Prof. Dr. Raimar Wulkenhaar WS 18/19 Alexander Hock

Übungen zur Vorlesung Mathematik für Physiker III

Abgabe: Donnerstag, 20.12.2018 bis 10h00 in den Briefkästen Blatt 10

Aufgabe 1. Berechnen Sie die folgenden Residuen:

(a) res_{i} (\frac{e^{iπz}}{z^{4} − 1})  (b) res_{1} (\frac{e^{iπz}}{z^{4} − 1})
(c) res_{1} (\frac{z^{n}}{(z − 1)^{k+1}} )  (d) res_{k} (\frac{cos(πz)}{sin(πz)}) ,  k, n ∈ ℕ

Aufgabe 2. Berechnen Sie die folgenden Integrale

(a) ∫_{−∞}^{∞} \frac{x^{2}}{x^{4} + 1}dx (b) ∫_{−∞}^{∞} \frac{dx}{(x^{2} + 1)^{n+1}} , n ∈ ℕ

(c) ∫_{0}^{∞} \frac{dx}{(x^{2} + a^{2})(x^{2} + b^{2})} , a, b > 0.

Aufgabe 3. Berechnen Sie die folgenden Integrale

(a) ∫_{0}^{2π} \frac{dt}{(5 − 3 sin(t))^{2}} (b) ∫_{0}^{2π} \frac{dt}{1 − 2a cos(t) + a^{2}} , a ∈ K_{1}(0)

(c) ∫_{−∞}^{∞} \frac{x sin(x)dx}{1 + x^{4}}.

Aufgabe 4. (Maximumsprinzip) Sei U ⊆ ℂ offen und f: U → ℂ holomorph.

(a) Verwenden Sie die Cauchysche Integralformel, um zu zeigen: Falls |f| in einem Punkt z ∈ U ein Maximum hat, dann muß f konstant sein.

(b) Sei U beschränkt und f stetig auf dem Rand ∂U fortsetzbar. Begründen Sie, daß f auf \overline{U} = U ∪ ∂U ein Maximum hat. Schlußfolgern Sie, daß |f| sein Maximum auf dem Rand ∂U annimmt, also sup_{z∈\overline{U}} |f(z)| = sup_{z∈∂U} |f(z)|.

(c) Sei f : U → ℂ holomorph, nicht konstant und stetig auf den Rand ∂U fortsetzbar. Auf dem Rand ∂U sei f konstant. Zeigen Sie, daß f in U eine Nullstelle hat.