Prof. Dr. Raimar Wulkenhaar WS 19/20 Alexander Hock

Übungen zur Vorlesung Mathematik für Physiker I

Abgabe: Donnerstag, 28.11.2019 bis 10h00 in den Briefkästen Blatt 7

Aufgabe 1. Prüfen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz:

(a) ∑_{n=1}^{∞} \frac{a^{n}}{1 + a^{n}} (a > 0), (b) ∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{\sqrt{n^{2} + 1}}, (c) ∑_{n=1}^{∞} (\frac{n}{n + 1})^{n^{2}} .

Aufgabe 2. Berechnen Sie:

(a) ∑_{n=k}^{∞} (1 − \frac{1}{k})^{n} , k ∈ ℕ^{×}

(b) ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n(n + 1)(n + 2)}

(c) Realteil, Imaginärteil und Betrag von z = ∑_{n=1}^{∞} (\frac{1 + 2i}{3})^{n}

(d) die rationale Zahl \frac{p}{q}, mit p, q ∈ ℕ^{×} teilerfremd, welche dem periodischen Dezimal-

bruch 0, \overline{461538} entspricht. Hinweis: 999999 = 3^{3} · 7 · 11 · 13 · 37 Aufgabe 3. Berechnen Sie folgende Reihen durch geschicktes Ergänzen zur Reihe ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{2}} = ζ(2) = \frac{π^{2}}{6} :

(a) ∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{(2n + 1)^{2}} , (b) ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{n^{2}} , (c) ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{2}(n + 1)} .

Aufgabe 4. (a) Es sei (a_{n})_{n∈ℕ} eine monoton fallende Nullfolge. Beweisen Sie folgendes

Verdichtungskriterium: ∑_{n=1}^{∞} a_{n} konvergiert genau dann, wenn ∑_{n=0}^{∞} 2^{n}a_{2^{n}} konvergiert.

(b) Beweisen Sie mittels (a), daß ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{s}}, mit s ∈ ℚ, genau für s > 1 konvergiert und für s ≤ 1 divergiert.