Prof. Dr. Raimar Wulkenhaar WS 19/20 Alexander Hock

Übungen zur Vorlesung Mathematik für Physiker I

Abgabe: Donnerstag, 5.12.2019 bis 10h00 in den Briefkästen Blatt 8

Aufgabe 1. Sei (f_{n})_{n} die Folge der Fibonacci-Zahlen, siehe Blatt 1.

(a) Bestimmen Sie den Konvergenzradius der Potenzreihe F (z) := ∑_{n=0}^{∞} f_{n}z^{n}. Hinweis: Wie hängen die Fibonacci-Zahlen mit der Folge definiert in Aufgabe 3 von Blatt 6 zusammen?

(b) Zeigen Sie, daß für alle z ∈ ℂ im obigen Konvergenzbereich gilt:

F (z) = z + F (z)(z + z^{2}).

(c) Gegen welche rationale Funktion konvergiert F (z) im Inneren des Konvergenzkreises?

Aufgabe 2. Bestimmen Sie die Konvergenzradien der folgenden Potenzreihen:

(a) A(z) = ∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{1 + n}\binom{1 + 3n}{n}z^{n} (b) B(z) = ∑_{n=0}^{∞} \frac{n!}{n^{n}} z^{n}

(c) C(z) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{z^{3n}}{n^{4}7^{n}}

(d) die hypergeometrische Reihe zu α, β, γ ∈ ℂ \ {0, −1, −2, −3, …} :

D(z) = ∑_{n=0}^{∞} \frac{(α)_{n}(β)_{n}}{n!(γ)_{n}} z^{n}, wobei (δ)_{n} := δ(δ + 1)(δ + 2) ⋯ (δ + n − 1).

Aufgabe 3. Es sei (V, ⟨ , ⟩) euklidischer Vektorraum, ∥v∥ = \sqrt{⟨v, v⟩} und v, w ∈ V. Zeigen Sie:

(a) ∥v∥ = ∥w∥ ⟺ ⟨v − w, v + w⟩ = 0.

(b) ∥v − w∥ = ∥v + w∥ ⟺ ⟨v, w⟩ = 0.

(c) ∥v + w∥^{2} = ∥v∥^{2} + ∥w∥^{2} ⟺ ⟨v, w⟩ = 0.

(d) Für w ≠ v gilt: ∥v − 2\frac{∥v∥^{2}}{∥v − w∥^{2}} (v − w)∥ = ∥v∥ ⟺ ⟨v, w⟩ = 0.

Aufgabe 4. Welche der folgenden Abbildungen N_{i} : ℝ^{3} → ℝ_{+} definiert eine Norm? (Begründung erforderlich)

(a)  N_{1}((x_{1}, x_{2}, x_{3})) = \sqrt{(x_{1} − x_{2})^{2} + (2x_{2} − x_{3})^{2} + (x_{3} − 2x_{1})^{2}} ,
(b)  N_{2}((x_{1}, x_{2}, x_{3})) = \sqrt{|x_{1} − 2x_{2}|^{3} + |x_{2} − 2x_{3}|^{3} + |x_{3} − 2x_{1}|^{3}} ,
(c)  N_{3}((x_{1}, x_{2}, x_{3})) = \sqrt{(x_{1} − 2x_{2})^{2} + (x_{2} − 2x_{3})^{2} + (x_{3} − 2x_{1})^{2}} ,
(d)  N_{4}((x_{1}, x_{2}, x_{3})) = (\sqrt{|x_{1}|} + \sqrt{|x_{2}|} + \sqrt{|x_{3}|})^{2}