Prof. Dr. Raimar Wulkenhaar WS 19/20 Alexander Hock

Übungen zur Vorlesung Mathematik für Physiker I

Abgabe: Donnerstag, 16.1.2020 bis 10h00 in den Briefkästen Blatt 12

Aufgabe 1. Wir definieren zwei Folgen von Polynomen (T_{n})_{n} und (U_{n})_{n} rekursiv durch

T_{n+1}(y) = 2yT_{n}(y) − T_{n−1}(y),  T_{0}(y) = 1,  T_{1}(y) = y,
U_{n+1}(y) = 2yU_{n}(y) − U_{n−1}(y),  U_{0}(y) = 1,  U_{1}(y) = 2y.

für alle y ∈ ℝ. Zeigen Sie, daß dann für alle n ∈ ℕ und x ∈ ℝ gilt:

cos(nx) = T_{n}(cos x),  sin(nx) = sin x · U_{n−1}(cos x).

Aufgabe 2. (a) Bestimmen Sie die Extrema, deren Art sowie die Wendepunkte von f : ℝ → ℝ mit

f(x) = x exp(−x^{2}).

(b) Bestimmen Sie für |z| < 1 die Reihen

i) ∑_{k=0}^{∞} kz^{k}, ii) ∑_{k=0}^{∞} k^{2}z^{k}.

Hinweis: Eine Operation auf die geometrische Reihe führt zum gewünschten Ergebnis.

Aufgabe 3. Nach dem Planckschen Strahlungsgesetz ist die spektrale Strahlungsdichte eines schwarzen Körpers der Temperatur T > 0 bei der Wellenlänge λ > 0 gegeben durch

I(λ) = \frac{2hc^{2}}{λ^{5}} \frac{1}{e^{\frac{hc}{kT λ}} − 1}, h, c, k > 0.

(a) Zeigen Sie: Ist I(λ) extremal im Punkt λ_{0} ∈]0, ∞[, so gilt (5 − x_{0})e^{x_{0}} = 5 für x_{0} := \frac{hc}{kT λ_{0}} .

(b) Zeigen Sie: I(λ) hat genau einen extremalen Punkt λ_{0} ∈]0, ∞[.