Prof. Dr. Raimar Wulkenhaar WS 19/20 Alexander Hock

Übungen zur Vorlesung Mathematik für Physiker I

Abgabe: Donnerstag, 21.11.2019 bis 10h00 in den Briefkästen Blatt 6

Aufgabe 1. Prüfen Sie, ob die Folgen (a_{n})_{n}, (b_{n})_{n}, (c_{n})_{n}, (d_{n})_{n}, gegeben durch

a_{n} = \frac{1}{2^{n}} \binom{n}{k}, b_{n} = n^{2}(\sqrt{1 + \frac{1}{n^{2}}} − 1), c_{n} = \sqrt{n + 2\sqrt{n}} − \sqrt{n}, d_{n} = \frac{(2n)!}{(n!)^{2}2^{n}}

konvergieren, und bestimmen Sie im Konvergenzfall den Grenzwert. Hinweis zu b_{n} und c_{n}: Es gilt x − y = \frac{x^{2}−y^{2}}{x+y}.

Aufgabe 2. Die Folge (x_{n})_{n} sei rekursiv definiert durch

x_{0} := 2,  x_{n+1} := \frac{15 − 12x_{n} + 4x_{n}^{2}}{4} für alle n ∈ ℕ.

Zeigen Sie: Es gilt

a) \frac{3}{2} ≤ x_{n+1} ≤ x_{n} für alle n ∈ ℕ

b) lim_{n→∞} x_{n} = \frac{3}{2}.

Hinweis zu (b): Welche Gleichung muß der Grenzwert erfüllen?

Aufgabe 3. Zeigen Sie, daß die Folge der endlichen Kettenbrüche

x_{n} := \underbrace{\frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{... 1 + \frac{1}{1}}}}}_{n Bruchstriche}

gegen den goldenen Schnitt Φ := \frac{1+\sqrt{5}}{2} konvergiert, indem Sie die Gleichungen x_{n+1} = 1 + \frac{1}{x_{n}} und Φ = 1 + \frac{1}{Φ} verwenden und induktiv |x_{n+1} − Φ| ≤ Φ^{−(n+2)} zeigen.

Aufgabe 4. (Beweis von lim_{n→∞}(1 + \frac{p}{qn})^{n} = e^{\frac{p}{q}} = \sqrt[q]{e^{p}} für p, q ∈ ℤ, q ≠ 0) Zeigen Sie schrittweise:

(a) Die Folge ((1 + \frac{r}{n})^{n})_{n∈ℕ^{×}, n>−r} ist für alle r ∈ ℝ^{×} monoton wachsend.

(b) Für p, q ∈ ℕ^{×} sind ((1 + \frac{p}{qn})^{n})_{n∈ℕ^{×}} und ((1 − \frac{p}{qn})^{n})_{n∈ℕ^{×}, qn>p} beschränkt.

(c) lim_{n→∞}(1 + \frac{p}{qn})^{n} = \sqrt[q]{e^{p}} für p, q ∈ ℕ^{×}. Hinweis: Teilfolgen

(d) lim_{n→∞}(1 − \frac{p}{qn})^{n} = \frac{1}{\sqrt[q]{e^{p}}} für p, q ∈ ℕ^{×}.