Prof. Dr. Raimar Wulkenhaar WS 19/20 Alexander Hock

Übungen zur Vorlesung Mathematik für Physiker I

Abgabe: Donnerstag, 17.10.2019 bis 10h00 in den Briefkästen Blatt 1

Aufgabe 1. Von Leonardo Fibonacci stammt folgendes Modell zur Vermehrung von Kaninchen. Nimmt man an, daß Kaninchen unsterblich sind, stets in Paaren auftreten und jedes Paar in jedem Monat ein neues Kaninchenpaar zeugt, welches nach Ablauf zweier Monate selbst Nachwuchs bekommt, so genügt die Anzahl f_{n} der Kaninchenpaare im Monat n der Rekursionsgleichung

f_{n+2} = f_{n+1} + f_{n} für alle n ∈ ℕ.

(a) Überzeugen Sie sich, daß das Kaninchenmodell auf diese Gleichung führt.

Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, daß im Fall f_{0} = 0, f_{1} = 1 für alle n ∈ ℕ gilt:

(b) ∑_{k=0}^{n} f_{k} = f_{n+2} − 1

(c) ∑_{k=1}^{n} f_{k}^{2} = f_{n}f_{n+1}

(d) f_{n+1}f_{n−1} − f_{n}^{2} = (−1)^{n} , n ≥ 1

Aufgabe 2. (a) Welche der folgenden Abbildungen ist injektiv/surjektiv/bijektiv?

f: ℕ → ℕ, x ↦ x + 1, g: ℤ → ℤ, x ↦ x + 1.

(b) Sind folgende Abbildungen f : ℝ^{2} → ℝ^{2} injektiv/surjektiv/bijektiv? (Begründung oder Gegenbeispiel):

i) f : (x, y) ↦ (3y, x − 1) ii) f : (x, y) ↦ (xy, x − y) iii) f : (x, y) ↦ (y^{3} − y, x) iv) f : (x, y) ↦ (\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}, y + x)

Aufgabe 3. Seien f: X → Y und g: Y → Z Abbildungen. Beweisen oder widerlegen Sie durch Gegenbeispiele folgende Aussagen:

(a) Wenn g ∘ f injektiv ist, dann ist f injektiv.

(b) g ∘ f ist genau dann surjektiv, wenn g und f surjektiv sind.

(c) Wenn g ∘ f surjektiv und g injektiv ist, dann muß g bijektiv und f surjektiv sein. Extra Beispiel: Wenn g ∘ f injektiv und f surjektiv, dann muß g injektiv sein. Lösung. Wahr. Beweis: Seien y, y′ ∈ Y mit g(y) = g(y′). Da f surjektiv ist, existieren x, x′ ∈ X mit f(x) = y und f(x′) = y′. Dann folgt g(f(x)) = g(y) = g(y′) = g(f(x′)) und wegen Injektivität von g ∘ f auch x = x′, also y = f(x) = f(x′) = y′.

Aufgabe 4. Beweisen Sie:

(a) 2^{n+1} + 3 · 7^{n} ist für alle n ∈ ℕ durch 5 teilbar.

(b) Es sei n ∈ ℕ ungerade. Dann ist die Summe von n aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen durch n teilbar.