Prof. Dr. Raimar Wulkenhaar WS 18/19 Alexander Hock

Übungen zur Vorlesung Mathematik für Physiker III

Abgabe: Freitag, 14.12.2018 bis 10h00 in den Briefkästen Blatt 9

Aufgabe 1. (a) Seien f, g : ℂ → ℂ definiert durch f(z) = |z|^{4} − 2|z|^{2} und g(z) = x^{3}y^{2} + ix^{2}y^{3} mit z = x + iy. Geben Sie alle Punkte an, an denen f bzw. g komplex differenzierbar oder sogar holomorph ist.

(b) Finden Sie holomorphe Funktionen f(z) = f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) mit i) u(x, y) = −x^{3} + 2x^{2} + y^{2}(3x − 2) ii) u(x, y) = sin(x)e^{−y} Hinweis: Erraten erlaubt!

Aufgabe 2. (a) Zeige Sie für a ∈ ℝ mit |a| ≤ 1 die folgende Integralidentität:

∫_{0}^{∞} e^{−(1+ia)^{2}t^{2}}dt = \frac{1}{2} \frac{1 − ia}{1 + a^{2}} \sqrt{π}.

Konstruieren Sie dafür ein Dreieck in der komplexen Ebene und nehmen Sie den Limes lim_{R→∞}. Hinweis: Betrachten Sie die Funktion e^{−z^{2}}. Finden Sie Parametrisierungen für γ_{1}, γ_{2}, nutzen Sie γ_{3} : [0, R] → ℂ, t ↦ (1 + ia)t und die Lösung des Integrals ∫_{0}^{∞} e^{−t^{2}}dt = \frac{1}{2} \sqrt{π}.

[figure: Im(z); Re(z); R; aR; γ_{2}; γ_{1}; γ_{3}; 0]

(b) Folgern Sie ∫_{0}^{∞} cos(t^{2})dt = ∫_{0}^{∞} sin(t^{2})dt = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{π}{2}}.

Aufgabe 3. Berechnen Sie die folgenden Integrale:

(a) ∫_{∂K_{2}(0)} \frac{w^{2}(w^{2} − 1)}{\sqrt{2} − w}dw ,  (b) ∫_{∂K_{3/2}(i)} \frac{1}{w^{2} + 1}dw
(c) ∫_{∂K_{3/2}(1)} \frac{1}{w^{2} + 1}dw ,  (d) ∫_{∂K_{3}(0)} \frac{cos(πw)}{w^{2} − 1}dw

Hinweis: Verwenden Sie bei (c) und (d) die Partialbruchzerlegung.

Aufgabe 4. (a) Wie schnell müßte ein Reisender sein, damit er anläßlich der Wintersonnenwende jedem Kind auf der Erdoberfläche S^{2} ein Geschenk in nur einer Nacht bringen kann? (Bemerkung: Machen Sie passende Annahmen.)

(b) Malen Sie den Reisenden aus (a) mit mathematischen Symbolen.