Prof. Dr. Raimar Wulkenhaar WS 19/20 Alexander Hock

Übungen zur Vorlesung Mathematik für Physiker I

Abgabe: Donnerstag, 19.12.2019 bis 10h00 in den Briefkästen Blatt 10

Aufgabe 1. Seien a, b ∈ ℝ mit a < b.

(a) Seien f, g: [a, b] → ℝ stetige Funktionen mit f(a) ≥ g(a) und f(b) ≤ g(b). Zeigen Sie, daß dann ein x ∈ [a, b] existiert mit f(x) = g(x).

(b) Sei f: [a, b] → [a, b] eine stetige Funktion. Zeigen Sie, daß dann ein x ∈ [a, b] existiert mit f(x) = x. Bemerkung: Solch ein x nennt man einen Fixpunkt von f.

Aufgabe 2. Überprüfen Sie, ob folgende Funktionsgrenzwerte existieren, und bestimmen Sie diese gegebenenfalls (ohne die Regel von de l’Hospital):

(a) lim_{x→1} \frac{x^{p} − 1}{x^{q} − 1} , p, q ∈ ℕ^{×}

(b) lim_{x→1} \frac{\sqrt{x + 8} − 3}{x − 1}
(c) lim_{x→0} \frac{exp ((1 + x)^{2}) − exp(1 + 2x)}{x^{2}}
(d) lim_{x→1} \frac{1}{x − 1} (\frac{x^{2}}{1 + x^{3}} − \frac{2x}{(x + 1)^{2}} )

Aufgabe 3. Sei a ∈]0, 1[∪]1, ∞[. Zeigen Sie, daß die Abbildung f: ℝ →]0, ∞[, x ↦ a^{x}, eine Umkehrabbildung log_{a} := f^{−1} : ]0, ∞[→ ℝ besitzt, und daß log_{a} y = \frac{ln y}{ln a} für alle y ∈]0, ∞[.

Aufgabe 4. (a) Geben Sie eine Reihenentwicklung der Funktion x ↦ ln \frac{1+x}{1−x} für x ∈ ]−1, 1[ an.

(b) Zeigen Sie unter Verwendung von (a):

ln 2 = ∑_{n=0}^{∞} \frac{2}{3(2n + 1)9^{n}} ,

ln 3 = ∑_{n=0}^{∞} (\frac{2}{3(2n + 1)9^{n}} + \frac{2}{5(2n + 1)25^{n}} ) ,

ln 5 = ∑_{n=0}^{∞} (\frac{4}{3(2n + 1)9^{n}} + \frac{2}{9(2n + 1)81^{n}} ) .