Prof. Dr. Raimar Wulkenhaar WS 19/20 Alexander Hock

Übungen zur Vorlesung Mathematik für Physiker I

Abgabe: Donnerstag, 24.10.2019 bis 10h00 in den Briefkästen Blatt 2

Aufgabe 1. Es sei M eine endliche Menge aus n ≥ 1 Elementen. Zeigen Sie:

(a) Für k ∈ \{0, …, n\} gibt es genau \binom{n}{k} verschiedene k-elementige Teilmengen von M.

(b) M besitzt 2^{n} verschiedene Teilmengen (einschließlich ∅ und M selbst).

Aufgabe 2. (a) Für alle a, b > 0 ist das arithmetische, geometrische beziehungsweise harmonische Mittel definiert durch

A(a, b) := \frac{a + b}{2},  G(a, b) := \sqrt{ab},  H(a, b) := \frac{2ab}{a + b} = \frac{1}{A(\frac{1}{a}, \frac{1}{b})}.

Zeigen Sie, daß gilt:

H(a, b) ≤ G(a, b) ≤ A(a, b),  H(a, b) = A(a, b) ⇔ a = b.

(b) Seien nun 0 < a < b fest. Wir definieren a_{1} := a und b_{1} := b sowie

a_{n+1} := H(a_{n}, b_{n}),  b_{n+1} := A(a_{n}, b_{n})  für alle n ∈ ℕ.

Zeigen Sie, daß für alle n ∈ ℕ gilt:

G(a_{n}, b_{n}) = \sqrt{ab} , a_{n}<a_{n+1}<\sqrt{ab}<b_{n+1}<b_{n} und |b_{n+1} − a_{n+1}| < \frac{1}{2}|b_{n} − a_{n}| .

Aufgabe 3. Für 0 < a < b werden rekursiv Intervalle I_{n} = [a_{n}, b_{n}] definiert durch

a_{0} = a , b_{0} = b , a_{n} = G(a_{n−1}, b_{n−1}) , b_{n} = A(a_{n−1}, b_{n−1}) ,

wobei G(a, b) := \sqrt{ab} bzw. A(a, b) := \frac{a+b}{2} das geometrische bzw. arithmetische Mittel sind.

Beweisen Sie: (I_{n})_{n∈ℕ} ist eine Intervallschachtelung.

Hinweis: Ein Teil des Beweises besteht darin, 0 < b_{n} − a_{n} < \frac{b}{2^{n}} zu zeigen.

Bemerkung: Die in allen Intervallen liegende reelle Zahl heißt das arithmetisch-geometrische Mittel von a, b.

Aufgabe 4. Bestimmen Sie für die folgenden Mengen jeweils das Supremum und Infimum sowie, falls vorhanden, Maximum und Minimum:

(a) \{1 + \frac{(−1)^{n}}{n^{2}} | n = 1, 2, 3, …\} ,  (b) \{3^{(−1)^{n}n} | n = 1, 2, 3, …\} .