Prof. Dr. Raimar Wulkenhaar WS 19/20 Alexander Hock

Übungen zur Vorlesung Mathematik für Physiker I

Zur Besprechnung in den Übungen, keine Abgabe Blatt 0

Aufgabe 1. Die Negation einer Aussage X ist eine Aussage Y, die genau dann wahr ist, wenn X falsch ist. Die Negation von “Nachts sind alle Katzen grau” ist beispielsweise “Nachts gibt es eine Katze, die nicht grau ist”. Formulieren Sie die Negation folgender Aussagen:

(a) Wenn es regnet, scheint nicht die Sonne.

(b) Jeden Morgen trinkt Herr Müller einen Kaffee; es sei denn, es ist Sonntag.

(c) Jeder Studierende fährt in Münster Fahrrad, außer es regnet.

Aufgabe 2. Zu finden sind zwei natürliche Zahlen die echt zwischen 1 und 100 liegen. Herr Produkt kennt das Produkt der Zahlen und Frau Summe kennt die Summe der Zahlen. Herr Produkt und Frau Summe führen die folgende Unterhaltung:

• Herr Produkt: “Ich kenne die beiden Zahlen nicht.”

• Frau Summe: “Ich kenne die beiden Zahlen auch nicht, aber ich wußte, daß Sie die Zahlen nicht kennen.”

• Herr Produkt: “Dann kenne ich die beiden Zahlen jetzt.”

• Frau Summe: “Dann kenne ich die beiden Zahlen jetzt auch.”

Welches der folgenden Zahlenpaare ist die richtige Lösung? (Wir setzen voraus, daß eines der angegebenen Paare richtig ist!)

11 und 13,  2 und 17,  4 und 11, 4 und 13.

Aufgabe 3. Seien N, M zwei n-elementige Mengen mit n ∈ ℕ und f : N → M. Zeigen Sie:

(a) Wenn f injektiv ist, ist f surjektiv.

(b) Wenn f surjektiv ist, ist f injektiv.

(c) Die Anzahl der injektiven Abbildungen von N nach M ist n!.

Aufgabe 4. Zeigen Sie für n ∈ ℕ:

a) ∑_{k=0}^{n} k^{3} = \frac{n^{2}(n + 1)^{2}}{4} ,  b) ∑_{k=0}^{n}(2k + 1) = (n + 1)^{2},

c) ∑_{k=1}^{2n} \frac{(−1)^{k−1}}{k} = ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{n + k} ,  n ≥ 1.