Prof. Dr. Raimar Wulkenhaar WS 18/19 Alexander Hock

Übungen zur Vorlesung Mathematik für Physiker III

Abgabe: Freitag, 7.12.2018 bis 10h00 in den Briefkästen Blatt 8

Aufgabe 2. (a) Gegeben seien die Differentialformen

ω = xydx + e^{x}dy + yzdz,  υ = z^{2}dx ∧ dy + dx ∧ dz + cos x · dy ∧ dz.

Berechnen Sie das Keilprodukt ω ∧ υ und die äußeren Ableitungen dω und dυ.

(b) Sei u eine differentielle k-Form mit einem geraden k. Zeigen Sie, daß dann u ∧ du = 0. (Hinweis: Verwenden Sie u ∧ u = 0, die graduierte Leibniz-Regel und die graduierte Kommutativität.)

(c) Berechnen Sie für eine differentielle k-Form ω und k′-Form ζ die äußere Ableitung

d(dω ∧ ζ − ω ∧ dζ)

Aufgabe 2. Berechnen Sie das Kurvenintegral ∫_{γ} ω für folgende ω, γ:

(a) ω = xdx + xdy + zdz, γ : [0, 1] → ℝ^{3} mit γ(t) = (t, t^{2}, t^{3}) bzw. γ : [0, \frac{π}{2}] → ℝ^{3} mit γ(t) = (sin t, sin^{2} t, sin^{3} t).

(b) ω = ydx + xdy, γ : [0, 1] → ℝ^{2} mit γ(t) = (cos t, sin t).

(c) ω = \frac{−ydx+xdy}{x^{2}+y^{2}}, γ : [0, \frac{π}{2}] → ℝ^{2} mit γ(t) = (a cos t, b sin t), wobei a, b > 0.

Aufgabe 3. Berechnen Sie das Integral der Differentialform ω(x, y) = \frac{1}{2}(−ydx + xdy) längs der durch c(t) = ((1+cos t) cos t, (1+cos t) sin t) definierten Kurve c : [0, 2π] → ℝ^{2}. Bemerkung: Nach der Sektorformel von Leibniz berechnet dieses Kurvenintegral den Flächeninhalt der Herzkurve.

Aufgabe 4. Prüfen Sie die folgenden DGL auf Exaktheit, bestimmen Sie bei Bedarf einen integrierenden Faktor μ der Form μ = μ(t) und lösen Sie die DGL:

(a) (2t + 3) + (2x(t) − 2)x′(t) = 0;

(b) (t^{2} + x(t)) − tx′(t) = 0 für t > 0.

(c) 1 + x(t)t^{−2} − x′(t)t^{−1} = 0 für t > 0;

(d) (2t − x(t)^{−1}) + tx(t)^{−2}x′(t) = 0.