Prof. Dr. Raimar Wulkenhaar WS 19/20 Alexander Hock

Übungen zur Vorlesung Mathematik für Physiker I

Abgabe: Donnerstag, 9.1.2020 bis 10h00 in den Briefkästen Blatt 11

Aufgabe 1. (a) Zeigen Sie: arsinhx = ln (x + \sqrt{1 + x^{2}}) für alle x ∈ ℝ.

(b) Zeigen Sie: Für alle x, y ∈ ℝ mit xy < 1 gilt

arctan x + arctan y = arctan (\frac{x + y}{1 − xy} ) .

(c) Zeigen Sie unter Verwendung von (b) sowie der für x ∈] − 1, 1[ gültigen Reihendarstellung arctan x = ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{1+2n} x^{1+2n} die folgende schnell konvergierende Reihendarstellung für π:

\frac{π}{4} = 4 ∑_{k=0}^{∞} \frac{(−1)^{k}}{2k + 1} (\frac{1}{5})^{2k+1} − ∑_{k=0}^{∞} \frac{(−1)^{k}}{2k + 1} (\frac{1}{239})^{2k+1} .

Aufgabe 2. Zeigen Sie:

(a) sin x = \frac{2 tan \frac{x}{2}}{1+tan^{2} \frac{x}{2}} und cos x = \frac{1−tan^{2} \frac{x}{2}}{1+tan^{2} \frac{x}{2}} für −π < x < π

(b) Für alle n ∈ ℕ^{×} und x ∈ ℝ gilt ∑_{k=0}^{n−1} e^{ikx} = \frac{1 − e^{inx}}{1 − e^{ix}}

(c) Für alle n ∈ ℕ^{×} und x ∈ ℝ gilt ∑_{k=0}^{n−1} sin(kx) = sin (\frac{(n − 1)x}{2})\begin{matrix}sin & \frac{nx}{2} \\ sin & \frac{x}{2} \end{matrix}

Aufgabe 3. Berechnen Sie die Ableitungen f′(x) für:

f(x) = x^{x} , x > 0 ,  f(x) = arcsin(\sqrt{1 − x^{2}}) , 0 < x < 1 ,
f(x) = ln(tan(x)) ,  f(x) = arcsin (\frac{x}{1 + x^{2}} ) .

Aufgabe 4. Berechnen Sie, falls existent, die folgenden Grenzwerte:

(a) lim_{x→1} \frac{x^{4} − 8x^{3} + 22x^{2} − 24x + 9}{cos(x^{2} − x) − 1} ,  (b) lim_{x→∞} \frac{ln(cosh^{n} x)}{\sqrt{x^{2} + x}} , n ∈ ℕ,
(c)  lim_{x→0} \frac{x − sin x}{x(1 − cos x)} ,  (d) lim_{x→∞} \sqrt{1 + x^{2}} ln (1 + \frac{1}{x}) .