ) (t, c(t), c′(t)) = 0 für k = 1, …, n, t ∈]a, b[.

(a) Zeigen Sie, daß dann für alle 1 ≤ i ≤ n und t ∈]a, b[ gilt:

∑_{j=1}^{n} g_{kj}(c(t))c′′_{j}(t) + ∑_{i,j=1}^{n} \frac{∂g_{kj}}{∂x_{i}} (c(t))c′_{i}(t)c′_{j}(t) − \frac{1}{2} ∑_{i,j=1}^{n} \frac{∂g_{ij}}{∂x_{k}} (c(t))c′_{i}(t)c′_{j}(t) = 0.

(b) Benutzen Sie (a), die Symmetrie G = G^{t} und die inverse Matrix G^{−1}(x) = (h_{lk}(x))_{lk} ∈ GL(n, ℝ), um folgende Geodätengleichung zu erhalten:

0 = c′′_{l}(t) + ∑_{i,j=1}^{n} Γ_{ij}^{l}(c(t))c′_{i}(t)c′_{j}(t) für l = 1, …, n, t ∈]a, b[,

wobei Γ_{ij}^{l}(c(t)) = \frac{1}{2} ∑_{k=1}^{n} h_{lk}(c(t)) (\frac{∂g_{kj}}{∂x_{i}} (c(t)) + \frac{∂g_{ki}}{∂x_{j}} (c(t)) − \frac{∂g_{ij}}{∂x_{k}} (c(t))) .

(Bemerkung: In der allgemeinen Relativitätstheorie beschreibt die Metrik G das Gravitationsfeld und die Geodätengleichung die Bahnen von Testteilchen in solch einem Feld.)

Aufgabe 3. Lösen Sie folgende Differentialgleichungen (in einer Umgebung ihrer Anfangsdaten):

(a) x′(t) = \sqrt{1 + (x(t))^{2}} cos t mit x(0) = 0.

(b) x′(t) = \frac{cos(x(t))}{1+2t} mit x(0) = 0. (Hinweis: \frac{1}{cos y} = \frac{cos y}{cos^{2} y})

Aufgabe 4. (Auflösung fester Stoffe) Die Geschwindigkeit, mit der ein fester Stoff S in einem Lösungsmittel L aufgelöst wird, ist proportional zu der noch nicht aufgelösten Menge von S und zu der Differenz zwischen Sättigungskonzentration und momentaner Konzentration des schon aufgelösten Stoffes.

(a) Zur Zeit t_{0} = 0 mögen in einem Behälter mit 100 kg des Lösungsmittels 10 kg des Stoffes S eingebracht werden. Die Sättigungskonzentration sei 1/4. Stellen Sie eine DGL für die Menge u(t) des zur Zeit t > 0 gelösten Stoffes S (in kg) auf. (Diese wird eine Proportionalitätskonstante k enthalten. Die Konzentration des gelösten Stoffes ist in diesem Modell u(t)/100 und nicht u(t)/(100 + u(t)).)

(b) Lösen Sie das AWP mittels Trennung der Variablen. Verwenden Sie dazu eine Partialbruchzerlegung

\frac{1}{(10 − v)(25 − v)} = α (\frac{1}{10 − v} − \frac{1}{25 − v} )

mit geeignetem α ∈ ℝ. (Nur zur Probe: Die Lösung ist u(t) = 10(1 + \frac{3}{2−5e^{0,15kt}}).)

(c) In der Lösung tritt noch eine Proportionalitätskonstante k auf. Wie groß ist sie, wenn nach t = 10 Minuten eine Lösungskonzentration von 1/20 gemessen wird?