Prof. Dr. Raimar Wulkenhaar WS 18/19 Alexander Hock

Übungen zur Vorlesung Mathematik für Physiker III

Abgabe: Freitag, 18.1.2019 bis 10h00 in den Briefkästen Blatt 12

Aufgabe 1. Es sei A := {(x, y, z) : (x−R/2)^{2} + y^{2} ≤ (R/2)^{2} , x^{2}+y^{2}+z^{2} ≤ R^{2}} ⊆ ℝ^{3} der Durchschnitt der Kugel mit Mittelpunkt 0 und Radius R mit dem Zylinder mit Radius R/2, dessen Symmetrieachse parallel zur z-Achse durch (\frac{R}{2}, 0, 0) geht.

(a) Berechnen Sie das Volumen von A.

(b) Berechnen Sie für die Dichte μ = 1 die x-Koordinate s_{x} des Schwerpunkts von A.

Hinweise: Das geht einfacher in Zylinderkoordinaten (r, ϕ, z) mit x = r cos ϕ, y = r sin ϕ. Überlegen Sie sich die Parametrisierung der Schnittfläche z = 0 (siehe Skizze) und integrieren Sie in der Reihenfolge ∫ dϕ ∫ dr ∫ dz über zu bestimmende Intervalle für ϕ, r, z.

[figure: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .^{^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}}^{^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}}^{^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}}^{^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}}^{^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}}^{^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}}^{^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}}^{^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}}^{^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}}^{^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}}^{^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}}^{^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}}^{^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}}^{^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}}^{^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}}^{^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}}^{^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}}^{^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}}^{^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}}^{^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}}^{^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}}^{^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}}^{^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}}^{^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .; ^{^{.}. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .}; ϕ; S; 0; \frac{R}{2}; R]

Aufgabe 2. Wir betrachten den homogenen Torus

T = \{(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : (\sqrt{x^{2} + y^{2}} − R)^{2} + z^{2} ≤ ϱ^{2}\} , R > ϱ .

(a) Berechnen Sie das Volumen des Torus.

(b) Sei U ⊆ ℝ^{2}, F: U → ℝ^{3} stetig differenzierbar und K ⊆ U kompakt. Später in der Vorlesung wird bewiesen, daß der Flächeninhalt A(F (K)) der Fläche F (K) ⊆ ℝ^{3} gegeben ist durch

A(F (K)) = ∫_{K} dx\sqrt{det(((DF)(x))^{t}(DF)(x))} .  (1)

Berechnen Sie mit Hilfe dieser Formel und der Parametrisierung

F: [0, 2π] × [0, 2π] → ℝ^{3}, (\begin{matrix}ϕ \\ ψ \end{matrix}) ↦ (\begin{matrix}(R − ϱ cos ψ) cos ϕ \\ (R − ϱ cos ψ) sin ϕ \\ ϱ sin ψ \end{matrix})

den Oberflächeninhalt des Torus.

Aufgabe 3. Sei a < b und f: [a, b] → ℝ_{+} stetig differenzierbar. Wir fassen c(z) = (f(z), z) als Kurve in der x-z-Ebene auf, die bei Rotation um die z-Achse die Rotationsfläche

M = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : z ∈ [a, b], x^{2} + y^{2} = f(z)^{2}}

überstreicht.

(a) Zeigen Sie mit Hilfe von Formel (1) aus Aufgabe 2 und der Abbildung

F: [a, b] × [0, 2π] → ℝ^{3}, (z, ϕ) ↦ (f(z) cos ϕ, f(z) sin ϕ, z),

daß der Flächeninhalt A(M) der Rotationsfläche M gegeben ist durch

A(M) = 2π ∫_{a}^{b} dz f(z)\sqrt{1 + f′(z)^{2}} .

(b) Berechnen Sie für die Rotationsfläche zu f : [−R, R] ∋ z ↦ f(z) = \sqrt{R^{2} − z^{2}} den Oberflächeninhalt der Kugel vom Radius R.

(c) Eine differenzierbare Kurve c : [a, b] ∋ t ↦ (x_{1}(t), …, x_{n}(t)) ∈ ℝ^{n} hat den Linienschwerpunkt (s_{1}, …, s_{n}) mit s_{i} = \frac{1}{L(c)} ∫_{a}^{b} dt x_{i}(t)∥c′(t)∥, wenn L(c) die Bogenlänge von c ist. Zeigen Sie: Ist (s_{x}, s_{z}) der Linienschwerpunkt der Kurve c: [a, b] ∋ z ↦ (f(z), z) ∈ ℝ^{2} aus (a), dann gilt für den Flächeninhalt der Rotationsfläche die erste Guldinsche Regel A(M) = 2πL(c)s_{x}.